Orbifold

În matematica topologiei , geometria și teoria grupurilor , o orbifold (contracția „ orbită engleză -varietate, „ varietate orbitală ”, uneori tradusă în italiană cu orbivarietà) este o generalizare a conceptului de varietate . Este un spațiu topologic (numit spațiul de dedesubt sau spațiul subiacent) cu o structură orbifold (a se vedea mai jos).

Spațiul de mai jos seamănă local cu spațiul coeficient al unui spațiu euclidian sub acțiunea liniară a unui grup finit .

Origine

Matematic, orbifoldurile au apărut inițial ca suprafețe cu puncte singulare cu mult înainte de a fi definite formal. ^[1] Unul dintre primele exemple clasice a apărut în teoria formelor modulare ^[2] cu acțiunea grupului modular SL (2, Z ) pe jumătatea superioară a planului : o versiune a teoremei Riemann-Roch este valabilă după coeficientul este compactat prin adăugarea a două puncte la cuspida orbifold. În teoria cu 3 manifolduri , teoria spațiilor Seifert , inițiată de Seifert , poate fi exprimată în termeni de orbifolduri bidimensionale. ^[3] În teoria grupului post-Gromov, grupurile discrete au fost studiate în ceea ce privește proprietățile curburii locale a orbiedrei și spațiile lor de acoperire. ^[4]

În teoria corzilor , cuvântul „orbifold” are o semnificație ușor diferită, ^[5] discutată în detaliu mai jos. În teoria câmpului conformal , o parte matematică a teoriei șirurilor, este adesea utilizată pentru a se referi la teoria anexată la subalgebra punctului fix al algebrei vertexului sub acțiunea unui grup finit de automorfisme.

Exemplul principal al unui spațiu subiacent este un spațiu coeficient al unui distribuitor sub acțiunea discontinuă în mod corespunzător a unui posibil grup finit de difeomorfisme cu subgrupuri de izotropie finită. ^[6] În special, acest lucru se aplică oricărei acțiuni a unui grup finit ; Prin urmare , o margine varietate conține o structură orbifold naturală, deoarece este raportul dintre ori duble o acțiune de Z _2. În mod similar, spațiul coeficient al unui colector pentru o acțiune corectă netedă a lui S ¹ conține structura orbifold.

Structura orbifold oferă o stratificare naturală prin intermediul unor manifolduri deschise pe spațiul său subiacent, unde un strat corespunde unui set de puncte singulare de același tip.

Trebuie remarcat faptul că un spațiu topologic poate conține multe structuri orbifold diferite. De exemplu, luați în considerare orbifoldul O asociat cu un factor spațial cu 2 sfere, împreună cu o rotație de $\pi _{}^{}$ ${\ displaystyle \ pi _ {} ^ {}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {} ^ {}}$ ; este homeomorf pentru 2-sfere, dar structura naturală orbifold este diferită. Este posibil să se adopte majoritatea caracteristicilor soiurilor pentru orbifolds, caracteristici care sunt de obicei diferite de cele corespunzătoare din spațiul de mai jos. În exemplul de mai sus, grupul fundamental al orbifoldului O este Z _2, iar caracteristica Euler a orbifoldului este 1.

Terminologie

Definițiile orbifoldului au fost date de mai multe ori: de Ichirô Satake , în contextul formelor automorfe , în anii 1950, sub numele de V-manifold ; ^[7] de William Thurston , în contextul geometriei cu 3 manifolduri , în anii 1970 ^[8], când a inventat numele orbifold , după un vot al elevilor săi; și de André Haefliger , în anii 1980, în contextul programului lui Michail Leonidovič Gromov privind spațiile CAT (k) , sub numele de orbiedro . ^[9]

„Vina pentru această terminologie nu ar trebui să fie pusă pe mine. A fost realizat printr-un proces democratic în cursul meu 1976-77. Un orbifold este ceva „multe pliuri” (multe pliuri); din păcate, cuvântul „colector” ^[10] are deja o altă definiție. Am încercat „foldamani”, care a fost repede înlocuit de sugestia de „multiplu”. După două luni, spunând cu răbdare „nu, nu o varietate, un manifest mort ”, am votat și „orbifold” a câștigat.

( Thurston (1980, secțiunea 13.2) explicând originea cuvântului „orbifold” )

Definiția lui Thurston va fi descrisă aici: este cea mai utilizată și se aplică în toate cazurile.

Definiții formale

La fel ca un soi, un orbifold este specificat de condițiile locale; cu toate acestea, în loc să fie modelat local pe subseturi deschise de R ⁿ , un orbifold este modelat local pe coeficienții subseturilor deschise de R ⁿ pentru acțiuni de grup finit. Structura unui orbifold codifică nu numai cea a spațiului cotient subiacent, care nu trebuie să fie o varietate, ci și cea a subgrupurilor de izotropie.

Un orbifold n- dimensional este un spațiu topologic Hausdorff X , numit spațiul subiacent (sau spațiul subiacent ), cu o acoperire fixă, care este o colecție de seturi deschise U _i , închise în raport cu intersecția finită. Pentru fiecare U _i , există

un subgrup deschis V _i al lui R ⁿ , invariant sub o acțiune liniară fidelă a unui grup finit Γ _i
o hartă continuă φ _{i a} lui V _i pe U _i invariantă sub Γ _i , numită diagramă orbifold , care definește un homeomorfism între V _i / Γ _i și U _i .

Colecția de carduri orbifold se numește atlas orbifold dacă sunt îndeplinite următoarele proprietăți:

pentru fiecare incluziune U _i $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ U _j există un homomorfism al grupurilor injective f _ij : Γ _i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ Γ _j
pentru fiecare incluziune U _i $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ U _j există un homeomorfism Γ _i - echivariant ψ _ij , numit harta adezivă , a lui V _i pe un subgrup deschis al lui V _j
hărțile lipicioase sunt compatibile cu cardurile, adică φ _j · ψ _ij = φ _i
hărțile lipicioase sunt unice, cu excepția cazului în care sunt compuse cu elemente de grup, adică orice altă posibilă hartă lipicioasă de la V _i la V _j are forma g · ψ _ij pentru un singur g în Γ _j .

Atlasul orbifold definește complet structura orbifold : două atlasuri orbifold ale lui X dau aceeași structură orbifold dacă pot fi combinate coerent pentru a obține un atlas orbifold mai mare. Rețineți că structura orbifold determină subgrupul izotropiei oricărui punct al orbifoldului până la izomorfism: poate fi calculat ca stabilizator al punctului în orice diagramă orbifold. Dacă U _i $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ U _j $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ U _k , atunci există un singur element de tranziție g _ijk în Γ _k astfel încât

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij .

Aceste elemente de tranziție satisfac

(Ad g _ijk ) f _ik = f _jk f _ij

precum și relația de cociclu (asigurarea asociativității)

f _km ( g _ijk ) g _ikm = g _ijm g _jkm .

Într-un sens mai general, atașat la o copertă deschisă a unui orbifold prin intermediul cărților orbifold, există baza combinatorie a așa-numitului complex de grupuri (a se vedea mai jos).

La fel ca în cazul colectorilor, pot fi impuse condiții de diferențiere pe hărțile adezive pentru a da o definiție a orbifoldului diferențiat . Va fi un orbifold Riemannian dacă pe lângă acestea există valori Riemannian pe cardurile Orbifold și hărțile lipicioase sunt izometrii .

Pentru aplicații în teoria grupelor geometrice , este adesea convenabil să aveți o noțiune puțin mai generală de orbifold, datorită lui Haefliger. Un orbispazio este pentru spațiile topologice care reprezintă o varietate orbifold. Este în esență o generalizare topologică a conceptului orbifold. Este definit prin înlocuirea modelului de card orbifold prin intermediul unui spațiu compact local cu o acțiune rigidă a unui grup finit, adică unul pentru care punctele cu izotropie trivială sunt dense. (Această condiție este îndeplinită în mod automat prin acțiuni liniare credincioși, deoarece punctele fixate de către orice element de grup nontrivial formează un adevărat subspațiu vectorial .) De asemenea , este util să se ia în considerare structurile spațiului metric pe un orbpace, dat de invariante valorile cu privire la cărți.de orbite pentru care hărțile lipicioase păstrează distanța. În acest caz, fiecare hartă orbispace trebuie să fie un spațiu în lungime cu o singură geodezică care să conecteze două puncte.

Exemple

Orice soi fără margine este în mod trivial un orbifold. Fiecare dintre grupurile Γ _i este grupul banal .
Dacă N este un colector mărginit compact, dublul său M poate fi format prin lipirea împreună a unei copii a lui N și a imaginii sale oglindă de-a lungul limitei comune. Există acțiunea reflectare naturală a Z ₂ pe M colector care fixează muchia comună; spațiul coeficient poate fi identificat cu N , astfel încât N are o structură naturală orbifold.
Dacă M este o n -variabilitate Riemanniană cu o acțiune izometrică co-compactă adecvată a unui grup discret Γ, atunci spațiul orbital X = M / Γ are o structură naturală orbifold: pentru fiecare x în X luați un m reprezentant în M și un vecinătate deschisă V _m de m invariant sub stabilizatorul Γ _m , identificat echivariant cu un subset Γ _m de T _m M sub harta exponențială la m ; din punct de vedere finit, multe contururi acoperă X și fiecare dintre intersecțiile finite, dacă nu goale, este acoperită de o intersecție de Γ-translatat g _m · V _m cu grupul corespunzător g _m Γ g _m ⁻¹ . Orbifoldurile care apar în acest mod sunt numite „dezvoltabile” sau „bune”.
O teoremă clasică a lui Henri Poincaré construiește grupuri fuchsiene ca grupuri de reflecție hiperbolică generate de reflexiile de la marginea unui triunghi geodezic în planul hiperbolic pentru metrica Poincaré . Dacă triunghiul are unghiuri π / n _i pentru numere întregi pozitive n _i , triunghiul este un domeniu fundamental și un orbifold natural bidimensional. Grupul corespunzător este un exemplu de grup triunghiular . Poincaré a dat, de asemenea, o versiune tridimensională a acestui rezultat pentru grupurile Kleiniene : în acest caz, grupul Kleinian Γ este generat de reflecții hiperbolice, iar orbifoldul este H ³ / Γ.
Dacă M este un colector cu 2 colecții închise, noile structuri orbifold pot fi definite pe M i prin îndepărtarea finită a multor discuri disjuncte închise din M și din nou lipirea copiilor discurilor D / Γ _i unde D este discul unitar închis și Γ _i este un grup ciclic finit de rotații. Acest lucru generalizează construcția Poincaré.

Grupul fundamental al orbifoldului

Există mai multe moduri de a defini grupul fundamental al orbifoldului . Abordările mai sofisticate utilizează spațiile de căptușire sau spațiile de clasificare ale grupidelor . Abordarea mai simplă (adoptată de Haefliger și cunoscută și de Thurston) extinde noțiunea obișnuită de capcană utilizată în definiția standard a grupului fundamental .

O cale orbifold este o cale în spațiul de mai jos echipată cu o ridicare explicită a segmentelor de cale către cărți orbifold și cu elemente explicite ale grupului care identifică căile în hărți suprapuse; dacă calea de mai jos este o capcană, se numește capcană orbifold . Căile orbifold sunt identificate dacă sunt legate prin multiplicare prin elemente de grup în cărțile orbifold. Grupul fundamental al orbifoldului este grupul format din clasele de homotopie ale șireturilor orbifold.

Dacă orbifoldul apare ca coeficientul unui distribuitor M conectat pur și simplu printr-o acțiune rigidă proprie unui grup discret Γ, grupul fundamental al orbifoldului poate fi identificat cu Γ. În general, este o extensie de la Γ la π ₁ M.

Se spune că orbifoldul este dezvoltabil sau bun dacă apare ca coeficient printr-o acțiune de grup finit; altfel se numește rău . Un orbifold universal de căptușeală poate fi construit pentru un orbifold în analogie directă cu construcția spațiului universal de căptușire a unui spațiu topologic, adică ca spațiu de pereche format din puncte ale claselor orbifold și homotopie ale căilor orbifold care se unesc cu punctul de bază . Acest spațiu este, desigur, un orbifold.

Rețineți că, dacă un card orbifold pe un subset contractabil deschis corespunde unui grup Γ, atunci există omomorfism local al lui Γ în grupul fundamental al orbifold.

De fapt, următoarele condiții sunt echivalente:

Orbifoldul este dezvoltabil.
Structura orbifoldului pe orbifoldul de acoperire universal este banală.
Omomorfismele locale sunt toate injectabile pentru o acoperire prin intermediul unor seturi deschise contractabile.

Orbispaces non-pozitiv curbate

După cum sa menționat mai devreme, un orbispace este în esență o generalizare a conceptului orbifold aplicat spațiilor topologice. Deci, să fie X un orbispace dotat cu o structură spațială metrică pentru care hărțile sunt izometrii de lungime a spațiilor geodezice. Definițiile și rezultatele anterioare pentru orbifolds pot fi generalizate pentru a da definițiile grupului fundamental ale orbispace și universal orbispace de acoperire , cu criterii similare pentru dezvoltare. Funcțiile de distanță de pe hărțile orbitspace pot fi utilizate pentru a defini lungimea unei căi orbispace într-un orbispace universal de acoperire. Dacă funcția de distanță din orice hartă este curbată ne-pozitiv , atunci argumentul curbei de scurtare a lui Birkhoff poate fi folosit pentru a demonstra că orice cale a unui orbispace cu puncte finale fixe este homotopă față de o singură geodezică. Aplicând acest lucru căilor constante dintr-o diagramă orbispace, rezultă că fiecare omomorfism local este injectiv și, prin urmare:

orice orbispace ne-pozitiv curbat este dezvoltabil (adică bun ).

Complexe de grupuri

Fiecare orbifold a asociat o structură combinatorie suplimentară dată de un complex de grupuri .

Definiție

Un complex de grupuri ( Y , f , g ) pe un complex simplicial abstract Y este dat de

un grup finit Γ _σ pentru fiecare simplex σ al lui Y
un homomorfism injectiv f _στ : Γ _τ $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ Γ _σ ori de câte ori σ $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ τ
pentru fiecare incluziune ρ $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ σ $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ τ, un element al grupului g _ρστ în Γ _ρ astfel încât (Ad g _ρστ ) f _ρτ = f _ρσ f _στ (aici Ad denotă acțiunea adăugată prin conjugare)

Elementele grupului trebuie, de asemenea, să satisfacă condiția cociclică

f _πρ (g _ρστ) g _πρτ = g _πστ g _πρσ

pentru orice lanț de simplexuri π $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ ρ $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ σ $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ τ. (Această condiție este goală dacă Y are dimensiunea 2 sau mai mică.)

Orice alegere a elementelor h _στ în Γ _σ produce o definire complexă echivalentă a grupului

f ' _στ = (Ad h _στ ) · f _στ
g ' _ρστ = h _ρσ f _ρσ ( h _στ ) g _ρστ h _ρτ ⁻¹

Se spune că un complex de grupuri este simplu ori de câte ori g _ρστ = 1 peste tot.

Un argument inductiv ușor arată că orice complex de grupuri pe un simplex este echivalent cu un complex de grupuri cu g _ρστ = 1 peste tot.

Este adesea mai convenabil și mai atractiv din punct de vedere conceptual să treceți la diviziunea barentrică a lui Y. Vârfurile acestei subdiviziuni corespund simplexelor lui Y , astfel încât fiecare vârf are un grup atașat la acesta. Marginile subdiviziunii centrului sunt orientate în mod natural (corespunzător incluziunilor simplexelor) și fiecare margine directă oferă o incluziune a grupurilor. Fiecare triunghi are atașat un element de tranziție care aparține grupului de exact un vârf; și tetraedrele, dacă există, oferă relații cociclice pentru elementele de tranziție. Astfel, un complex de grupuri implică doar scheletul 3 al subdiviziunii barycentric; și numai 2-scheletul dacă este simplu.

Exemplu

Dacă X este un orbifold (sau un orbispace), alegeți o suprapunere prin subseturi deschise între cărțile orbifold f _i : V _i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ U _i . Fie Y complexul abstract simplial dat de coloana vertebrală a acoperișului : vârfurile sale sunt mulțimile acoperirii și complexele sale n- corespund intersecțiilor ne-goale U _α = U _{i ₁} $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ ··· $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ U _{i _n} . Pentru fiecare dintre aceste simplexuri există un grup asociat Γ _α și homomorfismele f _ij devin homomorfisme f _στ . Pentru fiecare triplu ρ $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ σ $\subset$ ${\ displaystyle \ subset}$ $\ subset$ τ corespunzător intersecțiilor

U _i

\supset

{\ displaystyle \ supset}

\ supset

U _i

\cap

{\ displaystyle \ cap}

\Cod poștal

U _j

\supset

{\ displaystyle \ supset}

\ supset

U _i

\cap

{\ displaystyle \ cap}

\Cod poștal

U _j

\cap

{\ displaystyle \ cap}

\Cod poștal

U _k

există cărțile φ _i : V _i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ U _i , φ _ij : V _ij $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ U _i $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ U _j și φ _ijk : V _ijk $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ U _i $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ U _j $\cap$ ${\ displaystyle \ cap}$ $\Cod poștal$ U _k și hărți lipicioase ψ: V _ij $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ V _i , ψ ': V _ijk $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ V _ij și ψ ": V _ijk $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ V _i .

Există un singur element de tranziție g _ρστ în Γ _i astfel încât g _ρστ · ψ "= ψ · ψ '. Relațiile satisfăcute de elementele de tranziție ale unui orbifold le implică pe cele necesare unui complex de grupuri. În acest fel, un grup îl complexează poate fi asociat canonic cu coloana vertebrală a unei învelișuri deschise prin intermediul cardurilor dell'orbifold (sau dell'orbispazio). în limbajul teoriei snopilor care nu sunt comutative, complexul de grupuri în acest caz este unul dintre grupurile de fascicule asociate cu suprapunerea U _i; datele g _ρστ sunt un 2-cociclu într-o cohomologie a grinzilor și datele h _στ dau o perturbație cu 2-co-frontieră.

Grup de căi marginale

Grupul căilor marginale ale unui complex de grupuri poate fi definit ca o generalizare a grupului căilor marginale ale unui complex simplicial. În subdiviziunea barentrică a lui Y , luați generatoarele și _ij corespunzătoare marginilor de la i la j unde i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j , astfel încât să existe o injecție ψ _ij : Γ _i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ Γ _j . Fie Γ grupul generat de e _ij și Γ _k cu relațiile

e _ij ^–1 g e _ij = ψ _ij ( g )

pentru g în Γ _i ed

e _ik = e _jk · e _ij · g _ijk

dacă eu $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ k .

Pentru un vârf fix i ₀ , grupul de căi marginale Γ ( i ₀ ) este definit ca subgrupul de Γ generat de toate produsele

g ₀ e _{i ₀ i ₁} g ₁ e _{i ₁ i ₂} ··· · g _n · e _{i _n i ₀}

unde i ₀ , i ₁ , ..., i _n , i ₀ este o cale marginală, g _k se află în Γ _{i _k} și e _ji = e _ij ⁻¹ dacă i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j .

Complexe dezvoltabile

O acțiune simplistică adecvată a unui grup discret Γ pe un complex simplicial X cu un coeficient finit se spune că este regulată dacă îndeplinește una dintre următoarele condiții echivalente (vezi Bredon 1972):

X admite un subcomplex finit ca domeniu fundamental ;
coeficientul Y = X / Γ are o structură naturală simplială;
structura simplială a coeficientului pe reprezentanții orbitali ai vârfurilor este coerentă;
dacă ( v ₀ , ..., v _k ) și ( g ₀ v ₀ , ..., g _k v _k ) sunt simple, atunci g v _i = g _i v _i pentru unele g în Γ.

Domeniul fundamental și coeficientul Y = X / Γ în acest caz pot fi identificate în mod natural ca complexe simpliciale, date de stabilizatorii simplexelor din domeniul fundamental. Se spune că un complex de grupuri Y poate fi dezvoltat dacă apare astfel.

Un complex de grupuri este dezvoltabil dacă și numai dacă homomorfismele lui Γ _σ din grupul căilor marginale sunt injective.
Un complex de grupuri este dezvoltabil dacă și numai dacă pentru fiecare simplex σ există un homomorfism injectiv θ _σ din Γ _σ într-un grup discret fix Γ astfel încât θ _τ · f _στ = θ _σ . În acest caz, complexul simplial X este definit canonic: are k- complexe (σ, xΓ _σ ) unde σ este un complex k- al lui Y și x depășește Γ / Γ _σ . Coerența poate fi verificată pe baza faptului că restricția complexului de grup la un simplex este echivalentă cu una cu _cocivul banal g _ρστ .

Acțiunea lui Γ asupra subdiviziunii barentrice X 'din X îndeplinește următoarea condiție, care este mai slabă decât regularitatea:

ori de câte ori σ și σ · g sunt sottosimplessi ale unor sottosimplessi τ, ele sunt egale, adică σ = g · σ

Într-adevăr, simplexele din X 'corespund lanțurilor de simplexuri din X , astfel încât un subsimplex, dat de subcatenele de simplexuri, este determinat exclusiv de dimensiunile simplexelor din subcaten. Când o acțiune îndeplinește această condiție, atunci g fixează neapărat toate vârfurile lui σ. Un argument liniar inductiv arată că această acțiune devine regulată pe subdiviziunea barycentrică; în special

acțiunea pe a doua subdiviziune barentrică X "este regulată;
Γ este în mod natural izomorf în ceea ce privește grupul de căi marginale definit utilizând căile marginale și stabilizatorii de vârf pentru subdiviziunea barentrică a domeniului fundamental în X ".

De fapt, nu este nevoie să treceți la o a treia subdiviziune barcentrică: așa cum observă Haefliger folosind limbajul teoriei categoriilor, în aceasta scheletul 3 al domeniului fundamental al lui X „poartă deja toate datele necesare - inclusiv elementele de tranziție pentru triunghiuri - pentru a defini un grup izomorf de cale marginală a Γ.

În două dimensiuni, acest lucru este deosebit de simplu de descris. Domeniul fundamental al lui X "are aceeași structură ca și subdiviziunea barentrică Y 'a unui complex de grupe Y , și anume:

un complex simplicial bidimensional finit Z ;
o orientare pentru toate marginile i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j ;
dacă eu $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j și j $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ k sunt margini, apoi i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ k este o marjă și ( i , j , k ) este un triunghi;
grupuri finite atașate la vârfuri, incluziuni la margini și elemente de tranziție, care descriu compatibilitatea, pentru triunghiuri.

Poate fi apoi definit ca un grup de căi marginale. O structură similară este moștenită din subdiviziunea barentrică Z 'și grupul său de cale marginală este izomorf cu cel al lui Z.

Orbiedri

Dacă un grup discret numărabil acționează ca o acțiune simplă regulată adecvată asupra unui complex simplicial , coeficientului i se poate da nu numai structura unui complex de grupuri, ci și cea a unui orbispace. Acest lucru duce în general la definiția „orbiedronului”, analogul simplicial al unui orbifold.

Definiție

Fie X un complex simplicial finit cu subdiviziune barentrică X '. O structură orbiedronă constă din:

pentru fiecare vârf i al lui X ', un complex simplicial L _i ' înzestrat cu o acțiune simplială rigidă a unui grup finit Γ _i .
o hartă simplistică φ _i a L _i 'pe legătura L _i a i în X ', care identifică coeficientul L _i '/ Γ _i cu L _i .

Această acțiune a lui on _i pe L _i 'se extinde la o acțiune simplicială pe conul simplicial C _i pe L _i ' (joncțiunea simplicială dintre i și L _i '), fixând centrul i al conului. Harta φ _i se extinde la o hartă simplistică C _i pe steaua St ( i ) a lui i , aducând centrul la i ; astfel φ _i identifică C _i / Γ _i , coeficientul stelei lui i în C _i , cu St ( i ) și dă o hartă a orbiedrei lui i .

pentru fiecare marjă directă i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j din X ', un omomorfism injectiv f _ij din Γ _i în Γ _j .
pentru fiecare marjă directă i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j , a Γ _i hartă adezivă echivalentă simplicială ψ _ij a C _i în C _j .
hărțile lipicioase sunt compatibile cu hărțile, adică φ _j · ψ _ij = φ _i .
hărțile lipicioase sunt unice pentru compoziția cu elementele grupului, adică orice altă posibilă hartă lipicioasă de la V _i la V _j are forma g · ψ _ij pentru un singur g în Γ _j .

Dacă i $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ j $\rightarrow$ ${\ displaystyle \ rightarrow}$ $\ sageata dreapta$ k , atunci există un singur element de tranziție g _ijk în Γ _k astfel încât

g _ijk · ψ _ik = ψ _jk · ψ _ij

Aceste elemente de tranziție satisfac

(Ad g _ijk ) f _ik = f _jk f _ij

precum și relația de cociclu

ψ _km ( g _ijk ) g _ikm = g _ijm g _jkm .

Principalele proprietăți

Datele teoretice ale grupului unui orbiedron dau un complex de grupuri pe X , deoarece vârfurile i ale lui X 'corespund simplexelor din X.
Fiecare complex de grupuri pe X este asociat cu o structură esențial unică de orbiedron pe X. Acest factor cheie urmează notând că steaua și conexiunea unui vârf i de X ', care corespund unui simplex σ de X , au descompuneri naturale: steaua este izomorfă la complexul simplial abstract dat de articulația lui σ și subdiviziune barcentrică σ 'a σ; iar conexiunea este izomorfă la joncțiunea conexiunii σ în X și a conexiunii centrului σ în σ '. Prin restrângerea complexului de grupuri la conexiunea lui σ în X , toate grupurile Γ _τ ajung cu omomorfisme injective în Γ _σ . Deoarece conexiunea lui i în X 'este acoperită canonic de un complex simplicial asupra căruia acționează Γ _σ , aceasta derivă o structură orbiedronă pe X.
Grupul fundamental al orbiedronului este (tautologic) doar grupul căilor marginale ale complexului de grup asociat.
Fiecare orbiedron este, desigur, și un orbispace: într-adevăr, în realizarea geometrică a complexului simplicial, cărțile orbispace pot fi definite folosind interiorul stelelor.
Grupul fundamental al orbiedronului poate fi identificat în mod natural cu grupul fundamental al orbospațiului asociat. Acest lucru urmează prin aplicarea teoremei de aproximare simplială segmentelor de cale ale unui orbispace aflat pe o hartă orbispace: este o variantă directă a dovezii clasice că grupul fundamental al unui poliedru poate fi identificat cu grupul său de cale marginal .
Orbispace-ul asociat cu un orbiedron are o structură metrică canonică , care derivă local din metrica lungimii în realizarea geometrică standard în spațiul euclidian, cu vârfurile mapate pe o bază ortonormală. Sunt utilizate și alte structuri metrice, care implică metricele lungimii prin realizarea de simplexuri în spațiul hiperbolic , care sunt identificate izometric de-a lungul granițelor comune.
Orbispace-ul asociat cu un orbiedron este curbat non-pozitiv dacă și numai dacă legătura din fiecare cartă a orbitarilor are un calibru mai mare sau egal cu 6, adică orice circuit închis din legătură are cel puțin lungimea 6. Această condiție, bine cunoscut din teoria spațiilor Hadamard , depinde doar de complexul subiacent al grupurilor.
Când orbhedronul de căptușeală universală este curbat non-pozitiv, grupul fundamental este infinit și este generat de copii izomorfe ale grupurilor de izotropie. Aceasta rezultă din rezultatul corespunzător pentru orbite.

Triunghiuri de grupuri

Din punct de vedere istoric, una dintre cele mai importante aplicații ale orbifoldurilor în teoria geometrică a grupurilor a fost gruparea triunghiurilor . Acesta este cel mai simplu exemplu bidimensional care generalizează „gama de grupuri” unidimensionale discutate în Sere pe copaci, unde sunt studiate produse gratuite amalgamate în termeni de acțiuni asupra copacilor. Astfel de triunghiuri de grupuri apar ori de câte ori un grup discret acționează într-un mod simplu tranzitiv asupra triunghiurilor din clădirea afină a lui Bruhat-Tits pentru SL ₃ ( Q _p ); nel 1979 Mumford scoprì il primo esempio per p = 2 (vedi sotto) come passo nella produzione di una superficie algebrica non isomorfa allo spazio proiettivo , ma avente gli stessi numeri di Betti . I triangoli di gruppi furono elaborati in dettaglio da Gersten e Stallings, mentre il caso più generale dei complessi di gruppi, descritti sopra, fu sviluppato indipendentemente da Haefliger. Il metodo geometrico sottostante di analizzare gruppi presentati in modo finito in termini di spazi metrici di curvatura di non positiva si deve a Gromov. In questo contesto i triangoli di gruppi corrispondono a complessi simpliciali bidimensionali non positivamente curvi con l'azione regolare di un gruppo, transitiva su triangoli .

Un triangolo di gruppi è un "semplice" complesso di gruppi che consiste in un triangolo con i vertici A , B , C . Ci sono gruppi

Γ _A , Γ _B , Γ _C a ogni vertice
Γ _BC , Γ _CA , Γ _AB per ogni margine
Γ _ABC per il triangolo stesso.

C'è un omomorfismo iniettivo di Γ _ABC in tutti gli altri gruppi e di un gruppo di margini Γ _XY in Γ _X e Γ _Y . I tre modi di mappare Γ _ABC in un gruppo di vertici sono tutti concordi. (Spesso Γ _ABC è il gruppo banale.) La struttura metrica euclidea sull'orbispazio corrispondente è non positivamente curva se e solo se il collegamento di ciascuno dei vertici nella carta degli orbiedri ha almeno calibro 6.

Questo calibro in ciascun vertice è sempre pari e, come osservato da Stallings, può essere descritto in un vertice A , diciamo, come la lunghezza della parola più piccola nel nucleo dell'omomorfismo naturale in Γ _A del prodotto libero amalgamato su Γ _ABC dei gruppi di margini Γ _AB e Γ _AC :

\Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.

\Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.

\Gamma _{AB}\star _{\,\Gamma _{ABC}}\Gamma _{AC}\rightarrow \Gamma _{A}.

Il risultato usando la struttura metrica euclidea non è ottimale. Gi angoli α, β e γ ai vertici A , B e C furono definiti da Stallings come 2π diviso per il calibro. Nel caso euclideo α, β, γ ≤ π/3. Tuttavia, se è richiesto soltanto che α + β + γ ≤ π, è possibile identificare il triangolo con il corrispondente triangolo geodesico nel piano iperbolico con la metrica di Poincaré (o nel piano euclideo se è valida l'uguaglianza). È un risultato classico della geometria iperbolica che le mediane iperboliche si intersechino nel centro iperbolico, ^[11] proprio nel familiare caso euclideo. La suddivisione ee la metrica baricentrica di questo modello producono una struttura metrica non positivamente curva sull'orbispazio corrispondente. Così, se α+β+γ≤π,

l'orbispazio del triangolo di gruppi è sviluppabile;
il corrispondente gruppo dei cammini marginali, che può anche essere descritto come il colimite del triangolo di gruppi, è infinito;
gli omorfismi dei gruppi di vertici nel gruppo dei cammini marginali sono iniezioni.

Esempio di Mumford

Il piano di Fano

Sia α = ${\sqrt {-7}}$ ${\sqrt {-7}}$ ${\sqrt {-7}}$ dato dall' espansione binomiale di (1 − 8) ^1/2 in Q ₂ e fissato K = Q (α) $\subset$ $\subset$ $\subset$ Q ₂ . Sia

ζ = exp 2π i /7

λ = (α − 1)/2 = ζ + ζ ² + ζ ⁴

μ = λ/λ*.

Sia E = Q (ζ), un vettore spaziale tridimensionale su K con base 1, ζ e ζ ² . Si definiscano operatori K -lineari su E nel modo seguente:

σ è il generatore del gruppo di Galois di E su K , un elemento di ordine 3 dato da σ(ζ) = ζ ²
τ è l'operatore della moltiplicazione per ζ su E , un elemento di ordine 7
ρ è l'operatore dato da ρ(ζ) = 1, ρ(ζ ² ) = ζ e ρ(1) = μ·ζ ² , cosicché ρ ³ è il prodotto scalare per μ.

Gli elementi ρ, σ e τ generano un sottogruppo discreto di GL ₃ ( K ) che agisce propriamente sull' edificio affine di Bruhat-Tits corrispondente a SL ₃ ( Q ₂ ). Questo gruppo agisce transitivamente su tutti i vertici, margini e triangoli nell'edificio. Sia

σ ₁ = σ, σ ₂ = ρσρ ⁻¹ , σ ₃ = ρ ² σρ ⁻² .

Allora

σ ₁ , σ ₂ e σ ₃ generano un sottogruppo Γ di SL ₃ ( K ).
Γ è il più piccolo sottogruppo generato da σ e τ, invariante sotto la coniugazione per ρ.
Γ agisce in modo semplicemente transitivo sui triangoli dell'edificio.
Vi è un triangolo Δ tale che lo stabilizzatore dei suoi margini sono i sottogruppi di ordine 3 generati dai σ _i .
Lo stabilizzatore di un vertice di Δ è il gruppo di Frobenius di ordine 21 generato dai due elementi di ordine 3 che stabilizzano i margini che si incontrano al vertice.
Lo stabilizzatore di Δ è banale.

Gli elementi σ e τ generano lo stabilizzatore di un vertice. Il collegamento di questo vertice può essere identificato con l'edificio sferico di SL ₃ ( F ₂ ) e lo stabilizzatore può essere identificato con il gruppo di collineazione del piano di Fano generato da una triplice simmetria σ che fissa un punto e una permutazione ciclica τ di tutti i 7 punti, che soddisfano στ = τ ² σ. Identificando F ₈ * con il piano di Fano, si può assumere che σ sia la limitazione dell' automorfismo di Frobenius σ( x ) = x ² ² di F ₈ e che τ sia il prodotto per qualunque elemento non nel campo primo F ₂ , cioè un generatore di ordine 7 del gruppo moltiplicativo ciclico di F ₈ . Questo gruppo di Frobenius agisce in modo semplicemente transitivo sulle 21 bandiere nel piano di Fano, cioè linee con punti marcati. Le formule per σ e τ su E "sollevano" così le formule su F ₈ .

Mumford ottiene anche un'azione semplicemente transitiva sui vertici dell'edificio passing to a subgroup of Γ ₁ = <ρ, σ, τ, − I >. Il gruppo Γ ₁ preserva la forma hermitiana di valore Q (α)

f(x,y)=xy* + σ(xy*) + σ ² (xy*)

su Q (ζ) e può essere identificato con U ₃ (f) $\cap$ $\cap$ $\cap$ GL ₃ ( S ) dove S = Z [α,½]. Dal momento che S / (α) = F ₇ , vi è un omomorfismo del gruppo Γ ₁ into GL ₃ ( F ₇ ). Questa azione lascia invariante un sottospazio bidimensionale in F ₇ ³ e dà quindi origine omomorfismo Ψ di Γ ₁ in SL ₂ ( F ₇ ), un gruppo di ordine 16·3·7. Dall'altro lato lo stabilizzatore di un vertice è un sottogruppo di ordine 21 e Ψ è iniettivo su questo sottogruppo. Pertanto se il sottogruppo di congruenza Γ ₀ si definisce come l' immagine inversa sotto Ψ del 2- sottogruppo di Sylow di SL ₂ ( F ₇ ), l'azione di Γ ₀ sui vertici deve essere semplicemente transitiva.

Generalizzazioni

Altri esempi di triangoli o di complessi bidimensionali di gruppi si possono costruire mediante variazioni dell'esempio di sopra.

Cartwright et al. considerano le azioni sugli edifici che sono semplicemente transitive sui vertici . Ciascuna di tali azioni produce una biezione (o dualità modificata) tra i punti x e le linee x * nel complesso di bandiere di un piano proiettivo finito e in una collezione di trianfoli orientati di punti ( x , y , z ), invarianti sotto permutazione ciclica, tali che x giace su z *, y giace su x * e z giace su y * che due punti qualsiasi determinano univocamente il terzo. I gruppi prodotti hanno generatori x , etichettati da punti, e da relazioni xyz = 1 per ogni triangolo. Genericamente questa costruzione non corrisponderà ad un'azione su un edificio classico affine.

Più generalmente, come mostrato da Ballmann e Brin, dati algebrici simili codificano tutte le azioni che sono semplicemente transitive sui vertici di un complesso simpliciale bimensionale non positivamente curvo, a condizione che il collegamento di ciascun vertice ha il calibro almeno pari a 6. Questi dati consistono in:

un insieme generatore S contenente inversi, ma non l'identità;
un insieme di relazioni g h k = 1, invarianti sotto permutazione ciclica.

Gli elementi g in S etichettano i vertici g · v nel collegamento di un vertice fisso v ; e le relazioni corrispondono ai margini ( g ⁻¹ · v , h · v ) in quel collegamento. Il grafo con i vertici S ei margini ( g , h ), per g ⁻¹ h in S , devono avere calibro almeno pari a 6. Il complesso simpliciale originale può essere ricostruito usando i complessi di gruppi e la seconda suddivisione baricentrica.

Il grafo bipartito di Heawood

Ulteriori esempi di complessi bidimensionali non positivamente curvi di gruppi sono stati costruiti da Swiatkowski sulla base di azioni semplicemente transitive su margini orientati e inducendo una triplice simmetria su ogni triangolo; anche in questo caso il complesso di gruppi si ottiene dall.'azione regolare sulla seconda suddivisione baricentrica. L'esempio più semplice, scoperto anteriormente con Ballmann, parte da un gruppo finito H con un insieme simmetrico di generatori S , non contenenti l'identità, tale che il grafo di Cayley corrispondente ha calibro almeno pari a 6. Il gruppo associato è generato da H e da un'involuzione τ soggetta a (τg) ³ = 1 per ogni g in S .

Infatti, se Γ agisce in questo modo, fissando un margine ( v , w ), c'è un'involuzione τ che scambia v e w . Il collegamento di v è costituito da vertici g · w per g in a sottoinsieme simmetrico S di H = Γ _v , che genera H se il collegamento è connesso. L'assunzione sui triangoli implica che

τ·( g · w ) = g ⁻¹ · w

per g in S . Perciò, se σ = τ g e u = g ⁻¹ · w , allora

σ( v ) = w , σ( w ) = u , σ( u ) = w .

Per la transitività semplice sul triangolo ( v , w , u ), ne consegue che σ ³ = 1.

La seconda suddivisione baricentrica dà un complesso di gruppi che consistono di singoletti o coppie di triangoli suddivisi baricentricamente uniti lungo i loro lati grandi: queste coppie sono indicizzate mediante lo spazio quoziente S /~ ottenuto identificando gli inversi in S . I triangoli singoli o "accoppiati" sono a loro volta uniti lungo una "spina dorsale" comune. Tutti gli stabilizzatori dei simplessi sono banali eccetto i due vertici alle estremità della spina dorsale, con gli stabilizzatori H e <τ>, ei vertici rimanenti dei triangoli grandi, con lo stabilizzatore generato mediante un σ appropriato. Tre dei triangoli più piccoli in ciascun triangolo grande contengono elementi di transizione.

Quando tutti gli elementi di S sono involuzioni, nessuno dei triangoli deve essere raddoppiato. Se si assume che H è il gruppo diedrale D ₇ di ordine 14, generato da un'involuzione a e da un elemento b di ordine 7 tale che

ab = b ⁻¹ a ,

allora H è generato dalle 3 involuzioni a , ab e ab ⁵ . Il collegamento di ciascun vertice è dato dal grafo di Cayley corrispondente, perciò è proprio il grafo bipartito di Heawood , cioè esattamente lo stesso che è nell'edificio affine per SL ₃ ( Q ₂ ). Questa struttura di collegamento implica che il complesso simpliciale corrispondente sia necessariamente un edificio euclideo . Attualmente, tuttavia, sembra sia ignoto se uno qualsiasi di questi tipi di azione possa essere effettivamente realizzato su un edificio affine classico: il gruppo di Mumford Γ ₁ (scalari modulari) è semplicemente transitivo soltanto sui margini, non sui margini orientati.

Orbifold bidimensionali

In due dimensioni, ci sono tre tipi di punti singolari di un orbifold:

Un punto al contorno
Un punto ellittico di ordine n , come l'origine di R ² quozientato rispetto a un gruppo ciclico di rotazioni di ordine n .
Un riflettore angolare di ordine n : l'origine di R ² quozientato rispetto a un gruppo diedrale di ordine 2 n .

Un orbifold bidimensionale compatto ha una caratteristica di Eulero Χ data da

Χ = Χ( X ₀ ) − Σ(1 − 1/ n _i )/2 − Σ(1 − 1/ m _i )

dove Χ( X ₀ ) è la caratteristica di Eulero della varietà topologica sottostante X ₀ , ed n _i sono gli ordini dei riflettori angolari, ed m _i sono gli ordini dei punti ellittici.

Un orbifold bidimensionale compatto connesso ha una struttura iperbolica se la sua caratteristica di Eulero è minore di 0, una struttura euclidea se la sua caratteristica è uguale a 0, e se la sua caratteristica di Eulero è positiva esso o è cattivo' o ha una struttura ellittica (un orbifold è chiamato cattivo se non ha una varietà come spazio di copertura). In altre parole, il suo spazio di copertura universale ha una struttura iperbolica, euclidea o sferica.

Gli orbifold bidmensionali compatti connessi che non sono iperbolici sono elencati nella tabella sottostante. I 17 orbifold parabolici sono i quozienti del piano rispetto ai 17 gruppi di carte da parati .

Tipo	Caratteristica di Eulero	2-varietà sottostante	Ordini dei punti ellittici	Ordini dei riflettori angolari
Cattivo	1 + 1/ n	Sfera	n > 1
Cattivo	1/ m + 1/ n	Sfera	n > m > 1
Cattivo	1/2 + 1/2 n	Disco		n > 1
Cattivo	1/2 m + 1/2 n	Disco		n > m > 1
Ellittico	2	Sfera
Ellittico	2/ n	Sfera	n , n
Ellittico	1/ n	Sfera	2, 2, n
Ellittico	1/6	Sfera	2, 3, 3
Ellittico	1/12	Sfera	2, 3, 4
Ellittico	1/30	Sfera	2, 3, 5
Ellittico	1	Disco
Ellittico	1/ n	Disco		n , n
Ellittico	1/2 n	Disco		2, 2, n
Ellittico	1/12	Disco		2, 3, 3
Ellittico	1/24	Disco		2, 3, 4
Ellittico	1/60	Disco		2, 3, 5
Ellittico	1/ n	Disco	n
Ellittico	1/2 n	Disco	2	n
Ellittico	1/12	Disco	3	2
Ellittico	1	Piano proiettivo
Ellittico	1/ n	Piano proiettivo	n
Parabolico	0	Sfera	2, 3, 6
Parabolico	0	Sfera	2, 4, 4
Parabolico	0	Sfera	3, 3, 3
Parabolico	0	Sfera	2, 2, 2, 2
Parabolico	0	Disco		2, 3, 6
Parabolico	0	Disco		2, 4, 4
Parabolico	0	Disco		3, 3, 3
Parabolico	0	Disco		2, 2, 2, 2
Parabolico	0	Disco	2	2, 2
Parabolico	0	Disco	3	3
Parabolico	0	Disco	4	2
Parabolico	0	Disco	2, 2
Parabolico	0	Piano proiettivo	2, 2
Parabolico	0	Toro
Parabolico	0	Bottiglia di Klein
Parabolico	0	Anello
Parabolic	0	Nastro di Moebius

Orbifold tridimensionali

Si dice che una 3-varietà è piccola se è chiusa, irriducibile e non contiene alcuna superficie incompribimibile.

Teorema degli orbifold. Sia M una 3-varietà piccola. Sia φ un diffeomorfismo periodico non banale di M che preservi l'orientazione. Allora M ammette una struttura iperbolica φ-invariante o struttura fibrata di Seifert.

Questo teorema è un caso speciale del teorema degli orbifold di Thurston, enunciato senza dimostrazione nel 1981; esso fa parte della sua congettura di geometrizzazione per le 3-varietà . In particolare esso implica che se X è un 3-orbifold compatto, connesso, irriducibile e atoroidale con un luogo singolare non vuoto, allora M ha una struttura geometrica (nel senso degli orbifold). Una dimostrazione completa del teorema fu pubblicata da Boileau, Leeb & Porti nel 2005. ^[12]

Orbifold nella teoria delle stringhe

Nella teoria delle stringhe , la parola "orbifold" ha un significato leggermente nuovo. Per i matematici, un orbifold è una generalizzazione del concetto di varietà ( manifold in inglese ) che permette la presenza dei punti il cui intorno è diffeomorfico rispetto a un quoziente di R ⁿ per un gruppo finito, cioè R ⁿ / Γ . In fisica, la nozione di un orbifold di solito descrive un oggetto che può essere scritto globalmente come uno spazio orbitale M / G , dove M è una varietà (o una teoria), e G è un gruppo delle sue isometrie (o simmetrie) — non necessariamente di tutte. Nella teoria delle stringhe, queste simmetrie non devono avere un'interpretazione geometrica.

Una teoria quantistica dei campi definita su un orbifold diventa singolare vicino ai punti fissi di G . Tuttavia la teoria delle stringhe ci impone di aggiungere le nuove parti dello spazio di Hilbert astringhe chiuse — vale a dire i settori ritorti in cui i campi definiti sulle stringhe chiuse sono periodici fino a un'azione di G . La creazione di orbifold è perciò una procedura generale della teoria delle stringhe per derivare una nuova teoria delle stringhe da una vecchia nella quale gli elementi di G sono stati identificati con l'identità. Tale procedura da un lato riduce il numero di stati perché questi ultimi devono essere invarianti in base a G , ma dall'altro aumenta il numero di stati a causa dei settori ritorti supplementari. Il risultato è di solito una nuova teoria delle stringhe, perfettamente liscia .

Le D-brane che si propagano sugli orbifold sono descritte, a basse energie, da teorie di gauge definite dai diagrammi delle quiver . Le stringhe aperte annesse a queste D-brane non hanno alcun settore ritorto, e perciò il numero dei stati a stringhe aperte è ridotto dalla procedura di creazione di orbifold.

Più specificamente, quando il gruppo G dell'orbifold è un sottogruppo di isometrie spaziotemporali, allora se non ha alcun punto fisso, il risultato è di solito uno spazio levigato compatto; il settore ritorto è costituito da stringhe chiuse avvolte intorno alla dimensione compatta, che sono chiamate stati di avvolgimento .

Quando il gruppo G dell'orbifold è un sottogruppo discreto di isometrie spaziotemporali e ha punti fissi, allora questi hanno di solito singolarità coniche , perché R ⁿ / Z _k ha tale singolarità in corrispondenza del punto fisso di Z _k . Nella teoria delle stringhe, le singolarità gravitazionali sono di solito un segno di gradi di libertà aggiuntivi ubicati in un punto locale dello spaziotempo. Nel caso dell'orbifold questi gradi di libertà sono gli stati ritorti, che sono stringhe "incollate" ai punti fissi. Quando i campi legati a questi stati ritorti acquistano un valore di aspettazione del vuoto diverso da zero, la singolarità è deformata, cioè la metrica è cambiata e diventa regolare in questo punto e intorno ad esso. Un esempio di geometria risultante è lo spaziotempo di Eguchi-Hanson .

Dal punto di vista delle D-brane in prossimità dei punti fissi, la teoria effettiva delle stringhe aperte annesse a queste D-brane è una teoria supersimmetrica dei campi, il cui spazio dei vuoti ha un punto singolare, dove esistono gradi di libertà addizionali privi di massa. I campi legati al settore ritorto delle stringhe chiuse si accoppiano alle stringhe aperte in modo tale da aggiungere un termine di Fayet-Iliopoulos alla lagrangiana della teoria supersimmetrica dei campi, così che tale campo acquista un valore di aspettazione del vuoto diverso da zero, il termine di Fayet-Iliopoulos è diverso da zero e ciò deforma la teoria (ossia la cambia), con la conseguenza che la singolarità non esiste più [1] , [2] .

Varietà di Calabi-Yau

Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà di Calabi-Yau .

Nella teoria delle superstringhe , ^[13] ^[14] la costruzione di modelli fenomenologici realistici richiede una riduzione dimensionale perché le stringhe si propagano naturalmente in uno spazio a 10 dimensioni, mentre la dimensione osservata dello spaziotempo dell'universo è 4. I vincoli formali sulle teorie nondimeno pongono restrizioni allo spazio compattato in cui vivono le variabili supplementari "nascoste": quando si cercano modelli a 4 dimensioni realistici, dotati di supersimmetria , lo spazio ausiliare compattato deve essere una varietà di Calabi-Yau a 6 dimensioni.

C'è un gran numero di possibili varietà di Calabi-Yau (decine di migliaia), da cui il termine swampland ("terra di palude") usato nell'attuale letteratura di fisica teorica per descrivere questa scelta difficile da risolvere. Lo studio generale delle varietà di Calabi-Yau è matematicamente complesso e per molto tempo è stato difficile costruire esempi in termini espliciti. Gli orbifold perciò si sono rivelati molto utili dal momento che soddisfano automaticamente i vincoli imposti dalla supersimmetria. Essi forniscono esempi degeneri delle varietà di Calabi-Yau ^{[ senza fonte ]} dovute ai loro punti singolari , ma questo è completamente accettabile dal punto di vista della fisica teorica. Tali orbifold sono chiamati "supersimmetrici": sono tecnicamente più facili da studiare delle varietà generali di Calabi-Yau. Molto spesso è possibile associare una famiglia continua di varietà non singolari di Calabi-Yau a un orbifold supersimmetrico singolare. In 4 dimensioni questo si può illustrare usando superfici K3 complesse:

Ogni superficie K3 ammette 16 cicli di dimensione 2 che sono topologicamente equivalenti alle abituali 2-sfere. Facendo tendere a zero la superficie di queste sfere, la superficie K3 sviluppa 16 singolarità. Questo limite rappresenta un punto sul confine dello spazio dei moduli delle superfici K3 e corrisponde alla $T^{4}/\mathbb {Z} _{2}$ $T^{4}/\mathbb {Z} _{2}$ $T^{4}/\mathbb {Z} _{2}$ dell'orbifold ottenuta prendendo il quoziente del toro per la simmetria dell'inversione.

Lo studio delle varietà di Calabi-Yau nella teoria delle stringhe e la dualità tra i diversi modelli della stessa (tipo IIA e IIB) condussero nel 1988 all'idea della simmetria speculare . Il ruolo degli orbifold fu sottolineato per la prima volta da Dixon, Harvey, Vafa e Witten intorno allo stesso periodo. ^[15]

Applicazioni

Teoria musicale

Al di là delle loro molteplici e varie applicazioni in matematica e in fisica, gli orbifold sono stati applicati alla teoria musicale nel lavoro di Dmitri Tymoczko ( Tymoczko 2006 ) e dei collaboratori ( Callender et al. 2008 ). ^[16] ^[17] Questa è considerata un'applicazione sofisticata della matematica alla teoria musicale, il cui studio conclusivo è il primo studio di teoria musicale pubblicato da Science . ^[18] ^[19] ^[20]

Tymoczko modella accordi musicali che consistono di n note, non necessariamente distinte, come punti dell'orbifold $T^{n}/S_{n}$ $T^{n}/S_{n}$ $T^{n}/S_{n}$ – lo spazio di n punti non ordinati (non necessariamente distinti) nel cerchio, realizzato come il quoziente tra l' n - toro $T^{n}$ $T^{n}$ $T^{n}$ (lo spazio di n punti ordinati sul cerchio) e il gruppo simmetrico $S_{n}$ $S_{n}$ $S_{n}$ (corrispondente allo spostamento da un insieme ordinato a un insieme non ordinato).

Musicalmente, questo si spiega nel modo seguente:

I toni musicali dipendono dalla frequenza (altezza) del loro fondamentale, e pertanto sono parametrati dai numeri reali positivi, R ⁺ .
I toni musicali che differiscono di un'ottava (un raddoppiamento di frequenza) sono considerati lo stesso tono – ciò corrisponde al prendere il logaritmo in base 2 delle frequenze (producendo i numeri reali, come $\mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}$ $\mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}$ $\mathbf {R} =\log _{2}\mathbf {R} ^{+}$ ), poi dividendo per gli interi (corrispondente a differire di un certo numero di ottave), ottenendo un cerchio (come $S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z}$ $S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z}$ $S^{1}=\mathbf {R} /\mathbf {Z}$ ).
Gli accordi corrispondono a toni multipli senza rispetto per l'ordine – pertanto t note (in ordine) corrispondono a t punti ordinati sul toro, o in modo equivalente a un singolo punto sul t -toro $T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},$ $T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},$ $T^{t}:=S^{1}\times \cdots \times S^{1},$ e omettere l'ordine corrisponde a calcolare il quoziente diviso per $S_{t},$ $S_{t},$ $S_{t},$ ottenendo un orbifold.

Per le diadi (due toni), questo produce il nastro di Möbius chiuso; per le triadi (tre toni), questo produce un orbifold che può essere descritto come un prisma triangolare con la faccia superiore e quella inferiore identificate con una torsione di 120° (una torsione di ⅓) – equivalentemente, come un toro solido in 3 dimensioni con un triangolo equilatero come sezione trasversale e un'analoga torsione.

L'orbifold risultante è naturalmente stratificato in toni ripetuti (propriamente, in partizioni intere di t ) – l'insieme aperto costituito da toni distinti (la partizione $t=1+1+\cdots +1$ $t=1+1+\cdots +1$ $t=1+1+\cdots +1$ ), mentre c'è un insieme singolare monodimensionale costituito da toni tutti uguali (la partizione $t=t$ ${\displaystyle t=t}$ $t=t$ ), che topologicamente è un cerchio, e da varie partizioni intermedie. C'è anche un cerchio notevole che corre attraverso il centro dell'insieme aperto costituito da punti con uguale spaziatura. Nel caso delle triadi, le tre facce laterali del prisma corrispondono a due toni uguali e al terzo diverso (la partizione $3=2+1$ ${\displaystyle 3=2+1}$ $3=2+1$ ), mentre i tre spigoli del prisma corrispondono all'insieme singolare monodimensionale. La faccia superiore e inferiore fanno parte dell'insieme aperto, e compaiono soltanto perché l'orbifold è stato tagliato – se visto come un toro triangolare con una torsione, questi artefatti scompaiono.

Tymoczko sostiene che gli accordi vicino al centro (con toni a distanza uguale o quasi uguale) formano la base di gran parte dell'armonia occidentale tradizionale e che visualizzarli in questo modo aiuta nell'analisi. Ci sono 4 accordi sul centro (ugualmente spaziati in condizioni di temperamento equabile – spaziatura di 4/4/4 tra i toni), corrispondenti agli accordi aumentati (pensati come insiemi musicali ) C♯FA, DF♯A♯, D♯GB ed EG♯C (poi si svolgono per cicli: FAC♯ = C♯FA), con i 12 accordi maggiori ei 12 accordi minori che sono i punti accanto al centro ma non sul centro – con spaziatura quasi regolare ma non esattamente. Gli accordi maggiori corrispondono alla spaziatura di 4/3/5 (o equivalentemente, 5/4/3), mentre gli accordi minori corrispondono alla spaziatura di 3/4/5. I cambiamenti di tonalità allora corrispondono al movimento tra questi punti nell'orbifold, con i cambiamenti più scorrevoli derivanti dal movimento tra punti vicini.

Note

^ Henri Poincaré (1985).
^ Jean-Pierre Serre (1970).
^ Scott (1983).
^ Bridson and Haefliger (1999).
^ Di Francesco, Mathieu & Sénéchal (1997)
^ Bredon (1972).
^ Satake (1956).
^ Thurston (1978), Capitolo 13.
^ Haefliger (1990).
^ In inglese, il termine manifold indica propriamente una "varietà" in senso topologico .
^ Theorem of the hyperbolic medians
^ Introduzioni generali a questo materiale si possono trovare negli appunti del 1983 di Peter Scotti 1983 e nelle esposizioni di Boileau, Maillot & Porti e di Cooper, Hodgson & Kerckhoff.
^ M. Green, J. Schwartz and E. Witten, Superstring theory , Voll. 1 e 2, Cambridge University Press, 1987, ISBN 0521357527
^ J. Polchinski, String theory , Vol. 2, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-63304-4
^ Dixon, Harvey, Vafa and Witten, Nucl.Phys. 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.
^ Dmitri Tymoczko, The Geometry of Music Archiviato il 17 settembre 2008 in Internet Archive . – collegamenti a documenti ea software di visualizzazione.
^ The moduli space of chords: Dmitri Tymoczko on “Geometry and Music”, Venerdì 7 Mar, 2:30pm , postato il 28/Feb/08 – sintesi di conversazioni e descrizione matematica di alto livello.
^ Michael D. Lemonick, The Geometry of Music , TIME , 26 gennaio 2007
^ Elizabeth Gudrais, Mapping Music , Harvard Magazine, gen/feb 2007
^ Tony Phillips, Tony Phillips' Take on Math in the Media , American Mathematical Society , ottobre 2006

Bibliografia

Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique , Presse Universitaire de France (1970).
Glen Bredon , Introduction to Compact Transformation Groups , Academic Press (1972). ISBN 0-12-128850-1
Katsuo Kawakubo, The Theory of Transformation Groups , Oxford University Press (1991). ISBN 0-19-853212-1
Ichirô Satake, On a generalization of the notion of manifold , in Proc. Nat. Acad. Sciences , vol. 42, 1956, pp. 359–363, DOI : 10.1073/pnas.42.6.359 .
William Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds (Chapter 13), Princeton University lecture notes (1978–1981).
William Thurston, Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry , in Bull. Amer. Math. Soc. , vol. 6, 1982, pp. 357–381, DOI :10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 .
Scott, Peter , The geometry of 3-manifolds , Bull. London Math. Soc. 15 (1983), 401–487. ( The paper and its errata .)
Michel Boileau, Geometrizations of 3-manifolds with symmetries
Michel Boileau, Sylvain Maillot and Joan Porti, Three-dimensional orbifolds and their geometric structures . Panoramas and Syntheses 15 . Société Mathématique de France (2003). ISBN 2-85629-152-X .
Michel Boileau, Bernhard Leeb e Joan Porti, Geometrization of 3-dimensional orbifolds , in Ann. Of Math. , vol. 162, 2005, pp. 195–290, DOI : 10.4007/annals.2005.162.195 .
Daryl Cooper, Craig Hodgson and Steven Kerckhoff, Three-dimensional orbifolds and cone-manifolds . MSJ Memoirs, 5 . Mathematical Society of Japan, Tokyo (2000). ISBN 4-931469-05-1 .
Matthew Brin, Lecture notes on Seifert fiber spaces.
Henri Poincaré, Papers on Fuchsian functions , translated by John Stillwell, Springer (1985). ISBN 3-540-96215-8 .
Pierre de la Harpe, An invitation to Coxeter group , pages 193–253 in "Group theory from a geometrical viewpoint – Trieste 1990", World Scientific (1991). ISBN 981-02-0442-6 .
Werner Ballmann, Singular spaces of non-positive curvature , pages 189–201 in "Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov", Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN 0-8176-3508-4 .
André Haefliger, Orbi-espaces , pages 203–213 in "Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov", Progress in Mathematics 83 (1990), Birkhäuser. ISBN 0-8176-3508-4 .
John Stallings, Triangles of groups , pages 491–503 in "Group theory from a geometrical viewpoint – Trieste 1990", World Scientific (1991). ISBN 981-02-0442-6 .
André Haefliger, Complexes of groups and orbihedra , pages 504–540 in "Group theory from a geometrical viewpoint – Trieste 1990", World Scientific (1991). ISBN 981-02-0442-6 .
Martin Bridson and André Haefliger, Metric Spaces of Non-Positive Curvature , Grundlehren der math. Wissenschaften 319 (1999), Springer. ISBN 3-540-64324-9 .
Philippe Di Francesco, Pierre Mathieu and David Sénéchal, Conformal field theory . Graduate Texts in Contemporary Physics. Springer-Verlag (1997). ISBN 0-387-94785-X .
Jean-Pierre Serre, Trees , Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL ₂ ", 3rd edition, astérisque 46 (1983)).
David Mumford, An algebraic surface with K ample, (K ² ) = 9, p _g = q = 0 , American Journal of Mathematics 101 (1979), 233–244.
Peter Köhler, Thomas Meixner and Michael Wester, The 2-adic affine building of type A ₂ ^~ and its finite projections , J. Combin. Theory 38 (1985), 203–209.
Donald Cartwright, Anna Maria Mantero, Tim Steger and Anna Zappa, Groups acting simply transitively on the vertices of a building of type A ₂ ^~ , I, Geometrica Dedicata 47 (1993), 143–166.
Werner Ballmann e Michael Brin, Polygonal complexes and combinatorial group theory , in Geom. Dedicata , vol. 50, 1994, pp. 165–191, DOI : 10.1007/BF01265309 .
Jacek Świątkowski, A class of automorphism groups of polygonal complexes , in QJ Math. , vol. 52, 2001, pp. 231–247, DOI : 10.1093/qjmath/52.2.231 .
Dmitri Tymoczko, The Geometry of Musical Chords ( PDF ), in Science , vol. 313, n. 5783, 7 luglio 2006, pp. 72–74, DOI : 10.1126/science.1126287 , PMID 16825563 .
Clifton Callender, Ian Quinn e Dmitri Tymoczko, Generalized Voice-Leading Spaces ( PDF ), in Science , vol. 320, n. 5874, 18 aprile 2008, pp. 346–348, DOI : 10.1126/science.1153021 .

Voci correlate

Sistema orbifold — un sistema divulgato dal matematico John Horton Conway per rappresentare i tipi dei gruppi di simmetria negli spazi bimensionali di curvatura costante

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh2002004676 · GND ( DE ) 4667606-5

Portale Fisica

Portale Matematica

[1] Henri Poincaré (1985).

[2] Jean-Pierre Serre (1970).

[3] Scott (1983).

[4] Bridson and Haefliger (1999).

[5] Di Francesco, Mathieu & Sénéchal (1997)

[6] Bredon (1972).

[7] Satake (1956).

[8] Thurston (1978), Capitolo 13.

[9] Haefliger (1990).

[10] In inglese, il termine manifold indica propriamente una "varietà" in senso topologico .

[11] Theorem of the hyperbolic medians

[12] Introduzioni generali a questo materiale si possono trovare negli appunti del 1983 di Peter Scotti 1983 e nelle esposizioni di Boileau, Maillot & Porti e di Cooper, Hodgson & Kerckhoff.

[13] M. Green, J. Schwartz and E. Witten, Superstring theory , Voll. 1 e 2, Cambridge University Press, 1987, ISBN 0521357527

[14] J. Polchinski, String theory , Vol. 2, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-63304-4

[15] Dixon, Harvey, Vafa and Witten, Nucl.Phys. 1985, B261, 678; 1986, B274, 286.

[16] Dmitri Tymoczko, The Geometry of Music Archiviato il 17 settembre 2008 in Internet Archive . – collegamenti a documenti ea software di visualizzazione.

[17] The moduli space of chords: Dmitri Tymoczko on “Geometry and Music”, Venerdì 7 Mar, 2:30pm , postato il 28/Feb/08 – sintesi di conversazioni e descrizione matematica di alto livello.

[18] Michael D. Lemonick, The Geometry of Music , TIME , 26 gennaio 2007

[19] Elizabeth Gudrais, Mapping Music , Harvard Magazine, gen/feb 2007

[20] Tony Phillips, Tony Phillips' Take on Math in the Media , American Mathematical Society , ottobre 2006

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8],

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]