Punctul singular al unei curbe

O vârf la originea graficului curbei y ² = x ³

În geometrie , un punct singular pe o curbă este un punct pentru care curba nu este reprezentată de o funcție lină . Definiția precisă depinde de tipul curbei luate în considerare.

Curbele algebrice în plan

O curbă algebrică în plan este definită ca locusul geometric al punctelor $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ a planului care satisfac o ecuație în formă $f(x,y)=0$ ${\ displaystyle f (x, y) = 0}$ $f (x, y) = 0$ unde este $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este o funcție polinomială $f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}$

f(x,y)=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots

{\ displaystyle f (x, y) = a_ {0} + b_ {0} x + b_ {1} y + c_ {0} x ^ {2} + 2c_ {1} xy + c_ {2} y ^ { 2} + \ dots}

f (x, y) = a_ {0} + b_ {0} x + b_ {1} y + c_ {0} x ^ {2} + 2c_ {1} xy + c_ {2} y ^ {2} + \ dots

Dacă originea $(0,0)$ ${\ displaystyle (0,0)}$ $(0,0)$ aparține curbei atunci $a_{0}=0$ ${\ displaystyle a_ {0} = 0}$ $a_ {0} = 0$ . De sine $b_{1}\neq 0$ ${\ displaystyle b_ {1} \ neq 0}$ $b_ {1} \ neq 0$ atunci teorema funcției implicite asigură existența unei funcții netede $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ astfel încât curba să aibă forma $y=h(x)$ ${\ displaystyle y = h (x)}$ $y = h (x)$ într-un cartier de origine. În mod similar, dacă $b_{0}\neq 0$ ${\ displaystyle b_ {0} \ neq 0}$ $b_ {0} \ neq 0$ atunci există o funcție lină $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ astfel încât curba să aibă forma $x=k(y)$ ${\ displaystyle x = k (y)}$ $x = k (y)$ într-un cartier de origine. Oricum, există o hartă obișnuită din $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ la planul pe care este definită curba într-un cartier al originii. În origine avem asta

b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},

{\ displaystyle b_ {0} = {\ partial f \ over \ partial x}, \, b_ {1} = {\ partial f \ over \ partial y},}

b_ {0} = {\ partial f \ over \ partial x}, \, b_ {1} = {\ partial f \ over \ partial y},

pentru care curba este non-singulară sau regulată, la origine dacă cel puțin una dintre derivatele parțiale ale $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ nu este nimic. Punctele singulare sunt acele puncte ale curbei în care gradientul este anulat $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ :

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

{\ displaystyle f (x, y) = {\ partial f \ over \ partial x} = {\ partial f \ over \ partial y} = 0.}

f (x, y) = {\ partial f \ over \ partial x} = {\ partial f \ over \ partial y} = 0.

.

Puncte de regularitate

Presupunând că curba trece prin origine și setare $y=mx$ ${\ displaystyle y = mx}$ $y = mx$ , $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi scris ca

f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,

{\ displaystyle f = (b_ {0} + mb_ {1}) x + (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + \ dots. \, }

f = (b_ {0} + mb_ {1}) x + (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + \ dots. \,

De sine $b_{0}+mb_{1}\neq 0$ ${\ displaystyle b_ {0} + mb_ {1} \ neq 0}$ ${\ displaystyle b_ {0} + mb_ {1} \ neq 0}$ asa de $f=0$ ${\ displaystyle f = 0}$ ${\ displaystyle f = 0}$ are o soluție de multiplicitate $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ pentru $x=0$ ${\ displaystyle x = 0}$ $x = 0$ iar originea este un punct de contact al ordinii $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ cu linia dreaptă $y=mx$ ${\ displaystyle y = mx}$ $y = mx$ .

De sine $b_{0}+mb_{1}=0$ ${\ displaystyle b_ {0} + mb_ {1} = 0}$ ${\ displaystyle b_ {0} + mb_ {1} = 0}$ asa de $f=0$ ${\ displaystyle f = 0}$ ${\ displaystyle f = 0}$ are o soluție de multiplicitate mai mare sau egală cu $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ și linia dreaptă $y=mx$ ${\ displaystyle y = mx}$ $y = mx$ adică $b_{0}x+b_{1}y=0$ ${\ displaystyle b_ {0} x + b_ {1} y = 0}$ ${\ displaystyle b_ {0} x + b_ {1} y = 0}$ este tangentă la curbă. În acest caz, dacă $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}\neq 0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} \ neq 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} \ neq 0}$ atunci curba are un punct de contact de ordine $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ cu $y=mx$ ${\ displaystyle y = mx}$ $y = mx$ .

Dacă coeficientul de $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ este nul sau dacă $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ dar coeficientul lui nu este zero $x^{3}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$ $x ^ 3$ atunci originea este un punct de inflexiune al curbei. Dacă ambii coeficienți ai $x^{2}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ ${\ displaystyle x ^ {2}}$ Și $x^{3}$ ${\ displaystyle x ^ {3}}$ $x ^ 3$ sunt nule, atunci originea este un punct de ondulare. ^[1] Această analiză este generalizată la fiecare punct al curbei, traducând-o astfel încât punctul de interes să cadă în origine. ^[2]

Puncte duble

Tre limaçon : curba din stânga are un punct dublu izolat în origine, cel din centru ( cardioid ) are o cuspidă în origine, cea din dreapta are un nod (auto-intersecție) în origine.

De sine $b_{0}$ ${\ displaystyle b_ {0}}$ ${\ displaystyle b_ {0}}$ Și $b_{1}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ ${\ displaystyle b_ {1}}$ ambele sunt nule, dar cel puțin una între ele $c_{0}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ ${\ displaystyle c_ {0}}$ , $c_{1}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ ${\ displaystyle c_ {1}}$ Și $c_{2}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ ${\ displaystyle c_ {2}}$ este diferit de zero, atunci originea este un punct dublu pentru curbă. Prin plasare $y=mx$ ${\ displaystyle y = mx}$ $y = mx$ , $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi scris ca

f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,

{\ displaystyle f = (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + (d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ { 2} + d_ {3} m ^ {3}) x ^ {3} + \ dots. \,}

f = (c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2}) x ^ {2} + (d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ {2} + d_ {3} m ^ {3}) x ^ {3} + \ dots. \,

Punctele duble pot fi clasificate în funcție de soluțiile de $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ .

Noduri

De sine $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ are două soluții reale cu privire la $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , adică dacă $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}<0$ ${\ displaystyle c_ {0} c_ {2} - (c_ {1}) ^ {2} <0}$ ${\ displaystyle c_ {0} c_ {2} - (c_ {1}) ^ {2} <0}$ atunci originea este un nod pentru curbă. În acest caz, curba are o auto-intersecție la origine și are două tangente distincte corespunzătoare celor două soluții ale lui $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ . Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are un punct de șa în corespondență.

Puncte dublu izolate

De sine $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ nu are soluții reale cu privire la $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , adică dacă $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}>0$ ${\ displaystyle c_ {0} c_ {2} - (c_ {1}) ^ {2}> 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} c_ {2} - (c_ {1}) ^ {2}> 0}$ , atunci originea este un punct dublu izolat (sau nod izolat). În planul real este deci un punct izolat, dar dacă luăm în considerare curba complexă originea nu este un punct izolat și are două tangențe imaginare, corespunzătoare celor două soluții complexe ale $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ . Functia $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ are un scop local în corespondență.

Cuspizi

De sine $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ are o soluție de multiplicitate $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ în comparație cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , adică $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} c_ {2} - (c_ {1}) ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} c_ {2} - (c_ {1}) ^ {2} = 0}$ , Atunci originea este un vârf punct. Curba schimbă direcția cu un unghi ascuțit la origine și are o singură tangentă, care poate fi gândită ca două tangente coincidente.

Clasificări suplimentare

Numărul de noduri sau vârfuri ale unei curbe este unul dintre cei doi invarianți ai formulei lui Plücker .

Dacă una dintre soluțiile de $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ este, de asemenea, o soluție de $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0$ ${\ displaystyle d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ {2} + d_ {3} m ^ {3} = 0}$ ${\ displaystyle d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ {2} + d_ {3} m ^ {3} = 0}$ atunci ramura corespunzătoare a curbei are un punct de inflexiune la origine, care în acest caz este un punct de flanșă . ^[3] Dacă ambele tangente au această proprietate, adică $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} + 2mc_ {1} + c_ {2} m ^ {2} = 0}$ este un factor de $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0$ ${\ displaystyle d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ {2} + d_ {3} m ^ {3} = 0}$ ${\ displaystyle d_ {0} + 3md_ {1} + 3m ^ {2} d_ {2} + d_ {3} m ^ {3} = 0}$ , atunci originea este un biflecnode . ^[4]

Puncte multiple

Curba

f(t)=(\sin(2t)+\cos(t),\sin(t)+\cos(2t)

{\ displaystyle f (t) = (\ sin (2t) + \ cos (t), \ sin (t) + \ cos (2t)}

{\ displaystyle f (t) = (\ sin (2t) + \ cos (t), \ sin (t) + \ cos (2t)}

are un punct triplu în origine

În general, dacă toți termenii de rang de mai jos $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ sunt nule, cel puțin un termen de grad $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este nul în $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ iar curba are un punct de ordine multiplu $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Curba va avea, în general, $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ tangente în origine, deși unele dintre ele pot fi imaginare. ^[5]

Curbele parametrice

O curbă parametrică în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ este definit ca imaginea unei funcții $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\ g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t))$ ${\ displaystyle g \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ g (t) = (g_ {1} (t), g_ {2} (t))}$ $g \ colon \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} ^ {2}, \ g (t) = (g_ {1} (t), g_ {2} (t))$ . Punctele singulare sunt cele pentru care gradientul de este anulat $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , adică

{dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.

{\ displaystyle {dg_ {1} \ over dt} = {dg_ {2} \ over dt} = 0.}

{dg_ {1} \ over dt} = {dg_ {2} \ over dt} = 0.

Multe curbe pot fi definite în acest fel, dar definițiile singularității nu pot fi întotdeauna de acord. Cuspidul este singular în ambele definiții, un exemplu este următoarea curbă care are o cuspidă la origine și poate fi implicit definită ca $x^{3}-y^{2}=0$ ${\ displaystyle x ^ {3} -y ^ {2} = 0}$ $x ^ {3} -y ^ {2} = 0$ sau sub formă parametrică precum $g(t)=(t^{2},t^{3})$ ${\ displaystyle g (t) = (t ^ {2}, t ^ {3})}$ $g (t) = (t ^ {2}, t ^ {3})$ . În cazul nodurilor, acest lucru nu este întotdeauna cazul, de exemplu în curbă $y^{2}-x^{3}-x^{2}=0$ ${\ displaystyle y ^ {2} -x ^ {3} -x ^ {2} = 0}$ $y ^ {2} -x ^ {3} -x ^ {2} = 0$ , originea este un punct singular dacă luăm în considerare curba definită implicit sub formă algebrică, dar luând în considerare parametrizarea $g(t)=(t^{2}-1,t^{3}-t)$ ${\ displaystyle g (t) = (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t)}$ $g (t) = (t ^ {2} -1, t ^ {3} -t)$ , avem asta $g'(t)=(2t,3t^{2}-1)$ ${\ displaystyle g '(t) = (2t, 3t ^ {2} -1)}$ $g '(t) = (2t, 3t ^ {2} -1)$ nu se anulează niciodată, iar nodul nu este un punct singular pentru parametrizare.

Trebuie avut grijă la alegerea parametrizării: de exemplu linia dreaptă $y=0$ ${\ displaystyle y = 0}$ $y = 0$ parametrizat de $g(t)=(t^{3},0)$ ${\ displaystyle g (t) = (t ^ {3}, 0)}$ $g (t) = (t ^ {3}, 0)$ are o singularitate în origine, în timp ce atunci când este parametrizat de $g(t)=(t,0)$ ${\ displaystyle g (t) = (t, 0)}$ $g (t) = (t, 0)$ nu are singularitate. Din acest motiv, este mai potrivit să vorbim despre un punct singular al unei parametrizări regulate, mai degrabă decât despre un punct singular al curbei în sine.

Definiția de mai sus poate fi extinsă pentru a acoperi punctele singulare ale curbelor implicite , care sunt definite ca un set de zerouri $f^{-1}(0)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$ $f ^ {{- 1}} (0)$ de o funcție lină și poate fi extinsă pentru curbe în dimensiuni multiple.

O teoremă a lui Hassler Whitney afirmă că fiecare închis se instalează $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ este setul de zerouri $f^{-1}(0)$ ${\ displaystyle f ^ {- 1} (0)}$ $f ^ {{- 1}} (0)$ a unei funcții adecvate netede $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ $f \ colon \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}$ . ^[6] ^[7]

Notă

^ undulare în „Dicționar de științe fizice” - Treccani
^ Hilton , cap. II §1 .
^ flecnodo în „Dicționar de științe fizice” - Treccani
^ Hilton , cap. II §2 .
^ Hilton , cap. II §3 .
^(EN) Brooker și Larden, Germeni diferențiali și catastrofe, London Mathematical Society. Note de curs 17. Cambridge, (1975)
^(EN) și Bruce Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (broșură)

Bibliografie

(EN) Harold Hilton, Capitolul II: Puncte singulare în curbe algebrice plane, Oxford, 1920.

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] undulare în „Dicționar de științe fizice” - Treccani

[2] Hilton , cap. II §1 .

[3] în „Dicționar de științe fizice” - Treccani

[4] Hilton , cap. II §2 .

[5] Hilton , cap. II §3 .

[6] (EN) Brooker și Larden, Germeni diferențiali și catastrofe, London Mathematical Society. Note de curs 17. Cambridge, (1975)

[7] (EN) și Bruce Giblin, Curves and singularities, (1984, 1992) ISBN 0-521-41985-9 , ISBN 0-521-42999-4 (broșură)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]