Succesiunea lui Ulam

De la Wikipedia, enciclopedia liberă.
Salt la navigare Salt la căutare

În teoria numerelor , o secvență Ulam este o secvență de numere întregi astfel încât fiecare membru să poată fi exprimat, într-un singur și unic mod, ca suma celor doi membri anteriori și distincti ai succesiunii . O secvență de Ulam este indicată de primii doi termeni: ( a , b ) indică secvența de Ulam în care a este primul membru și b al doilea, cu a < b . Dacă nu se specifică altfel, succesiunea lui Ulam este înțeleasă ca fiind succesiunea lui Ulam (1, 2). Numerele aparținând acestei din urmă secvențe se numesc numere Ulam .

Secvența poartă numele descoperitorului său, matematicianul Stanislaw Ulam , care a studiat-o inițial pentru a căuta un analog unidimensional al automatelor celulare [1] [2] .

Succesiunea lui Ulam (1, 2)

Secvența lui Ulam (1, 2) începe cu U 1 = 1 și U 2 = 2. Deoarece, prin definiție, termenii următori trebuie să fie suma a doi termeni precedenți diferiți într-un mod unic, 3 este un membru al acestei secvențe a lui Ulam, deoarece este suma lui 1 și 2. 4 este, de asemenea, un termen, deoarece 4 = 1 + 3 (2 + 2 nu contează, deoarece suplimentele trebuie să fie distincte). 5, pe de altă parte, nu este, deoarece există două moduri de a-l scrie ca suma a doi termeni anteriori ai secvenței (5 = 2 + 3 = 1 + 4).
Primii termeni ai secvenței lui Ulam (1, 2) sau primele numere ale lui Ulam sunt: 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 11 , 13 , 16 , 18 , 26 , 28 , 36 , 38 , 47 , 48 , 53 , 57 , 62 , 69 , 72 , 77 , 82 , 87 , 97 , 99 , 102 , 106 , 114 [3] .
Primele numere ale lui Ulam care sunt și numere prime sunt: 2 , 3 , 11 , 13 , 47 , 53 , 97 , 131 , 197 , 241 , 409 , 431 , 607 , 673 , 739 , 751 , 983 , 991 , 1103, 1433, 1489, 1531, 1553 [4] .
Singura pereche cunoscută de numere Ulam consecutive este [47; 48], în afară de cazurile banale de [1; 2], [2; 3] și [3; 4]. Nu există triplete de numere Ulam consecutive în afară de [1; 2; 3] și [2; 3; 4]. Cel puțin până la valorile explorate, al n - lea număr Ulam este dat aproximativ de n · 13,73. De asemenea, aproximativ 60% din numerele Ulam cunoscute diferă cu 2 de un alt număr Ulam. Ulam a presupus că setul de numere Ulam avea densitate asimptotică zero, dar în realitate numerele Ulam par să aibă o densitate de aproximativ 0,07396.

Alte succesiuni ale lui Ulam

Primii termeni ai unor succesiuni Ulam
Succesiunea lui Ulam
(1, 2) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, ... [3]
(1, 3) 1, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 17, 21, ... [5]
(1, 4) 1, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 18, 19, ... [6]
(1, 5) 1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 20, 22, ... [7]
(2, 3) 2, 3, 5, 7, 8, 9, 13, 14, 18, 19, ... [8]
(2, 4) 2, 4, 6, 8, 12, 16, 22, 26, 32, 36, ... [9]
(2, 5) 2, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23, ... [10]

Proprietăți generale

Infinitatea termenilor

Fiecare succesiune de Ulam are termeni infiniti. De fapt, dacă, în mod absurd , existau doar n termeni, am putea considera mulțimea M de numere mai mare decât U n și exprimabilă într-un mod univoc ca suma a doi dintre primii n termeni. Să setăm p = U n -1 + U n : cu siguranță p este un număr care poate fi exprimat ca suma a doi dintre primii n termeni ai secvenței și este, de asemenea, ușor de văzut că această descompunere este unică [11 ] . Prin urmare, p aparține lui M și acest lucru dovedește că M este un set ne-gol. Aplicând principiul bunei ordonări , este posibil să se găsească m , întregul minim al lui M : m este cu siguranță mai mare decât U n și, prin urmare, diferit de primii n termeni ( U 1 ... U n ) [12] . Prin urmare, existența lui m contrazice ipoteza inițială cu privire la finitudinea secvenței.

Secvențe Ulam regulate

Se spune că o secvență de Ulam este „regulată” dacă diferențele dintre termenii săi succesivi devin, mai devreme sau mai târziu, periodice. Toate secvențele Ulam care au doar un număr finit de numere pare sunt regulate [13] [14] [15] [16] . În special, toate secvențele Ulam (2, b ) cu b impare și mai mari de 3 sunt regulate [15] [17] [18] - și au exact doi termeni pari [18] ; de asemenea, secvențele Ulam (4, b ) cu b > 5 și congruente la 1 modul 4 (adică exprimabile sub forma 4 k +1) sunt toate regulate [19] și au exact trei membri pari [19] . În starea actuală de cunoaștere, nu pare că succesiunea lui Ulam (1, 2) este regulată.

Generalizări

Secvențele Ulam pot fi generalizate în secvențe s- aditive, în care după primii termeni de 2 secunde fiecare membru al secvenței trebuie să poată fi exprimat ca suma a doi termeni anteriori în mod exact s . Secvențele Ulam normale sunt secvențe cu 1 aditiv [17] . S-a presupus că toate secvențele 0-aditive (adică cele în care fiecare termen ulterior nu poate fi exprimat în niciun fel ca suma a doi termeni anteriori) ajung să fie regulate [14] [20] .
O generalizare suplimentară este dată de secvențele ( s , t ) -aditive, în care după primele numere ts fiecare termen trebuie să poată fi exprimat ca suma de t termeni anteriori în mod exact s .

Secvențe Stöhr

Secvențele (0, ) -aditivii care încep cu 1 se mai numesc secvențe Stöhr : - succesiunea lui Stöhr este secvența (0, ) -additiv începând cu 1. Prin definiție, orice termen al -succesiunea lui Stöhr este primul număr care nu poate fi exprimat ca suma lui numerele anterioare ale secvenței.

Primii termeni ai unor secvențe Stöhr
-succesiunea lui Stöhr
2 1, 2, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ... [21]
3 1, 2, 4, 8, 15, 22, 29, 36, 43, 50, ... [22]
4 1, 2, 4, 8, 16, 31, 46, 61, 76, 91, ... [23]
5 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 94, 125, 156, ... [24]

Primul termenii de -succesiunea lui Stöhr sunt puterile a doi de la 0 la ad . Termenii ulteriori sunt dați de [25] .

Secvențe Fibonacci generalizate

Dacă modificăm definiția secvenței Ulam luând ca termen următor cel mai mare număr care este suma a doi termeni anteriori într-un singur mod, în loc de cel mai mic, obținem secvența Fibonacci [15] . În general, schimbând definiția secvenței Ulam (a, b) în acest mod, obținem secvența Fibonacci generalizată (a, b, -1, 1).

Notă

  1. ^(EN) Ulam, Stanislaw , Analiza combinatorie în seturi infinite și unele teorii fizice , în SIAM Review, vol. 6, nr. 4, 1964, pp. 343-355.
  2. ^(EN) Ulam, Stanislaw , Probleme moderne în matematică, Wiley-Interscience, 1964 XI.
  3. ^ A b (EN) secvența A002858 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  4. ^ (EN) secvența A068820 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  5. ^ (EN) secvența A002859 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  6. ^ (EN) secvența A003666 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  7. ^ (EN) secvența A003667 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  8. ^ (EN) secvența A001857 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  9. ^ (EN) secvența A048951 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  10. ^ (EN) secvența A007300 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  11. ^ De fapt, dacă luăm o descompunere diferită U k + U h , cel puțin unul dintre cele două addende trebuie să fie diferit de U n -1 sau de U n și, prin urmare, mai puțin decât acesta: prin urmare, am avea cu siguranță U k + U h < U n -1 + U n și cele două descompuneri nu ar da același rezultat
  12. ^ neapărat noul membru U n + 1 al secvenței. De fapt, apartenența la M poate fi exprimată ca o sumă unică a primilor n termeni ai secvenței. Mai mult, deoarece este minimul lui M , nu pot exista alți membri ai secvenței dintre U n și m care să permită o descompunere diferită a lui m .
  13. ^(EN) Steven R. Finch, Conjectures About 1-Additive Sequences, în Fibonacci Quarterly, vol. 29, 1991, pp. 209-214.
  14. ^ A b(EN) Steven R. Finch, Sunt secvențele 0-aditive întotdeauna regulate? , în American Mathematical Monthly , vol. 99, 1992, pp. 671-673.
  15. ^ A b c(EN) Steven R. Finch, On the Regularity of Certain 1-Additive Sequences , Journal of Combinatorial Theory, Seria A, vol. 60, 1992, pp. 123-130, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (92) 90042-S .
  16. ^(EN) Steven R. Finch, Patterns in 1-Additive Sequences , în Experimental Mathematics, vol. 1, nr. 1, 1992, pp. 57-63 (arhivat din original la 20 ianuarie 2018) .
  17. ^ a b ( FR ) Raymond Queneau, Sur les suites s -additives , în Journal of Combinatorial Theory, Seria A , vol. 12, nr. 1, 1972, pp. 31-71, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (72) 90083-0 . .
  18. ^ A b(EN) Schmerl, James; Spiegel, Eugene, Regularitatea unor secvențe cu 1 aditiv , în Journal of Combinatorial Theory, Seria A , vol. 66, nr. 1, 1994, pp. 172-175, DOI : 10.1016 / 0097-3165 (94) 90058-2 .
  19. ^ a b Cassaigne, Julien; Finch, Steven R., O clasă de secvențe 1-aditive și recurențe pătratice , în Matematică experimentală , vol. 4, nr. 1, 1995, pp. 49-60.
  20. ^ (EN) Richard K. Guy , Probleme nerezolvate în teoria numerelor, ediția a II-a, New York, Springer-Verlag, 1994, pp. 110 și 233, ISBN 0-387-94289-0 .
  21. ^ (EN) secvența A033627 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  22. ^ (EN) secvența A026474 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  23. ^ (EN) secvența A051039 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  24. ^ (EN) secvența A051040 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.
  25. ^ (EN) secvența A193911 , on -line Encyclopedia of Integer Sequences , Fundația OEIS.

Elemente conexe

linkuri externe

Matematica Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica
Adus de la „ https://it.wikipedia.org/w/index.php?title=Successione_di_Ulam&oldid=111056544 ”