Traiectoria hiperbolică

Figura prezintă diferite tipuri de traiectorii. Cel hiperbolic este indicat cu albastru.

În astrodinamică și mecanica cerească o traiectorie hiperbolică este o orbită cu excentricitate mai mare de 1. În ipoteza standard , un corp care călătorește de-a lungul unei traiectorii hiperbolice va ajunge la infinit cu o viteză relativă la corpul central (centrul forței centrale ). . Similar cu traiectoriile parabolice , traiectoriile hiperbolice sunt orbite de evadare . Energia specifică a unei traiectorii hiperbolice este pozitivă.

Parametrii care definesc o traiectorie hiperbolică

La fel ca în orbita eliptică, o traiectorie hiperbolică pentru un sistem dat poate fi definită (ignorând orientarea) prin axa sa semi-majoră și excentricitate. Cu toate acestea, cu o traiectorie hiperbolică, alți parametri pot fi de asemenea utili pentru a înțelege mișcarea unui corp. Tabelul următor listează principalii parametri care descriu calea unui curs care urmează o traiectorie hiperbolică în jurul altuia sub ipotezele standard.

Ecuații ale traiectoriei hiperbolice
Element	Simbol	Formulă	folosind $v_{\infty }$ ${\ displaystyle v _ {\ infty}}$ $v _ {\ infty}$ (sau $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ), Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$
Constanta gravitațională planetară	$\mu \,$ ${\ displaystyle \ mu \,}$ ${\ displaystyle \ mu \,}$	${\frac {v^{2}}{(2/r-1/a)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {(2 / r-1 / a)}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {(2 / r-1 / a)}}}$	$bv_{\infty }^{2}\cot \theta _{\infty }$ ${\ displaystyle bv _ {\ infty} ^ {2} \ cot \ theta _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle bv _ {\ infty} ^ {2} \ cot \ theta _ {\ infty}}$
Excentricitate orbitală (> 1)	$Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$	${\frac {\ell }{r_{p}}}-1$ ${\ displaystyle {\ frac {\ ell} {r_ {p}}} - 1}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ ell} {r_ {p}}} - 1}$	${\sqrt {1+b^{2}/a^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1 + b ^ {2} / a ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {1 + b ^ {2} / a ^ {2}}}}$
Axa semi-majoră (<0)	$a\,\!$ ${\ displaystyle a \, \!}$ ${\ displaystyle a \, \!}$	$1/(2/r-v^{2}/\mu )$ ${\ displaystyle 1 / (2 / rv ^ {2} / \ mu)}$ ${\ displaystyle 1 / (2 / r-v ^ {2} / \ mu)}$	$-\mu /v_{\infty }^{2}$ ${\ displaystyle - \ mu / v _ {\ infty} ^ {2}}$ ${\ displaystyle - \ mu / v _ {\ infty} ^ {2}}$
Viteza excesului hiperbolic	$v_{\infty }$ ${\ displaystyle v _ {\ infty}}$ $v _ {\ infty}$	${\sqrt {-\mu /a}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {- \ mu / a}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {- \ mu / a}}}$
Unghiul dintre asimptote (extern)	$2\theta _{\infty }$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ infty}}$	$2\sin ^{-1}(-1/e)$ ${\ displaystyle 2 \ sin ^ {- 1} (- 1 / e)}$ ${\ displaystyle 2 \ sin ^ {- 1} (- 1 / e)}$	$\pi +2\tan ^{-1}(b/a)$ ${\ displaystyle \ pi +2 \ tan ^ {- 1} (b / a)}$ ${\ displaystyle \ pi +2 \ tan ^ {- 1} (b / a)}$ ^[1]
Unghiul dintre asimptote și axa conjugată a secțiunii de abordare hiperbolică	$2\nu$ ${\ displaystyle 2 \ nu}$ ${\ displaystyle 2 \ nu}$	$2\theta _{\infty }-\pi$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ infty} - \ pi}$ ${\ displaystyle 2 \ theta _ {\ infty} - \ pi}$	$2\sin ^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{(1+r_{p}v_{\infty }^{2}/\mu )}}{\bigg )}$ ${\ displaystyle 2 \ sin ^ {- 1} {\ bigg (} {\ frac {1} {(1 + r_ {p} v _ {\ infty} ^ {2} / \ mu)}} {\ bigg )}}$ ${\ displaystyle 2 \ sin ^ {- 1} {\ bigg (} {\ frac {1} {(1 + r_ {p} * v _ {\ infty} ^ {2} / \ mu)}} {\ bigg )}}$
Parametru de impact ( axă semi-minoră )	$b$ ${\ displaystyle b}$ $b$	$-a{\sqrt {e^{2}-1}}$ ${\ displaystyle -a {\ sqrt {e ^ {2} -1}}}$ ${\ displaystyle -a {\ sqrt {e ^ {2} -1}}}$
Drept semilatat	$\ell$ ${\ displaystyle \ ell}$ $\ ell$	$a(1-e^{2})$ ${\ displaystyle a (1-e ^ {2})}$ ${\ displaystyle a (1-e ^ {2})}$	$-b^{2}/a=h^{2}/\mu$ ${\ displaystyle -b ^ {2} / a = h ^ {2} / \ mu}$ ${\ displaystyle -b ^ {2} / a = h ^ {2} / \ mu}$
Distanța până la periapsis	$r_{p}$ ${\ displaystyle r_ {p}}$ $r_ {p}$	$a(1-e)$ ${\ displaystyle a (1-e)}$ ${\ displaystyle a (1-e)}$	${\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + a}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}}} + a}$
Energie orbitală specifică	$\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$	$\mu /2a$ ${\ displaystyle \ mu / 2a}$ ${\ displaystyle \ mu / 2a}$	$v_{\infty }^{2}/2$ ${\ displaystyle v _ {\ infty} ^ {2} / 2}$ ${\ displaystyle v _ {\ infty} ^ {2} / 2}$
Momentul unghiular specific	$h$ ${\ displaystyle h}$ $h$	${\sqrt {\mu \ell }}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ mu \ ell}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {\ mu \ ell}}}$	$bv_{\infty }$ ${\ displaystyle bv _ {\ infty}}$ ${\ displaystyle bv _ {\ infty}}$

Viteza excesului hiperbolic

Sub ipotezele standard , un corp care se mișcă de-a lungul unei traiectorii hiperbolice va ajunge la infinit cu o viteză orbitală numită viteza excesului hiperbolic $v_{\infty }$ ${\ displaystyle v _ {\ infty}}$ $v _ {\ infty}$ care poate fi calculat ca:

v_{\infty }={\sqrt {\mu  \over {a}}}

{\ displaystyle v _ {\ infty} = {\ sqrt {\ mu \ over {a}}}}

{\ displaystyle v _ {\ infty} = {\ sqrt {\ mu \ over {a}}}}

unde este:

$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este constanta gravitationala planetara ,
$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este lungimea axei semi-majore a hiperbolei orbitei.

Excesul hiperbolic poate fi de asemenea exprimat prin energie caracteristică ca:

C_{3}=v_{\infty }^{2}

{\ displaystyle C_ {3} = v _ {\ infty} ^ {2}}

{\ displaystyle C_ {3} = v _ {\ infty} ^ {2}}

Putere

Conform ipotezelor standard , energia orbitală specifică ( $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ) a unei traiectorii hiperbolice este mai mare decât zero și ecuația conservării energiei orbitale ia forma:

\varepsilon ={v^{2} \over 2}-{\mu  \over {r}}={\mu  \over {2a}}

{\ displaystyle \ varepsilon = {v ^ {2} \ over 2} - {\ mu \ over {r}} = {\ mu \ over {2a}}}

{\ displaystyle \ varepsilon = {v ^ {2} \ over 2} - {\ mu \ over {r}} = {\ mu \ over {2a}}}

unde este:

$v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este viteza orbitală a corpului care orbitează,
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța radială a corpului care orbitează de corpul central,
$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este lungimea axei semi-majore ,
$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este constanta gravitationala planetara .

Viteză

Conform ipotezelor standard , viteza orbitală ( $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ) a unui corp care se deplasează de-a lungul unei traiectorii hiperbolice se obține astfel:

v={\sqrt {2\mu \left({1 \over {r}}+{1 \over {2a}}\right)}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ mu \ left ({1 \ over {r}} + {1 \ over {2a}} \ right)}}}

{\ displaystyle v = {\ sqrt {2 \ mu \ left ({1 \ over {r}} + {1 \ over {2a}} \ right)}}}

unde este:

$\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ este constanta gravitationala planetara ,
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ este distanța radială a corpului care orbitează de corpul central,
$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este lungimea (negativă) a axei semi-majore .

Conform ipotezelor standard , în fiecare poziție a orbitei, între viteza orbitală ( $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ), viteza de evacuare locală ( ${v_{esc}}$ ${\ displaystyle {v_ {esc}}}$ ${\ displaystyle {v_ {esc}}}$ ) și excesul hiperbolic ( $v_{\infty }$ ${\ displaystyle v _ {\ infty}}$ $v _ {\ infty}$ ) urmează următoarea relație:

v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}

{\ displaystyle v ^ {2} = {v_ {esc}} ^ {2} + {v _ {\ infty}} ^ {2}}

{\ displaystyle v ^ {2} = {v_ {esc}} ^ {2} + {v _ {\ infty}} ^ {2}}

Aceasta înseamnă că un delta-v chiar deasupra celui necesar pentru a accelera pentru a scăpa de viteza are ca rezultat o viteză de infinit relativ mare.

Notă

^ Bazele zborului spațial: mecanica orbitală , la braeunig.us . Adus la 8 noiembrie 2019 (arhivat din original la 4 februarie 2012) .

Bibliografie

David A. Vallado, Fundamentals of Astrodynamics and Applications , ed. A III-a, Hawthorne, CA., Hawthorne Press, 2007, ISBN 978-1-881883-14-2 .

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) https://web.archive.org/web/20050316084931/http://www.go.ednet.ns.ca/~larry/orbits/ellipse.html

Portalul astronauticii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de astronautică

[1] Bazele zborului spațial: mecanica orbitală , la braeunig.us . Adus la 8 noiembrie 2019 (arhivat din original la 4 februarie 2012) .

[1]