Dublarea cubului

Problema dublării cubului, care este construirea unui cub având de două ori volumul , comparativ cu cea a unui cub cu o anumită muchie, constituie, împreună cu problema Împărțire în trei unghiului și cel al Cuadratura cerc , una dintre cele trei probleme clasice ale geometriei grecești.

Aceste trei probleme au apărut în perioada clasică a grecești matematică ( 600 BC - 300 BC ) și calibrat întreaga istorie a matematicii.

Problema dublarea cubului a ajuns la noi sub forma unui mit. Prima dovada a acestui fapt este o scrisoare de la Eratostene regelui Ptolemeu III citat, șapte sute de ani mai târziu, de către comentatorul Eutocio al Ascalona. Ea spune unui vechi tragic care, de asteptare King Minos, în prezența mormântului în formă de cub în construcție, regelui Glaucus, a declarat: «cavou mic pentru un rege: să-l dubleze, păstrând forma sa; Prin urmare, toate părțile sunt de a dubla“. Eratostene, după ce a constatat că ordinul dat a fost greșit, deoarece prin dublarea laturile unui cub vă obține un alt cu un volum de opt ori mai mare, rapoarte că așa-numita „problema dublării cubului“ sa născut printre oamenii de știință.

A doua mărturie, cunoscut sub numele de Delian problema, este de expozant Theon din Smyrna . El, citând Eratostene, rapoarte că locuitorii din Delos , care au pus la îndoială oracolul lui Apollo cu privire la modul de a scăpa de ciuma, a primit ordinul de a construi un altar, Cubic în formă, cu un volum dublu comparativ cu cel existent.

Problemele clasice, precum și toate problemele de matematică, nu sunt bine reprezentate decât după setul de instrumente alocate pentru soluționarea acestora a fost specificat.

Imposibilitatea duplicarea cubului folosind doar dreptar și busolă

Pentru a demonstra imposibilitatea de a dubla un cub cu numai utilizarea rigla și compasul, este necesar, în primul rând, pentru a specifica ce înseamnă să facă o construcție cu rigla și compasul.

Efectuarea unei construcții cu riglă și compas înseamnă, în termeni simpli, determinarea obiectelor geometrice, pornind de la alte obiecte date, folosind rigla și compasul ca singurele instrumente.

Trebuie remarcat faptul că, odată cu „linia“ nu înseamnă un instrument pentru măsurarea distanțelor sau marcarea, ci doar o tijă rigidă, care permite doar pentru a desena linii: prin urmare, ne referim la o linie nemarcat.

Problemele de construcție, și, prin urmare, problema dublării cubului, au fost intens studiate timp de secole și fără rezultate; după o lungă perioadă de timp de încercări nereușite, ideea a început să se strecoare în rândul matematicieni că astfel de probleme au fost de nerezolvat.

Pentru a studia solvabilitatii sau în alt mod de probleme clasice, cu toate acestea, a fost necesar să se aștepte până când au fost puse bazele pentru algebra modernă.

Problema dublării cubului este redus, algebric, la construirea cu rigla și compasul numărului ${\sqrt[{3}]{2}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$ ${\ sqrt [{3}] {2}}$ . Pentru a demonstra imposibilitatea unei astfel de construcție a, este necesară oficializarea, în termeni algebrice, ideea intuitivă de „construcție cu rigla și compasul“.

Să presupunem că este dat un set de puncte $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ în planul euclidian $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ și luăm în considerare două tipuri de operațiuni:

Operațiunea 1 (linia): trage o linie dreaptă care leagă oricare două puncte de $P_{0}.$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$
Funcționare 2 (busola): desena un cerc al cărui centru este un punct de $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ și a cărui rază este egală cu distanța dintre două puncte de $P_{0}.$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$
Definiție 1: punctele de intersecție a două linii drepte, două cercuri, o linie dreaptă și un cerc, desenate cu operațiunile 1 și 2, se spune că sunt edificabil într - un singur pas cu $P_{0}.$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$
Definiție 2: un punct $r\in \mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle r \ în \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle r \ în \ mathbb {R} ^ {2}}$ se spune construibil, de $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ în cazul în care există o secvență finită $r_{1},\ldots ,r_{n}=r$ ${\ Displaystyle R_ {1}, \ ldots, R_ {n} = r}$ ${\ Displaystyle R_ {1}, \ ldots, R_ {n} = r}$ de puncte de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ astfel încât, pentru fiecare $i=1,\ldots ,n,$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n,}$ ${\ displaystyle i = 1, \ ldots, n,}$ ideea $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ este construibil, într-un singur pas de ansamblu $P_{0}\cup \{r_{1},\ldots ,r_{i-1}\}.$ ${\ P_ displaystyle {0} \ cup \ ldots {R_ {1}, \, R_ {i-1} \}.}$ ${\ P_ displaystyle {0} \ cup \ ldots {R_ {1}, \, R_ {i-1} \}.}$

Exemplu

Noi arată modul în care construcția standard a unui punct de mijloc al unui anumit segment poate fi realizat cu aceste considerații.

Să presupunem că avem două puncte de date $p_{1},p_{2}\in \mathbb {R} ^{2}$ ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2} \ în \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2} \ în \ mathbb {R} ^ {2}}$ si asta e $P_{0}=\{p_{1},p_{2}\}.$ ${\ P_ displaystyle {0} = \ {P_ {1}, P_ {2} \}.}$ ${\ P_ displaystyle {0} = \ {P_ {1}, P_ {2} \}.}$

trage segmentul $p_{1}p_{2}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ (Operațiune 1);
trage cercul cu centrul $p_{1}$ ${\ displaystyle p_ {1}}$ $p_ {1}$ și raza $p_{1}p_{2}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ (Operațiune 2);
trage cercul cu centrul $p_{2}$ ${\ Displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ și raza $p_{1}p_{2}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ (Operațiune 2);
să identifice modul în care $r_{1},r_{2}$ ${\ displaystyle r_ {1}, r_ {2}}$ ${\ Displaystyle R_ {1}, R_ {2}}$ punctele de intersecție ale acestor două cercuri;
trage segmentul $r_{1}r_{2}$ ${\ Displaystyle R_ {1} R_ {2}}$ ${\ Displaystyle R_ {1} R_ {2}}$ (Operațiune 1);
să identifice modul în care $r_{3}$ ${\ Displaystyle R_ {3}}$ $r_3$ intersecția dintre segmentele $p_{1}p_{2}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ Și $r_{1}r_{2}.$ ${\ Displaystyle R_ {1} R_ {2}.}$ ${\ Displaystyle R_ {1} R_ {2}.}$

Apoi, succesiunea $r_{1},r_{2},r_{3}$ ${\ Displaystyle R_ {1}, R_ {2}, R_ {3}}$ ${\ Displaystyle R_ {1}, R_ {2}, R_ {3}}$ definește construcția punctului mediu $p_{1}p_{2}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ ${\ Displaystyle P_ {1} P_ {2}}$ iar acest lucru este de la constructable $P_{0}.$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$

Să considerăm acum problema din punctul de vedere al teoriei câmpului .

La fiecare pas de construcție asociem subcâmp $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ generate din coordonatele punctelor construite.

Așa să fie $K_{0}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ subcâmpul de $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ generate de coordonatele $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ a punctului în $P_{0}.$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$ ${\ P_ displaystyle {0}.}$

De sine $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ are coordonatele $(x_{i},y_{i})$ ${\ displaystyle (x_ {i}, y_ {i})}$ $(x_i, y_i)$ apoi, inductiv, definim $K_{i}$ ${\ displaystyle K_ {i}}$ $K_ {i}$ câmpul obținut din $K_{i-1}$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}}$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}}$ adăugând $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ Și $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ așa să fie:

K_{i}:=K_{i-1}(x_{i},y_{i}).

{\ Displaystyle K_ {i}: = K_ {i-1} (X_ {i}, y_ {i}).}

{\ Displaystyle K_ {i}: = K_ {i-1} (X_ {i}, y_ {i}).}

Evident că avem asta

$K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \ldots \subseteq K_{n}\subseteq \mathbb {R} .$ ${\ Displaystyle K_ {0} \ subseteq K_ {1} \ subseteq \ ldots \ subseteq K_ {n} \ subseteq \ mathbb {R}.}$ ${\ Displaystyle K_ {0} \ subseteq K_ {1} \ subseteq \ ldots \ subseteq K_ {n} \ subseteq \ mathbb {R}.}$

Lema 1

Cu notațiile anterioare $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ Și $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ sunt zero, $K_{i},$ ${\ Displaystyle K_ {i}}$ ${\ displaystyle K_ {i},}$ unui polinom la gradul al doilea $K_{i-1}.$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$

Demonstrație

Coordonatele $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ Și $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ a punctului $r_{i}$ ${\ displaystyle r_ {i}}$ $re$ ele sunt obținute prin intersectarea a două linii, două cercuri sau o linie și un cerc.

Demonstrăm lema în ultimul caz.

Lasa-i sa fie $LA, B., C.$ ${\ displaystyle A, B, C}$ $A, B, C$ punctelor de coordonate $(p,q),(r,s),(t,u)$ ${\ Displaystyle (p, q), (r, s), (t, u)}$ ${\ Displaystyle (p, q), (r, s), (t, u)}$ în $K_{i-1}.$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$

Desenați linia $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ și circumferința centrului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și raza $w .$ ${\ Displaystyle w.}$ ${\ Displaystyle w.}$ $w^{2}\in K_{i-1}$ ${\ Displaystyle w ^ {2} \ în K_ {i-1}}$ ${\ Displaystyle w ^ {2} \ în K_ {i-1}}$ de cand $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ este distanța dintre două puncte la coordonate în $K_{i-1}.$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$

Ecuația liniei $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și

{\frac {x-p}{r-p}}={\frac {y-q}{s-q}}

{\ Displaystyle {\ frac {xp} {rp}} = {\ frac {yq} {sq}}}

{\ Displaystyle {\ frac {x-p} {r-p}} = {\ frac {y-q} {s-q}}}

și ecuația circumferința este

\left(x-t\right)^{2}+\left(y-u\right)^{2}=w^{2}.

{\ Displaystyle \ stânga (xt \ dreapta) ^ {2} + \ stânga (yu \ dreapta) ^ {2} = w ^ {2}.}

{\ Displaystyle \ stânga (x-t \ dreapta) ^ {2} + \ stânga (y-u \ dreapta) ^ {2} = w ^ {2}.}

Coordonatele punctelor de intersecție sunt obținute prin rezolvarea sistemului

\left\{{\begin{matrix}{\frac {x-p}{r-p}}={\frac {y-q}{s-q}}\\\left(x-t\right)^{2}+\left(y-u\right)^{2}=w^{2}\end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {matrix} {\ frac {xp} {rp}} = {\ frac {yq} {sq}} \\\ stânga (xt \ dreapta) ^ {2} + \ stânga (yu \ dreapta) ^ {2} = ^ {2} \ end {w matrice}} \ dreapta.}

{\ Displaystyle \ din stânga \ {{\ begin {matrix} {\ frac {xp} {rp}} = {\ frac {yq} {sq}} \\\ stânga (xt \ dreapta) ^ {2} + \ stânga (yu \ dreapta) ^ {2} = ^ {2} \ end {w matrice}} \ dreapta.}

De aici, se obține

\left(x-t\right)^{2}+\left({\frac {(s-q)(x-p)}{r-p}}+q-u\right)^{2}=w^{2}.

{\ Displaystyle \ stânga (xt \ dreapta) ^ {2} + \ stânga ({\ frac {(sq) (xp)} {rp}} + qu \ dreapta) ^ {2} = w ^ {2}.}

{\ Displaystyle \ stânga (x-t \ dreapta) ^ {2} + \ stânga ({\ frac {(s-q) (x-p)} {r-p}} + q-u \ dreapta) ^ {2} = w ^ {2}.}

Abscisa punctelor de intersecție $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ este zero unui polinom în al doilea grad $K_{i-1}.$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$ ${\ Displaystyle K_ {i-1}.}$ Același lucru este valabil și pentru ordonata.

Teorema 1

De sine $r=\left(x,y\right)$ ${\ Displaystyle r = \ stânga (x, y \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle r = \ stânga (x, y \ dreapta)}$ este constructable dintr-un subset $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ din $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ si daca $K_{0}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ ${\ displaystyle K_ {0}}$ este subcâmpul $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ generate din coordonatele punctelor de $P_{0}$ ${\ displaystyle P_ {0}}$ $P_0$ apoi gradele de

\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]

{\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (x \ dreapta): K_ {0} \ right]}

{\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (x \ dreapta): K_ {0} \ right]}

Și

\left[K_{0}\left(y\right):K_{0}\right]

{\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (y \ dreapta): K_ {0} \ right]}

{\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (y \ dreapta): K_ {0} \ right]}

sunt puteri de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Demonstrație

Are asta

$\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]=1$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 1}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 1}$ în cazul în care al doilea polinom de gradul de care $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ este un zero este reductibilă

$\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]=2$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 2}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 2}$ în cazul în care al doilea polinom de gradul de care $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ este un zero este ireductibilă

și, în mod similar,

$\left[K_{i-1}\left(y_{i}\right):K_{i-1}\right]=1$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 1}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 1}$ în cazul în care al doilea polinom de gradul de care $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ este un zero este reductibilă

$\left[K_{i-1}\left(y_{i}\right):K_{i-1}\right]=2$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 2}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = 2}$ în cazul în care al doilea polinom de gradul de care $y_{i}$ ${\ displaystyle y_ {i}}$ $y_ {i}$ este un zero este ireductibilă

În plus

\left[K_{i-1}\left(x_{i},y_{i}\right):K_{i-1}\right]=\left[K_{i-1}\left(x_{i},y_{i}\right):K_{i-1}\left(x_{i}\right)\right]\left[K_{i-1}\left(x_{i}\right):K_{i-1}\right]\in \{1.2.4\}

{\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i}, y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = \ stânga [K_ {i-1} \ stânga ( X_ {i}, y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta) \ right] \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta ): K_ {i-1} \ right] \ în \ {1.2.4 \}}

{\ Displaystyle \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i}, y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ right] = \ stânga [K_ {i-1} \ stânga ( X_ {i}, y_ {i} \ dreapta): K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta) \ right] \ stânga [K_ {i-1} \ stânga (X_ {i} \ dreapta ): K_ {i-1} \ right] \ în \ {1.2.4 \}}

Prin urmare $\left[K_{i}:K_{i-1}\right]$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i}: K_ {i-1} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {i}: K_ {i-1} \ right]}$ este o putere de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Și, prin inducție, $\left[K_{n}:K_{0}\right],$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {n}: K_ {0} \ right],}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {n}: K_ {0} \ right],}$ este o putere de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Dar, având în vedere că, $\left[K_{n}:K_{0}\left(x\right)\right]\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]=\left[K_{n}:K_{0}\right]$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {n}: K_ {0} \ stânga (x \ dreapta) \ dreapta] \ stânga [K_ {0} \ stânga (x \ dreapta): K_ {0} \ right] = \ stânga [K_ {n}: K_ {0} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {n}: K_ {0} \ stânga (x \ dreapta) \ dreapta] \ stânga [K_ {0} \ stânga (x \ dreapta): K_ {0} \ right] = \ stânga [K_ {n}: K_ {0} \ right]}$ , rezultă că $\left[K_{0}\left(x\right):K_{0}\right]$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (x \ dreapta): K_ {0} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (x \ dreapta): K_ {0} \ right]}$ este o putere de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

asemănător $\left[K_{0}\left(y\right):K_{0}\right]$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (y \ dreapta): K_ {0} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ stânga [K_ {0} \ stânga (y \ dreapta): K_ {0} \ right]}$ este o putere de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Teorema 2

Cubul nu poate fi duplicat prin utilizarea unui conducător și busolă.

Demonstrație

Să considerăm un cub cu o margine unitate.

Este $P_{0}=\left\{\left(0;0\right),\left(1;0\right)\right\}$ ${\ P_ displaystyle {0} = \ stângă \ {\ stânga (0; 0 \ dreapta) \ stânga (1; 0 \ dreapta) \ dreapta \}}$ ${\ P_ displaystyle {0} = \ stângă \ {\ stânga (0; 0 \ dreapta) \ stânga (1; 0 \ dreapta) \ dreapta \}}$ și, prin urmare, în acest caz, este $K_{0}=\mathbb {Q} .$ ${\ Displaystyle K_ {0} = \ mathbb {Q}.}$ ${\ Displaystyle K_ {0} = \ mathbb {Q}.}$

În cazul în care cubul era duplicabil, atunci am putea construi un punct de coordonate $\left(\alpha ;0\right)$ ${\ Displaystyle \ stânga (\ alfa 0 \ dreapta)}$ ${\ Displaystyle \ stânga (\ alfa 0 \ dreapta)}$ astfel încât
$\,\alpha ^{3}=2$ ${\ Displaystyle \, \ alpha ^ {3} = 2}$ ${\ Displaystyle \, \ alpha ^ {3} = 2}$ și, prin urmare, de theorem1, $\left[\mathbb {Q} \left(\alpha \right):\mathbb {Q} \right]$ ${\ Displaystyle \ stânga [\ mathbb {Q} \ stânga (\ alpha \ dreapta): \ mathbb {Q} \ right]}$ ${\ Displaystyle \ stânga [\ mathbb {Q} \ stânga (\ alpha \ dreapta): \ mathbb {Q} \ right]}$ ar trebui să fie o putere de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ .

Dar $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este zero al polinomului $t^{3}-2$ ${\ T displaystyle ^ {3} -2}$ ${\ T displaystyle ^ {3} -2}$ care este ireductibilă pe $\mathbb {Q} .$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q}.}$

În plus $t^{3}-2$ ${\ T displaystyle ^ {3} -2}$ ${\ T displaystyle ^ {3} -2}$ este minimă polinomul de $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ pe $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ Și $\left[\mathbb {Q} \left(\alpha \right):\mathbb {Q} \right]=3$ ${\ Displaystyle \ stânga [\ mathbb {Q} \ stânga (\ alpha \ dreapta): \ mathbb {Q} \ right] = 3}$ ${\ Displaystyle \ stânga [\ mathbb {Q} \ stânga (\ alpha \ dreapta): \ mathbb {Q} \ right] = 3}$ .

Aceasta demonstrează imposibilitatea dublării cubului cu rigla și compasul.

Soluții pentru problema

Prin renunțarea la constrângerea de a folosi numai rigla și compasul, problema dublării cubului devine solubilă și există mai multe construcții posibile.

Reducerea Hipocrate din Chios

Hipocrate din Chios , un discipol al lui Pitagora , care a trăit între 460 î.Hr. și 380 î.Hr. , pare să fi fost primul care a rezolva problema dublării cubului urmând metoda de reducere. Această metodă constă în transformarea o problemă în alta, odată ce problema primitivă este rezolvată.

Printre Pythagoreeni era cunoscut modul de a insera un segment x medie proporțională între două segmente de date $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b,$ ${\ displaystyle b,}$ ${\ displaystyle b,}$ adică, era cunoscut modul de a construi segmente care verificate proporțional $a:x=x:b.$ ${\ Displaystyle a: x = x: b.}$ ${\ Displaystyle a: x = x: b.}$

Cu toate acestea, extinderea la cazul inserției a două segmente nu era cunoscută $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y,$ ${\ Y displaystyle,}$ ${\ Y displaystyle,}$ medii proporționale între două segmente de date, astfel încât proporția este în valoare de $a:x=x:y=y:b.$ ${\ Displaystyle a: x = x: y = y: b.}$ ${\ Displaystyle a: x = x: y = y: b.}$

Ideea, atribuit lui Hipocrate din Chios, constă în reducerea problemei dublării cubului la cea a introducerii două mijloace proporționale între două segmente de date, o problemă care, cu un limbaj mai modern, poate fi astfel declarată.

Având în vedere cele două segmente $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b,$ ${\ displaystyle b,}$ ${\ displaystyle b,}$ construi două mai multe $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ că, cu $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ luate ca termeni extreme, formează un lanț de relații egale, adică

{\frac {a}{x}}={\frac {x}{y}}={\frac {y}{b}}.

{\ Displaystyle {\ frac {a} {x}} = {\ frac {x} {y}} = {\ frac {y} {b}}.}

{\ Displaystyle {\ frac {a} {x}} = {\ frac {x} {y}} = {\ frac {y} {b}}.}

Din acest lanț de relații egale apare

\left\{{\begin{matrix}x={\frac {ab}{y}}\\x^{2}=ay\end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {matrix} x = {\ frac {ab} {y}} \\ x ^ {2} = ay \ end {matrix}} \ dreapta.}

{\ Displaystyle \ din stânga \ {{\ begin {matrix} x = {\ frac {ab} {y}} \\ x ^ {2} = ay \ end {matrix}} \ dreapta.}

de la care

x^{3}=a^{2}b

{\ Displaystyle x ^ {3} = a ^ {2} b}

{\ Displaystyle x ^ {3} = a ^ {2} b}

Segmentul $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ prin urmare, este latura unui cub echivalent cu un dreptunghi de paralelipiped, cu o bază pătrată de margine $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ și având înălțimea $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ . În special, dacă vom scrie b = ma (m număr rațional), obținem:

x^{3}=ma^{3},

{\ Displaystyle x ^ {3} = dar ^ {3}}

{\ Displaystyle x ^ {3} = dar ^ {3}}

adică, un cub de margine $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ echivalentă cu $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ ori un cub de margine $la .$ ${\ O displaystyle.}$ ${\ O displaystyle.}$ Prin plasare $m=2,$ ${\ Displaystyle m = 2,}$ ${\ Displaystyle m = 2,}$ acesta este $b=2a,$ ${\ Displaystyle b = 2a}$ ${\ Displaystyle b = 2a}$ primesti

x^{3}=2a^{3},

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

cădem înapoi în problema duplicarea cubului, deoarece $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este latura unui cub având de două ori volumul laturii $la .$ ${\ O displaystyle.}$ ${\ O displaystyle.}$

Odată cu descoperirea atribuită Hipocrate din Chios , dificultatea sa schimbat doar forma și nici un alt avantaj a fost realizat decât acela de a prezenta problema primitivă ca o problemă a geometriei plane.

Soluție Archita lui

Architul Taranto , care a trăit aproximativ între 430 î.Hr. și 360 î.Hr. , cu condiția ca o soluție tri-dimensională la problema Delos, care poate fi acum ușor de descris folosind limbajul modern al geometriei analitice.

Este $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ latura a cubului să fie duplicat și, în raport cu un sistem de referință cartezian ortogonală de origine $SAU,$ ${\ Displaystyle O,}$ ${\ Displaystyle O,}$ este $C=(a,0,0)$ ${\ Displaystyle C = (a, 0,0)}$ ${\ Displaystyle C = (a, 0,0)}$ centrul cercurilor rază $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ situată în planuri perpendiculare pe axele.

Prin centrul cercului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ perpendicular pe axa abscisei, un con circular drept este construit având vârful la origine; prin centrul cercului $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ situată în planul axelor $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ un cilindru este trecut; cercului care se află în planul $SAU X z$ ${\ Displaystyle Oxz}$ ${\ Displaystyle Oxz}$ este rotit în jurul axei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ astfel încât să genereze un taur .

Ecuațiile acestor trei suprafețe sunt, respectiv:

x^{2}=y^{2}+z^{2}

{\ Displaystyle x ^ {2} = y ^ {2} + z ^ {2}}

{\ Displaystyle x ^ {2} = y ^ {2} + z ^ {2}}

2ax=x^{2}+y^{2}

{\ Displaystyle 2ax = x ^ {2} + y ^ {2}}

{\ Displaystyle 2ax = x ^ {2} + y ^ {2}}

\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}=4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).

{\ Displaystyle \ stânga (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ dreapta) ^ {2} = 4a ^ {2} \ stânga (x ^ {2} + y ^ {2} \ dreapta).}

{\ Displaystyle \ stânga (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} \ dreapta) ^ {2} = 4a ^ {2} \ stânga (x ^ {2} + y ^ {2} \ dreapta).}

Ele se intersectează într-un punct al cărui abscisă este $a{\sqrt[{3}]{2}}$ ${\ Displaystyle a {\ sqrt [{3}] {2}}}$ ${\ Displaystyle a {\ sqrt [{3}] {2}}}$ . Prin urmare, lungimea acestui segment reprezintă latura dorită a cubului.

Rezultatul obținut prin Archita apare chiar mai extraordinar dacă luăm în considerare faptul că a ajuns la soluția lui sintetic, fără utilizarea de coordonate carteziene.

Soluții de către Menecmo

Menecmo a fost un elev al Eudossus și a trăit în mijlocul anului secolul IV î.Hr. ; să-l datorăm două soluții diferite la problema dublării cubului.

Prima soluție

Folosind notațiile moderne ale geometriei analitice, soluția este ușor de obținut ca intersecția a două parabole.

Să luăm două parabole, de ecuații

y^{2}=2ax

{\ Y displaystyle ^ {2} = 2ax}

{\ Y displaystyle ^ {2} = 2ax}

Și

x^{2}=ay

{\ Displaystyle x ^ {2} = ay}

{\ Displaystyle x ^ {2} = ay}

Din intersecția lor se obține

x^{4}=a^{2}y^{2}=2a^{3}x

{\ Displaystyle x ^ {4} = a ^ {2} y ^ {2} = 2a ^ {3} x}

{\ Displaystyle x ^ {4} = a ^ {2} y ^ {2} = 2a ^ {3} x}

prin urmare, neglijând soluția $x=0,$ ${\ Displaystyle x = 0,}$ ${\ Displaystyle x = 0,}$ este situat

x^{3}=2a^{3}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

prin urmare

x=a{\sqrt[{3}]{2}}.

{\ Displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

{\ Displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

Intersectând două parabole obținem astfel un punct a cărui abscisă este latura a cubului care are un volum dublu volumul cubului alocat.

a doua soluție

Folosind notațiile moderne ale geometriei analitice, a doua soluție este obținută ca intersecția unei parabole și o hiperbolă . Luați în considerare și parabolei hiperbola, respectiv de ecuații:

y^{2}={\frac {a}{2}}x

{\ Displaystyle y ^ {2} = {\ frac {a} {2}} x}

{\ Displaystyle y ^ {2} = {\ frac {a} {2}} x}

xy=a^{2}

{\ Displaystyle xy = a ^ {2}}

{\ Displaystyle xy = a ^ {2}}

Din intersecția lor se obține

x^{3}=2a^{3}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a ^ {3}}

prin urmare

x=a{\sqrt[{3}]{2}}.

{\ Displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

{\ Displaystyle x = a {\ sqrt [{3}] {2}}.}

Intersectând parabolei și hiperbola obținem astfel un punct a cărui abscisă este latura a cubului cu dublul volumului cubului alocate.

soluţie Nicomedes

Nicomedes ( 250 BC - 180 BC ) a construit oa patra curbă de gradul doi , pe care a numit conchoid din cauza asemănării cu un înveliș, ceea ce ia permis rezolvarea unor probleme de inserție, inclusiv cele generate de problema dublării cubului.

Pentru a genera conchoid, să ia o linie dreaptă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ și un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ extern la ea (linia și punctul sunt numite, respectiv, de bază și pol al conchoid) și ambele $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ distanța dintre pol și bază. Conduita orice linie dreaptă pentru pol $s,$ ${\ displaystyle s,}$ ${\ displaystyle s,}$ sunt $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ Și $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ două segmente congruente un anumit segment de lungime $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ numitul interval, situate pe laturile opuse ale bazei. Dupa cum $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pe $r,$ ${\ R displaystyle,}$ ${\ R displaystyle,}$ ideea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ descrie conchoid. Să vedem cum, prin Nicomedes conchoid, problema a celor două mijloace proporționale este rezolvată. Lasa-i sa fie $LA B., LA D.,$ ${\ Displaystyle AB, AD,}$ ${\ Displaystyle AB, AD,}$ două segmente perpendiculare date, între care trebuie introduse mediile proporționale. Este $AD>AB$ ${\ AD displaystyle> AB}$ ${\ AD displaystyle> AB}$ și pentru simplitate presupunem $AB=2a,AD=2b.$ ${\ Displaystyle AB = 2a, AD = 2b.}$ ${\ Displaystyle AB = 2a, AD = 2b.}$

Construiți dreptunghiul $LA B. C. D.$ ${\ Displaystyle ABCD}$ $ABCD$ identificate din segmentele de date; împărțirea în jumătate $LA D.$ ${\ AD displaystyle}$ $LA$ Acesta este dat $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ punctul de mijloc, alăturați-vă acest lucru cu $C.;$ ${\ Displaystyle C;}$ ${\ Displaystyle C;}$ prelungi $C. ȘI$ ${\ displaystyle CE}$ $EXISTĂ$ până te întâlnești în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ extinderea $LA B. .$ ${\ Displaystyle AB.}$ ${\ Displaystyle AB.}$ Din $G.,$ ${\ displaystyle G,}$ ${\ displaystyle G,}$ punctul de mijloc $LA B.,$ ${\ displaystyle AB,}$ ${\ displaystyle AB,}$ trage perpendicular To $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ și cu centrul în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și rază egală cu $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ (jumatate de $LA D.$ ${\ AD displaystyle}$ $LA$ ) Se taie perpendicular la punctul cu un arc de circumferință $H.,$ ${\ H displaystyle,}$ ${\ H displaystyle,}$ din partea $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ în cazul în care dreptunghiul nu este localizat $LA B. C. D. .$ ${\ Displaystyle ABCD.}$ ${\ Displaystyle ABCD.}$ intra în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ și din $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ linia dreaptă este condusă $B. THE$ ${\ Displaystyle BI}$ ${\ Displaystyle BI}$ paralel cu $H. F. .$ ${\ HF displaystyle.}$ ${\ HF displaystyle.}$ Apoi trage conchoid având $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ ca un tricou polo, $B. THE$ ${\ Displaystyle BI}$ ${\ Displaystyle BI}$ ca o bază și un interval de la egal $b .$ ${\ displaystyle b.}$ ${\ displaystyle b.}$

Conchoid astfel descrisă întâlnește linia dreaptă $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ intr-un loc $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și cele două linii $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $B. THE$ ${\ Displaystyle BI}$ ${\ Displaystyle BI}$ localiza pe $H. K.$ ${\ Displaystyle HK}$ ${\ Displaystyle HK}$ un segment $MK=b.$ ${\ Displaystyle MK = b.}$ ${\ Displaystyle MK = b.}$

Indicat cu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ punctul de întâlnire al liniei $C. K.$ ${\ CK displaystyle}$ ${\ CK displaystyle}$ cu linia dreaptă $LA D.,$ ${\ AD displaystyle,}$ ${\ AD displaystyle,}$ se arată că cele două segmente $B. K.$ ${\ Displaystyle BK}$ ${\ Displaystyle BK}$ Și $D. L$ ${\ Displaystyle DL}$ ${\ Displaystyle DL}$ sunt cele două mijloace proporționale căutate. Într-adevăr, locul $BK=x$ ${\ Displaystyle BK = x}$ ${\ Displaystyle BK = x}$ Și $DL=y$ ${\ Displaystyle DL = y}$ ${\ Displaystyle DL = y}$ ca urmare a construcțiilor realizate avem:

HG={\sqrt {b^{2}-a^{2}}}

{\ Displaystyle HG = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2}}}}

{\ Displaystyle HG = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2}}}}

GK=a+x

{\ GK = a + x displaystyle}

{\ GK = a + x displaystyle}

și, prin urmare, unind $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ cu $K.,$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K}$

HK={\sqrt {HG^{2}+GK^{2}}}={\sqrt {b^{2}-a^{2}+\left(a+x\right)^{2}}}={\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}.

{\ Displaystyle HK = {\ sqrt {HG ^ {2} + GK ^ {2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2} + \ stânga (a + x \ dreapta) ^ { 2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}}.}

{\ Displaystyle HK = {\ sqrt {HG ^ {2} + GK ^ {2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} -a ^ {2} + \ stânga (a + x \ dreapta) ^ { 2}}} = {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}}.}

Dar, din triunghiuri similare $B. M. K., F. H. K.$ ${\ Displaystyle BMK, FHK}$ ${\ Displaystyle BMK, FHK}$ urmează $FK:BK=HK:MK,$ ${\ Displaystyle FK: BK = HK: MK,}$ ${\ Displaystyle FK: BK = HK: MK,}$ și menționând că $MK=b$ ${\ Displaystyle MK = b}$ ${\ Displaystyle MK = b}$ este asta $FK=4a+x,$ ${\ Displaystyle FK = 4a + x,}$ ${\ Displaystyle FK = 4a + x,}$ înlocuind în proporție anterioară, avem:

{\frac {4a+x}{x}}={\frac {\sqrt {b^{2}+2ax+x^{2}}}{b}}

{\ Displaystyle {\ frac {4a + x} {x}} = {\ frac {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}} {b}}}

{\ Displaystyle {\ frac {4a + x} {x}} = {\ frac {\ sqrt {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}}} {b}}}

De aici, se obține Cuadratura

{\frac {16a^{2}+8ax+x^{2}}{x^{2}}}={\frac {b^{2}+2ax+x^{2}}{b^{2}}}

{\ Displaystyle {\ frac {16a ^ {2} + 8AX + x ^ {2}} {x ^ {2}}} = {\ frac {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}} {b ^ {2}}}}

{\ Displaystyle {\ frac {16a ^ {2} + 8AX + x ^ {2}} {x ^ {2}}} = {\ frac {b ^ {2} + 2ax + x ^ {2}} {b ^ {2}}}}

și eliminarea numitorii

16a^{2}b^{2}+8ab^{2}x+b^{2}x^{2}=b^{2}x^{2}+x^{4}+2ax^{3}.

{\ 16a displaystyle ^ {2} b ^ {2} + 8AB ^ {2} x + b ^ {2} x ^ {2} = b ^ {2} x ^ {2} + x ^ {4} + 2ax ^ {3}.}

{\ 16a displaystyle ^ {2} b ^ {2} + 8AB ^ {2} x + b ^ {2} x ^ {2} = b ^ {2} x ^ {2} + x ^ {4} + 2ax ^ {3}.}

Reducerea și transportul rezultate

x^{4}+2ax^{3}-8ab^{2}x-16a^{2}b^{2}=0

{\ Displaystyle x ^ {4} + 2ax ^ {3} -8ab ^ {2} x-16a ^ {2} b ^ {2} = 0}

{\ Displaystyle x ^ {4} + 2ax ^ {3} -8ab ^ {2} x-16a ^ {2} b ^ {2} = 0}

sau

x^{3}\left(x+2a\right)-8ab^{2}\left(x+2a\right)=0

{\ Displaystyle x ^ {3} \ stânga (x + 2a \ dreapta) -8ab ^ {2} \ stânga (x + 2a \ dreapta) = 0}

{\ Displaystyle x ^ {3} \ stânga (x + 2a \ dreapta) -8ab ^ {2} \ stânga (x + 2a \ dreapta) = 0}

de la care

\left(x^{3}-8ab^{2}\right)\left(x+2a\right)=0

{\ Displaystyle \ stânga (x ^ {3} -8ab ^ {2} \ dreapta) \ stânga (x + 2a \ dreapta) = 0}

{\ Displaystyle \ stânga (x ^ {3} -8ab ^ {2} \ dreapta) \ stânga (x + 2a \ dreapta) = 0}

și a fi $\,x+2a$ ${\ Displaystyle \, x + 2a}$ ${\ Displaystyle \, x + 2a}$ non-zero (deoarece $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $2a$ ${\ displaystyle 2a}$ $2a$ sunt măsuri de segmente) rezultă în mod necesar

x^{3}-8ab^{2}=0

{\ Displaystyle x ^ {3} -8ab ^ {2} = 0}

{\ Displaystyle x ^ {3} -8ab ^ {2} = 0}

sau

x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}.

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a \ stânga (2b \ dreapta) ^ {2}.}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a \ stânga (2b \ dreapta) ^ {2}.}

Din similitudinea triunghiuri $L D. C., B. C. K.$ ${\ Displaystyle LDC, BCK}$ ${\ Displaystyle LDC, BCK}$ avem asta $2a:y=x:2b$ ${\ 2a displaystyle: y = x: 2b}$ ${\ 2a displaystyle: y = x: 2b}$ prin urmare,

xy=4ab

{\ Displaystyle xy = 4ab}

{\ Displaystyle xy = 4ab}

din care puteți scrie

y={\frac {4ab}{x}}

{\ Y displaystyle = {\ frac {4ab} {x}}}

{\ Y displaystyle = {\ frac {4ab} {x}}}

Ridicarea la puterea a treia

y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{x^{3}}}

{\ Displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {x ^ {3}}}}

{\ Displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {x ^ {3}}}}

dar

x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a \ stânga (2b \ dreapta) ^ {2}}

{\ Displaystyle x ^ {3} = 2a \ stânga (2b \ dreapta) ^ {2}}

prin urmare

y^{3}={\frac {4^{3}a^{3}b^{3}}{2^{3}ab^{2}}}

{\ Displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {2 ^ {3} ab ^ {2}}}}

{\ Displaystyle y ^ {3} = {\ frac {4 ^ {3} a ^ {3} b ^ {3}} {2 ^ {3} ab ^ {2}}}}

simplificând obținem

y^{3}=2b\left(2a\right)^{2}

{\ Y ^ displaystyle {3} = 2b \ stânga (2a \ dreapta) ^ {2}}

{\ Y ^ displaystyle {3} = 2b \ stânga (2a \ dreapta) ^ {2}}

Deci avem:

\left\{{\begin{matrix}xy=4ab\\x^{3}=2a\left(2b\right)^{2}\\y^{3}=2b\left(2a\right)^{2}\end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {matrix} xy = 4ab \\ x ^ {3} = 2a \ stânga (2b \ dreapta) ^ {2} \\ y ^ {3} = 2b \ stânga (2a \ dreapta) ^ {2} \ end {matrix}} \ dreapta.}

{\ Displaystyle \ din stânga \ {{\ begin {matrix} xy = 4ab \\ x ^ {3} = 2a \ stânga (2b \ dreapta) ^ {2} \\ y ^ {3} = 2b \ stânga (2a \ dreapta) ^ {2} \ end {matrix}} \ dreapta.}

Al treilea și prima egalitate, membru împărțit de membru, da

(1)

{\frac {y^{2}}{x}}=2a

{\ Displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {x}} = 2a}

{\ Displaystyle {\ frac {y ^ {2}} {x}} = 2a}

acesta este

y^{2}=2ax.

{\ Y displaystyle ^ {2} = 2ax.}

{\ Y displaystyle ^ {2} = 2ax.}

La rândul său, al doilea și primul membru împărțit de membru există:

(2)

{\frac {x^{2}}{y}}=2b,

{\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {y}} = 2b}

{\ Displaystyle {\ frac {x ^ {2}} {y}} = 2b}

acesta este

x^{2}=2by.

{\ Displaystyle x ^ {2} = 2BY.}

{\ Displaystyle x ^ {2} = 2BY.}

În cele din urmă, se dovedește:

{\frac {2a}{y}}={\frac {y}{x}}={\frac {x}{2b}}

{\ Displaystyle {\ frac {2a} {y}} = {\ frac {y} {x}} = {\ frac {x} {2b}}}

{\ Displaystyle {\ frac {2a} {y}} = {\ frac {y} {x}} = {\ frac {x} {2b}}}

În special în cazul în care $2a=L,$ ${\ 2a displaystyle = L,}$ ${\ 2a displaystyle = L,}$ Și $b=L,y$ ${\ Displaystyle b = L, y}$ ${\ Displaystyle b = L, y}$ este egală cu latura a cubului, care este dublu față de cel care are $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ pe fiecare parte. De fapt, de la (1) și (2) rezultă:

{\frac {y^{4}}{4a^{2}}}=2by

{\ Displaystyle {\ frac {y ^ {4}} {4a ^ {2}}} = 2BY}

{\ Displaystyle {\ frac {y ^ {4}} {4a ^ {2}}} = 2BY}

prin urmare

y^{3}=8a^{2}b

{\ Y ^ displaystyle {3} = 8a ^ {2} b}

{\ Y ^ displaystyle {3} = 8a ^ {2} b}

înlocuind valorile $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$

y^{3}=2L^{3}

{\ Y ^ displaystyle {3} = 2L ^ {3}}

{\ Y ^ displaystyle {3} = 2L ^ {3}}

extragerea rădăcinii cub

y=L{\sqrt[{3}]{2}}

{\ Y displaystyle = L {\ sqrt [{3}] {2}}}

{\ Y displaystyle = L {\ sqrt [{3}] {2}}}

si daca $L=1,$ ${\ L displaystyle = 1}$ ${\ L displaystyle = 1}$ da ai

y={\sqrt[{3}]{2}}.

{\ Y displaystyle = {\ sqrt [{3}] {2}}.}

{\ Y displaystyle = {\ sqrt [{3}] {2}}.}

soluţie Diocles

Diocles ( c . 240 î.Hr. - c . 180 î.Hr. ) a construit , de asemenea , o curbă, numită acum Diocles cistoid , capabilă să rezolve în mod grafic problema duplicarea cubului. Luați în considerare o circumferință în diametru $SAU U$ ${\ Displaystyle OU}$ ${\ Displaystyle OU}$ și fie $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ linia este tangent la punctul $U .$ ${\ U. displaystyle}$ ${\ U. displaystyle}$ Este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ orice punct de pe linia $t .$ ${\ T displaystyle.}$ ${\ T displaystyle.}$ Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ intersecția liniei $SAU T.$ ${\ Displaystyle OT}$ ${\ Displaystyle OT}$ și circumferința; pe $SAU T.$ ${\ Displaystyle OT}$ ${\ Displaystyle OT}$ ia în considerare punctul $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ astfel încât $OM=KT.$ ${\ Displaystyle OM = KT.}$ ${\ Displaystyle OM = KT.}$ Locul geometric al punctului $M.,$ ${\ displaystyle M,}$ ${\ displaystyle M,}$ cand $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ descrie tangenta $t,$ ${\ T displaystyle,}$ ${\ T displaystyle,}$ este cissoid de Diocles.

(insert image4)

Să vedem cum putem rezolva problema dublării cubului prin cistoid.

De sine $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ este latura a cubului să fie duplicat, considerăm în raport cu circumferința cyssoid diametrul $AB=a;$ ${\ Displaystyle AB = a;}$ ${\ Displaystyle AB = a;}$ transporta peste, pe tangenta în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ segmentului circumferința unui $AS=2a;$ ${\ Displaystyle AS = 2a;}$ ${\ Displaystyle AS = 2a;}$ comun $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ cu $B.,$ ${\ displaystyle B,}$ ${\ displaystyle B,}$ este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ intersecția $S. B.$ ${\ Displaystyle SB}$ ${\ Displaystyle SB}$ cu cissoid; a te alatura $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și fie $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ intersecția $U LA$ ${\ Displaystyle UA}$ ${\ Displaystyle UA}$ cu tangenta în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ la circumferința.

(insert Image5)

Pentru construcția realizată avem că $B. T.$ ${\ Displaystyle BT}$ ${\ Displaystyle BT}$ este latura a cubului volum dublu al cubului lateral $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ dat. De fapt, triunghiuri $S. LA B.$ ${\ Displaystyle SAB}$ $SAB$ e $U H B$ ${\displaystyle UHB}$ $UHB$ sono simili e dunque:

SA:AB=UH:HB.

{\displaystyle SA:AB=UH:HB.}

SA:AB=UH:HB.

Se scriviamo $\left(x,y\right)$ $\left(x,y\right)$ $\left(x,y\right)$ con $x\in \left[0,a\right]$ $x\in \left[0,a\right]$ $x\in \left[0,a\right]$ la coppia delle coordinate di un punto $U$ ${\displaystyle U}$ $U$ della cissoide, la proporzione precedente diventa:

2a:a=y:\left(a-x\right)

2a:a=y:\left(ax\right)

2a:a=y:\left(a-x\right)

da cui

(1)

{\frac {y}{a-x}}=2.

{\frac {y}{ax}}=2.

{\frac {y}{a-x}}=2.

Tenendo conto che l'equazione della cissoide è

x^{3}=\left(a-x\right)y^{2}

x^{3}=\left(ax\right)y^{2}

x^{3}=\left(a-x\right)y^{2}

si ottiene

(2)

{\frac {1}{a-x}}={\frac {y^{2}}{x^{3}}}.

{\frac {1}{ax}}={\frac {y^{2}}{x^{3}}}.

{\frac {1}{a-x}}={\frac {y^{2}}{x^{3}}}.

Sostituendo la (2) nella (1) si ha

(3)

{\frac {y^{3}}{x^{3}}}=2.

{\frac {y^{3}}{x^{3}}}=2.

{\frac {y^{3}}{x^{3}}}=2.

Si considerino ora i triangoli simili ATB e AUH; si può scrivere:

BT:AB=UH:AH

{\displaystyle BT:AB=UH:AH}

BT:AB=UH:AH

e quindi:

BT:a=y:x

{\displaystyle BT:a=y:x}

BT:a=y:x

da cui

BT={\frac {ya}{x}}.

BT={\frac {ya}{x}}.

BT={\frac {ya}{x}}.

Elevando al cubo si ottiene

BT^{3}={\frac {y^{3}a^{3}}{x^{3}}}

BT^{3}={\frac {y^{3}a^{3}}{x^{3}}}

BT^{3}={\frac {y^{3}a^{3}}{x^{3}}}

e sostituendo in quest'ultima l'espressione (3) si ottiene

BT^{3}=2a^{3}.

BT^{3}=2a^{3}.

BT^{3}=2a^{3}.

Ciò dimostra che $B T$ ${\displaystyle BT}$ $BT$ è il lato del cubo di volume doppio rispetto al cubo di lato $a .$ ${\displaystyle a.}$ $a.$

Soluzione di Eratostene

Eratostene , come sappiamo da Eutocio , dette una soluzione meccanica del problema, progettando uno strumento, il mesolabio , con il quale era possibile inserire due medi proporzionali tra due segmenti assegnati.

Bibliografia

Doubling the cube , articolo in Encyclopaedia Britannica
Federigo Enriques (1987): Questioni riguardanti le matematiche elementari , parte seconda, Zanichelli

Voci correlate

Collegamenti esterni

( EN ) Duplicazione del cubo , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Doubling the cube su MacTutor
Cube Duplication su MathWorld
Il problema delle medie proporzionali: un dibattito rinascimentale , su dm.unipi.it . URL consultato il 5 aprile 2008 (archiviato dall' url originale il 23 giugno 2009) .

Controllo di autorità	Thesaurus BNCF 19711 · LCCN ( EN ) sh85034645 · GND ( DE ) 4149044-7 · BNF ( FR ) cb17706466t (data) · BNE ( ES ) XX5550936 (data)

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica