Cuaternion din Hurwitz
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În matematică , un cuaternion Hurwitz (sau întreg Hurwitz ) este un cuaternar ale cărui componente sunt toate numerele întregi sau toate numerele pe jumătate impare (nu este permisă o combinație de componente întregi și pe jumătate impare).
Setul tuturor cuaternionilor Hurwitz este:
Se arată că H este închis cu privire la înmulțirea și adunarea cuaternionilor, astfel încât formează un subinel al inelului tuturor cuaternionilor H.
Un cuaternion Lipschitz (sau întreg Lipschitz ) este un cuaternion ale cărui componente sunt toate întregi . În mod clar, setul tuturor cuaternionilor Lipschitz
formează un subinel al cuaternionilor Hurwitz H.
Ca grup , H este un grup Abelian liber pentru care un set de generatoare este {½ (1+ i + j + k ), i , j , k }. Prin urmare, formează o rețea în R 4 . Această rețea este cunoscută sub numele de rețea F 4 , deoarece este rețeaua rădăcină a algebrei Lie semisimple F 4 . Cuaternionii Lipschitz L formează o subrețea a lui H a indicelui 2.
Grupul de unități din L este un grup de cuaterniuni de ordinul 8 Q = {± 1, ± i , ± j , ± k }. Grupul de unități din H este un grup non-Abelian de ordinul 24 cunoscut sub numele de grupul binar al tetraedrului . Elementele acestui grup includ cele 8 elemente ale Q și cele 16 cuaterniuni {½ (± 1 ± i ± j ± k )} unde semnele pot fi alese în orice combinație. Grupul cuaternion este un subgrup normal al grupului binar al tetraedrului U ( H ). Elementele lui U ( H ), toate având norma 1, formează vârfurile celor 24 de celule înscrise în cele 3 sfere .
Cuaternionii Hurwitz formează o ordine (în sensul teoriei inelului ) în inelul de diviziune al cuaternionilor cu componente raționale . De fapt, este o ordine maximă , un rezultat foarte important. Cuaternionii Lipschitz, care sunt cei mai evidenți candidați pentru rolul „cuaternionilor întregi”, formează, de asemenea, o ordine. Cu toate acestea, acest din urmă ordin nu este maxim și, prin urmare, este mai puțin potrivit pentru dezvoltarea unei teorii a idealurilor sinistre comparabile cu cea a teoriei algebrice a numerelor . Prin urmare, ceea ce a înțeles Adolf Hurwitz a fost că definiția sa a unui cuaternion întreg este cea mai bună pentru a lucra. Acesta a fost unul dintre progresele majore în teoria ordinii maxime; cealaltă este considerarea că acestea, pentru un inel necomutativ precum H , nu vor fi unice. Prin urmare, este necesar să se stabilească o ordine maximă cu care să lucreze, extinzând conceptul de număr întreg algebric .
Norma unui cuaternion Hurwitz, dată de , este întotdeauna un număr întreg. Din teorema celor patru pătrate a lui Lagrange , știm că orice număr întreg negativ poate fi exprimat ca suma a cel mult patru pătrate . Rezultă că fiecare număr întreg negativ este întotdeauna egal cu norma unui cuaternion Lipschitz (sau Hurwitz). Un număr întreg Hurwitz este prim dacă și numai dacă norma sa este primă .
