Visul celui de-al doilea an

În matematică, „ visul celui de-al doilea an ” este perechea de identitate (în special prima)

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} \, dx & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- n} \ \ \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} n ^ {- n} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- n) ^ {- n} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {- x} \, dx & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} n ^ {- n} \ \ \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx & = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} n ^ {- n} = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} (- n) ^ {- n} \ end {align}}}

descoperit în 1697 de Johann Bernoulli .

Valorile numerice ale acestor constante sunt aproximativ $1.291285997...$ ${\ displaystyle 1.291285997 ...}$ ${\ displaystyle 1.291285997 ...}$ Și $0.7834305107...$ ${\ displaystyle 0.7834305107 ...}$ ${\ displaystyle 0.7834305107 ...}$ , respectiv.

Numele „ visul celui de-al doilea an ”, care apare în Borwein, Bailey & Girgensohn (2004), este în contrast cu numele „visul bobocilor” care este atribuit identității greșite ^[1] $(x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}$ ${\ displaystyle (x + y) ^ {n} = x ^ {n} + y ^ {n}}$ ${\ displaystyle (x + y) ^ {n} = x ^ {n} + y ^ {n}}$ . Visul celui de-al doilea an sună „prea bine pentru a fi adevărat”, dar chiar este.

Demonstrație

Grafice de funcții

y=x^{x}

{\ displaystyle y = x ^ {x}}

{\ displaystyle y = x ^ {x}}

(roșu, jos) e

y=x^{-x}

{\ displaystyle y = x ^ {- x}}

{\ displaystyle y = x ^ {- x}}

(gri, sus) în gamă

(0,1]

{\ displaystyle (0,1]}

(0,1]

.

Dovezile celor două identități sunt similare, deci doar a doua va dovedi aici. Pașii cheie ai demonstrației sunt:

scrie $x^{x}=\exp(x\log x)$ ${\ displaystyle x ^ {x} = \ exp (x \ log x)}$ ${\ displaystyle x ^ {x} = \ exp (x \ log x)}$ (folosind notația $\exp(t)$ ${\ displaystyle \ exp (t)}$ ${\ displaystyle \ exp (t)}$ pentru funcția exponențială $e^{t}$ ${\ displaystyle e ^ {t}}$ ${\ displaystyle e ^ {t}}$ pe baza e );
extinde $\exp(x\log x)$ ${\ displaystyle \ exp (x \ log x)}$ ${\ displaystyle \ exp (x \ log x)}$ folosind seria de putere a exponențialei; Și
integra termen cu termen, folosind integrarea prin substituție .

În detaliu, se extinde $x^{x}$ ${\ displaystyle x ^ {x}}$ $x ^ {x}$ ca

x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}.

{\ displaystyle x ^ {x} = \ exp (x \ log x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}}.}

{\ displaystyle x ^ {x} = \ exp (x \ log x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}}.}

Prin urmare, $\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx.}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ int _ {0} ^ {1} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx.}$

Pentru convergența uniformă a seriei de puteri, putem schimba suma cu integrala și obținem

\int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {x} \, dx = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx.}

Pentru a evalua integralele de mai sus, puteți schimba variabila folosind substituția $x=\exp \left(-{\frac {u}{n+1}}\right)$ ${\ displaystyle x = \ exp \ left (- {\ frac {u} {n + 1}} \ right)}$ ${\ displaystyle x = \ exp \ left (- {\ frac {u} {n + 1}} \ right)}$ . Odată cu această schimbare de variabilă, extremele integrării devin $0<u<\infty$ ${\ displaystyle 0 <u <\ infty}$ ${\ displaystyle 0 <u <\ infty}$ , furnizarea identității

\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (\ log \, x) ^ {n} \, dx = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- ( n + 1)} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {n} e ^ {- u} \, du.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (\ log \, x) ^ {n} \, dx = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- ( n + 1)} \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {n} e ^ {- u} \, du.}

Conform identității integrale a lui Euler pentru funcția Gamma , avem

\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du=n!,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {n} e ^ {- u} \, du = n!,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} u ^ {n} e ^ {- u} \, du = n!,}

astfel încât

\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx = (- 1) ^ {n} ( n + 1) ^ {- (n + 1)}.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ log x) ^ {n}} {n!}} \, dx = (- 1) ^ {n} ( n + 1) ^ {- (n + 1)}.}

Adăugarea (și schimbarea indexului astfel încât să înceapă în $n=1$ ${\ displaystyle n = 1}$ $n = 1$ in loc de $n=0$ ${\ displaystyle n = 0}$ $n = 0$ ), identitatea este derivată.

Demonstrație istorică

Dovada originală, dată în Bernoulli (1697) și prezentată în forma modernă în Dunham (2005), diferă de cele de mai sus prin modul în care se calculează integralul de la un termen la altul $\int _{0}^{1}x^{n}(\log \,x)^{n}\,dx$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (\ log \, x) ^ {n} \, dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (\ log \, x) ^ {n} \, dx}$ , dar este totuși la fel, omițând detalii tehnice pentru a justifica pașii (cum ar fi integrarea). În loc să schimbe variabila, obținând funcția Gamma (care nu era încă cunoscută), Bernoulli a folosit integrarea pieselor pentru a calcula iterativ termeni.

Integrarea pe părți se desfășoară după cum urmează, variind independent cei doi exponenți pentru a obține o formulă recursivă. Se calculează inițial o integrală nedefinită, omițând constanta de integrare $+C$ ${\ displaystyle + C}$ ${\ displaystyle + C}$ atât pentru că istoric a fost așa, cât și pentru că dispare atunci când este evaluată integralul definit. Poate fi integrat $\scriptstyle \int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx}$ luând $u=(\ln x)^{n}$ ${\ displaystyle u = (\ ln x) ^ {n}}$ ${\ displaystyle u = (\ ln x) ^ {n}}$ Și $dv=x^{m}dx$ ${\ displaystyle dv = x ^ {m} dx}$ ${\ displaystyle dv = x ^ {m} dx}$ , din care obținem:

{\begin{aligned}\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx&={\frac {x^{m+1}(\ln x)^{n}}{m+1}}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m+1}{\frac {(\ln x)^{n-1}}{x}}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\\&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}(\ln x)^{n}-{\frac {n}{m+1}}\int x^{m}(\ln x)^{n-1}\,dx\qquad {\text{(for }}m\neq -1{\text{)}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx & = {\ frac {x ^ {m + 1} (\ ln x) ^ {n} } {m + 1}} - {\ frac {n} {m + 1}} \ int x ^ {m + 1} {\ frac {(\ ln x) ^ {n-1}} {x}} \ , dx \ qquad {\ text {(pentru}} m \ neq -1 {\ text {)}} \\ & = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} (\ ln x ) ^ {n} - {\ frac {n} {m + 1}} \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n-1} \, dx \ qquad {\ text {(for}} m \ neq -1 {\ text {)}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx & = {\ frac {x ^ {m + 1} (\ ln x) ^ {n} } {m + 1}} - {\ frac {n} {m + 1}} \ int x ^ {m + 1} {\ frac {(\ ln x) ^ {n-1}} {x}} \ , dx \ qquad {\ text {(pentru}} m \ neq -1 {\ text {)}} \\ & = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} (\ ln x ) ^ {n} - {\ frac {n} {m + 1}} \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n-1} \, dx \ qquad {\ text {(for}} m \ neq -1 {\ text {)}} \ end {align}}}

(și în Tabelul integralelor nedeterminate ale funcțiilor logaritmice ). Această metodă se reduce cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ puterea logaritmului în integrand și astfel integrala poate fi calculată inductiv , obținând

\int x^{m}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(m+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}

{\ displaystyle \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \ cdot \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {(n) _ {i}} {(m + 1) ^ {i}}} (\ ln x) ^ {ni}}

{\ displaystyle \ int x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} \, dx = {\ frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \ cdot \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {(n) _ {i}} {(m + 1) ^ {i}}} (\ ln x) ^ {ni}}

unde este $(n)_{i}$ ${\ displaystyle (n) _ {i}}$ ${\ displaystyle (n) _ {i}}$ indică factorialul descrescător ; apare o sumă finită deoarece inducția se oprește la, deoarece $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un întreg.

În acest caz $m=n$ ${\ displaystyle m = n}$ $m = n$ , și sunt numere întregi, prin urmare

\int x^{n}(\ln x)^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}\cdot \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\frac {(n)_{i}}{(n+1)^{i}}}(\ln x)^{n-i}.

{\ displaystyle \ int x ^ {n} (\ ln x) ^ {n} \, dx = {\ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} \ cdot \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {(n) _ {i}} {(n + 1) ^ {i}}} (\ ln x) ^ {ni}.}

{\ displaystyle \ int x ^ {n} (\ ln x) ^ {n} \, dx = {\ frac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} \ cdot \ sum _ {i = 0 } ^ {n} (- 1) ^ {i} {\ frac {(n) _ {i}} {(n + 1) ^ {i}}} (\ ln x) ^ {ni}.}

Prin integrarea dintr-un $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , toți termenii se anulează, cu excepția ultimului din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ , ^[2] obținem:

\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\ln x)^{n}}{n!}}\,dx={\frac {1}{n!}}{\frac {1^{n+1}}{n+1}}(-1)^{n}{\frac {(n)_{n}}{(n+1)^{n}}}=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ ln x) ^ {n}} {n!}} \, dx = {\ frac {1} {n! }} {\ frac {1 ^ {n + 1}} {n + 1}} (- 1) ^ {n} {\ frac {(n) _ {n}} {(n + 1) ^ {n} }} = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- (n + 1)}.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {x ^ {n} (\ ln x) ^ {n}} {n!}} \, dx = {\ frac {1} {n! }} {\ frac {1 ^ {n + 1}} {n + 1}} (- 1) ^ {n} {\ frac {(n) _ {n}} {(n + 1) ^ {n} }} = (- 1) ^ {n} (n + 1) ^ {- (n + 1)}.}

Din punct de vedere modern, aceasta este (mai puțin decât o constantă multiplicativă) atunci când se calculează identitatea integrală a lui Euler $\Gamma (n+1)=n!$ ${\ displaystyle \ Gamma (n + 1) = n!}$ $\ Gamma (n + 1) = n!$ pentru funcția Gamma într-un domeniu diferit (corespunzător schimbării variabilei), deoarece aceasta din urmă poate fi ea însăși calculată prin integrări repetate pe părți.

Notă

^ Greșit, cu excepția cazului în care lucrați la un inel comutativ de câmp sau unitate cu caracteristică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , de sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr prim (vezi endomorfismul lui Frobenius ), altfel factorul său. Rezultatul corect este dat de teorema binomului .
^ Toți termenii se anulează de ce $\lim _{x\to 0^{+}}x^{m}(\ln x)^{n}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} = 0}$ după regula de l’Hôpital (Bernoulli a omis tehnic pasajul) și toate, cu excepția primei anulări din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ atâta timp cât $\ln(1)=0$ ${\ displaystyle \ ln (1) = 0}$ ${\ displaystyle \ ln (1) = 0}$ .

Bibliografie

Formulă

Johann Bernoulli, 1697, colectat în Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
Jonathan Borwein, David H. Bailey și Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery , 2004, pp. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9 .
William Dunham, 3: Bernoullis (Johann și $x^{x}$ ${\ displaystyle x ^ {x}}$ $x ^ {x}$ ) , în The Calculus Gallery, Capodopere de la Newton la Lebesgue , Princeton, NJ, Princeton University Press, 2005, pp. 46 -51, ISBN 978-0-691-09565-3 .
OEIS , (succesiunea A083648 în OEIS) și (succesiunea A073009 în OEIS)
Weisstein, Eric W. „Visul lui Sophomore” . MathWorld .
Max RP Grossmann (2017): Visul lui Sophomore. 1.000.000 de cifre ale primei constante

Funcția x ^x

Literatura pentru x ^ x și Visul lui Sophomore , Tetration Forum, 03/02/2010
The Coupled Exponential , Jay A. Fantini, Gilbert C. Kloepfer, 1998
Funcția visului lui Sophomore , Jean Jacquelin, 2010, 13 pp.
DH Lehmer, Numere asociate cu numerele Stirling și x ^x , în Rocky Mountain Journal of Mathematics , vol. 15, 1985, p. 461, DOI : 10.1216 / RMJ-1985-15-2-461 .
HW Gould, Un set de polinoame asociate cu derivatele superioare ale y = x ^x , în Rocky Mountain Journal of Mathematics , vol. 26, 1996, p. 615, DOI : 10.1216 / rmjm / 1181072076 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Greșit, cu excepția cazului în care lucrați la un inel comutativ de câmp sau unitate cu caracteristică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ , de sine $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr prim (vezi endomorfismul lui Frobenius ), altfel factorul său. Rezultatul corect este dat de teorema binomului .

[2] Toți termenii se anulează de ce $\lim _{x\to 0^{+}}x^{m}(\ln x)^{n}=0$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0 ^ {+}} x ^ {m} (\ ln x) ^ {n} = 0}$ după regula de l’Hôpital (Bernoulli a omis tehnic pasajul) și toate, cu excepția primei anulări din $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ atâta timp cât $\ln(1)=0$ ${\ displaystyle \ ln (1) = 0}$ ${\ displaystyle \ ln (1) = 0}$ .

[1]

[2]