Stare consecventă

În mecanica cuantică, o stare coerentă este un tip de stare a oscilatorului armonic cuantic a cărui dinamică seamănă foarte mult cu comportamentul oscilator al unui oscilator armonic clasic. A fost primul exemplu de dinamică cuantică atunci când Erwin Schrödinger a derivat-o în 1926 în timp ce încerca să obțină soluțiile ecuației Schrödinger care să satisfacă principiul corespondenței .

Oscilator armonic cuantic

Același subiect în detaliu: oscilator armonic cuantic .

În mecanica cuantică , oscilatorul armonic cuantic este tratamentul unui sistem caracterizat de un potențial armonic . Rezolvarea unui sistem în mecanica cuantică înseamnă găsirea stărilor Hamiltonianului și valorile energetice corespunzătoare sau rezolvarea ecuației Schrödinger și găsirea funcției de undă care descrie sistemul .

Hamiltonianul sistemului este:

{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} { \ hat {x}} ^ {2}}

{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} { \ hat {x}} ^ {2}}

unde am presupus că sistemul este unidimensional.

Există două modalități de a rezolva acest sistem: unul analitic , care se bazează pe soluția ecuației Schrödinger și unul algebric , care se bazează exclusiv pe algebra operatorilor ${\hat {p}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ și ${\hat {x}}$ ${\ displaystyle {\ hat {x}}}$ ${\ hat {x}}$ (vezi comutator ), metodă dezvoltată de Paul Adrien Maurice Dirac .

Definiția consistent state

O stare coerentă este o stare proprie a operatorului de anihilare (sau distrugere), prin urmare îndeplinește ecuația valorii proprii:

{\hat {a}}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle

{\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle}

{\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = \ alpha | \ alpha \ rangle}

cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în general complex de ce ${\hat {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ nu este Hermitian . Operatorul de distrugere este în general definit ca:

{\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+i{\frac {p}{m\omega }}\right)

{\ displaystyle {\ hat {a}} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}}} \ left (x + i {\ frac {p} {m \ omega}} \ right) }

{\ displaystyle {\ hat {a}} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}}} \ left (x + i {\ frac {p} {m \ omega}} \ right) }

Se poate arăta că o stare coerentă poate fi exprimată ca

|\alpha \rangle =e^{\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}}}|0\rangle =D(\alpha )|0\rangle

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {\ alpha {\ hat {a}} ^ {\ dagger} - \ alpha ^ {*} {\ hat {a}}} | 0 \ rangle = D (\ alpha ) | 0 \ rangle}

{\ displaystyle | \ alpha \ rangle = e ^ {\ alpha {\ hat {a}} ^ {\ dagger} - \ alpha ^ {*} {\ hat {a}}} | 0 \ rangle = D (\ alpha ) | 0 \ rangle}

unde este ${\hat {a}}^{\dagger }$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$ este operatorul adjunct al ${\hat {a}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ Și $|0\rangle$ ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$ $| 0 \ rangle$ este starea fundamentală.

Coeficienții $c_{n}=\langle {n}|\alpha \rangle$ ${\ displaystyle c_ {n} = \ langle {n} | \ alpha \ rangle}$ ${\ displaystyle c_ {n} = \ langle {n} | \ alpha \ rangle}$ , unde $|n\rangle$ ${\ displaystyle | n \ rangle}$ ${\ displaystyle | n \ rangle}$ sunt stările proprii ale hamiltonienului oscilatorului armonic, sunt infinit în mod natural și sunt obținute din următoarea relație

c_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}e^{-{\frac {{|\alpha |}^{2}}{2}}}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} e ^ {- {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2}} {2} }}}

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} e ^ {- {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2}} {2} }}}

De fapt, din definiția stării coerente și din moment ce operatorul de creație acționează în acest fel ${\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger} | n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} | n + 1 \ rangle}$ :

c_{0}=\langle 0|\alpha \rangle ={\frac {1}{\alpha }}\langle 0|{\hat {a}}|\alpha \rangle ={\frac {\sqrt {1}}{\alpha }}\langle 1|\alpha \rangle ={\frac {\sqrt {1}}{\alpha ^{2}}}\langle 1|{\hat {a}}|\alpha \rangle ={\frac {{\sqrt {1}}{\sqrt {2}}}{\alpha ^{2}}}\langle 2|\alpha \rangle =\ldots ={\frac {\sqrt {n!}}{\alpha ^{n}}}\langle n|\alpha \rangle ={\frac {\sqrt {n!}}{\alpha ^{n}}}c_{n}\;\;\;\;\longrightarrow \;\;\;\;c_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{\sqrt {n!}}}c_{0}

{\ displaystyle c_ {0} = \ langle 0 | \ alpha \ rangle = {\ frac {1} {\ alpha}} \ langle 0 | {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = {\ frac {\ sqrt {1}} {\ alpha}} \ langle 1 | \ alpha \ rangle = {\ frac {\ sqrt {1}} {\ alpha ^ {2}}} \ langle 1 | {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = {\ frac {{\ sqrt {1}} {\ sqrt {2}}} {\ alpha ^ {2}}} \ langle 2 | \ alpha \ rangle = \ ldots = {\ frac {\ sqrt {n!}} {\ alpha ^ {n}}} \ langle n | \ alpha \ rangle = {\ frac {\ sqrt {n!}} {\ alpha ^ {n}}} c_ {n} \; \; \; \; \ longrightarrow \; \; \; \; c_ {n} = {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} c_ {0}}

{\ displaystyle c_ {0} = \ langle 0 | \ alpha \ rangle = {\ frac {1} {\ alpha}} \ langle 0 | {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = {\ frac {\ sqrt {1}} {\ alpha}} \ langle 1 | \ alpha \ rangle = {\ frac {\ sqrt {1}} {\ alpha ^ {2}}} \ langle 1 | {\ hat {a}} | \ alpha \ rangle = {\ frac {{\ sqrt {1}} {\ sqrt {2}}} {\ alpha ^ {2}}} \ langle 2 | \ alpha \ rangle = \ ldots = {\ frac {\ sqrt {n!}} {\ alpha ^ {n}}} \ langle n | \ alpha \ rangle = {\ frac {\ sqrt {n!}} {\ alpha ^ {n}}} c_ {n} \; \; \; \; \ longrightarrow \; \; \; \; c_ {n} = {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} c_ {0}}

Valoarea inițială $c_{0}=e^{-{\frac {{|\alpha |}^{2}}{2}}}$ ${\ displaystyle c_ {0} = e ^ {- {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2}} {2}}}}$ ${\ displaystyle c_ {0} = e ^ {- {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2}} {2}}}}$ se obține prin impunerea condiției de normalizare a probabilității:

1=\sum _{n=0}^{+\infty }{|c_{n}|}^{2}={|c_{0}|}^{2}\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {{{\bigl (}{|\alpha |}^{2}{\bigr )}}^{n}}{n!}}={|c_{0}|}^{2}e^{{|\alpha |}^{2}}\;\;\;\;\Longrightarrow \;\;\;\;c_{0}=e^{-{\frac {{|\alpha |}^{2}}{2}}}

{\ displaystyle 1 = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2} = {| c_ {0} |} ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {{{\ bigl (} {| \ alpha |} ^ {2} {\ bigr)}} ^ {n}} {n!}} = {| C_ {0 } |} ^ {2} e ^ {{| \ alpha |} ^ {2}} \; \; \; \; \ Longrightarrow \; \; \; \; c_ {0} = e ^ {- {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2}} {2}}}}

{\ displaystyle 1 = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2} = {| c_ {0} |} ^ {2} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {\ frac {{{\ bigl (} {| \ alpha |} ^ {2} {\ bigr)}} ^ {n}} {n!}} = {| C_ {0 } |} ^ {2} e ^ {{| \ alpha |} ^ {2}} \; \; \; \; \ Longrightarrow \; \; \; \; c_ {0} = e ^ {- {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2}} {2}}}}

unde a fost ales prin convenție $c_{0}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle c_ {0} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle c_ {0} \ in \ mathbb {R}}$ . Este important de remarcat modul în care forma cadru a acestei succesiuni

P(n)={|c_{n}|}^{2}={\frac {{|\alpha |}^{2n}}{n!}}e^{{-|\alpha |}^{2}}

{\ displaystyle P (n) = {| c_ {n} |} ^ {2} = {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2n}} {n!}} e ^ {{- | \ alpha | } ^ {2}}}

{\ displaystyle P (n) = {| c_ {n} |} ^ {2} = {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2n}} {n!}} e ^ {{- | \ alpha | } ^ {2}}}

reprezintă o distribuție Poisson , care prezintă valoarea maximă, adică cea mai probabilă valoare, pentru $n={|\alpha |}^{2}$ ${\ displaystyle n = {| \ alpha |} ^ {2}}$ ${\ displaystyle n = {| \ alpha |} ^ {2}}$ . De fapt, pentru această valoare

E_{n}=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega =\left({|\alpha |}^{2}+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega

{\ displaystyle E_ {n} = \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ hbar \ omega = \ left ({| \ alpha |} ^ {2} + {\ frac {1 } {2}} \ right) \ hbar \ omega}

{\ displaystyle E_ {n} = \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) \ hbar \ omega = \ left ({| \ alpha |} ^ {2} + {\ frac {1 } {2}} \ right) \ hbar \ omega}

precum și valoarea medie a hamiltonianului asupra unei stări coerente:

\langle \alpha |{\hat {H}}|\alpha \rangle =\sum _{n=0}^{+\infty }{|c_{n}|}^{2}E_{n}={\frac {1}{2}}\hbar \omega \underbrace {\sum _{n=0}^{+\infty }{|c_{n}|}^{2}} _{=1}+\sum _{n=0}^{+\infty }{|c_{n}|}^{2}n\hbar \omega ={\frac {\hbar \omega }{2}}+\hbar \omega \sum _{n=1}^{+\infty }e^{-{|\alpha |}^{2}}{\frac {{|\alpha |}^{2n}}{n!}}n=

{\ displaystyle \ langle \ alpha | {\ hat {H}} | \ alpha \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2} E_ {n } = {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega \ underbrace {\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2}} _ {= 1 } + \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2} n \ hbar \ omega = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} + \ hbar \ omega \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} e ^ {- {| \ alpha |} ^ {2}} {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2n}} {n!} } n =}

{\ displaystyle \ langle \ alpha | {\ hat {H}} | \ alpha \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2} E_ {n } = {\ frac {1} {2}} \ hbar \ omega \ underbrace {\ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2}} _ {= 1 } + \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} {| c_ {n} |} ^ {2} n \ hbar \ omega = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} + \ hbar \ omega \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} e ^ {- {| \ alpha |} ^ {2}} {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2n}} {n!} } n =}

decât plasarea $k=n-1$ ${\ displaystyle k = n-1}$ $k = n-1$ :

={\frac {\hbar \omega }{2}}+\hbar \omega \sum _{k=0}^{+\infty }e^{-{|\alpha |}^{2}}{\frac {{|\alpha |}^{2(k+1)}}{k!}}={\frac {\hbar \omega }{2}}+\hbar \omega {|\alpha |}^{2}\underbrace {\sum _{k=0}^{+\infty }e^{-{|\alpha |}^{2}}{\frac {{|\alpha |}^{2k}}{k!}}} _{=1}=\left({|\alpha |}^{2}+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega

{\ displaystyle = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} + \ hbar \ omega \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} e ^ {- {| \ alpha |} ^ {2} } {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2 (k + 1)}} {k!}} = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} + \ hbar \ omega {| \ alpha | } ^ {2} \ underbrace {\ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} e ^ {- {| \ alpha |} ^ {2}} {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2k }} {k!}}} _ {= 1} = \ left ({| \ alpha |} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ right) \ hbar \ omega}

{\ displaystyle = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} + \ hbar \ omega \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} e ^ {- {| \ alpha |} ^ {2} } {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2 (k + 1)}} {k!}} = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} + \ hbar \ omega {| \ alpha | } ^ {2} \ underbrace {\ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} e ^ {- {| \ alpha |} ^ {2}} {\ frac {{| \ alpha |} ^ {2k }} {k!}}} _ {= 1} = \ left ({| \ alpha |} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ right) \ hbar \ omega}

Funcția de undă a unei stări coerente

O stare consecventă în acel moment $t_{0}=0$ ${\ displaystyle t_ {0} = 0}$ $t_ {0} = 0$ rămâne consecvent pentru vremuri $t>t_{0}$ ${\ displaystyle t> t_ {0}}$ ${\ displaystyle t> t_ {0}}$ , adică dacă $|\alpha (t)\rangle =U(t,0)|\alpha (0)\rangle$ ${\ displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = U (t, 0) | \ alpha (0) \ rangle}$ ${\ displaystyle | \ alpha (t) \ rangle = U (t, 0) | \ alpha (0) \ rangle}$ (conform reprezentării lui Schrödinger) atunci ${\hat {a}}|\alpha (t)\rangle =\alpha (t)|\alpha (t)\rangle$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha (t) \ rangle = \ alpha (t) | \ alpha (t) \ rangle}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} | \ alpha (t) \ rangle = \ alpha (t) | \ alpha (t) \ rangle}$ cu

\alpha (t)=e^{-i\omega t}\alpha (0)

{\ displaystyle \ alpha (t) = e ^ {- i \ omega t} \ alpha (0)}

{\ displaystyle \ alpha (t) = e ^ {- i \ omega t} \ alpha (0)}

Prin urmare, în spațiul de coordonate, înmulțind cu sutienul $\langle x|$ ${\ displaystyle \ langle x |}$ ${\ displaystyle \ langle x |}$ , relația anterioară este echivalentă cu rezolvarea următoarei ecuații diferențiale:

{\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {\hbar }{m\omega }}{\frac {\partial }{\partial x}}\right)\psi _{\alpha }(x,t)=\alpha (t)\psi _{\alpha }(x,t)

{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}}} \ left (x + {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {\ partial} {\ partial x }} \ right) \ psi _ {\ alpha} (x, t) = \ alpha (t) \ psi _ {\ alpha} (x, t)}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}}} \ left (x + {\ frac {\ hbar} {m \ omega}} {\ frac {\ partial} {\ partial x }} \ right) \ psi _ {\ alpha} (x, t) = \ alpha (t) \ psi _ {\ alpha} (x, t)}

pe care îl admite ca soluție

\psi _{\alpha }(x,t)={\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)}^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {m\omega }{2\hbar }}{\left(x-{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]\right)}^{2}+i{\sqrt {\frac {2m\omega }{\hbar }}}\Im [\alpha (t)]x+i\theta (t)}

{\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (x, t) = {\ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right)} ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} {\ left (x - {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ Re [\ alpha (t) ] \ right)} ^ {2} + i {\ sqrt {\ frac {2m \ omega} {\ hbar}}} \ Im [\ alpha (t)] x + i \ theta (t)}}

{\ displaystyle \ psi _ {\ alpha} (x, t) = {\ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right)} ^ {\ frac {1} {4}} e ^ {- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} {\ left (x - {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ Re [\ alpha (t) ] \ right)} ^ {2} + i {\ sqrt {\ frac {2m \ omega} {\ hbar}}} \ Im [\ alpha (t)] x + i \ theta (t)}}

unde este $\theta (t)$ ${\ displaystyle \ theta (t)}$ $\ theta (t)$ este o fază care trebuie determinată prin impunerea faptului că funcția de undă satisface ecuația Schrödinger. Rezultă că:

\theta (t)=-{\frac {\omega t}{2}}+{\frac {|\alpha (0)|^{2}\sin(2\omega t-2\sigma )}{2}}\;\;\;\;\qquad {\mbox{con }}\;\;\;\;\alpha (0)\equiv |\alpha (0)|\exp(i\sigma )

{\ displaystyle \ theta (t) = - {\ frac {\ omega t} {2}} + {\ frac {| \ alpha (0) | ^ {2} \ sin (2 \ omega t-2 \ sigma) } {2}} \; \; \; \; \ qquad {\ mbox {con}} \; \; \; \; \ alpha (0) \ equiv | \ alpha (0) | \ exp (i \ sigma )}}

{\ displaystyle \ theta (t) = - {\ frac {\ omega t} {2}} + {\ frac {| \ alpha (0) | ^ {2} \ sin (2 \ omega t-2 \ sigma) } {2}} \; \; \; \; \ qquad {\ mbox {con}} \; \; \; \; \ alpha (0) \ equiv | \ alpha (0) | \ exp (i \ sigma )}}

unde este $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ este faza inițială a valorii proprii.

Valorile medii ale poziției și momentului fluctuează ca un sistem clasic:

\langle {\hat {x}}(t)\rangle ={\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\Re [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {\frac {2\hbar }{m\omega }}}\cos(\sigma -\omega t)

{\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} (t) \ rangle = {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ Re [\ alpha (t)] = | \ alpha ( 0) | {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ cos (\ sigma - \ omega t)}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} (t) \ rangle = {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ Re [\ alpha (t)] = | \ alpha ( 0) | {\ sqrt {\ frac {2 \ hbar} {m \ omega}}} \ cos (\ sigma - \ omega t)}

\langle {\hat {p}}(t)\rangle ={\sqrt {2m\hbar \omega }}\Im [\alpha (t)]=|\alpha (0)|{\sqrt {2m\hbar \omega }}\sin(\sigma -\omega t)

{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} (t) \ rangle = {\ sqrt {2m \ hbar \ omega}} \ Im [\ alpha (t)] = | \ alpha (0) | {\ sqrt { 2m \ hbar \ omega}} \ sin (\ sigma - \ omega t)}

{\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} (t) \ rangle = {\ sqrt {2m \ hbar \ omega}} \ Im [\ alpha (t)] = | \ alpha (0) | {\ sqrt { 2m \ hbar \ omega}} \ sin (\ sigma - \ omega t)}

în timp ce densitatea probabilității rămâne un Gauss centrat pe această valoare medie oscilând în timp:

|\psi _{\alpha }(x,t)|^{2}={\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar \pi }}}e^{-{\frac {m\omega }{\hbar }}\left(x-\langle {\hat {x}}(t)\rangle \right)^{2}}

{\ displaystyle | \ psi _ {\ alpha} (x, t) | ^ {2} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar \ pi}}} e ^ {- {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ left (x- \ langle {\ hat {x}} (t) \ rangle \ right) ^ {2}}}

{\ displaystyle | \ psi _ {\ alpha} (x, t) | ^ {2} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar \ pi}}} e ^ {- {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ left (x- \ langle {\ hat {x}} (t) \ rangle \ right) ^ {2}}}

În cele din urmă, se poate arăta că statele coerente satisfac cel puțin principiul incertitudinii : ${\left({D{\hat {x}}}_{\alpha }\right)}^{2}{\left({D{\hat {p}}}_{\alpha }\right)}^{2}={\frac {\hbar ^{2}}{4}}$ ${\ displaystyle {\ left ({D {\ hat {x}}} _ {\ alpha} \ right)} ^ {2} {\ left ({D {\ hat {p}}} _ {\ alpha} \ dreapta)} ^ {2} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ left ({D {\ hat {x}}} _ {\ alpha} \ right)} ^ {2} {\ left ({D {\ hat {p}}} _ {\ alpha} \ dreapta)} ^ {2} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4}}}$ .

Bibliografie

David J. Griffiths , Introducere în mecanica cuantică , ediția a II-a, Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-805326-X .
Liboff, Richard L. , Introductory Quantum Mechanics , Addison-Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8714-5 .

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere în stare consecventă

Controlul autorității	Tezaur BNCF 54612 · LCCN (EN) sh86003890 · GND (DE) 4125526-4 · BNF (FR) cb122647498 (data)

Portalul de fizică

Portal cuantic