Curba tautocronă

Patru bule curg pe o curbă cicloidă din diferite poziții, toate ajungând în jos în același timp. Săgeata albastră arată accelerarea punctelor de-a lungul curbei. Deasupra diagramei timp-poziție.

Realizarea unei curbe tautocronice

O curbă tautocronă sau izocronă (de la prefixul grecesc tauto- , care înseamnă „același” sau iso- , „egal” și crono , „timp”) este curba pentru care timpul luat de un obiect care curge fără frecare cu interacțiune uniformă gravitațional până la punctul cel mai jos este independent de punctul de plecare. Curba este o cicloidă , iar timpul este egal cu π ori rădăcina pătrată a razei (a întregului cerc care generează cicloida) împărțită la accelerația gravitației.

Problema tautochronei

Christian Huygens , Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum , 1673

„Este, de asemenea, [rafinăria balenelor] un loc pentru meditații matematice profunde. A fost în toba de eșapament stângă a lui Pequod, în timp ce piatra de săpun se învârtea în jurul meu, că pentru prima dată am fost impresionat de faptul remarcabil că, în geometrie, toate corpurile care alunecă pe cicloid, de exemplu, piatra mea de săpun, din orice punct descendent are întotdeauna același timp. "

( Moby Dick de Herman Melville , 1851 )

Problema tautochronei, încercarea de a identifica o astfel de curbă, a fost rezolvată de Christiaan Huygens în 1659. El a demonstrat geometric în Horologium oscillatorium , publicat inițial în 1673, că curba era o cicloidă . ^[1]

Huygens a dovedit, de asemenea, că timpul de coborâre este egal cu timpul necesar unui corp pentru a parcurge vertical aceeași distanță cu diametrul cercului care generează cicloidul înmulțit cu π / 2. În termeni moderni, aceasta înseamnă că timpul de coborâre este $\pi {\sqrt {r/g}}$ ${\ displaystyle \ pi {\ sqrt {r / g}}}$ ${\ displaystyle \ pi {\ sqrt {r / g}}}$ , unde r este raza cercului care generează cicloida și g este accelerația gravitației Pământului .

Cinci penduluri cicloidale izocrone cu amplitudini diferite

Această soluție a fost folosită ulterior pentru a încerca să rezolve problema curbei brahistocrone . Jakob Bernoulli a rezolvat-o într-un articol ( Acta Eruditorum , 1690) în care utilizarea termenului „ integral ” a fost publicată pentru prima dată. ^[2]

Diagrama unui pendul cicloidal

Problema tautochronei a fost studiată de Huygens în profunzime, în special în legătură cu mișcarea pendulului .

Ulterior, matematicienii Joseph-Louis Lagrange și Euler au oferit o soluție analitică la problemă.

Notă

^ (EN) Richard J. Blackwell, The Pendulum Clock de Christiaan Huygens, Ames, Iowa, Iowa State University Press, 1986, ISBN 0-8138-0933-9 . Partea II, Propunerea XXV, p. 69.
^ (EN) Jeff Miller, Utilizări cunoscute timpurii ale unor cuvinte ale matematicii (I) , de la jeff560.tripod.com, 20 iulie 2010. Accesat la 28 iunie 2012.

Bibliografie

(EN) George Simmons, Ecuații diferențiale cu aplicații și note istorice, McGraw-Hill, 1972, ISBN 0-07-057540-1 .
(EN) Richard Proctor, A Treatise on the Cycloid and all forms of cycloidal curves , al Cornell University Library, 1878.

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe curbă tautocronă

linkuri externe

( EN ) Eric W. Weisstein,curba Tautochronous , în MathWorld , Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] (EN) Richard J. Blackwell, The Pendulum Clock de Christiaan Huygens, Ames, Iowa, Iowa State University Press, 1986, ISBN 0-8138-0933-9 . Partea II, Propunerea XXV, p. 69.

[2] (EN) Jeff Miller, Utilizări cunoscute timpurii ale unor cuvinte ale matematicii (I) , de la jeff560.tripod.com, 20 iulie 2010. Accesat la 28 iunie 2012.

[1]

[2]