Teorema lui Earnshaw

Teorema lui Earnshaw afirmă că o colecție de sarcini punctuale nu poate fi menținută într-o configurație stabilă de echilibru numai prin interacțiunea electrostatică a sarcinilor. Acest rezultat a fost demonstrat pentru prima dată de matematicianul englez Samuel Earnshaw în 1842 . Deși este denumită de obicei câmpuri magnetice, la început se referea la câmpuri electrostatice. Teorema se aplică forțelor clasice caracterizate de legea „ pătratului invers al distanței ” ( electric și gravitațional ) și, de asemenea, forțelor magnetice ale magneților permanenți și ale materialelor paramagnetice , sau combinațiile acestora (dar nu și materialelor diamagnetice ).

Explicaţie

În mod informal, cazul unei sarcini punctuale într-un câmp electrostatic arbitrar este o simplă consecință a legii lui Gauss . Pentru ca o particulă să fie în echilibru stabil, mici perturbații („împingeri”) asupra particulei în orice direcție nu ar trebui să rupă acel echilibru; particula ar trebui să „cadă întotdeauna” în poziția sa anterioară. Aceasta înseamnă că liniile câmpului de forță din jurul poziției de echilibru a particulei ar trebui să se îndrepte spre interior, adică spre acea poziție. Dacă toate liniile câmpului înconjurător indică punctul de echilibru, atunci divergența câmpului în acel punct particular trebuie să fie negativă (adică acel punct acționează ca o "scufundare"). Pe de altă parte, legea lui Gauss stabilește că într-un spațiu gol orice câmp de forță electrică $\mathbf {F} (\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} (\ mathbf {r})}$ care decurge dintr-un potențial $U(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle U (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle U (\ mathbf {r})}$ este indivergent sau că divergența sa este zero în orice moment:

\nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot (-\nabla U)=-\nabla ^{2}U=0.

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot (- \ nabla U) = - \ nabla ^ {2} U = 0.}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {F} = \ nabla \ cdot (- \ nabla U) = - \ nabla ^ {2} U = 0.}

Prin urmare, nu pot exista minime locale sau maxime în câmpul potențial într-un spațiu gol, ci doar puncte de șa . Un echilibru stabil al particulei nu poate exista și trebuie să existe instabilitate în cel puțin o direcție.

Pentru a fi complet riguros, strict vorbind, existența unui punct stabil nu necesită ca toți vectorii forței înconjurătoare să se îndrepte exact către punctul de echilibru; vectorii de forță ar putea spirala spre acel punct, de exemplu. O modalitate de a rezolva acest lucru este să ne amintim că, pe lângă divergență, rotorul oricărui câmp de forță electrică în vid este, de asemenea, zero (rețineți că acest lucru este aproximativ echivalent cu conservarea energiei ).

Această teoremă afirmă, de asemenea, că nu există o configurație statică posibilă a feromagnetilor capabili să leviteze stabil un obiect împotriva gravitației, chiar și atunci când forțele magnetice sunt mai puternice decât cele gravitaționale.

Teorema lui Earnshaw a fost dovedită și în cazul corpurilor extinse și acest lucru este valabil și atunci când sunt flexibile și conductoare, atâta timp cât nu sunt diamagnetice ^[1] ^[2] , deoarece diamagnetismul provoacă o forță (mică) de respingere, dar nici o atracție.

Există, totuși, mai multe excepții de la ipotezele acestei teoreme, care permit levitația magnetică .

Lacune

Teorema lui Earnshaw nu are excepții pentru feromagnetii permanenți imobile. Cu toate acestea, feromagnetii în mișcare, unele sisteme electromagnetice , pseudo-levitația și materialele diamagnetice reprezintă zone pe care teorema lui Earnshaw nu se aplică și, prin urmare, pot fi văzute ca excepții, deși în realitate exploatează limitările teoremei.

Feromagnetii rotativi (cum ar fi Levitron ) pot provoca levitație numai datorită feromagnetilor permanenți. Acestea sunt în mod evident feromagnet în mișcare și nu imobile , așa cum este cerut de teoremă.

Inversarea polarității electromagnetilor vă permite să mențineți un sistem în levitație printr-o cheltuială continuă de energie. Un exemplu în acest sens sunt trenurile de levitație magnetică (sau maglev ).

Pseudo-levitația limitează mișcarea magneților, de obicei prin intermediul unor tipuri de ghidaje sau de reținere. Acest lucru funcționează deoarece teorema arată doar că există o anumită direcție în care va exista instabilitate: limitarea mișcării în acea direcție specială permite levitația în mai puțin de cele trei direcții permise pentru mișcare (rețineți că teorema este dovedită în trei dimensiuni, nu în doi sau într-unul).

Materialele diamagnetice sunt excluse din teoremă, deoarece prezintă doar repulsie către câmpul magnetic, în timp ce teorema are în vedere materiale care prezintă atât repulsie, cât și atracție. Un exemplu amuzant în acest sens este cel al broaștei care levitează ( vezi sub levitația magnetică ).

Consecințe fizice

Teorema lui Earnshaw, împreună cu faptul că configurațiile particulelor încărcate care orbitează una pe cealaltă sunt la fel de instabile datorită radiației electromagnetice, indică faptul că chiar și sistemele de încărcare dinamică sunt instabile pe termen lung. Acest lucru a condus multă vreme să ne întrebăm de ce materia nu se dezintegrează, deoarece s-a dovedit că este ținută împreună de forțe electromagnetice.

Aceste întrebări au dus în cele din urmă la explicații mecanice cuantice ale structurii atomice și sa dovedit că principiul de excludere Pauli este cel care menține materia într-o formă stabilă.

Demonstrații pentru dipoli magnetici

Introducere

Deși există o dovadă mai generală, aici sunt luate în considerare trei cazuri specifice. Primul caz este cel al unui dipol magnetic de intensitate constantă și orientare fixă. Al doilea și al treilea caz se referă, în schimb, la dipoli magnetici în care orientarea se schimbă pentru a rămâne aliniată paralel sau antiparalel cu liniile de câmp ale câmpului extern. În materialele paramagnetice și diamagnetice, dipolii sunt aliniați, respectiv, paralel și antiparalel cu liniile de câmp.

Premisă

Dovezile luate în considerare aici se bazează pe următoarele principii.

Energia $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a unui dipol magnetic cu un moment magnetic $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ într-un câmp magnetic extern $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ este dat de

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}).}

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}).}

Dipolul va levita stabil numai în punctele în care energia este minimă. Energia poate avea valori minime numai în punctele în care Laplacianul energiei este mai mare decât zero; adică unde

\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial z^{2}}>0.

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = {\ partial ^ {2} U \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over \ partial y ^ {2}} + { \ partial ^ {2} U \ over \ partial z ^ {2}}> 0.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = {\ partial ^ {2} U \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over \ partial y ^ {2}} + { \ partial ^ {2} U \ over \ partial z ^ {2}}> 0.}

În cele din urmă, întrucât atât divergența, cât și rotorul unui câmp magnetic sunt zero (în absența unui curent sau a unui câmp electric variabil), Laplacienii componentelor individuale ale unui câmp magnetic sunt zero; sau,

\nabla ^{2}B_{x}=0,\nabla ^{2}B_{y}=0,\nabla ^{2}B_{z}=0.

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = 0, \ nabla ^ {2} B_ {y} = 0, \ nabla ^ {2} B_ {z} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = 0, \ nabla ^ {2} B_ {y} = 0, \ nabla ^ {2} B_ {z} = 0.}

Acest lucru va fi demonstrat la sfârșitul articolului, deoarece este esențial pentru înțelegerea întregii dovezi.

Rezumatul probelor

Pentru un dipol magnetic de orientare fixă (și intensitate constantă), energia va fi dată de

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}),

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}),}

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}),}

unde este $\scriptstyle M_{x}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M_ {x}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M_ {x}}$ , $\scriptstyle M_{y}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M_ {y}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M_ {y}}$ Și $\scriptstyle M_{z}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M_ {z}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle M_ {z}}$ sunt constante. În acest caz, Laplacianul energiei este întotdeauna zero:

\nabla ^{2}U=0,

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = 0,}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = 0,}

astfel încât dipolul să nu aibă nici minimă, nici maximă de energie. Adică, nu există puncte în vid în care dipolul poate fi stabil sau instabil în toate direcțiile.

Dipolii magnetici aliniați paralel sau antiparalel cu un câmp extern, cu intensitatea dipolului proporțional cu câmpul extern, corespund respectiv materialelor paramagnetice și diamagnetice. În aceste cazuri energia va fi dată de

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} =-k(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}),

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B} = -k (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2}),}

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k \ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B} = -k (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2}),}

unde k este o constantă mai mare decât zero pentru materialele paramagnetice și mai mică decât zero pentru materialele diamagnetice.

În acest caz, va dovedi că

\nabla ^{2}(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2})\geq 0,

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2}) \ geq 0,}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2}) \ geq 0,}

care, împreună cu constanta k , arată că materialele paramagnetice pot avea energie maximă, dar nu și minimă, în timp ce materialele diamagnetice pot avea energie minimă, dar nu maximă. Aceasta înseamnă că materialele paramagnetice pot fi instabile (dar nu stabile) în toate direcțiile , în timp ce materialele diamagnetice pot fi stabile (dar nu instabile) în toate direcțiile . Desigur, ambele pot avea puncte de șa.

În cele din urmă, dipolul magnetic al unui material feromagnetic (un magnet permanent), aliniat paralel sau antiparalel cu un câmp magnetic, este dat de

\mathbf {M} =k{\mathbf {B}  \over |\mathbf {B} |},

{\ displaystyle \ mathbf {M} = k {\ mathbf {B} \ over | \ mathbf {B} |},}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = k {\ mathbf {B} \ over | \ mathbf {B} |},}

iar energia sa este deci

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-k{{\mathbf {B} \cdot \mathbf {B} } \over |\mathbf {B} |}=-k{|\mathbf {B} |^{2} \over |\mathbf {B} |}=-k(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2})^{1 \over 2};

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k {{\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B}} \ over | \ mathbf {B} |} = - k { | \ mathbf {B} | ^ {2} \ over | \ mathbf {B} |} = - k (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2 }) ^ {1 \ peste 2};}

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = -k {{\ mathbf {B} \ cdot \ mathbf {B}} \ over | \ mathbf {B} |} = - k { | \ mathbf {B} | ^ {2} \ over | \ mathbf {B} |} = - k (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2 }) ^ {1 \ peste 2};}

dar aceasta este pur și simplu rădăcina pătrată a energiei pentru cazul paramagnetic și diamagnetic văzut mai sus și, deoarece funcția rădăcină pătrată crește monotonă , orice minim sau maxim în cazul paramagnetic și diamagnetic va fi un minim sau un maxim în acest caz, bine. Cu toate acestea, nu există configurații cunoscute ale feromagnetilor capabili să dea o levitație stabilă, deci pot exista și alte motive (care nu vor fi discutate aici) pentru care nu este posibilă menținerea magneților permanenți în (anti) orientare paralelă cu un câmp extern ( cel puțin, nu fără a le roti).

Demonstrație detaliată

Teorema lui Earnshaw a fost inițial formulată pentru electrostatice (sarcini punctuale) pentru a demonstra că nu există configurații stabile ale unei colecții de particule încărcate. Dovezile prezentate mai sus pentru dipoli unici ar trebui să fie generalizate la colecțiile de dipoli magnetici, deoarece acestea sunt formulate în termeni de energie, care este aditivă. Cu toate acestea, un tratament riguros al acestui subiect transcende sfera acestui articol.

Prima demonstrație: dipol magnetic cu orientare fixă

Se va arăta că, în toate punctele unui spațiu gol,

\nabla \cdot (\nabla U)=\nabla ^{2}U={\partial ^{2}U \over {\partial x}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial y}^{2}}+{\partial ^{2}U \over {\partial z}^{2}}=0.

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla U) = \ nabla ^ {2} U = {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial x} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial y} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial z} ^ {2}} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla U) = \ nabla ^ {2} U = {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial x} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial y} ^ {2}} + {\ partial ^ {2} U \ over {\ partial z} ^ {2}} = 0.}

Energia $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ a dipolului magnetic $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ în câmpul magnetic extern $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ este dat de

U=-\mathbf {M} \cdot \mathbf {B} =-(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z}).

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}).}

{\ displaystyle U = - \ mathbf {M} \ cdot \ mathbf {B} = - (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z}).}

Laplacianul său va fi

{\begin{aligned}\nabla ^{2}U=-{\bigg [}&{\frac {\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})}{\partial y^{2}}}+\\+\,&{\frac {\partial ^{2}(M_{x}B_{x}+M_{y}B_{y}+M_{z}B_{z})}{\partial z^{2}}}{\bigg ]}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} U = - {\ bigg [} & {\ frac {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ { y} + M_ {z} B_ {z})} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ { y} + M_ {z} B_ {z})} {\ partial y ^ {2}}} + \\ + \, & {\ frac {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ partial z ^ {2}}} {\ bigg]} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} U = - {\ bigg [} & {\ frac {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ { y} + M_ {z} B_ {z})} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ { y} + M_ {z} B_ {z})} {\ partial y ^ {2}}} + \\ + \, & {\ frac {\ partial ^ {2} (M_ {x} B_ {x} + M_ {y} B_ {y} + M_ {z} B_ {z})} {\ partial z ^ {2}}} {\ bigg]} \ end {align}}}

Prin extinderea și rearanjarea termenilor (și menționând că dipolul $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ este constant), obținem

{\begin{aligned}\nabla ^{2}U=-{\bigg [}&M_{x}\left({\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{x}}{\partial z^{2}}}\right)+M_{y}\left({\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{y}}{\partial z^{2}}}\right)+\\&M_{z}\left({\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}B_{z}}{\partial z^{2}}}\right){\bigg ]}=\\=-&(M_{x}\nabla ^{2}B_{x}+M_{y}\nabla ^{2}B_{y}+M_{z}\nabla ^{2}B_{z})\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} U = - {\ bigg [} & M_ {x} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) + M_ {y} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) + \ \ & M_ {z} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {z}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {z} } {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {z}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) {\ bigg]} = \\ = - & (M_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + M_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + M_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z}) \ end { aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} U = - {\ bigg [} & M_ {x} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {x}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) + M_ {y} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {y}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) + \ \ & M_ {z} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2} B_ {z}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {z} } {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} B_ {z}} {\ partial z ^ {2}}} \ right) {\ bigg]} = \\ = - & (M_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + M_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + M_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z}) \ end { aliniat}}}

dar Laplacienii componentelor unice ale unui câmp magnetic sunt zero în vid (fără a lua în considerare radiația electromagnetică), prin urmare

\nabla ^{2}U=-(M_{x}0+M_{y}0+M_{z}0)=0,

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = - (M_ {x} 0 + M_ {y} 0 + M_ {z} 0) = 0,}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} U = - (M_ {x} 0 + M_ {y} 0 + M_ {z} 0) = 0,}

care completează dovada.

A doua și a treia demonstrație: dipol magnetic aliniat cu liniile de câmp externe

Mai întâi vom lua în considerare cazul unui dipol paramagnetic sau diamagnetic. Energia este dată de

U=-k|\mathbf {B} |^{2}=-k(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2}).

{\ displaystyle U = -k | \ mathbf {B} | ^ {2} = - k (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2}). }

{\ displaystyle U = -k | \ mathbf {B} | ^ {2} = - k (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ {2} + B_ {z} ^ {2}). }

Prin extinderea și rearanjarea termenilor,

{\begin{aligned}\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}&=\nabla ^{2}(B_{x}^{2}+B_{y}^{2}+B_{z}^{2})\\&=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}+B_{x}\nabla ^{2}B_{x}+B_{y}\nabla ^{2}B_{y}+B_{z}\nabla ^{2}B_{z}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} & = \ nabla ^ {2} (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ { 2} + B_ {z} ^ {2}) \\ & = 2 \ left (| \ nabla B_ {x} | ^ {2} + | \ nabla B_ {y} | ^ {2} + | \ nabla B_ {z} | ^ {2} + B_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + B_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + B_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z} \ right) \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} & = \ nabla ^ {2} (B_ {x} ^ {2} + B_ {y} ^ { 2} + B_ {z} ^ {2}) \\ & = 2 \ left (| \ nabla B_ {x} | ^ {2} + | \ nabla B_ {y} | ^ {2} + | \ nabla B_ {z} | ^ {2} + B_ {x} \ nabla ^ {2} B_ {x} + B_ {y} \ nabla ^ {2} B_ {y} + B_ {z} \ nabla ^ {2} B_ {z} \ right) \ end {align}}}

dar din moment ce laplacienii componentelor unice ale câmpului magnetic sunt zero,

\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}=2\left(|\nabla B_{x}|^{2}+|\nabla B_{y}|^{2}+|\nabla B_{z}|^{2}\right);

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} = 2 \ left (| \ nabla B_ {x} | ^ {2} + | \ nabla B_ {y} | ^ {2} + | \ nabla B_ {z} | ^ {2} \ right);}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} = 2 \ left (| \ nabla B_ {x} | ^ {2} + | \ nabla B_ {y} | ^ {2} + | \ nabla B_ {z} | ^ {2} \ right);}

și întrucât pătratul unei intensități este întotdeauna pozitiv,

\nabla ^{2}|\mathbf {B} |^{2}\geq 0.

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} \ geq 0.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} | \ mathbf {B} | ^ {2} \ geq 0.}

După cum sa menționat mai sus, acest lucru înseamnă că energia laplaciană a unui material paramagnetic nu poate fi niciodată pozitivă (fără levitație stabilă), iar energia laplaciană a unui material diamagnetic nu poate fi niciodată negativă (nu există instabilitate în nicio direcție).

În plus, întrucât energia în cazul unui dipol cu o intensitate dată (feromagnetică) aliniată la câmpul extern este egală cu rădăcina pătrată a energiei menționate anterior, i se aplică aceeași analiză.

Laplacieni ai componentelor unice ale unui câmp magnetic

Aici se va arăta că laplacianul oricărei componente dintr-un câmp magnetic este zero. Acest lucru sugerează necesitatea invocării proprietăților câmpurilor magnetice prin care divergența unui câmp magnetic este întotdeauna zero, iar rotorul este zero în vid (adică în absența curenților sau a câmpurilor electrice variabile). Pentru o discuție mai aprofundată a acestor proprietăți ale câmpurilor magnetice, consultați ecuațiile lui Maxwell .

Luați în considerare laplacianul componentei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a câmpului magnetic:

{\begin{aligned}\nabla ^{2}B_{x}&={\partial ^{2}B_{x} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}B_{x} \over \partial z^{2}}\\&={\partial  \over \partial x}{\partial  \over \partial x}B_{x}+{\partial  \over \partial y}{\partial  \over \partial y}B_{x}+{\partial  \over \partial z}{\partial  \over \partial z}B_{x}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} B_ {x} & = {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial z ^ {2}} \\ & = {\ partial \ over \ partial x} { \ partial \ over \ partial x} B_ {x} + {\ partial \ over \ partial y} {\ partial \ over \ partial y} B_ {x} + {\ partial \ over \ partial z} {\ partial \ over \ partial z} B_ {x} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} B_ {x} & = {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial y ^ {2}} + {\ partial ^ {2} B_ {x} \ over \ partial z ^ {2}} \\ & = {\ partial \ over \ partial x} { \ partial \ over \ partial x} B_ {x} + {\ partial \ over \ partial y} {\ partial \ over \ partial y} B_ {x} + {\ partial \ over \ partial z} {\ partial \ over \ partial z} B_ {x} \ end {align}}}

Deoarece rotorul de $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ este nul, $\scriptstyle {\partial B_{x} \over \partial y}\,=\,{\partial B_{y} \over \partial x},$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ partial B_ {x} \ over \ partial y} \, = \, {\ partial B_ {y} \ over \ partial x},}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ partial B_ {x} \ over \ partial y} \, = \, {\ partial B_ {y} \ over \ partial x},}$ Și $\scriptstyle {\partial B_{x} \over \partial z}\,=\,{\partial B_{z} \over \partial x},$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ partial B_ {x} \ over \ partial z} \, = \, {\ partial B_ {z} \ over \ partial x},}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ partial B_ {x} \ over \ partial z} \, = \, {\ partial B_ {z} \ over \ partial x},}$ de aceea avem

\nabla ^{2}B_{x}={\partial  \over \partial x}{\partial  \over \partial x}B_{x}+{\partial  \over \partial y}{\partial  \over \partial x}B_{y}+{\partial  \over \partial z}{\partial  \over \partial x}B_{z}.

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} {\ partial \ over \ partial x} B_ {x} + {\ partial \ over \ partial y} {\ partial \ over \ partial x} B_ {y} + {\ partial \ over \ partial z} {\ partial \ over \ partial x} B_ {z}.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} {\ partial \ over \ partial x} B_ {x} + {\ partial \ over \ partial y} {\ partial \ over \ partial x} B_ {y} + {\ partial \ over \ partial z} {\ partial \ over \ partial x} B_ {z}.}

Dar, având în vedere acest lucru $B_{x}$ ${\ displaystyle B_ {x}}$ ${\ displaystyle B_ {x}}$ este continuu, ordinea diferențierii nu contează, ceea ce dă

\nabla ^{2}B_{x}={\partial  \over \partial x}\left({\partial B_{x} \over \partial x}+{\partial B_{y} \over \partial y}+{\partial B_{z} \over \partial z}\right)={\partial  \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} ).

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} \ left ({\ partial B_ {x} \ over \ partial x} + {\ partial B_ {y} \ over \ partial y} + {\ partial B_ {z} \ over \ partial z} \ right) = {\ partial \ over \ partial x} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}).}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} \ left ({\ partial B_ {x} \ over \ partial x} + {\ partial B_ {y} \ over \ partial y} + {\ partial B_ {z} \ over \ partial z} \ right) = {\ partial \ over \ partial x} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}).}

Divergența de $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ Nu-i nimic, $\scriptstyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla \ cdot \ mathbf {B} = 0}$ , asa de

\nabla ^{2}B_{x}={\partial  \over \partial x}(\nabla \cdot \mathbf {B} )=0.

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) = 0.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} B_ {x} = {\ partial \ over \ partial x} (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) = 0.}

Laplacianul componentei $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ $\scriptstyle B_{y}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle B_ {y}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle B_ {y}}$ și laplacianul componentei $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ $\scriptstyle B_{z}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle B_ {z}}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle B_ {z}}$ sunt calculate în mod similar. Alternativ, identitatea poate fi utilizată $\scriptstyle \nabla ^{2}\mathbf {B} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {B} \right)$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) - \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) }$ ${\ displaystyle \ scriptstyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {B}) - \ nabla \ times \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} \ right) }$ , unde ambii termeni dintre paranteze dispar.

Notă

^ Gibbs, Philip & Geim, Andre, Este posibilă levitația magnetică? , pe ru.nl , Laboratorul cu magnet magnetic de câmp înalt. Adus la 4 ianuarie 2010 (arhivat din original la 8 septembrie 2012) .
^ Earnshaw, S., Despre natura forțelor moleculare care reglementează constituirea eterului luminos., Trans. Camb. Phil. Soc., 7, pp 97-112 (1842)

Bibliografie

Samuel Earnshaw, Despre natura forțelor moleculare care reglementează constituția eterului luminifer , în Trans. Camb. Phil. Soc. , Vol. 7, 1842, pp. 97-112.
WT Scott, Cine a fost Earnshaw? , în American Journal of Physics , vol. 27, 1959, p. 418.

linkuri externe

„ Este posibilă levitația magnetică? ”, O discuție despre teorema lui Earnshaw și consecințele sale asupra levitației, împreună cu diferite metode de producere a levitației cu câmpuri electromagnetice.
Biografie și alte informații despre Samuel Earnshaw .

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] Gibbs, Philip & Geim, Andre, Este posibilă levitația magnetică? , pe ru.nl , Laboratorul cu magnet magnetic de câmp înalt. Adus la 4 ianuarie 2010 (arhivat din original la 8 septembrie 2012) .

[2] Earnshaw, S., Despre natura forțelor moleculare care reglementează constituirea eterului luminos., Trans. Camb. Phil. Soc., 7, pp 97-112 (1842)

[1]

[2]