Teoria Iwasawa

În teoria numerelor , teoria Iwasawa este o teorie care urmează modulul Galois , aparținând grupurilor de clase ideale , propusă pentru prima dată de la Kenkichi Iwasawa în anii cincizeci ai secolului XX ca parte a teoriei câmpurilor ciclotomice . La începutul anilor 1970 , Barry Mazur a considerat că unele generalizări ale teoriei lui Iwasawa ajung la teoriile abeliene. Mai recent (începutul anilor 1990 ), Ralph Greenberg a propus o teorie Iwasawa pentru motive în geometria algebrică .

Formulare

Conceptul de bază al teoriei Iwasawa este că există turnuri de câmpuri legate de teoria numerelor algebrice și că grupul Galois este izomorf la grupul aditiv de numere întregi p-adic . Acest grup, în general notat cu Γ în teorie și cu notație multiplicativă, este un grup profund , la fel ca toate grupurile Galois. Grupul $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este limita inversă a grupurilor aditive $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ , unde este $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ este numărul prim fix și $n=1,2,\cdots$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ cdots}$ ${\ displaystyle n = 1,2, \ cdots}$ . Putem exprima acest dualism Pontryagin într-un alt mod: $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ este dual cu grupul discret al tuturor rădăcinilor $p^{n}$ ${\ displaystyle p ^ {n}}$ $p ^ n$ -thth din unitate în numere complexe .

Exemplu

Este $\zeta$ ${\ displaystyle \ zeta}$ $\ zeta$ o rădăcină primitivă $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -thth din unitate și ia în considerare următorul turn de câmpuri numerice:

K=\mathbb {Q} (\zeta )\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \cdots \subset \mathbb {C} ,

{\ displaystyle K = \ mathbb {Q} (\ zeta) \ subset K_ {1} \ subset K_ {2} \ subset \ cdots \ subset \ mathbb {C},}

{\ displaystyle K = \ mathbb {Q} (\ zeta) \ subset K_ {1} \ subset K_ {2} \ subset \ cdots \ subset \ mathbb {C},}

unde este $K_{n}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ este câmpul generat de o rădăcină primitivă $p^{n+1}$ ${\ displaystyle p ^ {n + 1}}$ ${\ displaystyle p ^ {n + 1}}$ -thth din unitate.

Dacă sunăm $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ unirea tuturor acestor domenii, grupul Galois format din $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ este izomorfă la $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ , deoarece grupul Galois al $K_{n}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ $K_ {n}$ pe $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ Și $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ .

Pentru a obține un modul Galois interesant, Iwasawa a considerat grupul ideal de clasă $K_{n}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ $K_ {n}$ , și a sunat $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ partea sa de $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -răsucire. Există astfel hărți care sunt în general compatibile $A_{m}\to A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {m} \ to A_ {n}}$ ${\ displaystyle A_ {m} \ to A_ {n}}$ cand $m>n$ ${\ displaystyle m> n}$ ${\ displaystyle m> n}$ și, prin urmare, există și un sistem invers. Dacă sunăm $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ limita inversă , avem o acțiune de $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ pe $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ indusă de acțiunea de $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ pe $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ .

Motivația a fost, fără îndoială, că $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -trecția grupului de clase ideale de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ fusese deja identificat de Ernst Kummer ca principalul obstacol în calea dovezii directe a ultimei teoreme a lui Fermat . Originalitatea teoriei lui Iwasawa „scapă la infinit” într-o nouă direcție. În mod eficient $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este un modul de pe inelul grupului $\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [[\ Gamma]]}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} [[\ Gamma]]}$ . Aceasta este o buclă locală, completă în ceea ce privește topologia indusă de idealul său maxim $(p,1-\gamma )$ ${\ displaystyle (p, 1- \ gamma)}$ ${\ displaystyle (p, 1- \ gamma)}$ (unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este un generator topologic de $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ ), regulat și dimensiunea Krull $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ ), iar acest lucru permite clasificarea într-un mod foarte precis a modulelor (generate finit) de pe acesta.

Istorie

În anii 1950, K. Iwasawa a construit teoria algebrică. O conexiune fundamentală a fost indicată între teoria algebrică și funcțiile L $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -adiche, care au fost definite în anii șaizeci de Kubota și Leopoldt. Acesta din urmă a început cu numerele Bernoulli și a folosit interpolarea pentru a defini analogi $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ - Rădăcinile seriei Dirichlet L.

„Conjectura principală” din teoria lui Iwasawa a fost formulată ca afirmația că cele două metode utilizate pentru a defini seria L $p$ ${\ displaystyle p}$ $p$ -adica (cu teoria algebrică a lui Iwasawa și cu interpolația lui Kubota și Leopoldt) ar trebui să coincidă în cele din urmă. Acest lucru a fost testat de Barry Mazur și Andrew Wiles pentru $\mathbb {Q}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ $\ mathbb {Q}$ și, ulterior, pentru toate câmpurile cu număr total real de Andrew Wiles. Aceste dovezi au fost inspirate de dovada lui Ken Ribet a inversei teoremei Herbrand (redenumită ulterior teorema Herbrand-Ribet ).

Mai recent, de asemenea, ca urmare a metodei lui Ribet, Chris Skinner și Eric Urban au anunțat o dovadă legată de „conjectura principală” pentru ${\rm {{GL}(2)}}$ ${\ displaystyle {\ rm {{GL} (2)}}}$ ${\ displaystyle {\ rm {{GL} (2)}}}$ . O dovadă mai elementară a teoremei Mazur-Wiles poate fi obținută datorită sistemelor Euler introduse de Victor Kolyvagin .

Bibliografie

Greenberg, Ralph, Teoria Iwasawa - trecut și prezent , studii avansate în matematică pură. 30 (2001), 335-385. Disponibil la [1] .
Coates, J. și Sujatha, R., Cyclotomic Fields and Zeta Values , Springer-Verlag, 2006
Lang, S., Cyclotomic Fields , Springer-Verlag, 1978
Washington, L., Introducere în câmpurile ciclotomice, ediția a II-a , Springer-Verlag, 1997
Barry Mazur și Andrew Wiles , Câmpurile de clasă ale extensiilor abeliene ale Q , în Inventiones Mathematicae , vol. 76, nr. 2, 1984, pp. 179-330.
Andrew Wiles , Conjectura Iwasawa pentru câmpuri total reale , în Analele matematicii , vol. 131, nr. 3, 1990, pp. 493-540.
Chris Skinner și Eric Urban , Sur les deformations p-adiques des formes de Saito-Kurokawa , în CR Math. Acad. Sci. Paris , vol. 335, nr. 7, 2002, pp. 581-586.

Controlul autorității	LCCN (EN) sh2002004431 · GND (DE) 4384573-3

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică