Orbita (matematică)

În matematică , în special în geometria diferențială , o orbită a unui sistem dinamic este o traiectorie parcursă de sistem în spațiul de fază , adică o funcție care satisface ecuația care definește sistemul dinamic în sine.

Dacă sistemul dinamic este continuu, adică este determinat de o ecuație diferențială ordinară autonomă :

{\frac {dX}{dt}}=F(X(t))

{\ displaystyle {\ frac {dX} {dt}} = F (X (t))}

{\ displaystyle {\ frac {dX} {dt}} = F (X (t))}

cu $F:M\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle F: M \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ $F: M \ subset \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}$ un câmp vector diferențiat definit în spațiul de fază $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ , o orbită este o soluție $X(t)$ ${\ displaystyle X (t)}$ ${\ displaystyle X (t)}$ ecuaţie. De când curge $\Phi _{t}(x):M\to M$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t} (x): M \ to M}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t} (x): M \ to M}$ a sistemului la punctul respectiv $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este soluția când $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este luat ca punct de plecare al evoluției sistemului, adică $\Phi _{t}(x_{0})\equiv X(t)$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t} (x_ {0}) \ equiv X (t)}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {t} (x_ {0}) \ equiv X (t)}$ , avem că orbita care trece prin $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ este scris uneori ca set:

\{\Phi _{t}(x_{0}):-\infty <t<\infty \}

{\ displaystyle \ {\ Phi _ {t} (x_ {0}): - \ infty <t <\ infty \}}

{\ displaystyle \ {\ Phi _ {t} (x_ {0}): - \ infty <t <\ infty \}}

Definiție

Orbita periodică a unei mișcări armonice .

Având în vedere un sistem dinamic $(T,M,\Phi )$ ${\ displaystyle (T, M, \ Phi)}$ $(T, M, \ Phi)$ unde este $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ este un grup, $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ un set și $\Phi :U\to M$ ${\ displaystyle \ Phi: U \ to M}$ $\ Phi: U \ to M$ , cu $U\subset T\times M$ ${\ displaystyle U \ subset T \ times M}$ $U \ subset T \ ori M$ , este definit:

I(x):=\{t\in T:(t,x)\in U\}

{\ displaystyle I (x): = \ {t \ în T: (t, x) \ în U \}}

I (x): = \ {t \ în T: (t, x) \ în U \}

Apoi setul:

\gamma _{x}:=\{\Phi (t,x):t\in I(x)\}\subset M

{\ displaystyle \ gamma _ {x}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in I (x) \} \ subset M}

\ gamma _ {x}: = \ {\ Phi (t, x): t \ in I (x) \} \ subset M

este orbita care trece prin $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Dacă orbita constă dintr-un singur punct, atunci se numește orbită constantă ; de exemplu orbita la un punct de echilibru .

O orbită neconstantă se numește orbită periodică sau orbită închisă dacă există $t\in T$ ${\ displaystyle t \ in T}$ $t \ in T$ astfel încât $\Phi (t,x)=x$ ${\ displaystyle \ Phi (t, x) = x}$ $\ Phi (t, x) = x$ pentru fiecare punct $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ de orbită.

Sisteme dinamice reale (fluxuri)

Având în vedere un sistem dinamic real pe $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ cu evoluție $\Phi (t,x)$ ${\ displaystyle \ Phi (t, x)}$ $\ Phi (t, x)$ , este $I(x)\subset \mathbb {R}$ ${\ displaystyle I (x) \ subset \ mathbb {R}}$ $I (x) \ subset \ mathbb {R}$ o gamă deschisă:

I(x)=(t_{x}^{-},t_{x}^{+})\qquad \forall x\in M

{\ displaystyle I (x) = (t_ {x} ^ {-}, t_ {x} ^ {+}) \ qquad \ forall x \ în M}

I (x) = (t_ {x} ^ {-}, t_ {x} ^ {+}) \ qquad \ forall x \ în M

Curba:

\gamma _{x}^{+}\equiv \{\Phi (t,x):t\in (0,t_{x}^{+})\}

{\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+} \ equiv \ {\ Phi (t, x): t \ in (0, t_ {x} ^ {+}) \}}

\ gamma _ {{x}} ^ {{+}} \ equiv \ {\ Phi (t, x): t \ in (0, t_ {x} ^ {+}) \}

este semi-orbita pozitivă care trece prin $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , in timp ce:

\gamma _{x}^{-}\equiv \{\Phi (t,x):t\in (t_{x}^{-},0)\}

{\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-} \ equiv \ {\ Phi (t, x): t \ in (t_ {x} ^ {-}, 0) \}}

\ gamma _ {{x}} ^ {{-}} \ equiv \ {\ Phi (t, x): t \ in (t_ {x} ^ {-}, 0) \}

este jumătatea orbitei negative care trece prin $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ .

Sisteme dinamice discrete (hărți)

Luați în considerare un sistem discret cu funcție de evoluție ( recursivă ) $\Phi (t,x):X\to X$ ${\ displaystyle \ Phi (t, x): X \ to X}$ $\ Phi (t, x): de la X la X$ , cu $t\in \mathbb {N}$ ${\ displaystyle t \ in \ mathbb {N}}$ $t \ in \ mathbb {N}$ numărul de iterație. Spus $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ punctul de plecare, orbita care trece prin $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și:

\gamma _{x}\equiv \gamma _{x}^{-}\cup \gamma _{x}^{+}

{\ displaystyle \ gamma _ {x} \ equiv \ gamma _ {x} ^ {-} \ cup \ gamma _ {x} ^ {+}}

\ gamma _ {{x}} \ equiv \ gamma _ {{x}} ^ {{-}} \ cup \ gamma _ {{x}} ^ {{+}}

unde este:

\gamma _{x}^{+}\equiv \{\Phi (t,x):t\geq 0\}

{\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {+} \ equiv \ {\ Phi (t, x): t \ geq 0 \}}

\ gamma _ {{x}} ^ {{+}} \ equiv \ {\ Phi (t, x): t \ geq 0 \}

Și:

\gamma _{x}^{-}\equiv \{\Phi (-t,x):t\geq 0\}

{\ displaystyle \ gamma _ {x} ^ {-} \ equiv \ {\ Phi (-t, x): t \ geq 0 \}}

\ gamma _ {{x}} ^ {{-}} \ equiv \ {\ Phi (-t, x): t \ geq 0 \}

Sisteme dinamice în două dimensiuni

Dat fiind un sistem de ecuații diferențiale în $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ de următorul tip:

\left\{{\begin{matrix}x'=f(x,y)\\y'=g(x,y)\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= f (x, y) \\ y' = g (x, y) \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} x '= f (x, y) \\ y' = g (x, y) \ end {matrix}} \ right.

Curba descrisă în plan ca fiind $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ din fiecare soluție $x=x(t)$ ${\ displaystyle x = x (t)}$ $x = x (t)$ Și $y=y(t)$ ${\ displaystyle y = y (t)}$ $y = y (t)$ a sistemului este traiectoria sistemului. Dacă sistemul îndeplinește ipotezele teoremei de existență și unicitate a lui Cauchy , atunci pentru fiecare punct al planului trece o orbită și doar una din sistem.

Ecuațiile sistemului pot fi interpretate dintr-un punct de vedere cinematic: sistemul descrie mișcarea unei particule $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ a cărei viteză $(x',y')$ ${\ displaystyle (x ', y')}$ $(X y')$ este dat în fiecare punct de $(f(x,y),g(x,y))$ ${\ displaystyle (f (x, y), g (x, y))}$ $(f (x, y), g (x, y))$ . Orbitele sistemului sunt traiectoriile închise descrise de particulă, iar punctele critice sunt punctele de echilibru.

Sisteme dinamice liniare

Același subiect în detaliu: Sistem dinamic liniar .

Tendința calitativă a soluțiilor de sistem:

\left\{{\begin{matrix}x'=ax+by\\y'=cx+dy\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x '= ax + by \\ y' = cx + dy \ end {matrix}} \ right.}

\ left \ {{\ begin {matrix} x '= ax + by \\ y' = cx + dy \ end {matrix}} \ right.

se obține prin derivarea primei ecuații și inserarea în locul lui $y^{'}$ ${\ displaystyle y '}$ $tu$ al doilea:

x''=ax'+b(cx+dy)=ax'+bcx+bdy

{\ displaystyle x '' = ax '+ b (cx + dy) = ax' + bcx + bdy}

x '' = ax '+ b (cx + dy) = ax' + bcx + bdy

Din prima ecuație obținem $by=x'-ax$ ${\ displaystyle by = x'-ax}$ $by = x'-ax$ și înlocuind obținem ecuația liniară:

x''=(a+d)x'+(bc-ad)x

{\ displaystyle x '' = (a + d) x '+ (bc-ad) x}

x '' = (a + d) x '+ (bc-ad) x

rearanjând termenii:

x''-(a+d)x'+(ad-bc)x=0

{\ displaystyle x '' - (a + d) x '+ (ad-bc) x = 0}

x '' - (a + d) x '+ (ad-bc) x = 0

S-a demonstrat astfel că dacă $(x(t),y(t))$ ${\ displaystyle (x (t), y (t))}$ $(x (t), y (t))$ este o soluție a sistemului liniar, apoi funcțiile $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ Și $y(t)$ ${\ displaystyle y (t)}$ $YT)$ rezolvați egalitatea anterioară, a cărei ecuație caracteristică este:

p(\lambda )=\lambda ^{2}-(a+d)\lambda +(ad-bc)=0

{\ displaystyle p (\ lambda) = \ lambda ^ {2} - (a + d) \ lambda + (ad-bc) = 0}

p (\ lambda) = \ lambda ^ {2} - (a + d) \ lambda + (ad-bc) = 0

și coincide cu polinomul caracteristic al matricei de coeficienți a sistemului atribuit:

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}

{\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {bmatrix}}}

A = {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \\\ end {bmatrix}}

sau:

\det(\lambda \,{\rm {I}}-A)

{\ displaystyle \ det (\ lambda \, {\ rm {I}} - A)}

\ det (\ lambda \, {{\ rm {I}}} - A)

Deci rădăcinile:

\lambda _{1,\,2}={\frac {(a+d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2}}

{\ displaystyle \ lambda _ {1, \, 2} = {\ frac {(a + d) \ pm {\ sqrt {(ad) ^ {2} + 4bc}}} {2}}}

\ lambda _ {{1, \, 2}} = {\ frac {(a + d) \ pm {\ sqrt {(a-d) ^ {2} + 4bc}}} {2}}

sunt valorile proprii ale matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ .

Comportamentul soluțiilor sistemului depinde de natura valorilor proprii, iar diferitele cazuri se disting:

Nod stabil: $\lambda _{1,\,2}<0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1, \, 2} <0}$ $\ lambda _ {{1, \, 2}} <0$
Nod instabil: $\lambda _{1,\,2}>0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1, \, 2}> 0}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1, \, 2}> 0}$
Șa (instabilă): $\lambda _{1}>0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}> 0}$ $\ lambda _ {1}> 0$ Și $\lambda _{1}<0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} <0}$ $\ lambda _ {1} <0$ sau $\lambda _{1}<0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} <0}$ $\ lambda _ {1} <0$ Și $\lambda _{1}>0$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}> 0}$ $\ lambda _ {1}> 0$
Centru (stabil): $\lambda _{1,\,2}=\pm \beta i$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1, \, 2} = \ pm \ beta i}$ $\ lambda _ {{1, \, 2}} = \ pm \ beta i$
Foc stabil: $\lambda _{1,\,2}=\alpha \pm \beta i$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1, \, 2} = \ alpha \ pm \ beta i}$ $\ lambda _ {{1, \, 2}} = \ alpha \ pm \ beta i$ cu $\alpha <0$ ${\ displaystyle \ alpha <0}$ $\ alpha <0$
Foc instabil: $\lambda _{1,\,2}=\alpha \pm \beta i$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1, \, 2} = \ alpha \ pm \ beta i}$ $\ lambda _ {{1, \, 2}} = \ alpha \ pm \ beta i$ cu $\alpha >0$ ${\ displaystyle \ alpha> 0}$ $\ alpha> 0$