Transformarea lui Hankel

În matematică , transformata Hankel este o transformare integrală , dezvoltată mai întâi de matematicianul Hermann Hankel , care exprimă o funcție dată $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ ca o sumă ponderată a unui număr infinit de funcții Bessel de primul fel $J_{\nu }(kr)$ ${\ displaystyle J _ {\ nu} (kr)}$ ${\ displaystyle J _ {\ nu} (kr)}$ . Este, de asemenea, cunoscut sub numele de transformată Fourier - Bessel. Funcțiile Bessel ale nucleului integral sunt toate de aceeași ordine $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , dar diferă în ceea ce privește factorul de scară $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ de-a lungul axei $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Coeficientul $F_{\nu }$ ${\ displaystyle F _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle F _ {\ nu}}$ a oricărei funcții Bessel, văzută ca o funcție a factorului de scală $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , constituie transformata Hankel. Transformata Hankel este strâns legată de seria Fourier-Bessel, în același mod în care transformata Fourier pentru un interval infinit este legată de seria Fourier pe un interval finit.

Definiție

Transformarea Hankel a Ordinii $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ a unei funcții $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ este dat de

F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,

{\ displaystyle F _ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) J _ {\ nu} (kr) \, r \, \ mathrm {d} r,}

{\ displaystyle F _ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) J _ {\ nu} (kr) \, r \, \ mathrm {d} r,}

unde este $J_{\nu }$ ${\ displaystyle J _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle J _ {\ nu}}$ este funcția Bessel a primului tip de comandă $\nu$ ${\ displaystyle \ nu}$ $\ nu$ , cu $\nu \geq -1/2$ ${\ displaystyle \ nu \ geq -1/2}$ ${\ displaystyle \ nu \ geq -1/2}$ . Transformarea inversă Hankel a $F_{\nu }(k)$ ${\ displaystyle F _ {\ nu} (k)}$ ${\ displaystyle F _ {\ nu} (k)}$ este definit ca

f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,

{\ displaystyle f (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} F _ {\ nu} (k) J _ {\ nu} (kr) \, k \, \ mathrm {d} k,}

{\ displaystyle f (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} F _ {\ nu} (k) J _ {\ nu} (kr) \, k \, \ mathrm {d} k,}

care poate fi verificat prin exploatarea relației de ortogonalitate dintre funcțiile Bessel.

Domeniul definiției

Inversiunea transformatei Hankel a unei funcții $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ este valabil în toate punctele în care $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ este continuu, cu condiția să fie definit și continuă uneori în $(0,\infty )$ ${\ displaystyle (0, \ infty)}$ ${\ displaystyle (0, \ infty)}$ , cu variație limitată în orice subinterval finit de $(0,\infty )$ ${\ displaystyle (0, \ infty)}$ ${\ displaystyle (0, \ infty)}$ Și

\int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | \, r ^ {\ frac {1} {2}} \, \ mathrm {d} r <\ infty.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | \, r ^ {\ frac {1} {2}} \, \ mathrm {d} r <\ infty.}

Cu toate acestea, în analogie cu transformata Fourier, se poate extinde domeniul raționând despre densitate, inclusiv unele funcții pentru care integralul anterior nu este finit, cum ar fi $f(r)=(1+r)^{-3/2}$ ${\ displaystyle f (r) = (1 + r) ^ {- 3/2}}$ ${\ displaystyle f (r) = (1 + r) ^ {- 3/2}}$ .

Definiție alternativă

O definiție alternativă afirmă că transformarea lui Hankel a $g(r)$ ${\ displaystyle g (r)}$ ${\ displaystyle g (r)}$ este ^[1]

h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.

{\ displaystyle h _ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r) J _ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ mathrm {d} r.}

{\ displaystyle h _ {\ nu} (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} g (r) J _ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ mathrm {d} r.}

Cele două definiții sunt legate:

De sine

g(r)=f(r){\sqrt {r}}

{\ displaystyle g (r) = f (r) {\ sqrt {r}}}

{\ displaystyle g (r) = f (r) {\ sqrt {r}}}

, asa de

h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.

{\ displaystyle h _ {\ nu} (k) = F _ {\ nu} (k) {\ sqrt {k}}.}

{\ displaystyle h _ {\ nu} (k) = F _ {\ nu} (k) {\ sqrt {k}}.}

Aceasta înseamnă că, conform definiției anterioare, transformata Hankel definită în acest mod este propria sa inversă:

g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.

{\ displaystyle g (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h _ {\ nu} (k) J _ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ mathrm {d} k.}

{\ displaystyle g (r) = \ int _ {0} ^ {\ infty} h _ {\ nu} (k) J _ {\ nu} (kr) \, {\ sqrt {kr}} \, \ mathrm {d} k.}

Domeniul are acum condiția

\int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | g (r) | \, \ mathrm {d} r <\ infty,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | g (r) | \, \ mathrm {d} r <\ infty,}

dar poate fi extins. Potrivit lui de Branges, se poate lua integralul ca limită cu limita superioară care tinde spre infinit (o integrală necorespunzătoare în locul unei integrale Lebesgue ) și în acest fel transformata Hankel și inversul acesteia sunt definite de fiecare funcție în L ² ( 0, ∞).

Ortogonalitate

Funcțiile Bessel formează o bază ortogonală atunci când sunt ponderate cu funcția $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ : ^[2]

\int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} J _ {\ nu} (kr) J _ {\ nu} (k'r) \, r \, \ mathrm {d} r = {\ frac { \ delta (k-k ')} {k}}, \ quad k, k'> 0.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} J _ {\ nu} (kr) J _ {\ nu} (k'r) \, r \, \ mathrm {d} r = {\ frac { \ delta (k-k ')} {k}}, \ quad k, k'> 0.}

Teorema lui Plancherel și a lui Parseval

Dacă funcționează $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ Și $g(r)$ ${\ displaystyle g (r)}$ ${\ displaystyle g (r)}$ posedă transformări Hankel $F_{\nu }(k)$ ${\ displaystyle F _ {\ nu} (k)}$ ${\ displaystyle F _ {\ nu} (k)}$ Și $G_{\nu }(k)$ ${\ displaystyle G _ {\ nu} (k)}$ ${\ displaystyle G _ {\ nu} (k)}$ bine definit, atunci teorema lui Plancherel afirmă că

\int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) g (r) \, r \, \ mathrm {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty} F _ {\ nu } (k) G _ {\ nu} (k) \, k \, \ mathrm {d} k.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) g (r) \, r \, \ mathrm {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty} F _ {\ nu } (k) G _ {\ nu} (k) \, k \, \ mathrm {d} k.}

Teorema lui Parseval , care afirmă

\int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | ^ {2} \, r \, \ mathrm {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty} | F_ { \ nu} (k) | ^ {2} \, k \, \ mathrm {d} k,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} | f (r) | ^ {2} \, r \, \ mathrm {d} r = \ int _ {0} ^ {\ infty} | F_ { \ nu} (k) | ^ {2} \, k \, \ mathrm {d} k,}

este un caz special al teoremei lui Plancherel. Aceste teoreme pot fi dovedite folosind proprietatea ortogonalității.

Relațiile cu alte transformări

Relația cu transformata Fourier (simetrie circulară)

Transformata Hankel de ordinul zero este în esență transformata Fourier bidimensională a unei funcții cu simetrie circulară.

Luați în considerare o funcție bidimensională $f(\mathbf {r} )$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$ ${\ displaystyle f (\ mathbf {r})}$ a razei vectoriale $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ . Transformata sa Fourier este

F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\iint f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ iint f (\ mathbf {r}) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r }} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r}.}

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ iint f (\ mathbf {r}) e ^ {- i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r }} \, \ mathrm {d} \ mathbf {r}.}

Fără pierderea generalității, se poate alege un sistem de coordonate polare $(r,\theta )$ ${\ displaystyle (r, \ theta)}$ ${\ displaystyle (r, \ theta)}$ astfel încât transportatorul $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ întinde-te pe tablă $\theta =0$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ (în spațiul K). Transformata Fourier este acum scrisă în aceste coordonate ca

F(\mathbf {k} )={\frac {1}{2\pi }}\int _{r=0}^{\infty }\int _{\theta =0}^{2\pi }f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta )}\,r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r,

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {r = 0} ^ {\ infty} \ int _ {\ theta = 0} ^ {2 \ pi} f (r, \ theta) e ^ {- ikr \ cos (\ theta)} \, r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} r,}

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {r = 0} ^ {\ infty} \ int _ {\ theta = 0} ^ {2 \ pi} f (r, \ theta) e ^ {- ikr \ cos (\ theta)} \, r \, \ mathrm {d} \ theta \, \ mathrm {d} r,}

unde este $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ este unghiul dintre vectori $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ Și $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ . Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este circular simetric, nu are dependență de variabila unghiulară $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ și poate fi scris ca $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ . Poate astfel să iasă din integrare $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ , iar în acest caz transforma Fourier devine

F(\mathbf {k} )=F(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{0}(kr)\,r\,\mathrm {d} r,

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = F (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) J_ {0} (kr) \, r \, \ mathrm {d} r ,}

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = F (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (r) J_ {0} (kr) \, r \, \ mathrm {d} r ,}

care este exact transformata Hankel de ordinul zero a $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ . În mod similar pentru transformarea inversă,

f(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi }}\iint F(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {k} =\int _{0}^{\infty }F(k)J_{0}(kr)\,k\,\mathrm {d} k,

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ iint F (\ mathbf {k}) și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} } \, \ mathrm {d} \ mathbf {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} F (k) J_ {0} (kr) \, k \, \ mathrm {d} k,}

{\ displaystyle f (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ iint F (\ mathbf {k}) și ^ {i \ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} } \, \ mathrm {d} \ mathbf {k} = \ int _ {0} ^ {\ infty} F (k) J_ {0} (kr) \, k \, \ mathrm {d} k,}

asa de $f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$ este transformata Hankel de ordin zero a $F(k)$ ${\ displaystyle F (k)}$ ${\ displaystyle F (k)}$ .

Relația cu transformata Fourier (simetrie radială în n dimensiuni)

Pentru o transformată Fourier n- dimensională,

F(\mathbf {k} )={\frac {1}{(2\pi )^{n/2}}}\int f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,d^{n}\mathbf {r} ,

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}}} \ int f (\ mathbf {r}) și ^ {- i \ mathbf { k} \ cdot \ mathbf {r}} \, d ^ {n} \ mathbf {r},}

{\ displaystyle F (\ mathbf {k}) = {\ frac {1} {(2 \ pi) ^ {n / 2}}} \ int f (\ mathbf {r}) și ^ {- i \ mathbf { k} \ cdot \ mathbf {r}} \, d ^ {n} \ mathbf {r},}

Dacă funcția $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este simetric radial, apoi ^[3]

k^{\frac {n-2}{2}}F(k)=\int _{0}^{\infty }r^{\frac {n-2}{2}}f(r)J_{\frac {n-2}{2}}(kr)\,r\,dr.

{\ displaystyle k ^ {\ frac {n-2} {2}} F (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {\ frac {n-2} {2}} f (r ) J _ {\ frac {n-2} {2}} (kr) \, r \, dr.}

{\ displaystyle k ^ {\ frac {n-2} {2}} F (k) = \ int _ {0} ^ {\ infty} r ^ {\ frac {n-2} {2}} f (r ) J _ {\ frac {n-2} {2}} (kr) \, r \, dr.}

Relația cu transformata Fourier (caz general în două dimensiuni)

Pentru a generaliza, dacă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ poate fi extins într-o serie de multipoli ,

f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta },

{\ displaystyle f (r, \ theta) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {m} (r) e ^ {im \ theta},}

{\ displaystyle f (r, \ theta) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} f_ {m} (r) e ^ {im \ theta},}

si daca $\theta _{k}$ ${\ displaystyle \ theta _ {k}}$ ${\ displaystyle \ theta _ {k}}$ este unghiul dintre direcția $\mathbf {k}$ ${\ displaystyle \ mathbf {k}}$ $\ mathbf {k}$ și axa $\theta =0$ ${\ displaystyle \ theta = 0}$ $\ theta = 0$ , asa de

{\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f(r,\theta )e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \theta \,f_{m}(r)e^{im\theta }e^{-ikr\cos(\theta -\theta _{k})}\\&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)\int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \varphi \,e^{im\varphi }e^{-ikr\cos \varphi }&&(\varphi =\theta -\theta _{k})\\&=\sum _{m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }r\,\mathrm {d} r\,f_{m}(r)i^{-m}J_{m}(kr)\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}F_{m}(k),\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (\ mathbf {k}) & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ theta \, f (r, \ theta) e ^ {- ikr \ cos (\ theta - \ theta _ {k})} \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {m} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ theta \, f_ {m} (r) e ^ {im \ theta} e ^ {- ikr \ cos (\ theta - \ theta _ {k})} \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, f_ {m} (r) \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \, e ^ {im \ varphi} e ^ {- ikr \ cos \ varphi} && ( \ varphi = \ theta - \ theta _ {k}) \\ & = \ sum _ {m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, f_ {m} (r) i ^ {- m} J_ {m} (kr) \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ { k}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {m} (r) J_ {m} (kr) \, r \, \ mathrm {d} r \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} F_ {m} (k), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (\ mathbf {k}) & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ theta \, f (r, \ theta) e ^ {- ikr \ cos (\ theta - \ theta _ {k})} \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {m} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ theta \, f_ {m} (r) e ^ {im \ theta} e ^ {- ikr \ cos (\ theta - \ theta _ {k})} \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ sum _ {m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, f_ {m} (r) \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ mathrm {d} \ varphi \, e ^ {im \ varphi} e ^ {- ikr \ cos \ varphi} && ( \ varphi = \ theta - \ theta _ {k}) \\ & = \ sum _ {m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ int _ {0} ^ {\ infty} r \, \ mathrm {d} r \, f_ {m} (r) i ^ {- m} J_ {m} (kr) \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ { k}} \ int _ {0} ^ {\ infty} f_ {m} (r) J_ {m} (kr) \, r \, \ mathrm {d} r \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} F_ {m} (k), \ end {align}}}

unde este $F_{m}(k)$ ${\ displaystyle F_ {m} (k)}$ ${\ displaystyle F_ {m} (k)}$ este transformata Hankel a ordinii $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ din $f_{m}(r)$ ${\ displaystyle f_ {m} (r)}$ ${\ displaystyle f_ {m} (r)}$ .

Funcții într-un interval limitat

De asemenea, dacă $f_{m}$ ${\ displaystyle f_ {m}}$ $f_ {m}$ este suficient de netedă în apropierea originii și este zero de pe o minge cu rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , apoi poate fi extins în seria Čebyšëv :

f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{mt}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R.

{\ displaystyle f_ {m} (r) = r ^ {m} \ sum _ {t \ geq 0} f_ {mt} \ left (1- \ left ({\ tfrac {r} {R}} \ right) ^ {2} \ dreapta) ^ {t}, \ quad 0 \ leq r \ leq R.}

{\ displaystyle f_ {m} (r) = r ^ {m} \ sum _ {t \ geq 0} f_ {mt} \ left (1- \ left ({\ tfrac {r} {R}} \ right) ^ {2} \ dreapta) ^ {t}, \ quad 0 \ leq r \ leq R.}

Înlocuind-o în ultima ecuație a secțiunii anterioare obținem

{\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=\sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{mt}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (\ mathbf {k}) & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ sum _ {t} f_ { mt} \ int _ {0} ^ {R} r ^ {m} \ left (1- \ left ({\ tfrac {r} {R}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {t} J_ {m} (kr) r \, \ mathrm {d} r && \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} R ^ {m + 2} \ sum _ {t} f_ {mt} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {m + 1} (1-x ^ {2}) ^ {t} J_ {m} (kxR) \, \ mathrm {d} x && (x = {\ tfrac {r} {R}}) \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} R ^ { m + 2} \ sum _ {t} f_ {mt} {\ frac {t! 2 ^ {t}} {(kR) ^ {1 + t}}} J_ {m + t + 1} (kR), \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} F (\ mathbf {k}) & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} \ sum _ {t} f_ { mt} \ int _ {0} ^ {R} r ^ {m} \ left (1- \ left ({\ tfrac {r} {R}} \ right) ^ {2} \ right) ^ {t} J_ {m} (kr) r \, \ mathrm {d} r && \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} R ^ {m + 2} \ sum _ {t} f_ {mt} \ int _ {0} ^ {1} x ^ {m + 1} (1-x ^ {2}) ^ {t} J_ {m} (kxR) \, \ mathrm {d} x && (x = {\ tfrac {r} {R}}) \\ & = \ sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im \ theta _ {k}} R ^ { m + 2} \ sum _ {t} f_ {mt} {\ frac {t! 2 ^ {t}} {(kR) ^ {1 + t}}} J_ {m + t + 1} (kR), \ end {align}}}

unde ultima egalitate rezultă din §6.567.1 din ^[4] . Acesta este un caz mult mai general decât cel tratat în secțiunea anterioară. Aspectul numeric important este acela că coeficienții $f_{mt}$ ${\ displaystyle f_ {mt}}$ ${\ displaystyle f_ {mt}}$ poate fi obținut cu tehnicile transformatei Fourier discrete .

Acesta este un gust al transformării rapide Hankel.

Relația cu Fourier și Abel se transformă

În două dimensiuni, dacă este definit $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ca operator al transformatei Abel, $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ ca operator de transformare Fourier și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ la fel ca transformarea Hankel de ordinul zero, atunci cazul special al teoremei de proiecție-forfecare pentru funcții cu simetrie circulară afirmă că

FA=H.

{\ displaystyle FA = H.}

{\ displaystyle FA = H.}

Cu alte cuvinte, aplicarea transformatei Abel la o funcție într-o dimensiune și apoi transformarea Fourier a acesteia este echivalentă cu aplicarea transformatei Hankel funcției. Acest concept poate fi extins la toate dimensiunile.

Transformat al unor funcții speciale

^[5]

$f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$	$F_{0}(k)$ ${\ displaystyle F_ {0} (k)}$ ${\ displaystyle F_ {0} (k)}$
$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	${\frac {\delta (k)}{k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delta (k)} {k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ delta (k)} {k}}}$
${\frac {1}{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}}}$	${\frac {1}{k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {k}}}$
$r$ ${\ displaystyle r}$ $r$	$-{\frac {1}{k^{3}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {k ^ {3}}}}$ ${\ displaystyle - {\ frac {1} {k ^ {3}}}}$
$r^{3}$ ${\ displaystyle r ^ {3}}$ ${\ displaystyle r ^ {3}}$	${\frac {9}{k^{5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {9} {k ^ {5}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {9} {k ^ {5}}}}$
$r^{m}$ ${\ displaystyle r ^ {m}}$ ${\ displaystyle r ^ {m}}$	${\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {m + 1} \ Gamma \ left ({\ tfrac {m} {2}} + 1 \ right)} {k ^ {m + 2} \ Gamma \ left (- { \ tfrac {m} {2}} \ right)}}, \ quad -2 <\ Re (m) <- {\ tfrac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {m + 1} \ Gamma \ left ({\ tfrac {m} {2}} + 1 \ right)} {k ^ {m + 2} \ Gamma \ left (- { \ tfrac {m} {2}} \ right)}}, \ quad -2 <\ Re (m) <- {\ tfrac {1} {2}}}$
${\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}}}$	${\frac {e^{-k\|z\|}}{k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- k \| z \|}} {k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- k \| z \|}} {k}}}$
${\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {z ^ {2} + r ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {z ^ {2} + r ^ {2}}}}$	$K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C}$ ${\ displaystyle K_ {0} (kz), \ quad z \ in \ mathbf {C}}$ ${\ displaystyle K_ {0} (kz), \ quad z \ in \ mathbf {C}}$
${\frac {e^{iar}}{r}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {iar}} {r}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {iar}} {r}}}$	${\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {\ sqrt {a ^ {2} -k ^ {2}}}}, \ quad a> 0, k <a}$ ${\ displaystyle {\ frac {i} {\ sqrt {a ^ {2} -k ^ {2}}}}, \ quad a> 0, k <a}$
	${\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {k ^ {2} -a ^ {2}}}}, \ quad a> 0, k> a}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {k ^ {2} -a ^ {2}}}}, \ quad a> 0, k> a}$
$e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {2}} a ^ {2} r ^ {2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {- {\ frac {1} {2}} a ^ {2} r ^ {2}}}$	${\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2}}} e ^ {- {\ tfrac {k ^ {2}} {2a ^ {2}}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2}}} e ^ {- {\ tfrac {k ^ {2}} {2a ^ {2}}}}}$
${\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} J_ {0} (lr) e ^ {- sr}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {r}} J_ {0} (lr) e ^ {- sr}}$	${\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi {\ sqrt {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}}} K {\ bigg (} {\ sqrt {\ frac {4kl} {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}} {\ bigg)}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi {\ sqrt {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}}} K {\ bigg (} {\ sqrt {\ frac {4kl} {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}} {\ bigg)}}$
$-r^{2}f(r)$ ${\ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$ ${\ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F_ {0}} {\ mathrm {d} k}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F_ {0}} {\ mathrm {d} k}}}$

$f(r)$ ${\ displaystyle f (r)}$ ${\ displaystyle f (r)}$	$F_{\nu }(k)$ ${\ displaystyle F _ {\ nu} (k)}$ ${\ displaystyle F _ {\ nu} (k)}$
$r^{s}$ ${\ displaystyle r ^ {s}}$ ${\ displaystyle r ^ {s}}$	${\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {s + 1}} {k ^ {s + 2}}} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} (2+ \ nu + s) \ right)} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} (\ nu -s))}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2 ^ {s + 1}} {k ^ {s + 2}}} {\ frac {\ Gamma \ left ({\ tfrac {1} {2}} (2+ \ nu + s) \ right)} {\ Gamma ({\ tfrac {1} {2}} (\ nu -s))}}}$
$r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)$ ${\ displaystyle r ^ {\ nu -2s} \ Gamma (s, r ^ {2} h)}$ ${\ displaystyle r ^ {\ nu -2s} \ Gamma (s, r ^ {2} h)}$	${\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ tfrac {k} {2}} \ right) ^ {2s- \ nu -2} \ gamma \ left (1-s + \ nu, {\ tfrac {k ^ {2}} {4h}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} \ left ({\ tfrac {k} {2}} \ right) ^ {2s- \ nu -2} \ gamma \ left (1-s + \ nu, {\ tfrac {k ^ {2}} {4h}} \ right)}$
$e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})$ ${\ displaystyle e ^ {- r ^ {2}} r ^ {\ nu} U (a, b, r ^ {2})}$ ${\ displaystyle e ^ {- r ^ {2}} r ^ {\ nu} U (a, b, r ^ {2})}$	${\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (2+ \ nu -b)} {2 \ Gamma (2+ \ nu -b + a)}} \ left ({\ tfrac {k} {2}} \ right) ^ {\ nu} e ^ {- {\ frac {k ^ {2}} {4}}} \, _ {1} F_ {1} \ left (a, 2 + ab + \ nu, {\ tfrac { k ^ {2}} {4}} \ dreapta)}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma (2+ \ nu -b)} {2 \ Gamma (2+ \ nu -b + a)}} \ left ({\ tfrac {k} {2}} \ right) ^ {\ nu} e ^ {- {\ frac {k ^ {2}} {4}}} \, _ {1} F_ {1} \ left (a, 2 + ab + \ nu, {\ tfrac { k ^ {2}} {4}} \ dreapta)}$
$r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}$ ${\ displaystyle r ^ {n} J _ {\ mu} (lr) e ^ {- sr}}$ ${\ displaystyle r ^ {n} J _ {\ mu} (lr) e ^ {- sr}}$	exprimabilă în termeni de integrale eliptice . ^[6]
$-r^{2}f(r)$ ${\ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$ ${\ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F _ {\ nu}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F _ {\ nu}} {\ mathrm {d} k}} - {\ frac {\ nu ^ {2}} {k ^ {2}}} F _ {\ nu}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F _ {\ nu}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F _ {\ nu}} {\ mathrm {d} k}} - {\ frac {\ nu ^ {2}} {k ^ {2}}} F _ {\ nu}}$

$K_{n}(z)$ ${\ displaystyle K_ {n} (z)}$ ${\ displaystyle K_ {n} (z)}$ este funcția Bessel modificată de al doilea fel . $K(z)$ ${\ displaystyle K (z)}$ ${\ displaystyle K (z)}$ este integralul eliptic complet al primului tip .

Expresia

{\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F_ {0}} {\ mathrm {d} k}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} {\ mathrm {d} k ^ {2}}} + {\ frac {1} {k}} {\ frac {\ mathrm {d} F_ {0}} {\ mathrm {d} k}}}

coincide cu expresia operatorului Laplace în coordonate polare $(k,\theta )$ ${\ displaystyle (k, \ theta)}$ $(k, \ theta)$ aplicat funcției simetrice sferice $F_{0}(k)$ ${\ displaystyle F_ {0} (k)}$ ${\ displaystyle F_ {0} (k)}$ .

Transformarea Hankel a polinoamelor Zernike sunt în esență funcții Bessel (Noll 1976):

R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (r) = (- 1) ^ {\ frac {nm} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} J_ {n + 1} (k) J_ {m} (kr) \, \ mathrm {d} k}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (r) = (- 1) ^ {\ frac {nm} {2}} \ int _ {0} ^ {\ infty} J_ {n + 1} (k) J_ {m} (kr) \, \ mathrm {d} k}

pentru $n-m\geq 0$ ${\ displaystyle nm \ geq 0}$ ${\ displaystyle n-m \ geq 0}$ chiar.

Notă

^ Louis de Branges , Hilbert space of whole functions , Londra, Prentice-Hall, 1968, p. 189 , ISBN 978-0-13-388900-0 .
^ J. Ponce de Leon, Revizitarea ortogonalității funcțiilor Bessel de primul fel pe un interval infinit , în European Journal of Physics , vol. 36, n. 1, 2015, DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 36/1/015016 .
^ William G. Faris,Radial functions and the Fourier transform: Notes for Math 583A, Fall 2008 ( PDF ), University of Arizona, Department of Mathematics , 6 decembrie 2008.Accesat la 16 septembrie 2019 .
^ IS Gradshteyn și IM Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products , Optth, Academic Press, 2015, p. 687, ISBN 978-0-12-384933-5 .
^ Athanasios Papoulis, Systems and Transforms with Applications to Optics , Florida SUA, Krieger Publishing Company, 1981, pp. 140-175, ISBN 978-0-89874-358-6 .
^ E. Kausel și MM Irfan Baig, transformarea Laplace a produselor funcțiilor Bessel: O vizită a formulelor anterioare , în Quarterly of Applied Mathematics , vol. 70, 2012, pp. 77–97, DOI :10.1090 / s0033-569x-2011-01239-2 .

Bibliografie

Jack D. Gaskill, Linear Systems, Fourier Transforms, and Optics , New York, John Wiley & Sons, 1978, ISBN 978-0-471-29288-3 .
AD Polyanin și AV Manzhirov, Handbook of Integral Ecuations, Boca Raton, CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3 .
William R. Smythe, Static and Dynamic Electricity , 3rd, New York, McGraw-Hill, 1968, pp. 179–223.
AC Offord, On Hankel transforms , în Proceedings of the London Mathematical Society , vol. 39, nr. 2, 1935, pp. 49–67, DOI : 10.1112 / plms / s2-39.1.49 .
G. Eason, B. Noble și IN Sneddon, Despre anumite integrale de tip Lipschitz-Hankel care implică produse ale funcțiilor Bessel , în Philosophical Transactions of the Royal Society A , vol. 247, nr. 935, 1955, pp. 529–551, Bibcode : 1955RSPTA.247..529E , DOI : 10.1098 / rsta.1955.0005 , JSTOR 91565 .
JE Kilpatrick, Shigetoshi Katsura și Yuji Inoue, Calculul integralelor produselor funcțiilor Bessel , în Matematica calculelor , vol. 21, n. 99, 1967, pp. 407–412, DOI : 10.1090 / S0025-5718-67-99149-1 .
Robert F. MacKinnon, Expansiunile asimptotice ale transformărilor Hankel și integrale conexe , în Matematica calculelor , vol. 26, n. 118, 1972, pp. 515-527, DOI : 10.1090 / S0025-5718-1972-0308695-9 , JSTOR 2003243 .
Peter Linz și TE Kropp, O notă despre calculul integralelor care implică produse de funcții trigonometrice și Bessel , în Matematica calculelor , vol. 27, n. 124, 1973, pp. 871–872, DOI : 10.2307 / 2005522 , JSTOR 2005522 .
Robert J Noll, Polinomii Zernike și turbulențele atmosferice , în Journal of the Optical Society of America , vol. 66, nr. 3, 1976, pp. 207-211, Bibcode : 1976JOSA ... 66..207N , DOI : 10.1364 / JOSA.66.000207 .
AE Siegman, transformare Hankel aproape rapidă , în Opt. Lit. , vol. 1, nr. 1, 1977, pp. 13-15, Bibcode : 1977OptL .... 1 ... 13S , DOI : 10.1364 / OL.1.000013 .
Vittorio Magni, Giulio Cerullo și Sandro De Silverstri, Transformare rapidă Hankel de înaltă precizie pentru propagarea fasciculului optic , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 9, nr. 11, 1992, pp. 2031–2033, Bibcode : 1992JOSAA ... 9.2031M , DOI : 10.1364 / JOSAA.9.002031 .
A. Agnesi, Giancarlo C. Reali, G. Patrini și A. Tomaselli, Evaluarea numerică a transformatei Hankel: remarci , în Journal of the Optical Society of America A , vol. 10, nr. 9, 1993, p. 1872, Bibcode : 1993JOSAA..10.1872A , DOI : 10.1364 / JOSAA.10.001872 .
Richard Barakat, Evaluarea numerică a transformatei Hankel de ordinul zero folosind filozofia cvadraturii Filon , în Litere de matematică aplicată , vol. 9, nr. 5, 1996, pp. 21–26, DOI : 10.1016 / 0893-9659 (96) 00067-5 .
José A. Ferrari, Daniel Perciante și Alfredo Dubra, Fast Hankel transformă de ordinul n , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 16, n. 10, 1999, pp. 2581-2582, Bibcode : 1999JOSAA..16.2581F , DOI : 10.1364 / JOSAA.16.002581 .
José D. Secada, Evaluarea numerică a transformatei Hankel , în Comp. Phys. Com. , Vol. 116, 2-3, 1999, pp. 278–294, Bibcode : 1999CoPhC.116..278S , DOI : 10.1016 / S0010-4655 (98) 00108-8 .
Thomas Wieder, Algoritmul 794: Transformare numerică Hankel prin programul Fortran HANKEL , în ACM Trans. Matematica. Softw. , vol. 25, nr. 2, 1999, pp. 240-250, DOI : 10.1145 / 317275.317284 .
Luc Knockaert, Transformare rapidă Hankel prin sinusuri rapide și transformări cosinus: conexiunea Mellin ( PDF ), în IEEE Trans. Procesul semnalului. , vol. 48, nr. 6, 2000, pp. 1695-1701, Bibcode : 2000ITSP ... 48.1695K , DOI : 10.1109 / 78.845927 .
DW Zhang, X.-C. Yuan, NQ Ngo și P. Shum, transformarea Fast Hankel și aplicația sa pentru studierea propagării câmpurilor electromagnetice cilindrice , în Opt. Express , vol. 10, nr. 12, 2002, pp. 521-525, Bibcode : 2002OExpr..10..521Z , DOI : 10.1364 / oe.10.000521 .
Joanne Markham și Jose-Angel Conchello, Evaluarea numerică a transformărilor Hankel pentru funcții oscilante , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 20, nr. 4, 2003, pp. 621–630, Bibcode : 2003JOSAA..20..621M , DOI : 10.1364 / JOSAA.20.000621 .
César D. Perciante și José A. Ferrari, Fast Hankel transformă de ordinul n, cu performanțe îmbunătățite , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 21, n. 9, 2004, p. 1811, Bibcode : 2004JOSAA..21.1811P , DOI : 10.1364 / JOSAA.21.001811 .
Manuel Gizar-Sicairos și Julio C. Guitierrez-Vega, Calculul transformatei Hankel cvasidiscrete de ordin întreg pentru propagarea câmpurilor de unde optice , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 21, n. 1, 2004, pp. 53–58, Bibcode : 2004JOSAA..21 ... 53G , DOI : 10.1364 / JOSAA.21.000053 .
Charles Cerjan, Reprezentarea Zernike-Bessel și aplicarea acesteia la Hankel se transformă , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 24, n. 6, 2007, pp. 1609–1616, Bibcode : 2007JOSAA..24.1609C , DOI : 10.1364 / JOSAA.24.001609 .

Elemente conexe

Controlul autorității	GND ( DE ) 4159081-8

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Louis de Branges , Hilbert space of whole functions , Londra, Prentice-Hall, 1968, p. 189 , ISBN 978-0-13-388900-0 .

[2] J. Ponce de Leon, Revizitarea ortogonalității funcțiilor Bessel de primul fel pe un interval infinit , în European Journal of Physics , vol. 36, n. 1, 2015, DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 36/1/015016 .

[3] William G. Faris,Radial functions and the Fourier transform: Notes for Math 583A, Fall 2008 ( PDF ), University of Arizona, Department of Mathematics , 6 decembrie 2008.Accesat la 16 septembrie 2019 .

[4] IS Gradshteyn și IM Ryzhik, Table of Integrals, Series, and Products , Optth, Academic Press, 2015, p. 687, ISBN 978-0-12-384933-5 .

[5] Athanasios Papoulis, Systems and Transforms with Applications to Optics , Florida SUA, Krieger Publishing Company, 1981, pp. 140-175, ISBN 978-0-89874-358-6 .

[6] E. Kausel și MM Irfan Baig, transformarea Laplace a produselor funcțiilor Bessel: O vizită a formulelor anterioare , în Quarterly of Applied Mathematics , vol. 70, 2012, pp. 77–97, DOI :10.1090 / s0033-569x-2011-01239-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]