Polinoame Zernike

Primele 21 de polinoame Zernike, ordonate vertical în funcție de gradul radial și orizontal în funcție de gradul de azimut

În matematică și fizică , polinomii Zernike sunt o secvență polinomială de polinoame ortogonale de pe discul unității . Ei își datorează numele fizicianului Frits Zernike , câștigător al Premiului Nobel pentru fizică în 1953 pentru dezvoltarea microscopiei cu contrast de fază . Sunt utilizate pe scară largă în optică pentru studiul aberațiilor ^[1] ^[2] ^[3] .

Definiții

Există polinoame Zernike pare și ciudate . Chiar și cele sunt definite ca:

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos(m\,\varphi )\!

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ cos (m \, \ varphi) \!}

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ cos (m \, \ varphi) \!}

și cele ciudate ca:

Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin(m\,\varphi )\!

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ sin (m \, \ varphi) \!}

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) = R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, \ sin (m \, \ varphi) \!}

unde m și n sunt numere întregi care nu sunt negative cu n ≥ m , φ este unghiul azimut , ρ este distanța radială $0\leq \rho \leq 1$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ rho \ leq 1}$ ${\ displaystyle 0 \ leq \ rho \ leq 1}$ și R ^m _n sunt polinoamele radiale definite mai jos. Polinoamele Zernike au proprietatea de a fi limitate la un interval de la -1 la +1, adică $|Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )|\leq 1$ ${\ displaystyle | Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) | \ leq 1}$ ${\ displaystyle | Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) | \ leq 1}$ . Polinoamele radiale R ^m _n sunt definite ca:

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\left({\tfrac {n+m}{2}}-k\right)!\left({\tfrac {n-m}{2}}-k\right)!}}\;\rho ^{n-2\,k}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ tfrac {nm} {2}} {\ frac {(-1) ^ {k} \, ( nk)!} {k! \ left ({\ tfrac {n + m} {2}} - k \ right)! \ left ({\ tfrac {nm} {2}} - k \ right)!}} \ ; \ rho ^ {n-2 \, k}}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ tfrac {nm} {2}} {\ frac {(-1) ^ {k} \, ( nk)!} {k! \ left ({\ tfrac {n + m} {2}} - k \ right)! \ left ({\ tfrac {nm} {2}} - k \ right)!}} \ ; \ rho ^ {n-2 \, k}}

pentru n - m pare și sunt identice zero pentru n - m impare.

Alte reprezentări

Rescriind raporturile factorialelor din partea radială ca produse ale coeficienților binomiali se poate arăta că coeficienții sunt numere întregi:

R_{n}^{m}(\rho )=\sum _{k=0}^{\tfrac {n-m}{2}}(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}{\binom {n-2k}{{\tfrac {n-m}{2}}-k}}\rho ^{n-2k}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ tfrac {nm} {2}} (- 1) ^ {k} {\ binom {nk} { k}} {\ binom {n-2k} {{\ tfrac {nm} {2}} - k}} \ rho ^ {n-2k}}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ tfrac {nm} {2}} (- 1) ^ {k} {\ binom {nk} { k}} {\ binom {n-2k} {{\ tfrac {nm} {2}} - k}} \ rho ^ {n-2k}}

.

O notație ca terminare a funcțiilor hipergeometrice gaussiene este utilă pentru detectarea recurențelor, pentru a demonstra că acestea sunt cazuri particulare de polinoame Jacobi , pentru scrierea ecuațiilor diferențiale etc.:

{\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )&={\binom {n}{\tfrac {n+m}{2}}}\rho ^{n}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};-n;\rho ^{-2}\right)\\&=(-1)^{\tfrac {n-m}{2}}{\binom {\tfrac {n+m}{2}}{m}}\rho ^{m}\ {}_{2}F_{1}\left(1+{\tfrac {n+m}{2}},-{\tfrac {n-m}{2}};1+m;\rho ^{2}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {n} ^ {m} (\ rho) & = {\ binom {n} {\ tfrac {n + m} {2}}} \ rho ^ {n} \ { } _ {2} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {n + m} {2}}, - {\ tfrac {nm} {2}}; - n; \ rho ^ {- 2} \ right ) \\ & = (- 1) ^ {\ tfrac {nm} {2}} {\ binom {\ tfrac {n + m} {2}} {m}} \ rho ^ {m} \ {} _ { 2} F_ {1} \ left (1 + {\ tfrac {n + m} {2}}, - {\ tfrac {nm} {2}}; 1 + m; \ rho ^ {2} \ right) \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {n} ^ {m} (\ rho) & = {\ binom {n} {\ tfrac {n + m} {2}}} \ rho ^ {n} \ { } _ {2} F_ {1} \ left (- {\ tfrac {n + m} {2}}, - {\ tfrac {nm} {2}}; - n; \ rho ^ {- 2} \ right ) \\ & = (- 1) ^ {\ tfrac {nm} {2}} {\ binom {\ tfrac {n + m} {2}} {m}} \ rho ^ {m} \ {} _ { 2} F_ {1} \ left (1 + {\ tfrac {n + m} {2}}, - {\ tfrac {nm} {2}}; 1 + m; \ rho ^ {2} \ right) \ sfârșit {aliniat}}}

pentru n - m chiar.

Factorul $\rho ^{n-2k}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {n-2k}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {n-2k}}$ în polinomul radial $R_{n}^{m}(\rho )$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho)}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho)}$ poate fi extins pe baza lui Bernstein $b_{s,n/2}(\rho ^{2})$ ${\ displaystyle b_ {s, n / 2} (\ rho ^ {2})}$ ${\ displaystyle b_ {s, n / 2} (\ rho ^ {2})}$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ chiar și de $b_{s,(n-1)/2}(\rho ^{2})$ ${\ displaystyle b_ {s, (n-1) / 2} (\ rho ^ {2})}$ ${\ displaystyle b_ {s, (n-1) / 2} (\ rho ^ {2})}$ pentru $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ ciudat în interval $\lfloor n/2\rfloor -k\leq s\leq \lfloor n/2\rfloor$ ${\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor -k \ leq s \ leq \ lfloor n / 2 \ rfloor}$ ${\ displaystyle \ lfloor n / 2 \ rfloor -k \ leq s \ leq \ lfloor n / 2 \ rfloor}$ . Prin urmare, polinomul radial poate fi exprimat printr-un număr finit de polinoame Bernstein cu coeficienți raționali :

R_{n}^{m}(\rho )={\frac {1}{\binom {\lfloor n/2\rfloor }{\lfloor m/2\rfloor }}}\rho ^{n\mod 2}\sum _{s=\lfloor m/2\rfloor }^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{\lfloor n/2\rfloor -s}{\binom {s}{\lfloor m/2\rfloor }}{\binom {(n+m)/2}{s+\lceil m/2\rceil }}b_{s,\lfloor n/2\rfloor }(\rho ^{2}).

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = {\ frac {1} {\ binom {\ lfloor n / 2 \ rfloor} {\ lfloor m / 2 \ rfloor}}} \ rho ^ {n \ mod 2} \ sum _ {s = \ lfloor m / 2 \ rfloor} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor -s} {\ binom {s} {\ lfloor m / 2 \ rfloor}} {\ binom {(n + m) / 2} {s + \ lceil m / 2 \ rceil}} b_ {s, \ lfloor n / 2 \ rfloor} (\ rho ^ {2}).}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = {\ frac {1} {\ binom {\ lfloor n / 2 \ rfloor} {\ lfloor m / 2 \ rfloor}}} \ rho ^ {n \ mod 2} \ sum _ {s = \ lfloor m / 2 \ rfloor} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} (- 1) ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor -s} {\ binom {s} {\ lfloor m / 2 \ rfloor}} {\ binom {(n + m) / 2} {s + \ lceil m / 2 \ rceil}} b_ {s, \ lfloor n / 2 \ rfloor} (\ rho ^ {2}).}

Indici secvențiali ai lui Noll

Aplicațiile implică adesea algebră liniară , în care integrale cu privire la produsele polinoamelor Zernike și alți factori construiesc elementele matricei . Pentru a enumera rândurile și coloanele acestor tablouri cu un singur index, Noll a introdus o mapare convențională a celor doi indici n și m la un singur index j . ^[4] Tabelul acestei transformări $Z_{n}^{m}\rightarrow Z_{j}$ ${\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} \ rightarrow Z_ {j}}$ ${\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} \ rightarrow Z_ {j}}$ începe așa:

$j={\frac {n(n+1)}{2}}+|m|+\left\{{\begin{array}{ll}0,&m>0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}};\\0,&m<0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\geq 0\land n\equiv \{2,3\}{\pmod {4}};\\1,&m\leq 0\land n\equiv \{0,1\}{\pmod {4}}.\end{array}}\right.$ ${\ displaystyle j = {\ frac {n (n + 1)} {2}} + | m | + \ left \ {{\ begin {array} {ll} 0, & m> 0 \ land n \ equiv \ {0,1 \} {\ pmod {4}}; \\ 0, & m <0 \ land n \ equiv \ {2,3 \} {\ pmod {4}}; \\ 1, & m \ geq 0 \ land n \ equiv \ {2,3 \} {\ pmod {4}}; \\ 1, & m \ leq 0 \ land n \ equiv \ {0,1 \} {\ pmod {4}}. \ end {array}} \ right.}$ ${\ displaystyle j = {\ frac {n (n + 1)} {2}} + | m | + \ left \ {{\ begin {array} {ll} 0, & m> 0 \ land n \ equiv \ {0,1 \} {\ pmod {4}}; \\ 0, & m <0 \ land n \ equiv \ {2,3 \} {\ pmod {4}}; \\ 1, & m \ geq 0 \ land n \ equiv \ {2,3 \} {\ pmod {4}}; \\ 1, & m \ leq 0 \ land n \ equiv \ {0,1 \} {\ pmod {4}}. \ end {array}} \ right.}$

n, m	0,0	1.1	1, -1	2.0	2, −2	2.2	3, -1	3.1	3, −3	3.3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n, m	4.0	4.2	4, −2	4.4	4, −4	5.1	5, −1	5.3	5, −3	5.5
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Regula este că Z par (cu și partea azimut m , $\cos(m\varphi )$ ${\ displaystyle \ cos (m \ varphi)}$ ${\ displaystyle \ cos (m \ varphi)}$ ) obține indicii pari j , în timp ce Z impare obține indicii j impari. În cadrul unui n dat, cele mai mici valori ale | m | devin mai mici j .

Indici standard OSA / ANSI

Polinomii Zernike cu index unic OSA șiANSI utilizează:

j={\frac {n(n+2)+m}{2}}

{\ displaystyle j = {\ frac {n (n + 2) + m} {2}}}

{\ displaystyle j = {\ frac {n (n + 2) + m} {2}}}

n, m	0,0	1, -1	1.1	2, -2	2.0	2.2	3, -3	3, -1	3.1	3.3
j	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
n, m	4, -4	4, -2	4.0	4.2	4.4	5, -5	5, -3	5, -1	5.1	5.3
j	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19

Indici Fringe / Universitatea din Arizona

Schema de indexare Fringe este utilizată în software-ul de proiectare optică comercială și testarea optică. ^[5] ^[6]

$j=\left(1+{\frac {n+|m|}{2}}\right)^{2}-2|m|+{\frac {1-\operatorname {sgn} m}{2}}$ ${\ displaystyle j = \ left (1 + {\ frac {n + | m |} {2}} \ right) ^ {2} -2 | m | + {\ frac {1- \ operatorname {sgn} m} {2}}}$ ${\ displaystyle j = \ left (1 + {\ frac {n + | m |} {2}} \ right) ^ {2} -2 | m | + {\ frac {1- \ operatorname {sgn} m} {2}}}$

Primele 20 de numere ale Fringe sunt enumerate mai jos.

n, m	0,0	1.1	1, -1	2.0	2.2	2, -2	3.1	3, -1	4.0	3.3
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n, m	3, -3	4.2	4, −2	5.1	5, −1	6.0	4.4	4, -4	5.3	5, -3
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Proprietate

Ortogonalitate

Ortogonalitatea din componenta radială este următoarea:

\int _{0}^{1}\rho {\sqrt {2n+2}}R_{n}^{m}(\rho )\,{\sqrt {2n'+2}}R_{n'}^{m}(\rho )\,d\rho =\delta _{n,n'}.

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ rho {\ sqrt {2n + 2}} R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, {\ sqrt {2n '+ 2}} R_ { n '} ^ {m} (\ rho) \, d \ rho = \ delta _ {n, n'}.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ rho {\ sqrt {2n + 2}} R_ {n} ^ {m} (\ rho) \, {\ sqrt {2n '+ 2}} R_ { n '} ^ {m} (\ rho) \, d \ rho = \ delta _ {n, n'}.}

Ortogonalitatea în componenta unghiulară este reprezentată de elementar :

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\cos(m'\varphi )\,d\varphi =\epsilon _{m}\pi \delta _{|m|,|m'|},

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (m \ varphi) \ cos (m '\ varphi) \, d \ varphi = \ epsilon _ {m} \ pi \ delta _ {| m |, | m '|},}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (m \ varphi) \ cos (m '\ varphi) \, d \ varphi = \ epsilon _ {m} \ pi \ delta _ {| m |, | m '|},}

\int _{0}^{2\pi }\sin(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =(-1)^{m+m'}\pi \delta _{|m|,|m'|};\quad m\neq 0,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin (m \ varphi) \ sin (m '\ varphi) \, d \ varphi = (- 1) ^ {m + m'} \ pi \ delta _ {| m |, | m '|}; \ quad m \ neq 0,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin (m \ varphi) \ sin (m '\ varphi) \, d \ varphi = (- 1) ^ {m + m'} \ pi \ delta _ {| m |, | m '|}; \ quad m \ neq 0,}

\int _{0}^{2\pi }\cos(m\varphi )\sin(m'\varphi )\,d\varphi =0,

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (m \ varphi) \ sin (m '\ varphi) \, d \ varphi = 0,}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cos (m \ varphi) \ sin (m '\ varphi) \, d \ varphi = 0,}

unde este $\epsilon _{m}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {m}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {m}}$ numit uneori factor Neumann deoarece apare adesea în combinație cu funcțiile Bessel) este definit ca 2 dacă $m=0$ ${\ displaystyle m = 0}$ ${\ displaystyle m = 0}$ și 1 dacă $m\neq 0$ ${\ displaystyle m \ neq 0}$ ${\ displaystyle m \ neq 0}$ . Produsul componentelor unghiulare și radiale stabilește ortogonalitatea funcțiilor Zernike în raport cu ambii indici dacă sunt integrați pe discul unității,

\int Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )Z_{n'}^{m'}(\rho ,\varphi )\,d^{2}r={\frac {\epsilon _{m}\pi }{2n+2}}\delta _{n,n'}\delta _{m,m'},

{\ displaystyle \ int Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) Z_ {n '} ^ {m'} (\ rho, \ varphi) \, d ^ {2} r = {\ frac { \ epsilon _ {m} \ pi} {2n + 2}} \ delta _ {n, n '} \ delta _ {m, m'},}

{\ displaystyle \ int Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) Z_ {n '} ^ {m'} (\ rho, \ varphi) \, d ^ {2} r = {\ frac { \ epsilon _ {m} \ pi} {2n + 2}} \ delta _ {n, n '} \ delta _ {m, m'},}

unde este $d^{2}r=\rho \,d\rho \,d\varphi$ ${\ displaystyle d ^ {2} r = \ rho \, d \ rho \, d \ varphi}$ ${\ displaystyle d ^ {2} r = \ rho \, d \ rho \, d \ varphi}$ este Jacobianul sistemului de coordonate circulare și unde $n-m$ ${\ displaystyle nm}$ ${\ displaystyle n-m}$ Și $n'-m'$ ${\ displaystyle n'-m '}$ ${\ displaystyle n'-m '}$ amândoi sunt egali .

O valoare specială este:

R_{n}^{m}(1)=1,\,

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (1) = 1, \,}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (1) = 1, \,}

Transformarea lui Zernike

Orice câmp de fază cu adevărat suficient de regulat pe discul unității $G(\rho ,\varphi )$ ${\ displaystyle G (\ rho, \ varphi)}$ ${\ displaystyle G (\ rho, \ varphi)}$ poate fi reprezentat în termeni de coeficienți Zernike (par și impar), la fel ca pentru funcțiile periodice se poate găsi o reprezentare ortogonală cu seria Fourier . Avem:

G(\rho ,\varphi )=\sum _{m,n}\left[a_{m,n}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )+b_{m,n}Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right],

{\ displaystyle G (\ rho, \ varphi) = \ sum _ {m, n} \ left [a_ {m, n} Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) + b_ {m, n } Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) \ right],}

{\ displaystyle G (\ rho, \ varphi) = \ sum _ {m, n} \ left [a_ {m, n} Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) + b_ {m, n } Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) \ right],}

unde coeficienții pot fi calculați folosind produse interne . În spațiul $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ funcții pe discul unității, există un produs intern definit de:

\langle F,G\rangle :=\int F(\rho ,\varphi )G(\rho ,\varphi )\rho d\rho d\varphi .

{\ displaystyle \ langle F, G \ rangle: = \ int F (\ rho, \ varphi) G (\ rho, \ varphi) \ rho d \ rho d \ varphi.}

{\ displaystyle \ langle F, G \ rangle: = \ int F (\ rho, \ varphi) G (\ rho, \ varphi) \ rho d \ rho d \ varphi.}

Prin urmare, coeficienții Zernike pot fi exprimați după cum urmează :

{\begin{aligned}a_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )\right\rangle ,\\b_{m,n}&={\frac {2n+2}{\epsilon _{m}\pi }}\left\langle G(\rho ,\varphi ),Z_{n}^{-m}(\rho ,\varphi )\right\rangle .\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {m, n} & = {\ frac {2n + 2} {\ epsilon _ {m} \ pi}} \ left \ langle G (\ rho, \ varphi), Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) \ right \ rangle, \\ b_ {m, n} & = {\ frac {2n + 2} {\ epsilon _ {m} \ pi}} \ left \ langle G (\ rho, \ varphi), Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) \ right \ rangle. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} a_ {m, n} & = {\ frac {2n + 2} {\ epsilon _ {m} \ pi}} \ left \ langle G (\ rho, \ varphi), Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) \ right \ rangle, \\ b_ {m, n} & = {\ frac {2n + 2} {\ epsilon _ {m} \ pi}} \ left \ langle G (\ rho, \ varphi), Z_ {n} ^ {- m} (\ rho, \ varphi) \ right \ rangle. \ end {align}}}

Alternativ, valorile cunoscute ale funcției de fază G pe grila circulară pot fi utilizate pentru a forma un sistem de ecuații. Funcția de fază este recuperată din produsul ponderat cu un coeficient necunoscut cu valorile cunoscute ale polinomului Zernike prin rețeaua unitară. Prin urmare, coeficienții pot fi găsiți și prin rezolvarea unui sistem liniar, de exemplu prin inversarea matricei. Algoritmi rapidi pentru a calcula transforma Zernike înainte și inversă utilizează proprietățile de simetrie ale funcțiilor trigonometrice , separabilitatea părților radiale și azimutale ale polinoamelor Zernike și simetriile lor de rotație.

Simetriile

Paritatea față de reflexia de-a lungul axei x este:

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,-\varphi ).

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} (\ rho, - \ varphi).}

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} (\ rho, - \ varphi).}

Paritatea față de punctul de reflecție din centrul coordonatelor este:

Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi )=(-1)^{m}Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi +\pi ),

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi + \ pi),}

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi) = (- 1) ^ {m} Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi + \ pi),}

unde este $(-1)^{m}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {m}}$ s-ar putea scrie și $(-1)^{n}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ ${\ displaystyle (-1) ^ {n}}$ atâta timp cât $n-m$ ${\ displaystyle nm}$ ${\ displaystyle n-m}$ este chiar pentru valorile relevante. A polinoamele radiale sunt pare sau impare, în funcție de ordinea n sau m :

R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{n}R_{n}^{m}(-\rho )=(-1)^{m}R_{n}^{m}(-\rho ).

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = (- 1) ^ {n} R_ {n} ^ {m} (- \ rho) = (- 1) ^ {m} R_ {n} ^ {m} (- \ rho).}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = (- 1) ^ {n} R_ {n} ^ {m} (- \ rho) = (- 1) ^ {m} R_ {n} ^ {m} (- \ rho).}

Periodicitatea funcțiilor trigonometrice implică invarianță dacă este rotită cu multipli de $2\pi /m$ ${\ displaystyle 2 \ pi / m}$ ${\ displaystyle 2 \ pi / m}$ radiani în jurul centrului :

Z_{n}^{m}\left(\rho ,\varphi +{\tfrac {2\pi k}{m}}\right)=Z_{n}^{m}(\rho ,\varphi ),\qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots .

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} \ left (\ rho, \ varphi + {\ tfrac {2 \ pi k} {m}} \ right) = Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi), \ qquad k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ cdots.}

{\ displaystyle Z_ {n} ^ {m} \ left (\ rho, \ varphi + {\ tfrac {2 \ pi k} {m}} \ right) = Z_ {n} ^ {m} (\ rho, \ varphi), \ qquad k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ cdots.}

Relațiile de recurență

Polinoamele Zernike satisfac următoarea relație de recurență care nu depinde nici de gradul, nici de ordinea azimutală a polinoamelor radiale : ^[7]

{\begin{aligned}R_{n}^{m}(\rho )+R_{n-2}^{m}(\rho )=\rho \left[R_{n-1}^{\left|m-1\right|}(\rho )+R_{n-1}^{m+1}(\rho )\right]{\text{ .}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {n} ^ {m} (\ rho) + R_ {n-2} ^ {m} (\ rho) = \ rho \ left [R_ {n-1} ^ { \ left | m-1 \ right |} (\ rho) + R_ {n-1} ^ {m + 1} (\ rho) \ right] {\ text {.}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {n} ^ {m} (\ rho) + R_ {n-2} ^ {m} (\ rho) = \ rho \ left [R_ {n-1} ^ { \ left | m-1 \ right |} (\ rho) + R_ {n-1} ^ {m + 1} (\ rho) \ right] {\ text {.}} \ end {align}}}

Din definiția lui $R_{n}^{m}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ se vede că $R_{m}^{m}(\rho )=\rho ^{m}$ ${\ displaystyle R_ {m} ^ {m} (\ rho) = \ rho ^ {m}}$ ${\ displaystyle R_ {m} ^ {m} (\ rho) = \ rho ^ {m}}$ Și $R_{m+2}^{m}(\rho )=((m+2)\rho ^{2}-(m+1))\rho ^{m}$ ${\ displaystyle R_ {m + 2} ^ {m} (\ rho) = ((m + 2) \ rho ^ {2} - (m + 1)) \ rho ^ {m}}$ ${\ displaystyle R_ {m + 2} ^ {m} (\ rho) = ((m + 2) \ rho ^ {2} - (m + 1)) \ rho ^ {m}}$ . Următoarea relație de recurență cu trei termeni ^[8] ne permite, prin urmare, să calculăm toate celelalte $R_{n}^{m}(\rho )$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho)}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho)}$ :

R_{n}^{m}(\rho )={\frac {2(n-1)(2n(n-2)\rho ^{2}-m^{2}-n(n-2))R_{n-2}^{m}(\rho )-n(n+m-2)(n-m-2)R_{n-4}^{m}(\rho )}{(n+m)(n-m)(n-2)}}{\text{ .}}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = {\ frac {2 (n-1) (2n (n-2) \ rho ^ {2} -m ^ {2} -n (n- 2)) R_ {n-2} ^ {m} (\ rho) -n (n + m-2) (nm-2) R_ {n-4} ^ {m} (\ rho)} {(n + m) (nm) (n-2)}} {\ text {.}}}

{\ displaystyle R_ {n} ^ {m} (\ rho) = {\ frac {2 (n-1) (2n (n-2) \ rho ^ {2} -m ^ {2} -n (n- 2)) R_ {n-2} ^ {m} (\ rho) -n (n + m-2) (nm-2) R_ {n-4} ^ {m} (\ rho)} {(n + m) (nm) (n-2)}} {\ text {.}}}

Relația de mai sus este deosebit de utilă deoarece derivatul lui $R_{n}^{m}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {m}}$ poate fi calculat din două polinoame radiale Zernike de grad adiacent: ^[8]

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\rho }}R_{n}^{m}(\rho )={\frac {(2nm(\rho ^{2}-1)+(n-m)(m+n(2\rho ^{2}-1)))R_{n}^{m}(\rho )-(n+m)(n-m)R_{n-2}^{m}(\rho )}{2n\rho (\rho ^{2}-1)}}{\text{ .}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ rho}} R_ {n} ^ {m} (\ rho) = {\ frac {(2nm (\ rho ^ {2 } -1) + (nm) (m + n (2 \ rho ^ {2} -1))) R_ {n} ^ {m} (\ rho) - (n + m) (nm) R_ {n- 2} ^ {m} (\ rho)} {2n \ rho (\ rho ^ {2} -1)}} {\ text {.}}}

{\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} \! \ rho}} R_ {n} ^ {m} (\ rho) = {\ frac {(2nm (\ rho ^ {2 } -1) + (nm) (m + n (2 \ rho ^ {2} -1))) R_ {n} ^ {m} (\ rho) - (n + m) (nm) R_ {n- 2} ^ {m} (\ rho)} {2n \ rho (\ rho ^ {2} -1)}} {\ text {.}}}

Exemple

Polinoame radiale

Primele polinoame radiale sunt:

R_{0}^{0}(\rho )=1\,

{\ displaystyle R_ {0} ^ {0} (\ rho) = 1 \,}

{\ displaystyle R_ {0} ^ {0} (\ rho) = 1 \,}

R_{1}^{1}(\rho )=\rho \,

{\ displaystyle R_ {1} ^ {1} (\ rho) = \ rho \,}

{\ displaystyle R_ {1} ^ {1} (\ rho) = \ rho \,}

R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1\,

{\ displaystyle R_ {2} ^ {0} (\ rho) = 2 \ rho ^ {2} -1 \,}

{\ displaystyle R_ {2} ^ {0} (\ rho) = 2 \ rho ^ {2} -1 \,}

R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}\,

{\ displaystyle R_ {2} ^ {2} (\ rho) = \ rho ^ {2} \,}

{\ displaystyle R_ {2} ^ {2} (\ rho) = \ rho ^ {2} \,}

R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho \,

{\ displaystyle R_ {3} ^ {1} (\ rho) = 3 \ rho ^ {3} -2 \ rho \,}

{\ displaystyle R_ {3} ^ {1} (\ rho) = 3 \ rho ^ {3} -2 \ rho \,}

R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}\,

{\ displaystyle R_ {3} ^ {3} (\ rho) = \ rho ^ {3} \,}

{\ displaystyle R_ {3} ^ {3} (\ rho) = \ rho ^ {3} \,}

R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1\,

{\ displaystyle R_ {4} ^ {0} (\ rho) = 6 \ rho ^ {4} -6 \ rho ^ {2} +1 \,}

{\ displaystyle R_ {4} ^ {0} (\ rho) = 6 \ rho ^ {4} -6 \ rho ^ {2} +1 \,}

R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}\,

{\ displaystyle R_ {4} ^ {2} (\ rho) = 4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2} \,}

{\ displaystyle R_ {4} ^ {2} (\ rho) = 4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2} \,}

R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}\,

{\ displaystyle R_ {4} ^ {4} (\ rho) = \ rho ^ {4} \,}

{\ displaystyle R_ {4} ^ {4} (\ rho) = \ rho ^ {4} \,}

R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho \,

{\ displaystyle R_ {5} ^ {1} (\ rho) = 10 \ rho ^ {5} -12 \ rho ^ {3} +3 \ rho \,}

{\ displaystyle R_ {5} ^ {1} (\ rho) = 10 \ rho ^ {5} -12 \ rho ^ {3} +3 \ rho \,}

R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}\,

{\ displaystyle R_ {5} ^ {3} (\ rho) = 5 \ rho ^ {5} -4 \ rho ^ {3} \,}

{\ displaystyle R_ {5} ^ {3} (\ rho) = 5 \ rho ^ {5} -4 \ rho ^ {3} \,}

R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}\,

{\ displaystyle R_ {5} ^ {5} (\ rho) = \ rho ^ {5} \,}

{\ displaystyle R_ {5} ^ {5} (\ rho) = \ rho ^ {5} \,}

R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1\,

{\ displaystyle R_ {6} ^ {0} (\ rho) = 20 \ rho ^ {6} -30 \ rho ^ {4} +12 \ rho ^ {2} -1 \,}

{\ displaystyle R_ {6} ^ {0} (\ rho) = 20 \ rho ^ {6} -30 \ rho ^ {4} +12 \ rho ^ {2} -1 \,}

R_{6}^{2}(\rho )=15\rho ^{6}-20\rho ^{4}+6\rho ^{2}\,

{\ displaystyle R_ {6} ^ {2} (\ rho) = 15 \ rho ^ {6} -20 \ rho ^ {4} +6 \ rho ^ {2} \,}

{\ displaystyle R_ {6} ^ {2} (\ rho) = 15 \ rho ^ {6} -20 \ rho ^ {4} +6 \ rho ^ {2} \,}

R_{6}^{4}(\rho )=6\rho ^{6}-5\rho ^{4}\,

{\ displaystyle R_ {6} ^ {4} (\ rho) = 6 \ rho ^ {6} -5 \ rho ^ {4} \,}

{\ displaystyle R_ {6} ^ {4} (\ rho) = 6 \ rho ^ {6} -5 \ rho ^ {4} \,}

R_{6}^{6}(\rho )=\rho ^{6}.\,

{\ displaystyle R_ {6} ^ {6} (\ rho) = \ rho ^ {6}. \,}

{\ displaystyle R_ {6} ^ {6} (\ rho) = \ rho ^ {6}. \,}

Polinoame Zernike

Mai jos sunt enumerate câteva Zernikes , cu indici unici de OSA / ANSI și Noll . Sunt normalizate astfel:

\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{1}Z_{j}^{2}\,\rho \,d\rho \,d\theta =\pi .

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {1} Z_ {j} ^ {2} \, \ rho \, d \ rho \, d \ theta = \ pi .}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {1} Z_ {j} ^ {2} \, \ rho \, d \ rho \, d \ theta = \ pi .}

	Index OSA / ANSI ( $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ )	Index de Noll ( $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ )	Grad radial ( $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ )	Grad azimut ( $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ )	$Z_{j}$ ${\ displaystyle Z_ {j}}$ ${\ displaystyle Z_ {j}}$	Nume
$Z_{0}^{0}$ ${\ displaystyle Z_ {0} ^ {0}}$ ${\ displaystyle Z_ {0} ^ {0}}$	0 0	0 1	0	0 0	$1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$	Piston (vezi distribuția Wigner )
$Z_{1}^{-1}$ ${\ displaystyle Z_ {1} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle Z_ {1} ^ {- 1}}$	0 1	0 3	1	−1	$2\rho \sin \theta$ ${\ displaystyle 2 \ rho \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle 2 \ rho \ sin \ theta}$	Tilt (Y-Tilt, vertical tilt)
$Z_{1}^{1}$ ${\ displaystyle Z_ {1} ^ {1}}$ ${\ displaystyle Z_ {1} ^ {1}}$	0 2	0 2	1	+1	$2\rho \cos \theta$ ${\ displaystyle 2 \ rho \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle 2 \ rho \ cos \ theta}$	Sfat (X-Tilt, înclinare orizontală)
$Z_{2}^{-2}$ ${\ displaystyle Z_ {2} ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle Z_ {2} ^ {- 2}}$	0 3	0 5	2	−2	${\sqrt {6}}\rho ^{2}\sin 2\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} \ rho ^ {2} \ sin 2 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} \ rho ^ {2} \ sin 2 \ theta}$	Astigmatism oblic
$Z_{2}^{0}$ ${\ displaystyle Z_ {2} ^ {0}}$ ${\ displaystyle Z_ {2} ^ {0}}$	0 4	0 4	2	0 0	${\sqrt {3}}(2\rho ^{2}-1)$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}} (2 \ rho ^ {2} -1)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {3}} (2 \ rho ^ {2} -1)}$	Defocus (poziție longitudinală)
$Z_{2}^{2}$ ${\ displaystyle Z_ {2} ^ {2}}$ ${\ displaystyle Z_ {2} ^ {2}}$	0 5	0 6	2	+2	${\sqrt {6}}\rho ^{2}\cos 2\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} \ rho ^ {2} \ cos 2 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {6}} \ rho ^ {2} \ cos 2 \ theta}$	Astigmatism vertical
$Z_{3}^{-3}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {- 3}}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {- 3}}$	0 6	0 9	3	−3	${\sqrt {8}}\rho ^{3}\sin 3\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} \ rho ^ {3} \ sin 3 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} \ rho ^ {3} \ sin 3 \ theta}$	Trifoi vertical
$Z_{3}^{-1}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {- 1}}$	0 7	0 7	3	−1	${\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\sin \theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} (3 \ rho ^ {3} -2 \ rho) \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} (3 \ rho ^ {3} -2 \ rho) \ sin \ theta}$	Coma verticală
$Z_{3}^{1}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {1}}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {1}}$	0 8	0 8	3	+1	${\sqrt {8}}(3\rho ^{3}-2\rho )\cos \theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} (3 \ rho ^ {3} -2 \ rho) \ cos \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} (3 \ rho ^ {3} -2 \ rho) \ cos \ theta}$	Coma orizontală
$Z_{3}^{3}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {3}}$ ${\ displaystyle Z_ {3} ^ {3}}$	0 9	10	3	+3	${\sqrt {8}}\rho ^{3}\cos 3\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} \ rho ^ {3} \ cos 3 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {8}} \ rho ^ {3} \ cos 3 \ theta}$	Trifoi oblic
$Z_{4}^{-4}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {- 4}}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {- 4}}$	10	15	4	−4	${\sqrt {10}}\rho ^{4}\sin 4\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} \ rho ^ {4} \ sin 4 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} \ rho ^ {4} \ sin 4 \ theta}$	Trifoi oblic cu patru frunze
$Z_{4}^{-2}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {- 2}}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {- 2}}$	11	13	4	−2	${\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\sin 2\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} (4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2}) \ sin 2 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} (4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2}) \ sin 2 \ theta}$	Astigmatism oblic secundar
$Z_{4}^{0}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {0}}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {0}}$	12	11	4	0 0	${\sqrt {5}}(6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1)$ ${\ displaystyle {\ sqrt {5}} (6 \ rho ^ {4} -6 \ rho ^ {2} +1)}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {5}} (6 \ rho ^ {4} -6 \ rho ^ {2} +1)}$	Sferic primar
$Z_{4}^{2}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {2}}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {2}}$	13	12	4	+2	${\sqrt {10}}(4\rho ^{4}-3\rho ^{2})\cos 2\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} (4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2}) \ cos 2 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} (4 \ rho ^ {4} -3 \ rho ^ {2}) \ cos 2 \ theta}$	Astigmatism vertical secundar
$Z_{4}^{4}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {4}}$ ${\ displaystyle Z_ {4} ^ {4}}$	14	14	4	+4	${\sqrt {10}}\rho ^{4}\cos 4\theta$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} \ rho ^ {4} \ cos 4 \ theta}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {10}} \ rho ^ {4} \ cos 4 \ theta}$	Trifoi vertical cu patru foi

Aplicații

Funcțiile sunt o bază definită deasupra zonei de susținere circulare, de obicei planurile pupilei în imaginea optică clasică la lungimi de undă în vizibil și în infraroșu prin sisteme de lentile și oglinzi cu diametru finit. Avantajele lor sunt proprietățile analitice simple moștenite din simplitatea funcțiilor radiale și factorizarea funcțiilor radiale și azimutale. Acest lucru duce, de exemplu, la expresiile de formă închisă ale transformatei Fourier bidimensionale în ceea ce privește funcțiile Bessel . ^[9] ^[10] Dezavantajul lor, în special dacă este implicat n mare, este distribuția inegală a liniilor nodale pe discul unității, care introduce oscilații în apropierea perimetrului $\rho \approx 1$ ${\ displaystyle \ rho \ approx 1}$ ${\ displaystyle \ rho \ approx 1}$ , care deseori duc la încercări de definire a altor funcții ortogonale pe disc. ^[11]

În fabricarea optică de precizie, polinoamele Zernike sunt utilizate pentru a caracteriza erorile de ordin superior observate în analizele interferometrice. În optometrie și oftalmologie , polinoamele Zernike sunt utilizate pentru a descrie aberațiile corneei sau ale lentilei în raport cu o formă sferică ideală, care provoacă erori de refracție .

Sunt utilizate în mod obișnuit în optica adaptivă , unde pot fi utilizate pentru a caracteriza distorsiunea atmosferică . Aplicații evidente pentru acest lucru sunt IR sau astronomie vizuală și imagini prin satelit .

O altă aplicație a polinoamelor Zernike se găsește în teoria difracției și aberațiilor extinse Nijboer-Zernike.

Polinoamele Zernike sunt utilizate pe scară largă ca funcții de bază ale momentelor de imagine . Deoarece polinoamele Zernike sunt ortogonale unele cu altele, momentele Zernike pot reprezenta proprietăți ale unei imagini fără redundanță sau suprapunere de informații între momente. Deși momentele Zernike depind în mod semnificativ de scalarea și translația obiectului într-o regiune de interes (ROI), magnitudinile lor sunt independente de unghiul de rotație al obiectului. ^[12] Prin urmare, ele pot fi utilizate pentru a extrage caracteristici din imagini care descriu caracteristicile de formă ale unui obiect. De exemplu, momentele Zernike sunt utilizate ca descriptori de formă pentru a clasifica masele mamare benigne și maligne ^[13] sau suprafața discurilor vibrante . ^[14] Momentele Zernike au fost, de asemenea, utilizate pentru a cuantifica forma celulelor osteosarcomului la nivelul unei singure celule . ^[15]

Dimensiuni superioare

Conceptul se traduce prin dimensiuni superioare D dacă se convertesc multinomiale $x_{1}^{i}x_{2}^{j}\cdots x_{D}^{k}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {i} x_ {2} ^ {j} \ cdots x_ {D} ^ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {1} ^ {i} x_ {2} ^ {j} \ cdots x_ {D} ^ {k}}$ de la coordonatele carteziene la coordonatele hipersferice , $\rho ^{s},s\leq D$ ${\ displaystyle \ rho ^ {s}, s \ leq D}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {s}, s \ leq D}$ înmulțit cu un produs al polinoamelor Jacobi ale variabilelor unghiulare. În $D=3$ ${\ displaystyle D = 3}$ ${\ displaystyle D = 3}$ dimensiunile, variabilele unghiulare sunt armonici sferice , de exemplu. Combinații liniare de puteri $\rho ^{s}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {s}}$ ${\ displaystyle \ rho ^ {s}}$ definiți o bază ortogonală $R_{n}^{(l)}(\rho )$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {(l)} (\ rho)}$ ${\ displaystyle R_ {n} ^ {(l)} (\ rho)}$ satisfăcător:

\int _{0}^{1}\rho ^{D-1}R_{n}^{(l)}(\rho )R_{n'}^{(l)}(\rho )d\rho =\delta _{n,n'}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ rho ^ {D-1} R_ {n} ^ {(l)} (\ rho) R_ {n '} ^ {(l)} (\ rho) d \ rho = \ delta _ {n, n '}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \ rho ^ {D-1} R_ {n} ^ {(l)} (\ rho) R_ {n '} ^ {(l)} (\ rho) d \ rho = \ delta _ {n, n '}}

.

(Rețineți că un factor ${\sqrt {2n+D}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2n + D}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2n + D}}}$ este absorbit în definiția lui R aici, în timp ce în $D=2$ ${\ displaystyle D = 2}$ $D = 2$ normalizarea este aleasă puțin diferit. Aceasta este în mare măsură o chestiune de gust, în funcție de faptul dacă doriți să păstrați un set întreg de coeficienți sau să preferați formule mai compacte prin introducerea ortogonalizării). Reprezentarea explicită este:

{\begin{aligned}R_{n}^{(l)}(\rho )&={\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{n-s-1+{\tfrac {D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{n-2s}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}\sum _{s=0}^{\tfrac {n-l}{2}}(-1)^{s}{{\tfrac {n-l}{2}} \choose s}{s-1+{\tfrac {n+l+D}{2}} \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{2s+l}\\&=(-1)^{\tfrac {n-l}{2}}{\sqrt {2n+D}}{{\tfrac {n+l+D}{2}}-1 \choose {\tfrac {n-l}{2}}}\rho ^{l}\ {}_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {n-l}{2}},{\tfrac {n+l+D}{2}};l+{\tfrac {D}{2}};\rho ^{2}\right)\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {n} ^ {(l)} (\ rho) & = {\ sqrt {2n + D}} \ sum _ {s = 0} ^ {\ tfrac {nl} { 2}} (- 1) ^ {s} {{\ tfrac {nl} {2}} \ choose s} {ns-1 + {\ tfrac {D} {2}} \ choose {\ tfrac {nl} { 2}}} \ rho ^ {n-2s} \\ & = (- 1) ^ {\ tfrac {nl} {2}} {\ sqrt {2n + D}} \ sum _ {s = 0} ^ { \ tfrac {nl} {2}} (- 1) ^ {s} {{\ tfrac {nl} {2}} \ choose s} {s-1 + {\ tfrac {n + l + D} {2} } \ alege {\ tfrac {nl} {2}}} \ rho ^ {2s + l} \\ & = (- 1) ^ {\ tfrac {nl} {2}} {\ sqrt {2n + D}} {{\ tfrac {n + l + D} {2}} - 1 \ alege {\ tfrac {nl} {2}}} \ rho ^ {l} \ {} _ {2} F_ {1} \ left ( - {\ tfrac {nl} {2}}, {\ tfrac {n + l + D} {2}}; l + {\ tfrac {D} {2}}; \ rho ^ {2} \ right) \ sfârșit {aliniat}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} R_ {n} ^ {(l)} (\ rho) & = {\ sqrt {2n + D}} \ sum _ {s = 0} ^ {\ tfrac {nl} { 2}} (- 1) ^ {s} {{\ tfrac {nl} {2}} \ choose s} {ns-1 + {\ tfrac {D} {2}} \ choose {\ tfrac {nl} { 2}}} \ rho ^ {n-2s} \\ & = (- 1) ^ {\ tfrac {nl} {2}} {\ sqrt {2n + D}} \ sum _ {s = 0} ^ { \ tfrac {nl} {2}} (- 1) ^ {s} {{\ tfrac {nl} {2}} \ choose s} {s-1 + {\ tfrac {n + l + D} {2} } \ alege {\ tfrac {nl} {2}}} \ rho ^ {2s + l} \\ & = (- 1) ^ {\ tfrac {nl} {2}} {\ sqrt {2n + D}} {{\ tfrac {n + l + D} {2}} - 1 \ alege {\ tfrac {nl} {2}}} \ rho ^ {l} \ {} _ {2} F_ {1} \ left ( - {\ tfrac {nl} {2}}, {\ tfrac {n + l + D} {2}}; l + {\ tfrac {D} {2}}; \ rho ^ {2} \ right) \ sfârșit {aliniat}}}

pentru $n-l\geq 0$ ${\ displaystyle nl \ geq 0}$ ${\ displaystyle n-l \ geq 0}$ chiar, altfel egal cu zero.

Notă

^ F. Zernike, Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode , în Physica , vol. 1, nr. 8, 1934, pp. 689-704, Bibcode : 1934Phy ..... 1..689Z , DOI : 10.1016 / S0031-8914 (34) 80259-5 .
^ Born, Max și Wolf, Emil , Principiile opticii: teoria electromagnetică a propagării, interferenței și difracției luminii , 7th, Cambridge, Marea Britanie, Cambridge University Press, 1999, p. 986, ISBN 978-0-521-64222-4 .
^ Polinomii Zernike ( PDF ), pe mat.uniroma3.it .
^ RJ Noll, polinomii Zernike și turbulența atmosferică ( PDF ), în J. Opt. Soc. Am. , Vol. 66, nr. 3, 1976, p. 207, Bibcode : 1976JOSA ... 66..207N , DOI : 10.1364 / JOSA.66.000207 .
^ Loomis, J., "A Computer Program for Analysis of Interferometric Data", Interferograms Optical, Reduction and Interpretation, ASTM STP 666, AH Guenther și DH Liebenberg, Eds., American Society for Testing and Materials, 1978, pp. 71-86.
^ VL Genberg, GJ Michels și KB Doyle, Orthogonality of Zernike polynomials , în Proc SPIE , Optomechanical design and Engineering 2002 , vol. 4771, 2002, pp. 276-286, DOI : 10.1117 / 12.482169 .
^ Honarvar Shakibaei Asli, Barmak; Raveendran, Paramesran (iulie 2013). "Formula recursivă pentru calcularea polinoamelor radiale Zernike" Opt. Lett. (OSA) 38 (14): 2487–2489. DOI : 10.1364 / OL.38.002487
^ ^a ^b EC Kintner, Despre proprietățile matematice ale polinomilor Zernike , în Opt. Acta , vol. 23, n. 8, 1976, pp. 679-680, Bibcode : 1976AcOpt..23..679K , DOI : 10.1080 / 713819334 .
^ E. Tatulli, Transformarea coeficienților Zernike: o metodă bazată pe Fourier pentru deschiderile scalate, traduse și rotite ale frontului de undă , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 30, n. 4, 2013, pp. 726-32, Bibcode : 2013JOSAA..30..726T , DOI : 10.1364 / JOSAA.30.000726 , PMID 23595334 , arXiv : 1302.7106 .
^ AJEM Janssen, Noi rezultate analitice pentru polinomii cercului Zernike dintr-un rezultat de bază în teoria difracției Nijboer-Zernike , în Journal of the European Optical Society: Rapid Publications , vol. 6, 2011, p. 11028, Bibcode : 2011JEOS....6E1028J , DOI : 10.2971/jeos.2011.11028 .
^ Richard Barakat, Optimum balanced wave-front aberrations for radially symmetric amplitude distributions: Generalizations of Zernike polynomials , in J. Opt. Soc. Am. , vol. 70, n. 6, 1980, pp. 739-742, Bibcode : 1980JOSA...70..739B , DOI : 10.1364/JOSA.70.000739 .
^ A. Tahmasbi, An Effective Breast Mass Diagnosis System using Zernike Moments , 17th Iranian Conf. on Biomedical Engineering (ICBME'2010) , Isfahan , Iran , IEEE , 2010, pp. 1-4, DOI : 10.1109/ICBME.2010.5704941 .
^ A. Tahmasbi, F. Saki e SB Shokouhi, Classification of Benign and Malignant Masses Based on Zernike Moments , in Computers in Biology and Medicine , vol. 41, n. 8, 2011, pp. 726-735, DOI : 10.1016/j.compbiomed.2011.06.009 , PMID 21722886 .
^ WP Rdzanek, Sound radiation of a vibrating elastically supported circular plate embedded into a flat screen revisited using the Zernike circle polynomials , in J. Sound Vibr. , vol. 434, 2018, pp. 91-125, Bibcode : 2018JSV...434...92R , DOI : 10.1016/j.jsv.2018.07.035 .
^ Elaheh Alizadeh, Samanthe M Lyons, Jordan M Castle e Ashok Prasad, Measuring systematic changes in invasive cancer cell shape using Zernike moments , in Integrative Biology , vol. 8, n. 11, 2016, pp. 1183-1193, DOI : 10.1039/C6IB00100A , PMID 27735002 .

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Polinomi di Zernike

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] F. Zernike, Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode , în Physica , vol. 1, nr. 8, 1934, pp. 689-704, Bibcode : 1934Phy ..... 1..689Z , DOI : 10.1016 / S0031-8914 (34) 80259-5 .

[2] Born, Max și Wolf, Emil , Principiile opticii: teoria electromagnetică a propagării, interferenței și difracției luminii , 7th, Cambridge, Marea Britanie, Cambridge University Press, 1999, p. 986, ISBN 978-0-521-64222-4 .

[3] Polinomii Zernike ( PDF ), pe mat.uniroma3.it .

[noll1976-4] RJ Noll, polinomii Zernike și turbulența atmosferică ( PDF ), în J. Opt. Soc. Am. , Vol. 66, nr. 3, 1976, p. 207, Bibcode : 1976JOSA ... 66..207N , DOI : 10.1364 / JOSA.66.000207 .

[5] Loomis, J., "A Computer Program for Analysis of Interferometric Data", Interferograms Optical, Reduction and Interpretation, ASTM STP 666, AH Guenther și DH Liebenberg, Eds., American Society for Testing and Materials, 1978, pp. 71-86.

[6] VL Genberg, GJ Michels și KB Doyle, Orthogonality of Zernike polynomials , în Proc SPIE , Optomechanical design and Engineering 2002 , vol. 4771, 2002, pp. 276-286, DOI : 10.1117 / 12.482169 .

[barmak-7] Honarvar Shakibaei Asli, Barmak; Raveendran, Paramesran (iulie 2013). "Formula recursivă pentru calcularea polinoamelor radiale Zernike" Opt. Lett. (OSA) 38 (14): 2487–2489. DOI : 10.1364 / OL.38.002487

[kintner1976-8] EC Kintner, Despre proprietățile matematice ale polinomilor Zernike , în Opt. Acta , vol. 23, n. 8, 1976, pp. 679-680, Bibcode : 1976AcOpt..23..679K , DOI : 10.1080 / 713819334 .

[9] E. Tatulli, Transformarea coeficienților Zernike: o metodă bazată pe Fourier pentru deschiderile scalate, traduse și rotite ale frontului de undă , în J. Opt. Soc. Am. A , vol. 30, n. 4, 2013, pp. 726-32, Bibcode : 2013JOSAA..30..726T , DOI : 10.1364 / JOSAA.30.000726 , PMID 23595334 , arXiv : 1302.7106 .

[10] AJEM Janssen, Noi rezultate analitice pentru polinomii cercului Zernike dintr-un rezultat de bază în teoria difracției Nijboer-Zernike , în Journal of the European Optical Society: Rapid Publications , vol. 6, 2011, p. 11028, Bibcode : 2011JEOS....6E1028J , DOI : 10.2971/jeos.2011.11028 .

[11] Richard Barakat, Optimum balanced wave-front aberrations for radially symmetric amplitude distributions: Generalizations of Zernike polynomials , in J. Opt. Soc. Am. , vol. 70, n. 6, 1980, pp. 739-742, Bibcode : 1980JOSA...70..739B , DOI : 10.1364/JOSA.70.000739 .

[12] A. Tahmasbi, An Effective Breast Mass Diagnosis System using Zernike Moments , 17th Iranian Conf. on Biomedical Engineering (ICBME'2010) , Isfahan , Iran , IEEE , 2010, pp. 1-4, DOI : 10.1109/ICBME.2010.5704941 .

[13] A. Tahmasbi, F. Saki e SB Shokouhi, Classification of Benign and Malignant Masses Based on Zernike Moments , in Computers in Biology and Medicine , vol. 41, n. 8, 2011, pp. 726-735, DOI : 10.1016/j.compbiomed.2011.06.009 , PMID 21722886 .

[14] WP Rdzanek, Sound radiation of a vibrating elastically supported circular plate embedded into a flat screen revisited using the Zernike circle polynomials , in J. Sound Vibr. , vol. 434, 2018, pp. 91-125, Bibcode : 2018JSV...434...92R , DOI : 10.1016/j.jsv.2018.07.035 .

[15] Elaheh Alizadeh, Samanthe M Lyons, Jordan M Castle e Ashok Prasad, Measuring systematic changes in invasive cancer cell shape using Zernike moments , in Integrative Biology , vol. 8, n. 11, 2016, pp. 1183-1193, DOI : 10.1039/C6IB00100A , PMID 27735002 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]