Distribuția Pareto

În teoria probabilității, distribuția Pareto (sau distribuția Pareto ) este o distribuție continuă a probabilității utilizată în special pentru a descrie distribuția veniturilor și numită astfel în onoarea lui Vilfredo Pareto .

Metodologie

Funcția densității probabilității asociată cu distribuția Pareto este

\ f(x)={\frac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}

{\ displaystyle \ f (x) = {\ frac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}}}

{\ displaystyle \ f (x) = {\ frac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}}}

f(x)={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}} și {\ text {per}} x \ geq \ beta \\ 0 & {\ text {per}} x <\ beta \ end {cases}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}} și {\ text {per}} x \ geq \ beta \\ 0 & {\ text {per}} x <\ beta \ end {cases}}}

Distribuția Pareto este caracterizată de doi parametri: unul de poziție $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ absolut pozitiv, care este valoarea minimă pe care o poate lua $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ și un parametru de formă $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ , de asemenea pozitiv, care este adesea denumit „indicele cozii”

Variabila aleatorie Pareto este adesea utilizată pentru a modela distribuția veniturilor; atunci, $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ este interpretat ca un venit minim .

Prin integrarea funcției de densitate între $\beta$ ${\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ Și $x\in (\beta ;+\infty )$ ${\ displaystyle x \ in (\ beta; + \ infty)}$ ${\ displaystyle x \ in (\ beta; + \ infty)}$ obținem funcția de distribuție :

${\begin{alignedat}{2}F_{X}(x)=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }\xi ^{-(\alpha +)}d\xi &=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot -{\frac {1}{\alpha }}\xi ^{-\alpha }{\bigg |}_{\beta }^{+\infty }=-\beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{\xi ^{\alpha }}}{\bigg \vert }_{\beta }^{x}\\[2ex]&=-\beta ^{\alpha }\left({\dfrac {1}{x^{\alpha }}}-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha }}}\right)=1-\left({\dfrac {\beta }{x}}\right)^{\alpha }\end{alignedat}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} F_ {X} (x) = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} \ xi ^ {- (\ alpha +)} d \ xi & = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot - {\ frac {1} {\ alpha}} \ xi ^ {- \ alpha} {\ bigg |} _ {\ beta} ^ {+ \ infty} = - \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {\ xi ^ {\ alpha}}} {\ bigg \ vert} _ {\ beta} ^ {x} \\ [ 2ex] & = - \ beta ^ {\ alpha} \ left ({\ dfrac {1} {x ^ {\ alpha}}} - {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha}}} \ right) = 1- \ left ({\ dfrac {\ beta} {x}} \ right) ^ {\ alpha} \ end {alignat}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {alignat} {2} F_ {X} (x) = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} \ xi ^ {- (\ alpha +)} d \ xi & = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot - {\ frac {1} {\ alpha}} \ xi ^ {- \ alpha} {\ bigg |} _ {\ beta} ^ {+ \ infty} = - \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {\ xi ^ {\ alpha}}} {\ bigg \ vert} _ {\ beta} ^ {x} \\ [ 2ex] & = - \ beta ^ {\ alpha} \ left ({\ dfrac {1} {x ^ {\ alpha}}} - {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha}}} \ right) = 1- \ left ({\ dfrac {\ beta} {x}} \ right) ^ {\ alpha} \ end {alignat}}}$

$F(x)={\begin{cases}1-{\bigg (}{\dfrac {\beta }{x}}{\bigg )}^{\alpha }&{\text{per }}x\geq \beta \\0&{\text{per }}x<\beta \end{cases}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1 - {\ bigg (} {\ dfrac {\ beta} {x}} {\ bigg)} ^ {\ alpha} și {\ text {per}} x \ geq \ beta \\ 0 & {\ text {per}} x <\ beta \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} 1 - {\ bigg (} {\ dfrac {\ beta} {x}} {\ bigg)} ^ {\ alpha} și {\ text {per}} x \ geq \ beta \\ 0 & {\ text {per}} x <\ beta \ end {cases}}}$

Parametrii săi principali sunt:

Momente de comandă unu și mai sus

{\begin{aligned}\mu _{1}&=\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\displaystyle \int _{\beta }^{+\infty }x^{-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {x^{1-\alpha }}{1-\alpha }}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{x^{\alpha -1}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }={\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{1-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -1}}}\right)={\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\\\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu _ {1} & = \ displaystyle \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} x {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ displaystyle \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {x ^ {1- \ alpha}} {1- \ alpha}} {\ bigg \ vert} _ {\ beta} ^ {+ \ infty} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {1- \ alpha}} \ cdot {\ dfrac {1} {x ^ {\ alpha -1}}} {\ bigg \ vert} _ { \ beta} ^ {+ \ infty} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {1- \ alpha}} \ left (0 - {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha - 1}}} \ right) = {\ dfrac {\ alpha \ beta} {\ alpha -1}} \\\ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu _ {1} & = \ displaystyle \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} x {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {x ^ {\ alpha +1}}} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ displaystyle \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} x ^ {- \ alpha} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {x ^ {1- \ alpha}} {1- \ alpha}} {\ bigg \ vert} _ {\ beta} ^ {+ \ infty} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {1- \ alpha}} \ cdot {\ dfrac {1} {x ^ {\ alpha -1}}} {\ bigg \ vert} _ { \ beta} ^ {+ \ infty} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {1- \ alpha}} \ left (0 - {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha - 1}}} \ right) = {\ dfrac {\ alpha \ beta} {\ alpha -1}} \\\ end {align}}}

:

Din care derivăm:

\mu _{1}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta }{x-1}}&{\text{per }}\alpha >1\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 1\end{cases}}

{\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta} {x-1}} și {\ text {per}} \ alpha> 1 \\\ infty & {\ text {per}} \ alpha \ geq 1 \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mu _ {1} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta} {x-1}} și {\ text {per}} \ alpha> 1 \\\ infty & {\ text {per}} \ alpha \ geq 1 \ end {cases}}}

{\begin{aligned}\mu _{2}&=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }{\dfrac {x^{2}}{x^{\alpha +1}}}\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\int _{\beta }^{+\infty }x^{1-\alpha }\,dx=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}x^{2-\alpha }{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }\\[2ex]&=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}{\dfrac {1}{x^{\alpha -2}}}{\bigg \vert }_{\beta }^{+\infty }=\alpha \beta ^{\alpha }\cdot {\dfrac {1}{2-\alpha }}\left(0-{\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}\right)\\[2ex]&=-{\dfrac {\alpha \beta ^{\alpha }}{2-\alpha }}\cdot {\dfrac {1}{\beta ^{\alpha -2}}}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu _ {2} & = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {x ^ {2}} { x ^ {\ alpha +1}}} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} x ^ {1- \ alpha} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {2- \ alpha}} x ^ {2- \ alpha} {\ bigg \ vert} _ {\ beta} ^ {+ \ infty} \\ [ 2ex] & = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {2- \ alpha}} {\ dfrac {1} {x ^ {\ alpha -2}}} {\ bigg \ vert } _ {\ beta} ^ {+ \ infty} = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {2- \ alpha}} \ left (0 - {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha -2}}} \ right) \\ [2ex] & = - {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {2- \ alpha}} \ cdot {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha -2}}} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {\ alpha -2}} \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mu _ {2} & = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} {\ dfrac {x ^ {2}} { x ^ {\ alpha +1}}} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ int _ {\ beta} ^ {+ \ infty} x ^ {1- \ alpha} \, dx = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {2- \ alpha}} x ^ {2- \ alpha} {\ bigg \ vert} _ {\ beta} ^ {+ \ infty} \\ [ 2ex] & = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {2- \ alpha}} {\ dfrac {1} {x ^ {\ alpha -2}}} {\ bigg \ vert } _ {\ beta} ^ {+ \ infty} = \ alpha \ beta ^ {\ alpha} \ cdot {\ dfrac {1} {2- \ alpha}} \ left (0 - {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha -2}}} \ right) \\ [2ex] & = - {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {\ alpha}} {2- \ alpha}} \ cdot {\ dfrac {1} {\ beta ^ {\ alpha -2}}} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {\ alpha -2}} \ end {align}}}

Din care derivăm:

\mu _{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{x-2}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \geq 2\end{cases}}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {x-2}} și {\ text {per}} \ alpha> 2 \\\ infty & {\ text {per}} \ alpha \ geq 2 \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mu _ {2} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {x-2}} și {\ text {per}} \ alpha> 2 \\\ infty & {\ text {per}} \ alpha \ geq 2 \ end {cases}}}

În general, un moment de comandă

n

{\ displaystyle n}

n

este definit ca:

\mu _{n}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{n}}{x-n}}&{\text{per }}0<n<\alpha \\\infty &{\text{per }}n\geq \alpha \end{cases}}

{\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {n}} {xn}} și {\ text {per}} 0 <n <\ alpha \\\ infty & {\ text {per}} n \ geq \ alpha \ end {cases}}}

{\ displaystyle \ mu _ {n} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {n}} {xn}} și {\ text {per}} 0 <n <\ alpha \\\ infty & {\ text {per}} n \ geq \ alpha \ end {cases}}}

Funcție generatoare de momente

$M(\theta )=E[e^{\theta x}]=\alpha (-\beta \theta )^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )$ ${\ displaystyle M (\ theta) = E [e ^ {\ theta x}] = \ alpha (- \ beta \ theta) ^ {\ alpha} \ Gamma (- \ alpha, - \ beta \ theta)}$ ${\ displaystyle M (\ theta) = E [e ^ {\ theta x}] = \ alpha (- \ beta \ theta) ^ {\ alpha} \ Gamma (- \ alpha, - \ beta \ theta)}$

unde este $\Gamma (-\alpha ,-\beta \theta )$ ${\ displaystyle \ Gamma (- \ alpha, - \ beta \ theta)}$ ${\ displaystyle \ Gamma (- \ alpha, - \ beta \ theta)}$ este o funcție gamma incompletă .

Funcția de generare a momentului este definită numai pentru valorile non-pozitive ale $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ .

Varianța: ${\begin{aligned}\sigma ^{2}&=\mu _{2}-\mu _{1}^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-\left({\dfrac {\alpha \beta }{\alpha -1}}\right)^{2}={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{\alpha -2}}-{\dfrac {\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}(\alpha -1)^{2}-\alpha ^{2}\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha ^{3}\beta ^{2}+\alpha \beta ^{2}-2\alpha ^{2}\beta ^{2}-\alpha ^{3}\beta ^{2}+2\alpha ^{2}\beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\\[2ex]&={\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}\end{aligned}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma ^ {2} & = \ mu _ {2} - \ mu _ {1} ^ {2} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {\ alfa -2}} - \ left ({\ dfrac {\ alpha \ beta} {\ alpha -1}} \ right) ^ {2} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {\ alpha - 2}} - {\ dfrac {\ alpha ^ {2} \ beta ^ {2}} {(\ alpha -1) ^ {2}}} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2} (\ alpha -1) ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ beta ^ {2} (\ alpha -2)} {(\ alpha -2) (\ alpha -1) ^ {2} }} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha ^ {3} \ beta ^ {2} + \ alpha \ beta ^ {2} -2 \ alpha ^ {2} \ beta ^ {2} - \ alfa ^ {3} \ beta ^ {2} +2 \ alfa ^ {2} \ beta ^ {2}} {(\ alfa -2) (\ alfa -1) ^ {2}}} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {(\ alpha -2) (\ alpha -1) ^ {2}}} \ end {align}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma ^ {2} & = \ mu _ {2} - \ mu _ {1} ^ {2} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {\ alfa -2}} - \ left ({\ dfrac {\ alpha \ beta} {\ alpha -1}} \ right) ^ {2} = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {\ alpha - 2}} - {\ dfrac {\ alpha ^ {2} \ beta ^ {2}} {(\ alpha -1) ^ {2}}} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2} (\ alpha -1) ^ {2} - \ alpha ^ {2} \ beta ^ {2} (\ alpha -2)} {(\ alpha -2) (\ alpha -1) ^ {2} }} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha ^ {3} \ beta ^ {2} + \ alpha \ beta ^ {2} -2 \ alpha ^ {2} \ beta ^ {2} - \ alfa ^ {3} \ beta ^ {2} +2 \ alfa ^ {2} \ beta ^ {2}} {(\ alfa -2) (\ alfa -1) ^ {2}}} \\ [2ex] & = {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {(\ alpha -2) (\ alpha -1) ^ {2}}} \ end {align}}}$ :; Din care derivăm:; $\sigma ^{2}={\begin{cases}{\dfrac {\alpha \beta ^{2}}{(\alpha -2)(\alpha -1)^{2}}}&{\text{per }}\alpha >2\\\infty &{\text{per }}\alpha \in (1;2]\end{cases}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {(\ alpha -2) (\ alpha -1) ^ {2}}} și { \ text {per}} \ alpha> 2 \\\ infty & {\ text {per}} \ alpha \ in (1; 2] \ end {cases}}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} = {\ begin {cases} {\ dfrac {\ alpha \ beta ^ {2}} {(\ alpha -2) (\ alpha -1) ^ {2}}} și { \ text {per}} \ alpha> 2 \\\ infty & {\ text {per}} \ alpha \ in (1; 2] \ end {cases}}}$; Rețineți că pentru $\alpha \leq 1$ ${\ displaystyle \ alpha \ leq 1}$ ${\ displaystyle \ alpha \ leq 1}$ varianța nu există.

Median

$1-{\bigg (}{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}\rightarrow {\bigg (}{\frac {\beta }{\xi _{0.5}}}{\bigg )}^{\alpha }={\frac {1}{2}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ bigg (} {\ frac {\ beta} {\ xi _ {0.5}}} {\ bigg)} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {2}} \ rightarrow { \ bigg (} {\ frac {\ beta} {\ xi _ {0.5}}} {\ bigg)} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle 1 - {\ bigg (} {\ frac {\ beta} {\ xi _ {0.5}}} {\ bigg)} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {2}} \ rightarrow { \ bigg (} {\ frac {\ beta} {\ xi _ {0.5}}} {\ bigg)} ^ {\ alpha} = {\ frac {1} {2}}}$

$\xi _{0.5}={\sqrt[{\alpha }]{2}}\beta$ ${\ displaystyle \ xi _ {0.5} = {\ sqrt [{\ alpha}] {2}} \ beta}$ ${\ displaystyle \ xi _ {0.5} = {\ sqrt [{\ alpha}] {2}} \ beta}$

Simetrie: $\beta _{1}={\frac {4(\alpha -2)(\alpha +1)^{2}}{\alpha (\alpha -3)^{2}}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1} = {\ frac {4 (\ alpha -2) (\ alpha +1) ^ {2}} {\ alpha (\ alpha -3) ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {1} = {\ frac {4 (\ alpha -2) (\ alpha +1) ^ {2}} {\ alpha (\ alpha -3) ^ {2}}}}$ pentru $\alpha >3$ ${\ displaystyle \ alpha> 3}$ ${\ displaystyle \ alpha> 3}$
Curios: $\beta _{2}={\frac {3(\alpha -2)(3\alpha ^{2}+\alpha +2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2} = {\ frac {3 (\ alpha -2) (3 \ alpha ^ {2} + \ alpha +2)} {\ alpha (\ alpha -3) (\ alpha -4 )}}}$ ${\ displaystyle \ beta _ {2} = {\ frac {3 (\ alpha -2) (3 \ alpha ^ {2} + \ alpha +2)} {\ alpha (\ alpha -3) (\ alpha -4 )}}}$ pentru $\alpha >4$ ${\ displaystyle \ alpha> 4}$ ${\ displaystyle \ alpha> 4}$