Distribuție lognormală

Distribuție lognormală
Funcția densității probabilității
Funcția de distribuție
Parametrii	$\mu \in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mu \ in \ mathbb {R}}$ $\sigma ^{2}\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {2} \ in \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$
A sustine	$\mathbb {R} _{0}^{+}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {0} ^ {+}}$
Funcția de densitate	${\frac {e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{{\sqrt {2\pi }}{\sigma }x}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- {\ frac {(\ ln x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ sigma} x}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {e ^ {- {\ frac {(\ ln x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}} {{\ sqrt {2 \ pi}} {\ sigma} x}}}$
Funcția de distribuție	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\text{erf}}\left({\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ text {erf}} \ left ({\ frac {\ ln x- \ mu} {{\ sqrt { 2}} \ sigma}} \ right)}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ text {erf}} \ left ({\ frac {\ ln x- \ mu} {{\ sqrt { 2}} \ sigma}} \ right)}$
Valorea estimata	$e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}}}$
Median	$e^{\mu }\$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu} \}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu} \}$
Modă	$e^{\mu -\sigma ^{2}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu - \ sigma ^ {2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu - \ sigma ^ {2}}}$
Varianța	$e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)$ ${\ displaystyle e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}} (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1)}$ ${\ displaystyle e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}} (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1)}$
Indicele de asimetrie	$(e^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}$ ${\ displaystyle (e ^ {\ sigma ^ {2}} + 2) {\ sqrt {e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1}}}$ ${\ displaystyle (e ^ {\ sigma ^ {2}} + 2) {\ sqrt {e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1}}}$
Curios	$e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6$ ${\ displaystyle e ^ {4 \ sigma ^ {2}} + 2e ^ {3 \ sigma ^ {2}} + 3e ^ {2 \ sigma ^ {2}} - 6}$ ${\ displaystyle e ^ {4 \ sigma ^ {2}} + 2e ^ {3 \ sigma ^ {2}} + 3e ^ {2 \ sigma ^ {2}} - 6}$
Entropie	${\frac {1}{2}}+\mu +{\frac {1}{2}}\log(2\pi \sigma ^{2})$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + \ mu + {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} + \ mu + {\ frac {1} {2}} \ log (2 \ pi \ sigma ^ {2})}$
Manual

În teoria probabilității, distribuția lognormală sau log-normală este distribuția probabilității unei variabile aleatorii $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ al cărui logaritm $\log X$ ${\ displaystyle \ log X}$ ${\ displaystyle \ log X}$ urmează o distribuție normală .

Această distribuție poate aproxima produsul multor variabile aleatorii pozitive independente.

Este folosit și în matematica financiară .

Definiție

Variabila aleatorie $X=e^{N}$ ${\ displaystyle X = e ^ {N}}$ ${\ displaystyle X = e ^ {N}}$ urmează distribuția lognormală $\log {\mathcal {X}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ${\ displaystyle \ log {\ mathcal {X}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ log {\ mathcal {X}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ dacă și numai dacă $N=\log X$ ${\ displaystyle N = \ log X}$ ${\ displaystyle N = \ log X}$ urmează distribuția normală ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ .

Sa funcție de densitate de probabilitate este

f(x)={\frac {e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{x{\sqrt {2\pi }}{\sigma }}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {(\ ln x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}} {x {\ sqrt {2 \ pi}} {\ sigma}}}}

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {e ^ {- {\ frac {(\ ln x- \ mu) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}} {x {\ sqrt {2 \ pi}} {\ sigma}}}}

pentru

x>0

{\ displaystyle x> 0}

x> 0

.

Caracteristici

Funcția de distribuție a distribuției lognormale este

F(x)=\Phi _{(\mu ,\sigma )}(\ln x)={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}{\text{erf}}\left({\frac {\ln x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)

{\ displaystyle F (x) = \ Phi _ {(\ mu, \ sigma)} (\ ln x) = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} {\ text {erf}} \ left ({\ frac {\ ln x- \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right)}

{\ displaystyle F (x) = \ Phi _ {(\ mu, \ sigma)} (\ ln x) = {\ tfrac {1} {2}} + {\ tfrac {1} {2}} {\ text {erf}} \ left ({\ frac {\ ln x- \ mu} {{\ sqrt {2}} \ sigma}} \ right)}

unde este $\Phi _{(\mu ,\sigma )}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {(\ mu, \ sigma)}}$ ${\ displaystyle \ Phi _ {(\ mu, \ sigma)}}$ este funcția de distribuție a distribuției normale și ${\text{erf}}$ ${\ displaystyle {\ text {erf}}}$ ${\ displaystyle {\ text {erf}}}$ este funcția erorilor .

Momentele simple ale distribuției pot fi deduse din funcția generatoare a momentelor distribuției normale a $N=\log X$ ${\ displaystyle N = \ log X}$ ${\ displaystyle N = \ log X}$

\mu _{n}(X)=E[X^{n}]=E[e^{nN}]=g_{N}(n)=e^{n\mu +n^{2}{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}

{\ displaystyle \ mu _ {n} (X) = E [X ^ {n}] = E [e ^ {nN}] = g_ {N} (n) = e ^ {n \ mu + n ^ {2 } {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}}}

{\ displaystyle \ mu _ {n} (X) = E [X ^ {n}] = E [e ^ {nN}] = g_ {N} (n) = e ^ {n \ mu + n ^ {2 } {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}}}

.

În special sunt găsite

speranță matematică

E[X]=e^{\mu +{\frac {\sigma ^{2}}{2}}}

{\ displaystyle E [X] = e ^ {\ mu + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}}}

{\ displaystyle E [X] = e ^ {\ mu + {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2}}}}

și varianța

{\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}=e^{2\mu }(e^{2\sigma ^{2}}-e^{\sigma ^{2}})=e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1)

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = E [X ^ {2}] - E [X] ^ {2} = e ^ {2 \ mu} (e ^ {2 \ sigma ^ {2} } -e ^ {\ sigma ^ {2}}) = e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}} (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1)}

{\ displaystyle {\ text {Var}} (X) = E [X ^ {2}] - E [X] ^ {2} = e ^ {2 \ mu} (e ^ {2 \ sigma ^ {2} } -e ^ {\ sigma ^ {2}}) = e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2}} (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1)}

.

Parametrii $(\mu ,\sigma ^{2})$ ${\ displaystyle (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ poate fi derivat din speranță și varianță, folosind relația ${\tfrac {{\text{Var}}(X)}{E[X]^{2}}}=e^{\sigma ^{2}}-1$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ text {Var}} (X)} {E [X] ^ {2}}} = e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {{\ text {Var}} (X)} {E [X] ^ {2}}} = e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1}$ .

Indicii de asimetrie și kurtosis sunt

\gamma _{1}=(e^{\sigma ^{2}}+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = (e ^ {\ sigma ^ {2}} + 2) {\ sqrt {e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1}}}

{\ displaystyle \ gamma _ {1} = (e ^ {\ sigma ^ {2}} + 2) {\ sqrt {e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1}}}

Și

\gamma _{2}=e^{4\sigma ^{2}}+2e^{3\sigma ^{2}}+3e^{2\sigma ^{2}}-6

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = e ^ {4 \ sigma ^ {2}} + 2e ^ {3 \ sigma ^ {2}} + 3e ^ {2 \ sigma ^ {2}} - 6}

{\ displaystyle \ gamma _ {2} = e ^ {4 \ sigma ^ {2}} + 2e ^ {3 \ sigma ^ {2}} + 3e ^ {2 \ sigma ^ {2}} - 6}

.

Moda distribuției este $e^{\mu -\sigma ^{2}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu - \ sigma ^ {2}}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mu - \ sigma ^ {2}}}$ .

Mediana este $q_{1/2}=e^{\mu }$ ${\ displaystyle q_ {1/2} = e ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle q_ {1/2} = e ^ {\ mu}}$ și se găsește imediat prin intermediul medianei $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ din $N=\log X$ ${\ displaystyle N = \ log X}$ ${\ displaystyle N = \ log X}$ : ${\tfrac {1}{2}}=P(N\leqslant \mu )=P(X=e^{N}\leqslant e^{\mu })$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} = P (N \ leqslant \ mu) = P (X = e ^ {N} \ leqslant e ^ {\ mu})}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} = P (N \ leqslant \ mu) = P (X = e ^ {N} \ leqslant e ^ {\ mu})}$ .

Proprietate

De sine $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă aleatorie cu distribuție lognormală $\log {\mathcal {N}}(e^{\mu +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}},e^{2\mu +\sigma ^{2}}(e^{\sigma ^{2}}-1))$ ${\ displaystyle \ log {\ mathcal {N}} (e ^ {\ mu + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}}, e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2} } (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1))}$ ${\ displaystyle \ log {\ mathcal {N}} (e ^ {\ mu + {\ frac {1} {2}} \ sigma ^ {2}}, e ^ {2 \ mu + \ sigma ^ {2} } (e ^ {\ sigma ^ {2}} - 1))}$ asa de

$N=\log X$ ${\ displaystyle N = \ log X}$ ${\ displaystyle N = \ log X}$ urmează distribuția normală ${\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (\ mu, \ sigma ^ {2})}$ .

Pentru fiecare transformare liniară (inversabilă)

$aN+b$ ${\ displaystyle aN + b}$ ${\ displaystyle aN + b}$ urmează încă o distribuție normală ${\mathcal {N}}(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (a \ mu + b, a ^ {2} \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} (a \ mu + b, a ^ {2} \ sigma ^ {2})}$
$e^{aN+b}=e^{b}X^{a}$ ${\ displaystyle e ^ {aN + b} = e ^ {b} X ^ {a}}$ ${\ displaystyle e ^ {aN + b} = e ^ {b} X ^ {a}}$ urmează o distribuție lognormală $\log {\mathcal {N}}(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})$ ${\ displaystyle \ log {\ mathcal {N}} (a \ mu + b, a ^ {2} \ sigma ^ {2})}$ ${\ displaystyle \ log {\ mathcal {N}} (a \ mu + b, a ^ {2} \ sigma ^ {2})}$ .

În special, aceștia urmează o distribuție lognormală

multiplii scalari $c X$ ${\ displaystyle cX}$ ${\ displaystyle cX}$ ,
puterile $X^{a}$ ${\ displaystyle X ^ {a}}$ ${\ displaystyle X ^ {a}}$
și invers $X^{-1}$ ${\ displaystyle X ^ {- 1}}$ $X ^ {{- 1}}$ din $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ .

Pentru definirea distribuției lognormale nu este important să se aleagă logaritmul natural , adică baza e : două logaritmi distincti $\log _{a}X$ ${\ displaystyle \ log _ {a} X}$ ${\ displaystyle \ log _ {a} X}$ Și $\log _{b}X$ ${\ displaystyle \ log _ {b} X}$ ${\ displaystyle \ log _ {b} X}$ acestea diferă doar printr-un singur factor ${\tfrac {\log a}{\log b}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ log a} {\ log b}}}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ log a} {\ log b}}}$ .

Distribuția lognormală joacă un rol similar cu cel al distribuției normale, care poate oferi o aproximare pentru suma "multor" variabile aleatoare independente $X_{1},...X_{n}$ ${\ displaystyle X_ {1}, ... X_ {n}}$ $X_ {1}, ... X_ {n}$ având aceeași distribuție ( teorema limitei centrale ). Dacă $X_{i}$ ${\ displaystyle X_ {i}}$ $X_i$ sunt pozitive atunci distribuția lognormală poate oferi o aproximare pentru produsul lor (la fel cum distribuția normală poate oferi o aproximare pentru suma logaritmilor lor, $\textstyle \log(\prod _{i}X_{i})=\sum _{i}\log(X_{i}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ log (\ prod _ {i} X_ {i}) = \ sum _ {i} \ log (X_ {i}}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ log (\ prod _ {i} X_ {i}) = \ sum _ {i} \ log (X_ {i}}$ ).