Pătrat (algebră)

Graficul

y=x^{2}

{\ displaystyle y = x ^ {2}}

y = x ^ 2

, pentru valorile

X

{\ displaystyle x}

X

intre si

25

{\ displaystyle 25}

25

.

În algebră , se numește pătratul unui număr $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ ridicarea sa la a doua putere , adică multiplicarea sa prin ea însăși efectuată o singură dată:

x^{2}=x\cdot x.

{\ displaystyle x ^ {2} = x \ cdot x.}

x ^ {2} = x \ cdot x.

Termenul pătrat provine din geometrie , deoarece aria unui pătrat se obține prin înmulțirea laturii cu ea însăși.

Pătratul unui număr imaginar este un număr real mai mic sau egal cu zero, în timp ce pentru numerele complexe este calculat

\left(a+ib\right)^{2}=a^{2}-b^{2}+i\cdot 2ab.

{\ displaystyle \ left (a + ib \ right) ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} + i \ cdot 2ab.}

\ left (a + ib \ right) ^ {2} = a ^ {2} -b ^ {2} + i \ cdot 2ab.

Proprietate

Pătratul unui număr real este întotdeauna mai mare sau egal cu zero , deoarece produsul valorilor cu același semn este întotdeauna pozitiv. Prin urmare

x^{2}\geq 0\qquad \forall x\in \mathbb {R} .

{\ displaystyle x ^ {2} \ geq 0 \ qquad \ forall x \ in \ mathbb {R}.}

x ^ {2} \ geq 0 \ qquad \ forall x \ in {\ mathbb {R}}.

Din același motiv, raportul este valabil

x^{2}=\left(-x\right)^{2}.

{\ displaystyle x ^ {2} = \ left (-x \ right) ^ {2}.}

x ^ {2} = \ left (-x \ right) ^ {2}.

De exemplu pătratul de $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Și $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ , dar și pătratul din $-2$ ${\ displaystyle -2}$ $-2$ Este egal cu $4$ ${\ displaystyle 4}$ $4$ .

Pătratul unui număr imaginar este întotdeauna mai mic decât zero, deoarece pătratul unității imaginare dă un număr negativ, care este apoi înmulțit cu pătratul coeficientului (care este pozitiv).

suma numerelor impare în ordine este un pătrat perfect al unui număr par sau impar (proprietate cunoscută de matematicianul grec Euclid ):

1=1^{2}

{\ displaystyle 1 = 1 ^ {2}}

{\ displaystyle 1 = 1 ^ {2}}

1+3=2^{2}

{\ displaystyle 1 + 3 = 2 ^ {2}}

{\ displaystyle 1 + 3 = 2 ^ {2}}

1+3+5=3^{2}

{\ displaystyle 1 + 3 + 5 = 3 ^ {2}}

{\ displaystyle 1 + 3 + 5 = 3 ^ {2}}

1+3+5+7=4^{2}

{\ displaystyle 1 + 3 + 5 + 7 = 4 ^ {2}}

{\ displaystyle 1 + 3 + 5 + 7 = 4 ^ {2}}

1+3+5+7+9=5^{2}

{\ displaystyle 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 ^ {2}}

{\ displaystyle 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 5 ^ {2}}

, de la care:

1^{2}=1

{\ displaystyle 1 ^ {2} = 1}

{\ displaystyle 1 ^ {2} = 1}

2^{2}=1^{2}+3

{\ displaystyle 2 ^ {2} = 1 ^ {2} +3}

{\ displaystyle 2 ^ {2} = 1 ^ {2} +3}

3^{2}=2^{2}+5

{\ displaystyle 3 ^ {2} = 2 ^ {2} +5}

{\ displaystyle 3 ^ {2} = 2 ^ {2} +5}

4^{2}=3^{2}+7

{\ displaystyle 4 ^ {2} = 3 ^ {2} +7}

{\ displaystyle 4 ^ {2} = 3 ^ {2} +7}

5^{2}=4^{2}+9

{\ displaystyle 5 ^ {2} = 4 ^ {2} +9}

{\ displaystyle 5 ^ {2} = 4 ^ {2} +9}

n^{2}=(n-1)^{2}+2n-1

{\ displaystyle n ^ {2} = (n-1) ^ {2} + 2n-1}

{\ displaystyle n ^ {2} = (n-1) ^ {2} + 2n-1}

care s-a rezolvat duce, de fapt, la o identitate.

Dintr-o astfel de formulă identificăm un subset infinit numeros al triplelor pitagoreice , pentru fiecare ${\sqrt {2n-1}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2n-1}}}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2n-1}}}$ întreg. De exemplu. : (3, 4, 5) cu $n=5$ ${\ displaystyle n = 5}$ ${\ displaystyle n = 5}$ ; (5, 12, 13); (7, 24, 25); (9, 40, 41); (11, 60, 61); (13, 84, 85); (15, 112, 113); (17, 144, 145); (19, 180, 181); (21, 220, 221); (23, 264, 265).

Pătrate perfecte

Același subiect în detaliu: pătrat perfect .

Pătratul unui număr întreg diferit de zero este întotdeauna un număr natural . Numerele naturale care sunt pătrate ale numerelor întregi se numesc pătrate perfecte . Iată câteva proprietăți:

Pătratul oricărui număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ poate fi reprezentat și prin sumă

1+1+2+2+\ldots +(n-1)+(n-1)+n.

{\ displaystyle 1 + 1 + 2 + 2 + \ ldots + (n-1) + (n-1) + n.}

1 + 1 + 2 + 2 + \ ldots + (n-1) + (n-1) + n.

De exemplu

4^{2}=1+1+2+2+3+3+4=16.

{\ displaystyle 4 ^ {2} = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.}

4 ^ {2} = 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.

Pătratul oricărui număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este, de asemenea, egal cu suma primelor $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ numere impare:

5^{2}=1+3+5+7+9=25

{\ displaystyle 5 ^ {2} = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25}

5 ^ {2} = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

poate fi indicat prin formula

n^{2}=\sum _{k=0}^{n-1}2k+1.

{\ displaystyle n ^ {2} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} 2k + 1.}

n ^ {2} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n-1}} 2k + 1.

Pătratul oricărui număr întreg $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este, de asemenea, egal cu suma numărului $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ iar prima $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ numere pare: