Con (algebră liniară)

În algebra liniară , un con este un subset C al unui spațiu vectorial V închis cu privire la înmulțirea cu scalari pozitivi , adică

v\in V,\lambda >0\Rightarrow \lambda v\in C

{\ displaystyle v \ in V, \ lambda> 0 \ Rightarrow \ lambda v \ in C}

{\ displaystyle v \ in V, \ lambda> 0 \ Rightarrow \ lambda v \ in C}

Pentru ca această definiție să aibă sens, este, prin urmare, necesar ca în domeniul scalarilor să fie definit un concept de „pozitivitate”, deci a unui câmp ordonat (așa cum pot fi de obicei numere reale , dar și numere raționale sau algebrice ).

Mai compact, folosind notația $\lambda C=\{\lambda v:v\in C\}$ ${\ displaystyle \ lambda C = \ {\ lambda v: v \ in C \}}$ $\ lambda C = \ {\ lambda v: v \ în C \}$ , un con este determinat de proprietate $C=\lambda C$ ${\ displaystyle C = \ lambda C}$ $C = \ lambda C$ .

Proprietate

Conurile sunt închise în raport cu uniunea , intersecția și trecerea la complementar . Mai mult, imaginea unui con printr-o aplicație liniară este încă un con și setul „ sumă ”

C+D=\{v+w:v\in C,w\in D\}

{\ displaystyle C + D = \ {v + w: v \ în C, w \ în D \}}

C + D = \ {v + w: v \ în C, w \ în D \}

este încă un con, la fel ca și seturile $\lambda C$ ${\ displaystyle \ lambda C}$ $\ lambda C$ (și pentru scalarii negativi) și în consecință $-C$ ${\ displaystyle -C}$ $-C$ .

Conul unui set

Ansamblul albastru este un con convex. Mulțimea purpurie corespunde conului convex generat de x și y

Conul unei mulțimi X este dat de închiderea lui X față de operația care definește un con, adică este mulțimea care conține vectorii lui X și toți multiplii lor pozitivi. Cu o notație sintetică similară cu înainte, dacă $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ ${\ displaystyle X = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$ $X = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}$ iar câmpul este cel real, conul generat de X este dat de $\mathbb {R} ^{+}x_{1}\cup \ldots \cup \mathbb {R} ^{+}x_{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {+} x_ {1} \ cup \ ldots \ cup \ mathbb {R} ^ {+} x_ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {+} x_ {1} \ cup \ ldots \ cup \ mathbb {R} ^ {+} x_ {n}$ .

Terminologie

Se spune că un con este indicat dacă conține originea și nu conține nicio pereche de vectori opuși, adică $C\cap -C=\{0\}$ ${\ displaystyle C \ cap -C = \ {0 \}}$ $C \ cap -C = \ {0 \}$ .

Se spune că un con C este convex dacă

\lambda v+\mu w\in C

{\ displaystyle \ lambda v + \ mu w \ în C}

\ lambda v + \ mu w \ în C

pentru fiecare v, w în C și pentru fiecare pereche de scalari $\lambda ,\mu >0$ ${\ displaystyle \ lambda, \ mu> 0}$ $\ lambda, \ mu> 0$ (sau echivalent, dacă $\lambda C+\mu C=C$ ${\ displaystyle \ lambda C + \ mu C = C}$ $\ lambda C + \ mu C = C$ ). Evident, un con convex este un set convex și „suma” a două conuri $C+D$ ${\ displaystyle C + D}$ $C + D$ corespunde conului convex generat de unirea lor.

Fiecare subspatiu vectorial al lui V este un con convex.

Elemente conexe

Funcție omogenă

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică