Legea conservării sarcinii electrice

Conservarea sarcinii electrice este o lege fizică , care este reprezentată în formă canonică ca o ecuație de continuitate specială valabilă pentru sarcina electrică . Legea prevede că fluxul densității curentului electric prin orice suprafață închisă este egal cu modificarea încărcăturii electrice situată în volumul închis de suprafață. ^[1]

Legea

Legea conservării sarcinii electrice sub formă diferențială este ecuația continuității : ^[2]

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ mathbf {J} = 0}

unde este $\mathbf {J} =\rho \mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ rho \ mathbf {v}}$ $\ mathbf J = \ rho \ mathbf v$ este densitatea curentului electric , cu $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ densitatea sarcinii e $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ ${\ mathbf v}$ viteza de deriva .

După integrarea într-un volum și folosirea teoremei divergenței , se obține forma integrală:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \operatorname {d} \!r^{3}+\oint _{\partial V}\mathbf {J} \cdot \operatorname {d} \!\mathbf {S} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! r ^ {3} + \ oint _ {\ partial V } \ mathbf {J} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {S} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! r ^ {3} + \ oint _ {\ partial V } \ mathbf {J} \ cdot \ operatorname {d} \! \ mathbf {S} = 0}

care poate fi scris ca:

{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}+I=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} + I = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} + I = 0}

unde este $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este sarcina electrică conținută în volumul de integrare e $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este curentul electric net care iese de pe suprafața care îl delimitează. Pentru a demonstra ecuația de continuitate într-o formă nedeterminată, folosim teorema de transport Reynolds , cu care putem scrie:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{V}\rho \operatorname {d} \!V=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! V = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {V} \ rho \ operatorname {d} \! V = 0}

adică:

{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Q} {\ mathrm {d} t}} = 0}

Legea conservării și ecuațiile lui Maxwell

Ecuația de continuitate poate fi derivată din ecuațiile lui Maxwell prin aplicarea operatorului de divergență la al patrulea:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {\nabla } \times \mathbf {B} =\mu _{0}\cdot \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} }{\partial t}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ cdot \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ right)}

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ cdot \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ right)}

și înlocuind primul din interiorul acestuia:

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {D} = \ rho}

{\ mathbf \ nabla} \ cdot {\ mathbf D} = \ rho

Trebuie remarcat faptul că relația $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}$ $\ nabla \ times \ mathbf B = \ mu_0 \ mathbf J$ se menține doar în cazul staționar, așa cum se arată prin aplicarea divergenței la ambii membri. Căci primul are $\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=0$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B}) = 0}$ $\ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf B) = 0$ , și deci trebuie să verificați și asta $\nabla \cdot \mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J}}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf J$ nu este nimic. Cu toate acestea, ecuația de continuitate pentru curentul electric dictează că $\nabla \cdot \mathbf {J}$ ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J}}$ $\ nabla \ cdot \ mathbf J$ nu este nimic numai atunci când $\partial \rho /\partial t=0$ ${\ displaystyle \ partial \ rho / \ partial t = 0}$ $\ partial \ rho / \ partial t = 0$ , adică numai în cazul staționar. ^[3]

Extinderea legii lui Ampère la cazul non-staționar, datorită lui Maxwell , este un rezultat fundamental pentru dezvoltarea ulterioară a electrodinamicii, deoarece arată cum un câmp electric care variază în timp este sursa unui câmp magnetic.

Prin inserarea primei legi a lui Maxwell în ecuația de continuitate, obținem:

\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

{\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right)}

\ nabla \ cdot \ mathbf J + \ frac {\ partial \ rho} {\ partial t} = \ nabla \ cdot \ left (\ mathbf J + \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf E} {\ partial t} \ dreapta)

unde termenul:

\mathbf {J} _{s}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {s} = \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}}}

\ mathbf {J} _s = \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}

este densitatea curentului de deplasare și se adaugă la densitatea curentului în cazul non-staționar. ^[4]

Prin inserarea densității de curent generalizate astfel obținute în legea lui Ampère: ^[5] ^[6]

\mathbf {\nabla \times B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)

{\ displaystyle \ mathbf {\ nabla \ times B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t }} \ dreapta)}

\ mathbf {\ nabla \ times B} = \ mu_0 \ left (\ mathbf J + \ varepsilon_0 \ frac {\ partial \ mathbf E} {\ partial t} \ right)

obținem a patra ecuație Maxwell în vid. ^[7] Această expresie arată cum variația temporală a unui câmp electric este sursa unui câmp magnetic.

Notatie relativista

Ecuația de continuitate poate fi scrisă într-un mod foarte simplu și compact folosind notația relativistă . În acest scop, este definită cvadricurentul $J^{\mu }=\rho (c,\mathbf {v} )$ ${\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ rho (c, \ mathbf {v})}$ ${\ displaystyle J ^ {\ mu} = \ rho (c, \ mathbf {v})}$ , un vector de patru a cărui componentă de timp este densitatea de sarcină și componenta spațială este vectorul de densitate de curent.

În acest fel, ecuația de continuitate devine:

\partial _{\mu }J^{\mu }=0

{\ displaystyle \ partial _ {\ mu} J ^ {\ mu} = 0}

\ partial_ \ mu J ^ \ mu = 0

Relația cu invarianța de măsurare

Conservarea sarcinii poate fi interpretată ca o consecință a unei simetrii conform teoremei lui Noether , un rezultat fundamental al fizicii teoretice care afirmă că fiecare lege a conservării este asociată cu o simetrie a sistemului fizic. Simetria care este asociată cu conservarea sarcinii este invarianța gabaritului câmpului electromagnetic . Acest lucru este legat de faptul că câmpurile electrice și magnetice nu variază prin adăugarea sau scăderea unei valori constante a potențialului electrostatic $\phi$ ${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ . În realitate, simetria completă este mai complicată și implică și vectorul potențial $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ . Afirmația completă a invarianței gabaritului este că fizica unui câmp electromagnetic rămâne neschimbată dacă se adaugă un gradient al unui câmp scalar arbitrar potențialului scalar și vectorial $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ :

\phi '=\phi -{\frac {\partial \chi }{\partial t}}\qquad \qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \chi .

{\ displaystyle \ phi '= \ phi - {\ frac {\ partial \ chi} {\ partial t}} \ qquad \ qquad \ mathbf {A}' = \ mathbf {A} + \ nabla \ chi.}

{\ displaystyle \ phi '= \ phi - {\ frac {\ partial \ chi} {\ partial t}} \ qquad \ qquad \ mathbf {A}' = \ mathbf {A} + \ nabla \ chi.}

În mecanica cuantică câmpul scalar este echivalent cu o schimbare de fază în funcția de undă a particulei încărcate:

\psi '=e^{i\chi }\psi

{\ displaystyle \ psi '= e ^ {i \ chi} \ psi}

{\ displaystyle \ psi '= e ^ {i \ chi} \ psi}

pentru care invarianța gabaritului este echivalentă cu faptul că schimbarea de fază a unei funcții de undă nu este observabilă și că doar modificările modulului funcției de undă duc la modificări ale funcției de probabilitate $|\psi |^{2}$ ${\ displaystyle | \ psi | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | \ psi | ^ {2}}$ . Acesta este motivul teoretic fundamental din spatele conservării sarcinii.

Invarianța ecartamentului este o proprietate foarte importantă și bine stabilită a câmpului electromagnetic și are multe consecințe verificabile. Justificarea teoretică a conservării încărcăturii este puternic susținută de legătura cu această simetrie. De exemplu, invarianța gabaritului global necesită, de asemenea, ca fotonul să fie lipsit de masă, iar dovezile experimentale puternice că fotonul are masă zero reprezintă o dovadă importantă a faptului că sarcina este conservată.

Notă

^ Mencuccini și Silvestrini , p. 176 .
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 175 .
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 396 .
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 397 .
^ Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .
^ JC Slater și NH Frank, Electromagnetism , Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .
^ Mencuccini și Silvestrini , p. 398 .

Bibliografie

Corrado Mencuccini și Vittorio Silvestrini, Fizica II , Napoli, Liguori Editore, 2010, ISBN 978-88-207-1633-2 .
Jerry D. Wilson, Antony J. Buffa, Fizica 3 , Milano, Principate, 2000, ISBN 88-416-5803-7

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Legea conservării sarcinii electrice , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul electromagnetismului : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de electromagnetism

[1] Mencuccini și Silvestrini , p. 176 .

[2] Mencuccini și Silvestrini , p. 175 .

[3] Mencuccini și Silvestrini , p. 396 .

[4] Mencuccini și Silvestrini , p. 397 .

[Cloude-5] Raymond Bonnett, Shane Cloude, An Introduction to Electromagnetic Wave Propagation and Antennas , Taylor & Francis, 1995, p. 16, ISBN 1-85728-241-8 .

[Slater-6] JC Slater și NH Frank, Electromagnetism , Reprint of 1947 edition, Courier Dover Publications, 1969, p. 84, ISBN 0-486-62263-0 .

[7] Mencuccini și Silvestrini , p. 398 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]