Ecuația Weyl

În fizică , în special în teoria cuantică a câmpurilor , ecuația Weyl este o ecuație relativistică a undei care descrie fermioni nemăsuri de rotire 1/2. Își datorează numele matematicianului german Hermann Weyl .

Istorie

Ecuația Dirac a fost publicată în 1928 de Paul Dirac și a fost prima care a descris particulele de spin 1/2 în cadrul mecanicii cuantice relativiste. ^[1] Fizicianul matematic german Hermann Weyl și-a publicat ecuația în 1929 ca o versiune simplificată a ecuației Dirac. ^[1] ^[2] Wolfgang Pauli a criticat ecuația lui Weyl în 1933 ca încălcând paritatea . ^[3] Cu toate acestea, cu trei ani mai devreme, Pauli, pentru a explica dezintegrarea beta , a prezis existența unui nou fermion elementar, neutrinul care ar fi descris prin aceeași ecuație.

În 1937, Conyers Herring a propus ideea lui Weyl de cvasiparticule în materie condensată. ^[4]

Neutrinii au fost în cele din urmă confirmate în 1956 ca particule cu masă zero. ^[3] În același an, experimentul lui Wu a arătat că paritatea este încălcată în interacțiunea slabă . Aceasta a fost urmată în 1958 de descoperirea experimentală că neutrino are o helicitate fixă. ^[3] Mai mult, deoarece experimentele nu au arătat indicii în favoarea unei mase non-zero a neutrino-ului, interesul pentru ecuația Weyl a crescut. Prin urmare, modelul standard a fost construit pornind de la presupunerea că neutrinii sunt fermioni Weyl (adică cu masă zero, spin 1/2 și helicitate fixă). ^[3]

Deși fizicianul italian Bruno Pontecorvo propusese în 1957 posibilitatea unei mase neutrino și a unei oscilații neutrino, ^[3] abia în 1998 Super-Kamiokande și-a confirmat existența. ^[3] Această descoperire a confirmat că ecuația lui Weyl nu poate descrie pe deplin propagarea neutrinilor. ^[1]

În 2015, primul semimetal Weyl a fost prezentat experimental în arsenidă de tantal cristalină ( ${\ce {TaAs}}$ ${\ displaystyle {\ ce {TaAs}}}$ ${\ displaystyle {\ ce {TaAs}}}$ ) din colaborarea echipelor MZ Hasan ( Universitatea Princeton ) și H. Ding ( Academia Chineză de Științe ). ^[4] Independent, în același an, echipa lui Marin Soljačić de la Massachusetts Institute of Technology a observat excitații de tip Weyl în cristalele fotonice . ^[4]

Ecuaţie

Ecuația generală poate fi scrisă: ^[5] ^[6]

\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

{\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}

{\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}

sau, în unitățile sistemului internațional ,

I_{2}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\sigma _{x}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}+\sigma _{y}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}+\sigma _{z}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}=0

{\ displaystyle I_ {2} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ sigma _ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ sigma _ {y} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} = 0 }

{\ displaystyle I_ {2} {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ sigma _ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} + \ sigma _ {y} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial y}} + \ sigma _ {z} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial z}} = 0 }

unde este

\sigma _{\mu }=(\sigma _{0},\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})=(I_{2},\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mu} = (\ sigma _ {0}, \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}) = (I_ {2}, \ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}

{\ displaystyle \ sigma _ {\ mu} = (\ sigma _ {0}, \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2}, \ sigma _ {3}) = (I_ {2}, \ sigma _ {x}, \ sigma _ {y}, \ sigma _ {z})}

este un vector ale cărui componente sunt matricea de identitate 2 × 2 pentru μ = 0 și matricile Pauli pentru μ = 1,2,3. ψ este funcția de undă - un spinor Weyl. O formă duală a ecuației este scrisă de obicei ca:

{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi =0

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}

{\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi = 0}

unde este ${\bar {\sigma }}^{\mu }=(I_{2},-\sigma _{x},-\sigma _{y},-\sigma _{z})$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} = (I_ {2}, - \ sigma _ {x}, - \ sigma _ {y}, - \ sigma _ {z})}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} = (I_ {2}, - \ sigma _ {x}, - \ sigma _ {y}, - \ sigma _ {z})}$ . Aceste două sunt forme diferite ale ecuației Weyl: soluția lor este, de asemenea, diferită. Se poate arăta că soluțiile au helicitate dreaptă și , respectiv, stânga, la fel și chiralitatea . Este convenabil să le etichetați în mod explicit pe aceste două: da $\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {R}}=0$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ rm {R}} = 0}$ ${\ displaystyle \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ rm {R}} = 0}$ Și ${\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\rm {L}}=0$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ rm {L}} = 0}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ rm {L}} = 0}$ .

Spinorii lui Weyl

Soluțiile de undă plană ale ecuației sunt ψ _L și ψ _R , respectiv spinorii Weyl din stânga și din dreapta, fiecare dintre aceștia având două componente. Amândoi au forma:

\psi ={\begin{pmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} \ psi _ {1} \\\ psi _ {2} \\\ end {pmatrix}}}

Explicând dependența spațiu-timp, putem scrie și:

\psi =\chi e^{-i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=\chi e^{-i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }

{\ displaystyle \ psi = \ who is ^ {- i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} = \ who is ^ {- i (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et) / \ hbar}}

{\ displaystyle \ psi = \ who is ^ {- i (\ mathbf {k} \ cdot \ mathbf {r} - \ omega t)} = \ who is ^ {- i (\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} -Et) / \ hbar}}

unde este

\chi ={\begin{pmatrix}\chi _{1}\\\chi _{2}\\\end{pmatrix}}

{\ displaystyle \ chi = {\ begin {pmatrix} \ chi _ {1} \\\ chi _ {2} \\\ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ begin {pmatrix} \ chi _ {1} \\\ chi _ {2} \\\ end {pmatrix}}}

este un spinor constant din două componente.

Deoarece particulele sunt lipsite de masă, adică m = 0, impulsul p este direct proporțional cu frecvența ω așa cum se prezice prin relația de dispersie pentru fenomenele de undă:

|\mathbf {p} |=\hbar |\mathbf {k} |=\hbar \omega /c\,\rightarrow \,|\mathbf {k} |=\omega /c

{\ displaystyle | \ mathbf {p} | = \ hbar | \ mathbf {k} | = \ hbar \ omega / c \, \ rightarrow \, | \ mathbf {k} | = \ omega / c}

{\ displaystyle | \ mathbf {p} | = \ hbar | \ mathbf {k} | = \ hbar \ omega / c \, \ rightarrow \, | \ mathbf {k} | = \ omega / c}

Ecuația poate fi scrisă în termeni de spinori stânga și dreapta datorită vectorului complex conjugat ${\bar {\sigma }}^{\mu }$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu}}$ ${\ displaystyle {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu}}$ ca:

{\begin{aligned}&\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\text{R}}=0\\&{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{\text{L}}=0\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ text {R}} = 0 \\ & {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ text {L}} = 0 \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ text {R}} = 0 \\ & {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {\ text {L}} = 0 \ end {align}}}

Elicitate

Același subiect în detaliu: Elicitatea .

Componentele stânga și dreapta corespund helicității λ a particulei, proiecției operatorului momentului unghiular J asupra impulsului p :

\mathbf {p} \cdot \mathbf {J} \left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle =\lambda |\mathbf {p} |\left|\mathbf {p} ,\lambda \right\rangle

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {J} \ left | \ mathbf {p}, \ lambda \ right \ rangle = \ lambda | \ mathbf {p} | \ left | \ mathbf {p}, \ lambda \ right \ rangle}

{\ displaystyle \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {J} \ left | \ mathbf {p}, \ lambda \ right \ rangle = \ lambda | \ mathbf {p} | \ left | \ mathbf {p}, \ lambda \ right \ rangle}

unde este $\lambda =\pm 1/2$ ${\ displaystyle \ lambda = \ pm 1/2}$ ${\ displaystyle \ lambda = \ pm 1/2}$ .

Derivare

Ecuațiile sunt obținute din densitățile lagrangiene :

{\mathcal {L}}=i\psi _{R}^{\dagger }\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{R}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ psi _ {R} ^ {\ dagger} \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {R}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ psi _ {R} ^ {\ dagger} \ sigma ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {R}}

{\mathcal {L}}=i\psi _{L}^{\dagger }{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\psi _{L}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ psi _ {L} ^ {\ dagger} {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {L}}

{\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i \ psi _ {L} ^ {\ dagger} {\ bar {\ sigma}} ^ {\ mu} \ partial _ {\ mu} \ psi _ {L}}

Prin tratarea spinorului și a adjuvantului acestuia (indicat prin $\dagger$ ${\ displaystyle \ dagger}$ ${\ displaystyle \ dagger}$ ) ca variabile independente, se obține ecuația relativă a lui Weyl.

Notă

^ ^a ^b ^c ( EN ) Palash B. Pal, Dirac, Majorana și Weyl fermions , în American Journal of Physics , vol. 79, nr. 5, 2011, pp. 485–498, DOI : 10.1119 / 1.3549729 , ISSN 0002-9505 ( WC ACNP ) , arXiv : 1006.1718 .
^ (EN) Hermann Weyl , Gravitația și electronul , în Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 15, nr. 4, 15 aprilie 1929, pp. 323–334, DOI : 10.1073 / pnas.15.4.323 , ISSN 0027-8424 ( WC ACNP ) , PMC 522457 , PMID 16587474 .
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f SM Bilenky, The History of Neutrino Oscillations , în Physica Scripta , T121, 1 ianuarie 2005, pp. 17–22, DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 2005 / T121 / 001 , ISSN 0031-8949 ( WC ACNP ) , arXiv : hep-ph / 0410090 .
^ ^A ^b ^c (EN) Ashvins Vishwanath, Where the Weyl Things Are , în APS Physics, vol. 8, 8 septembrie 2015.
^ E. Abers, Mecanica cuantică , Ed. Pearson, Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0
^ G. Woan, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press , 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .

Bibliografie

D. McMahon, Quantum Field Theory , McGraw-Hill, 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 .
BR Martin și G. Shaw, fizica particulelor , ediția a doua, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0-470-03294-7 .
P. Labelle, Supersimetrie demistificată , McGraw-Hill, 2010, ISBN 978-0-07-163641-4 .
Roger Penrose , Drumul către realitate , cărți de epocă, 2007, ISBN 0-679-77631-1 .

Elemente conexe

Ecuația Dirac (descrierea particulelor masive cu rotire 1/2)
Operator de impuls unghiular
Operator de impulsuri
A învârti

linkuri externe

Weyl spinors ( PDF ), pe aesop.phys.utk.edu (arhivat din original la 2 aprilie 2012) .
Primatul ecuației Weyl , pe nbi.dk. Adus pe 21 februarie 2014 (arhivat din original la 7 martie 2014) .
Aproximare continuă la grafen: ecuația DiracWeyl ( PDF ), la tfkp.physik.uni-erlangen.de . Adus pe 21 februarie 2014 (arhivat din original la 4 martie 2016) .
Spinorii Weyl și ecuația electronică a lui Dirac ( PDF ), la weylmann.com . Adus pe 21 februarie 2014 (arhivat din original la 9 decembrie 2013) .

Portalul fizicii : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu fizica

[:1-1] ( EN ) Palash B. Pal, Dirac, Majorana și Weyl fermions , în American Journal of Physics , vol. 79, nr. 5, 2011, pp. 485–498, DOI : 10.1119 / 1.3549729 , ISSN 0002-9505 ( WC ACNP ) , arXiv : 1006.1718 .

[2] (EN) Hermann Weyl , Gravitația și electronul , în Proceedings of the National Academy of Sciences, vol. 15, nr. 4, 15 aprilie 1929, pp. 323–334, DOI : 10.1073 / pnas.15.4.323 , ISSN 0027-8424 ( WC ACNP ) , PMC 522457 , PMID 16587474 .

[:0-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f SM Bilenky, The History of Neutrino Oscillations , în Physica Scripta , T121, 1 ianuarie 2005, pp. 17–22, DOI : 10.1088 / 0031-8949 / 2005 / T121 / 001 , ISSN 0031-8949 ( WC ACNP ) , arXiv : hep-ph / 0410090 .

[:2-4] A ^b ^c (EN) Ashvins Vishwanath, Where the Weyl Things Are , în APS Physics, vol. 8, 8 septembrie 2015.

[5] E. Abers, Mecanica cuantică , Ed. Pearson, Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0

[6] G. Woan, The Cambridge Handbook of Physics Formulas, Cambridge University Press , 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]