Formula de gen

În matematică și, în special, în geometria algebrică clasică, formula gradului de gen leagă gradul $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ a unei curbe plane $C\subset \mathbb {P} ^{2}$ ${\ displaystyle C \ subset \ mathbb {P} ^ {2}}$ ${\ displaystyle C \ subset \ mathbb {P} ^ {2}}$ care admite doar singularități obișnuite cu genul său geometric $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ folosind formula:

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-\sum _{P\in C}{\frac {r_{P}(r_{P}-1)}{2}},

{\ displaystyle g = {\ frac {(d-1) (d-2)} {2}} - \ sum _ {P \ în C} {\ frac {r_ {P} (r_ {P} -1) } {2}},}

{\ displaystyle g = {\ frac {(d-1) (d-2)} {2}} - \ sum _ {P \ în C} {\ frac {r_ {P} (r_ {P} -1) } {2}},}

unde este $r_{P}$ ${\ displaystyle r_ {P}}$ ${\ displaystyle r_ {P}}$ este multiplicitatea punctului $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a curbei. ^[1]

Dacă curba este non-singulară, multiplicitățile sunt egale cu $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ și ai formula

g={\frac {1}{2}}(d-1)(d-2),

{\ displaystyle g = {\ frac {1} {2}} (d-1) (d-2),}

{\ displaystyle g = {\ frac {1} {2}} (d-1) (d-2),}

în acest caz, genul geometric și genul aritmetic al curbei coincid.

Demonstrație

Dovada rezultă imediat din formula de adăugare . Pentru o demonstrație clasică, consultați cartea lui Arbarello, Cornalba, Griffiths și Harris.

Generalizare

Pentru o suprafață non-singulară $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ de grad $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ în $\mathbb {P} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} ^ {n}}$ de tip aritmetic $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ formula devine:

g={\binom {d-1}{n}},

{\ displaystyle g = {\ binom {d-1} {n}},}

{\ displaystyle g = {\ binom {d-1} {n}},}

unde este ${\tbinom {d-1}{n}}$ ${\ displaystyle {\ tbinom {d-1} {n}}}$ ${\ displaystyle {\ tbinom {d-1} {n}}}$ este coeficientul binomial .

Notă

^ Semple și Roth, Introducere în geometria algebrică , Oxford University Press (repr. 1985) ISBN 0-19-853363-2 . Pp. 53–54

Bibliografie

( EN ) Arbarello, Cornalba, Griffiths, Harris. Geometria curbelor algebrice. vol 1 Springer, ISBN 0-387-90997-4 , apendicele A. https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4757-5323-3
(EN) Griffiths and Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley, ISBN 0-471-05059-8 , capitolul 2, secțiunea 1.
(EN) Robin Hartshorne (1977): Geometrie algebrică, Springer, ISBN 0-387-90244-9 .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Semple și Roth, Introducere în geometria algebrică , Oxford University Press (repr. 1985) ISBN 0-19-853363-2 . Pp. 53–54

[1]