Funcția armonică

În analiza matematică , o funcție armonică este o funcție diferențiată până la ordinea a doua $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ care satisface ecuația Laplace : ^[1]

\nabla ^{2}f(x)=0,\qquad \forall x\in U,

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) = 0, \ qquad \ forall x \ în U,}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) = 0, \ qquad \ forall x \ în U,}

adică ansamblul funcțiilor armonice constituie nucleul operatorului Laplace . În domeniul teoriei potențialului, funcțiile armonice sunt adesea numite funcții potențiale sau potențiale și sunt utilizate în fizică și inginerie , de exemplu, pentru a readuce studiul unui câmp vectorial în trei dimensiuni înapoi la cazul unui câmp scalar într-una dimensiune. În acest context, o funcție armonică scalară este numită potențial scalar , în timp ce o funcție armonică vectorială este numită potențial vector .

Funcțiile armonice au o importanță deosebită în analiza complexă , deoarece dacă o funcție armonică definită într-un anumit spațiu este transformată cu o hartă conformală într-un alt spațiu, atunci această transformare este armonică. Din acest motiv, orice funcție definită cu un potențial poate suferi o transformare conformală și rămâne legată de un potențial.

Definiție

O functie $f\colon U\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon U \ to \ mathbb {R}}$ definit pe un domeniu $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$ $U \ subset {\ mathbb R} ^ {n}$ se spune armonic dacă este elegant $C^{2}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$ $C ^ 2$ și satisface ecuația Laplace : ^[1]

\nabla ^{2}f(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}^{2}}}=0.

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} f (x)} {\ partial x_ {i} ^ { 2}}} = 0.}

{\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial ^ {2} f (x)} {\ partial x_ {i} ^ { 2}}} = 0.}

Pentru liniaritatea operatorului Laplace , suma a două funcții armonice și produsul acestora de către un scalar dau o altă funcție armonică.

De exemplu, funcția $f(x,y)=e^{kx}\sin(ky)$ ${\ displaystyle f (x, y) = e ^ {kx} \ sin (ky)}$ $f (x, y) = e ^ {{kx}} \ sin (ky)$ , definit pe orice deschidere de $\mathbb {R} ^{2}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ mathbb {R} ^ {2}$ , este armonic. Intr-adevar:

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=ke^{kx}\sin(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}=k^{2}\sin(ky)e^{kx},

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y)} {\ partial x}} = ke ^ {kx} \ sin (ky) \ qquad {\ frac {\ partial ^ {2} f (x, y )} {\ partial x ^ {2}}} = k ^ {2} \ sin (ky) e ^ {kx},}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y)} {\ partial x}} = ke ^ {kx} \ sin (ky) \ qquad {\ frac {\ partial ^ {2} f (x, y )} {\ partial x ^ {2}}} = k ^ {2} \ sin (ky) e ^ {kx},}

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=ke^{kx}\cos(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}=-k^{2}\sin(ky)e^{kx},

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y)} {\ partial y}} = ke ^ {kx} \ cos (ky) \ qquad {\ frac {\ partial ^ {2} f (x, y )} {\ partial y ^ {2}}} = - k ^ {2} \ sin (ky) e ^ {kx},}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y)} {\ partial y}} = ke ^ {kx} \ cos (ky) \ qquad {\ frac {\ partial ^ {2} f (x, y )} {\ partial y ^ {2}}} = - k ^ {2} \ sin (ky) e ^ {kx},}

iar suma derivatelor secundare parțiale este întotdeauna zero.

Proprietățile valorii medii

Fiecare funcție armonică satisface proprietatea valorii medii . Configurați un domeniu $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ și fie $f\in C^{2}(U)$ ${\ displaystyle f \ în C ^ {2} (U)}$ $f \ în C ^ {2} (U)$ o funcție armonică. Indica $\omega _{n}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ $\ omega _ {n}$ volumul sferei unitare în $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb R ^ n$ . Apoi pentru fiecare sferă de rază închisă $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și centru $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , cuprins în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , notat cu $B={\overline {B_{R}(y)}}$ ${\ displaystyle B = {\ overline {B_ {R} (y)}}}$ ${\ displaystyle B = {\ overline {B_ {R} (y)}}}$ , se menține următoarea egalitate:

f(y)={\frac {1}{n\omega _{n}R^{n-1}}}\oint _{\partial B}f(x)dx.

{\ displaystyle f (y) = {\ frac {1} {n \ omega _ {n} R ^ {n-1}}} \ oint _ {\ partial B} f (x) dx.}

{\ displaystyle f (y) = {\ frac {1} {n \ omega _ {n} R ^ {n-1}}} \ oint _ {\ partial B} f (x) dx.}

În plus, se aplică și:

f(y)={\frac {1}{\omega _{n}R^{n}}}\int _{B}f(x)dx.

{\ displaystyle f (y) = {\ frac {1} {\ omega _ {n} R ^ {n}}} \ int _ {B} f (x) dx.}

{\ displaystyle f (y) = {\ frac {1} {\ omega _ {n} R ^ {n}}} \ int _ {B} f (x) dx.}

Demonstrație

Repara-l $\rho \in (0,R)$ ${\ displaystyle \ rho \ in (0, R)}$ $\ rho \ in (0, R)$ . Aplicarea teoremei divergenței câmpului vectorial $\nabla f$ ${\ displaystyle \ nabla f}$ $\ nabla f$ primesti:

\oint _{\partial B_{\rho }}{\frac {\partial f(x)}{\partial \nu }}ds=\int _{B_{\rho }}\nabla f(x)dx=0.

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} {\ frac {\ partial f (x)} {\ partial \ nu}} ds = \ int _ {B _ {\ rho}} \ nabla f (x) dx = 0.}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} {\ frac {\ partial f (x)} {\ partial \ nu}} ds = \ int _ {B _ {\ rho}} \ nabla f (x) dx = 0.}

Trecând pe lângă coordonatele carteziene $(x,y)$ ${\ displaystyle (x, y)}$ $(X y)$ la cele polare $(r,\omega ),$ ${\ displaystyle (r, \ omega),}$ $(r, \ omega),$ cu:

r=|x-y|,\qquad \omega ={\frac {x-y}{r}},

{\ displaystyle r = | xy |, \ qquad \ omega = {\ frac {xy} {r}},}

{\ displaystyle r = | x-y |, \ qquad \ omega = {\ frac {x-y} {r}},}

da ai $f(x)=f(y+r\omega )$ ${\ displaystyle f (x) = f (y + r \ omega)}$ $f (x) = f (y + r \ omega)$ și apare:

\oint _{\partial B_{\rho }}f(x)ds=\oint _{\partial B_{\rho }}f(y+r\omega )ds.

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} f (x) ds = \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} f (y + r \ omega) ds.}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} f (x) ds = \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} f (y + r \ omega) ds.}

Prin calcularea integralei derivatei normale a $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ și redimensionarea cu privire la $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ primesti:

\oint _{\partial B_{\rho }}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial \nu }}ds=\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r}}d\omega ,

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} {\ frac {\ partial f (y + r \ omega)} {\ partial \ nu}} ds = \ rho ^ {n-1} \ int _ {| \ omega | = 1} {\ frac {\ partial f (y + r \ omega)} {\ partial r}} d \ omega,}

{\ displaystyle \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} {\ frac {\ partial f (y + r \ omega)} {\ partial \ nu}} ds = \ rho ^ {n-1} \ int _ {| \ omega | = 1} {\ frac {\ partial f (y + r \ omega)} {\ partial r}} d \ omega,}

și este posibil să se schimbe derivate și integrale:

\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r}}d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega .

{\ displaystyle \ rho ^ {n-1} \ int _ {| \ omega | = 1} {\ frac {\ partial f (y + r \ omega)} {\ partial r}} d \ omega = \ rho ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ int _ {| \ omega | = 1} f (y + r \ omega) d \ omega.}

{\ displaystyle \ rho ^ {n-1} \ int _ {| \ omega | = 1} {\ frac {\ partial f (y + r \ omega)} {\ partial r}} d \ omega = \ rho ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ int _ {| \ omega | = 1} f (y + r \ omega) d \ omega.}

Având în vedere integralul de suprafață:

\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho ^{1-n}\oint _{\partial B_{\rho }}u(x)ds),

{\ displaystyle \ rho ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ int _ {| \ omega | = 1} f (y + r \ omega) d \ omega = \ rho ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} (\ rho ^ {1-n} \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} u (x) ds),}

{\ displaystyle \ rho ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} \ int _ {| \ omega | = 1} f (y + r \ omega) d \ omega = \ rho ^ {n-1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ rho}} (\ rho ^ {1-n} \ oint _ {\ partial B _ {\ rho}} u (x) ds),}

rezultă că pentru fiecare $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ avem:

\rho ^{1-n}\int _{\partial B_{\rho }}f(x)ds=R^{1-n}\int _{\partial B_{R}}f(x)ds,

{\ displaystyle \ rho ^ {1-n} \ int _ {\ partial B _ {\ rho}} f (x) ds = R ^ {1-n} \ int _ {\ partial B_ {R}} f ( x) ds,}

{\ displaystyle \ rho ^ {1-n} \ int _ {\ partial B _ {\ rho}} f (x) ds = R ^ {1-n} \ int _ {\ partial B_ {R}} f ( x) ds,}

și trecerea limitei pentru $\rho \to 0$ ${\ displaystyle \ rho \ to 0}$ $\ rho \ la 0$ se obține prima egalitate. Al doilea se obține prin integrarea în ceea ce privește $\rho$ ${\ displaystyle \ rho}$ $\ rho$ .

Principiul maximului

Același subiect în detaliu: Principiul maximului .

Principiul maximului afirmă că maxime și minime stricte ale unei funcții armonice, dacă există, sunt asumate la graniță. Mai exact, ia în considerare $f:U\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}$ $f: U \ to \ mathbb {R}$ o funcție armonică, unde $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este un domeniu deschis și conectat al $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Să presupunem că există $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ astfel încât $f(x)\leq f(x_{0})$ ${\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0})}$ $f (x) \ leq f (x_ {0})$ pentru fiecare $x\in U$ ${\ displaystyle x \ în U}$ $x \ în U$ . Atunci $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ este constantă.

Dovada utilizează proprietatea valorii medii. Este $M:=\sup f$ ${\ displaystyle M: = \ sup f}$ $M: = \ sup f$ și ia în considerare întregul $U_{M}:=f^{-1}(M)$ ${\ displaystyle U_ {M}: = f ^ {- 1} (M)}$ $U_ {M}: = f ^ {{- 1}} (M)$ . Prin ipoteză, este ne-gol; mai mult, pentru continuitatea $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , este închis (în topologia indusă ) ca o imagine contrară a unui set închis. Având în vedere funcția $f-M$ ${\ displaystyle fM}$ $f-M$ , este negativ și armonic: alegeți o minge $B_{R}(x_{0})\subset U$ ${\ displaystyle B_ {R} (x_ {0}) \ subset U}$ $B_ {R} (x_ {0}) \ subset U$ de rază $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și aplicați proprietatea cu valoare medie la $f-M$ ${\ displaystyle fM}$ $f-M$ . Primesti:

0=f(x_{0})-M={\frac {1}{\omega _{n}R^{n}}}\int _{B_{R}(x_{0})}(f(x)-M)\,dx.

{\ displaystyle 0 = f (x_ {0}) - M = {\ frac {1} {\ omega _ {n} R ^ {n}}} \ int _ {B_ {R} (x_ {0})} (f (x) -M) \, dx.}

{\ displaystyle 0 = f (x_ {0}) - M = {\ frac {1} {\ omega _ {n} R ^ {n}}} \ int _ {B_ {R} (x_ {0})} (f (x) -M) \, dx.}

Deoarece integrandul este non-pozitiv, egalitatea este satisfăcută dacă și numai dacă $f(x)=M$ ${\ displaystyle f (x) = M}$ $f (x) = M$ în minge $B_{R}(x_{0}).$ ${\ displaystyle B_ {R} (x_ {0}).}$ ${\ displaystyle B_ {R} (x_ {0}).}$ Prin urmare $B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M}$ ${\ displaystyle B_ {R} (x_ {0}) \ subseteq U_ {M}}$ ${\ displaystyle B_ {R} (x_ {0}) \ subseteq U_ {M}}$ Și $U_{M}$ ${\ displaystyle U_ {M}}$ $U_ {M}$ este deschis în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ in aceea $U_{M}\subseteq \bigcup _{x_{0}\in U_{M}}B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M}$ ${\ displaystyle U_ {M} \ subseteq \ bigcup _ {x_ {0} \ in U_ {M}} B_ {R} (x_ {0}) \ subseteq U_ {M}}$ ${\ displaystyle U_ {M} \ subseteq \ bigcup _ {x_ {0} \ in U_ {M}} B_ {R} (x_ {0}) \ subseteq U_ {M}}$ (adică $U_{M}=\bigcup _{x_{0}\in U_{M}}B_{R}(x_{0})$ ${\ displaystyle U_ {M} = \ bigcup _ {x_ {0} \ in U_ {M}} B_ {R} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle U_ {M} = \ bigcup _ {x_ {0} \ in U_ {M}} B_ {R} (x_ {0})}$ , uniunea seturilor deschise). $U_{M}$ ${\ displaystyle U_ {M}}$ $U_ {M}$ este deci simultan deschis și închis în $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ , dar de atunci $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este conectat, $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ Și $\varnothing$ ${\ displaystyle \ varnothing}$ $\ varnothing$ sunt singurele subseturi deschise și închise. Urmează $U_{M}=U$ ${\ displaystyle U_ {M} = U}$ $U_ {M} = U$ .

Armonitatea funcțiilor analitice complexe

În cazul funcțiilor unei variabile complexe , conceptul de funcție armonică intră ca o teoremă particulară satisfăcută de funcțiile analitice . De fapt, să fie:

f(x+iy)=\omega (z)=u(x,y)+iv(x,y)

{\ displaystyle f (x + iy) = \ omega (z) = u (x, y) + iv (x, y)}

f (x + iy) = \ omega (z) = u (x, y) + iv (x, y)

o funcție analitică. Atunci lasă-l să fie acolo $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ Este acolo $v(x,y)$ ${\ displaystyle v (x, y)}$ $v (x, y)$ sunt funcții armonice ale celor două variabile $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ :

{\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial y^{2}}}=0\\{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial y^{2}}}=0.\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ partial ^ {2} u (x, y)} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u (x , y)} {\ partial y ^ {2}}} = 0 \\ {\ frac {\ partial ^ {2} v (x, y)} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac { \ partial ^ {2} v (x, y)} {\ partial y ^ {2}}} = 0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ partial ^ {2} u (x, y)} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} u (x , y)} {\ partial y ^ {2}}} = 0 \\ {\ frac {\ partial ^ {2} v (x, y)} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac { \ partial ^ {2} v (x, y)} {\ partial y ^ {2}}} = 0. \ end {cases}}}

De fapt, este suficient să calculăm a doua derivată a ecuațiilor Cauchy-Riemann și să le comparăm, amintindu-ne că:

u_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x},

{\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, \ qquad u_ {y} = - v_ {x},}

{\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}, \ qquad u_ {y} = - v_ {x},}

avem:

{\begin{cases}u_{xx}=v_{yx}\\u_{xy}=v_{yy}\\u_{yx}=-v_{xx}\\u_{yy}=-v_{xy}.\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {xx} = v_ {yx} \\ u_ {xy} = v_ {yy} \\ u_ {yx} = - v_ {xx} \\ u_ {yy} = - v_ {xy}. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {xx} = v_ {yx} \\ u_ {xy} = v_ {yy} \\ u_ {yx} = - v_ {xx} \\ u_ {yy} = - v_ {xy}. \ end {cases}}}

Adăugând primul și ultimul și al doilea și al treilea și folosind teorema lui Schwarz cu privire la inversibilitatea derivatelor parțiale:

{\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0\\v_{xx}+v_{yy}=0.\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {xx} + u_ {yy} = 0 \\ v_ {xx} + v_ {yy} = 0. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} u_ {xx} + u_ {yy} = 0 \\ v_ {xx} + v_ {yy} = 0. \ end {cases}}}

Astfel, trebuie să dați două funcții $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ armoniile într-un loc deschis $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ care satisfac atunci condițiile Cauchy-Riemann $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ se numește armonica conjugată a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , dar inversul nu este adevărat. O consecință a acestei teoreme este că o funcție este analitică într-un set deschis $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ a planului complex dacă și numai dacă $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este armonica conjugată a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . Aceasta înseamnă că o funcție analitică poate fi construită pornind de la atribuirea părții sale reale $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ și obținerea unei părți imaginare la o constantă.

Pentru un exemplu despre cum se calculează armonica conjugată a unei funcții $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ ia în considerare funcția $u(x,y)=y^{3}-3x^{2}y$ ${\ displaystyle u (x, y) = y ^ {3} -3x ^ {2} y}$ $u (x, y) = y ^ {3} -3x ^ {2} y$ . Această funcție este armonică deoarece:

u_{xx}+u_{yy}=-6y+6y=0.

{\ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} = - 6y + 6y = 0.}

{\ displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} = - 6y + 6y = 0.}

Dorind să găsim armonica conjugată $v(x,y)$ ${\ displaystyle v (x, y)}$ $v (x, y)$ , folosind condițiile Cauchy-Riemann $u_{x}=v_{y}$ ${\ displaystyle u_ {x} = v_ {y}}$ $u_ {x} = v_ {y}$ avem:

u_{x}=-6xy=v_{y}.

{\ displaystyle u_ {x} = - 6xy = v_ {y}.}

{\ displaystyle u_ {x} = - 6xy = v_ {y}.}

Poate fi integrat $v_{y}$ ${\ displaystyle v_ {y}}$ $v _ {{y}}$ păstrând variabila fixă $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ (considerându-l ca o constantă):

v(x,y)=\int -6xy\,dy=-3xy^{2}+\phi (x),

{\ displaystyle v (x, y) = \ int -6xy \, dy = -3xy ^ {2} + \ phi (x),}

{\ displaystyle v (x, y) = \ int -6xy \, dy = -3xy ^ {2} + \ phi (x),}

unde este $\phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ este o funcție arbitrară dependentă de $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Pentru a utiliza condiția Cauchy-Riemann $u_{y}=-v_{x}$ ${\ displaystyle u_ {y} = - v_ {x}}$ $u_ {y} = - v_ {x}$ derivă $v(x,y)$ ${\ displaystyle v (x, y)}$ $v (x, y)$ obținută prin integrare cu privire la $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ :

v_{x}=-3y^{2}+\phi ^{'}(x),

{\ displaystyle v_ {x} = - 3y ^ {2} + \ phi ^ {'} (x),}

{\ displaystyle v_ {x} = - 3y ^ {2} + \ phi ^ {'} (x),}

iar derivata este calculată $u_{y}$ ${\ displaystyle u_ {y}}$ $u_ {y}$ din funcția de pornire:

u_{y}=3y^{2}-3x^{2}.

{\ displaystyle u_ {y} = 3y ^ {2} -3x ^ {2}.}

{\ displaystyle u_ {y} = 3y ^ {2} -3x ^ {2}.}

Prin echivalarea valorii $\phi (x)$ ${\ displaystyle \ phi (x)}$ $\ phi (x)$ :

3y^{2}-3x^{2}=3y^{2}-\phi ^{'}(x)\;\rightarrow \;\phi ^{'}(x)=3x^{2},

{\ displaystyle 3y ^ {2} -3x ^ {2} = 3y ^ {2} - \ phi ^ {'} (x) \; \ rightarrow \; \ phi ^ {'} (x) = 3x ^ {2 },}

{\ displaystyle 3y ^ {2} -3x ^ {2} = 3y ^ {2} - \ phi ^ {'} (x) \; \ rightarrow \; \ phi ^ {'} (x) = 3x ^ {2 },}

din care prin integrare:

\phi (x)=x^{3}+C,

{\ displaystyle \ phi (x) = x ^ {3} + C,}

{\ displaystyle \ phi (x) = x ^ {3} + C,}

unde este $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este constanta integrării. Prin urmare, avem:

v(x,y)=-3xy^{2}+x^{3}+C,

{\ displaystyle v (x, y) = - 3xy ^ {2} + x ^ {3} + C,}

{\ displaystyle v (x, y) = - 3xy ^ {2} + x ^ {3} + C,}

adică armonica conjugată a $u(x,y)$ ${\ displaystyle u (x, y)}$ $u (x, y)$ dacă nu o constantă $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Astfel funcția:

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(y^{3}-3x^{2}y)+i(x^{3}-3xy^{2}+C)

{\ displaystyle f (z) = u (x, y) + iv (x, y) = (y ^ {3} -3x ^ {2} y) + i (x ^ {3} -3xy ^ {2} + C)}

f (z) = u (x, y) + iv (x, y) = (y ^ {3} -3x ^ {2} y) + i (x ^ {3} -3xy ^ {2} + C)

este o funcție analitică egală cu $f(z)=i(z^{3}+C)$ ${\ displaystyle f (z) = i (z ^ {3} + C)}$ $f (z) = i (z ^ {3} + C)$ .

Notă

^ ^a ^b Evans , p . 20 .

Bibliografie

( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale , American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2 .
(RO) WE Byerly Harmonic functions , John Wiley & Sons, New York, 1906.

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) Funcția armonică , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.
Kevin R. PayneFuncții armonice: un prim gust (Universitatea din Milano)
Cornelis Van Der Mee Institutions of Mathematical Physics (Universitatea din Cagliari)
Rolando Magnanini Instituții de analiză superioară, al doilea modul ^{[ link întrerupt ]} (Universitatea din Florența)

Controlul autorității	Tesauro BNCF 26903 · LCCN (EN) sh85058943 · GND (DE) 4159122-7 · BNF (FR) cb11977733w (dată) · BNE (ES) XX532255 (dată) · NDL (EN, JA) 00.573.755

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[def-1] Evans , p . 20 .

[1]