Joc cooperativ

În teoria jocurilor, se face distincția între jocurile cooperative și cele necooperante .

În jocurile cooperative există posibilitatea ca jucătorii să încheie acorduri obligatorii, în timp ce acest lucru nu se întâmplă în jocurile necooperante.

Introducere

Jocurile a $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ jucătorii au o natură diferită de jocurile cu sumă zero (doi jucători), în care interesele celor doi jucători sunt opuse unul altuia, în conflict direct. Cooperarea poate apărea în jocurile cu trei sau mai mulți jucători. Decizia ( strategia ) unui participant poate fi dezavantajoasă atât pentru ceilalți jucători, fie avantajoasă pentru unul și dezavantajoasă pentru celălalt: posibilitatea unui „paralelism” în deciziile dintre jucători duce la formarea coalițiilor. Teoria jocului cooperativ examinează jocurile în care jucătorii sunt de acord să formeze coaliții, adică să formeze unul dintre posibilele subseturi constând din $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ participanții la joc.

Coalițiile

Numărul de coaliții posibile care pot fi constituite de un set $R=\{1,2,\cdots ,n\}$ ${\ displaystyle R = \ {1,2, \ cdots, n \}}$ ${\ displaystyle R = \ {1,2, \ cdots, n \}}$ din $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ jucători este egal cu $2^{n}$ ${\ displaystyle 2 ^ {n}}$ $2 ^ {n}$ . În scopuri practice, o coaliție $G\subseteq R$ ${\ displaystyle G \ subseteq R}$ ${\ displaystyle G \ subseteq R}$ este considerat ca un singur jucător: restul jucătorilor $R-G$ ${\ displaystyle RG}$ ${\ displaystyle R-G}$ se vor întâlni într-o altă coaliție care va constitui așa-numitul mic dejun opus . Din acest punct de vedere, orice coaliție este atribuită $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , în joc se vor lupta două micuri dejun $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ Și $R-G$ ${\ displaystyle RG}$ ${\ displaystyle R-G}$ iar jocul poate fi înțeles ca un joc antagonic între doi „oameni”. Cand $G=R$ ${\ displaystyle G = R}$ ${\ displaystyle G = R}$ jocul se reduce la o singură persoană în care sunt posibile deciziile coaliției adverse $R-G=\{\varnothing \}$ ${\ displaystyle RG = \ {\ varnothing \}}$ ${\ displaystyle R-G = \ {\ varnothing \}}$ sunt reduse la singura strategie: aceea de a nu face nimic. La fel și dacă ai avea $G=\{\varnothing \}$ ${\ displaystyle G = \ {\ varnothing \}}$ ${\ displaystyle G = \ {\ varnothing \}}$

Coaliție acordată $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , matricea de plăți aferentă și contra-coaliția $G^{c}=R-G$ ${\ displaystyle G ^ {c} = RG}$ ${\ displaystyle G ^ {c} = R-G}$ , cu matrice de plată $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , jocul dintre cele două poate fi, prin urmare, urmărit înapoi la

un joc cu sumă constantă și, prin urmare, un joc cu sumă zero atunci când $A+B=0$ ${\ displaystyle A + B = 0}$ ${\ displaystyle A + B = 0}$ adică $B=-A$ ${\ displaystyle B = -A}$ ${\ displaystyle B = -A}$ ,

un joc de sumă neconstantă, adică un joc cu matrice dublă $[A,B]$ ${\ displaystyle [A, B]}$ ${\ displaystyle [A, B]}$ .

Valoarea unei coaliții $v(G)$ ${\ displaystyle v (G)}$ $v (G)$ se măsoară prin intermediul funcției caracteristice , adică prin intermediul unei funcții $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ valorii reale definite pe setul tuturor subseturilor $G\subseteq R$ ${\ displaystyle G \ subseteq R}$ ${\ displaystyle G \ subseteq R}$ astfel încât

v(G)

{\ displaystyle v (G)}

v (G)

= valoarea jocului pentru coaliție

G.

{\ displaystyle G}

G.

Indicați cu ${\mathbf {x} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {x}}}$ Și ${\mathbf {y} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {y}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {y}}}$ strategiile mixte ale coaliției $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ și coaliția opusă $G^{c}$ ${\ displaystyle G ^ {c}}$ $G ^ c$ . Pe scurt $v(G)$ ${\ displaystyle v (G)}$ $v (G)$ este plata minimă a coaliției $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ este asigurată prin alegerea unei strategii maximin adecvate

\max _{\mathbf {x} }\min _{j}{\mathbf {x} }\cdot {\mathbf {a} }^{j}=v(G)

{\ displaystyle \ max _ {\ mathbf {x}} \ min _ {j} {\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {a}} ^ {j} = v (G)}

{\ displaystyle \ max _ {\ mathbf {x}} \ min _ {j} {\ mathbf {x}} \ cdot {\ mathbf {a}} ^ {j} = v (G)}

când coaliția adversă $R-G$ ${\ displaystyle RG}$ ${\ displaystyle R-G}$ depune eforturi mari pentru a-l împiedica să primească o plată mai mare de $v(R-G)$ ${\ displaystyle v (RG)}$ ${\ displaystyle v (R-G)}$ minimizarea pierderilor prin alegerea unei strategii minimax adecvate:

\min _{\mathbf {y} }\max _{i}{\mathbf {a} }_{i}\cdot {\mathbf {y} }=v(R-G)

{\ displaystyle \ min _ {\ mathbf {y}} \ max _ {i} {\ mathbf {a}} _ {i} \ cdot {\ mathbf {y}} = v (RG)}

{\ displaystyle \ min _ {\ mathbf {y}} \ max _ {i} {\ mathbf {a}} _ {i} \ cdot {\ mathbf {y}} = v (R-G)}

Teorema minimax garantează că $v(G)=v^{*}=v(R-G)$ ${\ displaystyle v (G) = v ^ {*} = v (RG)}$ ${\ displaystyle v (G) = v ^ {*} = v (R-G)}$ și de atunci $v(R-G)=-v(G)$ ${\ displaystyle v (RG) = - v (G)}$ ${\ displaystyle v (R-G) = - v (G)}$ neapărat rezultă $v^{*}=0$ ${\ displaystyle v ^ {*} = 0}$ ${\ displaystyle v ^ {*} = 0}$ .

Într-un joc de sumă neconstantă, teorema minimax nu există: maximizarea câștigurilor nu este același lucru cu minimizarea câștigurilor adversarului, întrucât un jucător ar trebui să ignore câștigurile pe care le-ar putea obține (uitându-se la matrice $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ) să-și concentreze toate eforturile pentru a provoca cele mai mari daune jucătorului advers (adică uitându-se la matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ). Având în vedere acest lucru, se înțelege că, chiar și în cazul jocurilor cu sumă diferită de zero, clearance-ul jocului poate fi înțeles ca suma corespunzătoare valorii unui joc cu sumă zero, odată ce se presupune că contra-coaliția $G^{c}$ ${\ displaystyle G ^ {c}}$ $G ^ c$ acționează minimizând câștigurile coaliției $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ în raport cu matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ mai degrabă decât să maximizăm câștigul cu privire la matrice $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ .

Acuzațiile

Teoria jocului cooperativ încearcă să răspundă la o întrebare fundamentală : cum se împart câștigurile sau pierderile obținute de o coaliție, repartizate între membrii săi.

Alocările pot fi convenite prin negocieri înainte de formarea coaliției în sine. În ceea ce privește alocarea rezultatului jocului, este rezonabil să ne gândim că niciun membru nu ar fi mulțumit dacă ar primi mai puțin decât ar obține acționând singur, adică neaderând la coaliție. Indicat cu ${\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ vectorul n-component care indică alocarea câștigurilor în cadrul unei coaliții generice $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ unde este $a_{j}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ ${\ displaystyle a_ {j}}$ indică suma pe care o va primi jucătorul $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ afiliat la coaliție $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , von Neumann și Morgenstern (Ref.) caracterizează vectorul ${\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ cu următoarele două proprietăți (constrângeri):

1.

a_{j}\geq v(\{j\})

{\ displaystyle a_ {j} \ geq v (\ {j \})}

{\ displaystyle a_ {j} \ geq v (\ {j \})}

pentru fiecare

j=1,2,\ldots ,n

{\ displaystyle j = 1,2, \ ldots, n}

{\ displaystyle j = 1,2, \ ldots, n}

2.

\sum _{j=1}^{n}a_{j}=v(R)

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} = v (R)}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} = v (R)}

Proprietatea 1. ( raționalitatea individuală ) afirmă că fiecare membru primește cel puțin cât ar putea obține pentru el însuși $v(\{j\})$ ${\ displaystyle v (\ {j \})}$ ${\ displaystyle v (\ {j \})}$ , proprietatea 2. ( eficiență ) afirmă că plata pe care jucătorii o pot obține cooperând toți împreună este $v(R)$ ${\ displaystyle v (R)}$ ${\ displaystyle v (R)}$ : victoria marii coaliții $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ este în întregime împărțit între toți jucătorii. Setul tuturor vectorilor care îndeplinesc cele două condiții introduse mai sus va fi notat cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ iar elementele sale vor fi numite imputații. Întregul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ poate fi gândit ca un subset al unui spațiu vectorial euclidian de dimensiuni egale cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ . Conceptul de imputare prin el însuși nu determină care taxe îi stimulează pe membrii să părăsească marea coaliție. $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ pentru a forma coaliții mai mici $G\subset R$ ${\ displaystyle G \ subset R}$ ${\ displaystyle G \ subset R}$ , mai ales când funcția caracteristică $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este super aditiv.

Joc neesențial

În caz contrar, dacă jocul are o funcție caracteristică $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ aditiv , $v(G)+v(R-G)=v(R)$ ${\ displaystyle v (G) + v (RG) = v (R)}$ ${\ displaystyle v (G) + v (R-G) = v (R)}$ , cum ar fi în cazul jocurilor cu sumă constantă sau zero, se arată că

\sum _{j=1}^{n}v(\{j\})=v(R)

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \}) = v (R)}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \}) = v (R)}

Pentru jucători, alegerea de a lupta liber pentru toți sau opțiunea de a lua parte la o coaliție este o alegere bazată pe comoditate, în timp ce alegeți să cooperați toți împreună în $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ împărtășirea propriilor strategii pare a fi o alegere care nu este dictată în esență de un raport de profit.

Joc esențial

Orice funcție caracteristică $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ superaditivul admite cel puțin o imputație ${\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ .

În definiția super aditivității: $v(G_{1})+\ldots +v(G_{k})\leq v(G_{1}\cup \ldots \cup G_{k})$ ${\ displaystyle v (G_ {1}) + \ ldots + v (G_ {k}) \ leq v (G_ {1} \ cup \ ldots \ cup G_ {k})}$ ${\ displaystyle v (G_ {1}) + \ ldots + v (G_ {k}) \ leq v (G_ {1} \ cup \ ldots \ cup G_ {k})}$ , pentru fiecare $G_{i}\cap G_{j}=\varnothing$ ${\ displaystyle G_ {i} \ cap G_ {j} = \ varnothing}$ ${\ displaystyle G_ {i} \ cap G_ {j} = \ varnothing}$ cu $i\neq j$ ${\ displaystyle i \ neq j}$ $i \ neq j$ Și $G_{1},\ldots ,G_{k}\subseteq R$ ${\ displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k} \ subseteq R}$ ${\ displaystyle G_ {1}, \ ldots, G_ {k} \ subseteq R}$ , ia în considerare $k=n$ ${\ displaystyle k = n}$ $k = n$ și alegeți $G_{j}=\{j\}$ ${\ displaystyle G_ {j} = \ {j \}}$ ${\ displaystyle G_ {j} = \ {j \}}$ pentru fiecare $j=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ a avea

\sum _{j=1}^{n}v(\{j\})\leq v(R)

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \}) \ leq v (R)}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \}) \ leq v (R)}

Definind pentru fiecare $j=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$

a_{j}:=v(\{j\})+{{v(R)-\sum _{j=1}^{n}v(\{j\})} \over {n}}

{\ displaystyle a_ {j}: = v (\ {j \}) + {{v (R) - \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \})} \ over {n }}}

{\ displaystyle a_ {j}: = v (\ {j \}) + {{v (R) - \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \})} \ over {n }}}

poți vedea cu ușurință asta ${\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ este o imputație, și anume că $a_{j}\geq v(\{j\})$ ${\ displaystyle a_ {j} \ geq v (\ {j \})}$ ${\ displaystyle a_ {j} \ geq v (\ {j \})}$ pentru fiecare $j=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ este asta $\sum _{j=1}^{n}a_{j}=v(R)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} = v (R)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} = v (R)}$

Relația de dominație dintre acuzații

Conceptul de imputare pare prea larg pentru a permite răspunsului determinist la întrebarea inițială: cum sunt distribuite câștigurile între membrii săi. Ori de câte ori ar trebui să aibă ca rezultat o coaliție generică $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ acea

\sum _{j\in G}a_{j}<v(G)

{\ displaystyle \ sum _ {j \ în G} a_ {j} <v (G)}

{\ displaystyle \ sum _ {j \ în G} a_ {j} <v (G)}

apoi către membrii $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ cota în exces ar fi pusă la dispoziție $v(G)$ ${\ displaystyle v (G)}$ $v (G)$ - $\sum _{j\in G}a_{j}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ în G} a_ {j}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ în G} a_ {j}}$ . Această sumă ar putea fi împărțită între membrii $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ care s-ar confrunta astfel cu o a doua încărcare ${\mathbf {b} }=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})}$ mai avantajoasă decât încărcarea anterioară ${\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ . În concluzie ${\mathbf {b} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ este de preferat să ${\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ .

Noțiunea de dominație între imputații este exprimată în termeni riguroși prin următoarea definiție: în raport cu aceeași funcție caracteristică $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ și cu privire la subset $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ din $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , un rechizitoriu ${\mathbf {b} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ imputația domină ${\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ , în simboluri ${\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ , de sine:

1.

G\neq \{\varnothing \}

{\ displaystyle G \ neq \ {\ varnothing \}}

{\ displaystyle G \ neq \ {\ varnothing \}}

2.

b_{j}>a_{j}

{\ displaystyle b_ {j}> a_ {j}}

{\ displaystyle b_ {j}> a_ {j}}

pentru fiecare

j\in G

{\ displaystyle j \ în G}

{\ displaystyle j \ în G}

3.

\sum _{j\in G}b_{j}\leq v(G)

{\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} b_ {j} \ leq v (G)}

{\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} b_ {j} \ leq v (G)}

Prin urmare, rămâne de verificat dacă într-adevăr fiecare subset $G\subseteq R$ ${\ displaystyle G \ subseteq R}$ ${\ displaystyle G \ subseteq R}$ primește cel puțin cât garantează cooperarea, în mod formal dacă $\sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G)}$ pentru orice alegere de $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ .

Declarația lui Von Neumann

Având în vedere o acuzare ${\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ avem asta $\sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G)}$ dacă și numai dacă, ${\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ nu este dominat de nicio altă sarcină ${\mathbf {b} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ . O formulare alternativă la afirmația de mai sus este următoarea: dată o imputare ${\mathbf {a} }=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}} = (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}$ pentru funcția caracteristică $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ , există orice subset $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ din $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ astfel încât $\sum _{j\in G}a_{j}<v(G)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ în G} a_ {j} <v (G)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ în G} a_ {j} <v (G)}$ dacă și numai dacă există o imputare ${\mathbf {b} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ care domină ${\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ în comparație cu $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ , ${\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ .

Formarea de subcoaliții

Să vedem acum modul în care membrii marii coaliții $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ formează coaliții mai mici $F\subset R$ ${\ displaystyle F \ subset R}$ ${\ displaystyle F \ subset R}$ renunțând la cooperarea în $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ în cazul în care caracteristica caracteristică $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este super aditiv.

Existența unui întreg $F\subset R$ ${\ displaystyle F \ subset R}$ ${\ displaystyle F \ subset R}$ pentru care cineva are $\sum _{j\in F}a_{j}<v(F)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in F} a_ {j} <v (F)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in F} a_ {j} <v (F)}$ rezultă faptul că unii membri ai $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , identificate ca elemente ale $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , rețineți că rechizitoriul ${\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {a}}}$ este dominat de un rechizitoriu ${\mathbf {b} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}}}$ . Acești jucători se vor desprinde de marea coaliție pentru a forma coaliția mai mică $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ , jucătorii au rămas în $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ simultan observă că ${\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ și vor forma coaliția $R-F$ ${\ displaystyle RF}$ ${\ displaystyle R-F}$ .

Luați în considerare, de exemplu, imputarea

a_{j}:=v(\{j\})+{{v(R)-\sum _{j=1}^{n}v(\{j\})} \over {n}}

{\ displaystyle a_ {j}: = v (\ {j \}) + {{v (R) - \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \})} \ over {n }}}

{\ displaystyle a_ {j}: = v (\ {j \}) + {{v (R) - \ sum _ {j = 1} ^ {n} v (\ {j \})} \ over {n }}}

pentru

j=1,\ldots ,n

{\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}

{\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}

a presupus că $\sum _{j\in F}a_{j}<v(F)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in F} a_ {j} <v (F)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in F} a_ {j} <v (F)}$ , ia-l $0<\delta =v(F)-\sum _{j\in F}a_{j}$ ${\ displaystyle 0 <\ delta = v (F) - \ sum _ {j \ in F} a_ {j}}$ ${\ displaystyle 0 <\ delta = v (F) - \ sum _ {j \ in F} a_ {j}}$ 0 <și ia în considerare $b_{j}=a_{j}+\delta /|F|$ ${\ displaystyle b_ {j} = a_ {j} + \ delta / | F |}$ ${\ displaystyle b_ {j} = a_ {j} + \ delta / | F |}$ pentru fiecare $j\in F$ ${\ displaystyle j \ în F}$ ${\ displaystyle j \ în F}$ .

Alocarea care aparține coaliției antagoniste pare, așadar, să fie $b_{j}=a_{j}+\epsilon$ ${\ displaystyle b_ {j} = a_ {j} + \ epsilon}$ ${\ displaystyle b_ {j} = a_ {j} + \ epsilon}$ pentru $j=1,\ldots ,|F^{c}|$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, | F ^ {c} |}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, | F ^ {c} |}$ unde este $\epsilon =v(\{j\})+{{v(R)-v(F)-\sum _{j\in F^{c}}v(\{j\})} \over {|F^{c}|}}\geq 0$ ${\ displaystyle \ epsilon = v (\ {j \}) + {{v (R) -v (F) - \ sum _ {j \ in F ^ {c}} v (\ {j \})} \ peste {| F ^ {c} |}} \ geq 0}$ ${\ displaystyle \ epsilon = v (\ {j \}) + {{v (R) -v (F) - \ sum _ {j \ in F ^ {c}} v (\ {j \})} \ peste {| F ^ {c} |}} \ geq 0}$

Se observă imediat că transportatorul ${\mathbf {b} }=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n})}$ este o acuzație: într-adevăr $b_{j}\geq v(\{j\})$ ${\ displaystyle b_ {j} \ geq v (\ {j \})}$ ${\ displaystyle b_ {j} \ geq v (\ {j \})}$ pentru fiecare $j=1,\ldots ,n$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ ${\ displaystyle j = 1, \ ldots, n}$ Și $\sum _{j=1}^{n}b_{j}=v(R)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} = v (R)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} = v (R)}$ atâta timp cât

\sum _{j=1}^{n}b_{j}=\sum _{j\in F}b_{j}+\sum _{j\in F^{c}}b_{j}=\sum _{j\in F}a_{j}+|F|\cdot \delta +\sum _{j\in F^{c}}v(\{j\})+|F^{c}|\cdot \epsilon =v(R)

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} = \ sum _ {j \ in F} b_ {j} + \ sum _ {j \ in F ^ {c}} b_ {j } = \ sum _ {j \ in F} a_ {j} + | F | \ cdot \ delta + \ sum _ {j \ in F ^ {c}} v (\ {j \}) + | F ^ { c} | \ cdot \ epsilon = v (R)}

{\ displaystyle \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} = \ sum _ {j \ in F} b_ {j} + \ sum _ {j \ in F ^ {c}} b_ {j } = \ sum _ {j \ in F} a_ {j} + | F | \ cdot \ delta + \ sum _ {j \ in F ^ {c}} v (\ {j \}) + | F ^ { c} | \ cdot \ epsilon = v (R)}

În cele din urmă, deoarece se dovedește $b_{j}>a_{j}$ ${\ displaystyle b_ {j}> a_ {j}}$ ${\ displaystyle b_ {j}> a_ {j}}$ pentru fiecare $j\in R$ ${\ displaystyle j \ în R}$ ${\ displaystyle j \ în R}$ $\sum _{j\in F}b_{j}\leq v(F)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in F} b_ {j} \ leq v (F)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in F} b_ {j} \ leq v (F)}$ se poate concluziona că ${\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ ${\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}$ .

Soluții în sensul lui Von Neumann-Morgenstern

Prin conceptul de imputare și dominare, Von Neumann și Morgenstern au definit soluția unui joc n-persoană ca fiind acel set $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ de taxe care are următoarele două proprietăți:

1. pentru fiecare taxă

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\not \in L

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) \ not \ în L}

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n}) \ not \ în L}

există o taxă

{\mathbf {b} }=(b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})\in L

{\ displaystyle {\ mathbf {b}} = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n}) \ în L}

{\ displaystyle {\ mathbf {b}} = (b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n}) \ în L}

care domină

(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}

{\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2}, \ ldots, a_ {n})}

,

{\mathbf {b} }\succ {\mathbf {a} }

{\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}

{\ displaystyle {\ mathbf {b}} \ succ {\ mathbf {a}}}

;

1. nici o pereche de taxe de

L

{\ displaystyle L}

L

se domină reciproc.

În literatură, cele două proprietăți sunt denumite condiții de stabilitate pentru ansamblu $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ a soluțiilor: în esență, sarcinile care constituie un echilibru stabil pentru jucători sunt soluții ale jocului. Conceptul de soluție în sensul lui von Neumann nu surprinde o singură și foarte specifică imputare a jocului: în general, întregul $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ dintre soluțiile posibile constă în numeroase taxe.

Situația în care suma sumei primite de fiecare membru al $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ nu este mai puțin decât lichidarea pe care o primește coaliția pentru sine a condus la o înțelegere mai profundă a conceptului de nucleu , adică a setului de sarcini nedominate.

Nucleul jocului

Imputările satisfăcătoare ale legăturii $\sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G)}$ ${\ displaystyle \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G)}$ Se spune că constituie nucleul (nucleul) setului de sarcini $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ :

U=\{{\mathbf {a} }\in A:\sum _{j\in G}a_{j}\geq v(G)\forall G\subseteq R\}

{\ displaystyle U = \ {{\ mathbf {a}} \ în A: \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G) \ forall G \ subseteq R \}}

{\ displaystyle U = \ {{\ mathbf {a}} \ în A: \ sum _ {j \ in G} a_ {j} \ geq v (G) \ forall G \ subseteq R \}}

Nucleul nu pare încă capabil să „capteze” soluția sau soluțiile jocurilor cooperative, ci ar constitui mai degrabă o metodă de eliminare a acuzațiilor care ar genera conflicte în cadrul marii coaliții $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ .

Un nucleu ne-gol indică pur și simplu ce imputații nu ar trebui alese: cele care nu locuiesc în nucleu. Cu toate acestea, în general, se poate întâmpla ca miezul să fie gol $U=\{\varnothing \}$ ${\ displaystyle U = \ {\ varnothing \}}$ ${\ displaystyle U = \ {\ varnothing \}}$ (cum ar fi în jocurile cu sumă constantă) sau că imputațiile nucleului sunt încă numeroase.

Nucleul este conceptul cheie prin care se analizează jocurile cooperative: jocuri în care jucătorii nu au motive să se separe în coaliții antagonice, dar strategia optimă este să coopereze toți împreună. Matematica sovietică Olga Bondareva a oferit condițiile necesare și suficiente pentru ca nucleul unui joc cooperativ să fie ne-gol.

linkuri externe

( EN ) Joc cooperativ , în Encyclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Portalul Economiei : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de economie

V ·D · M Teoria jocului
Definiții	În formă normală joc · joc în formă extinsă · Joc cooperativ · Set de informații · Preferință · Recompensă · Credință · Cel mai bun răspuns · Joc corect
Soluții de echilibru	Nash Equilibrium · Bayesian Equilibrium · Balance perfect Bayesian (EBP) · Great Pareto
Strategii	Strategiile dominante · strategie pură · strategie mixtă · strategie de declanșare · Complotarea tacită · inducție înapoi · Dinte pentru dinte
Cursuri de joc	Full-Informații de joc · statice joc · dinamic sau joc secventiala · joc repetată · Signaling joc · joc cu sumă zero
Jocuri	Prizonierul dilema · Dilemma călător · pui joc · Dilemma voluntar · Egalitatea luptă · Deer Hunt · bănuți de potrivire · ultimatum joc · Chineză Morra · concurență Cournot · Stackelberg concurenței · Bertrand concurenței · Joc de miriapod
Teoreme	Teorema minimax · Teorema imposibilității săgeții