Triunghiul de Aur
În geometrie , triunghiurile aurii sunt un set de triunghiuri având particularitatea de a poseda o proporționalitate aurie între laturile lor sau cu același motiv ca numărul auriu , ≈ 1.618, sau derivări ale acestuia.
Aceasta nu este o denumire reală recunoscută matematic pentru toate figurile care se încadrează în categoria cu definiția anterioară; de fapt, putem vorbi într-un sens universal recunoscut doar pentru cele două cazuri canonice ale triunghiurilor isoscele care pot fi obținute din pentagon și care sunt numite, precis, triunghi auriu și gnomon auriu .
În toate celelalte cazuri, este o denumire necorespunzătoare, bazată pe o definiție falsă, care nu găsește o confirmare sigură în textele matematice, dar care este încă folosită.
Triunghiul de Aur
Triunghiul auriu este un triunghi isoscel având cele două laturi egale în raport auriu cu a treia latură, φ: 1 ( 1.618 : 1 ) și unghiuri de 36 °, 72 ° și 72 °. Se folosește pentru a arăta că diagonala pentagonului este într-o relație aurie cu latura și, prin adăugarea altor două triunghiuri aurii , gnomoni aurii , completează figura; în plus, se crede că este posibil să fi fost chiar una dintre modalitățile de a demonstra incomensurabilitatea . [1]
Constructie
Există multe modalități de a construi geometric un triunghi auriu, mai multe dintre acestea implicând construcția pentagonului regulat, dar sunt destul de incomode datorită complexității obiective mai mari pe care o necesită însuși construcția preliminară a pentagonului.
Cele mai directe și simple sisteme se bazează pe proceduri derivate din construcția dreptunghiului auriu și își găsesc justificarea algebrică în el. Pentru a construi un triunghi auriu pe un anumit segment AB, se poate proceda după cum urmează:
- Urmăriți o trecere perpendiculară prin una dintre cele două extreme, în acest caz A, și aduceți punctul C înapoi la el la o distanță egală cu jumătate din AB;
- Cu centrul în C, se raportează distanța de la aceasta la cealaltă extremă a segmentului, CB, identificând punctul D;
- Cu centrul în A, lungimea totală găsită, AD, este raportată pe mediana segmentului sau este traversată cu omologul din extrema opusă, desemnând al treilea punct al triadei triunghiulare.
Explicația este rapidă; în primul rând este vorba de găsirea unei laturi care să fie în raport de aur cu baza dată și se raportează o jumătate din această ½, la care se adaugă hipotenuza triunghiului CAB, care poate fi calculată prin intermediul teoremei lui Pitagora :
Evident, dreptunghiul ABDD este dreptunghiul auriu.
Particularități geometrice
Triunghiul auriu are multe proprietăți comune cu cele care sunt cel mai bine cunoscute ca fiind atribuite dreptunghiului auriu . Datorită caracteristicii sale de a avea unghiurile la baza amplitudinii duble (72 °) față de unghiul de la vârf (36 °), este posibil, prin bisectarea unuia dintre acestea, să se obțină o succesiune infinită de triunghiuri aurii minore. . Concomitent cu succesiunea triunghiurilor omoloage, se produce și o succesiune de gnomoni aurii de finalizare, datorită căreia este posibilă trasarea unei „ spirale Fibonacci ”, adică o spirală care se apropie de spirala aurie autentică, urmărind o succesiune de arcuri de 108 ° în contiguitatea amplitudinii, adică unghiul de la vârful gnomonului.
„Spirala Fibonacci” în cauză, [2] , la fel ca adevărata spirală de aur, nu se termină niciodată, ci „se înfășoară” în jurul unui punct asimptotic , un loc în care se întâlnesc mediana unghiurilor de bază opuse. Spre care primul triunghi pe care îl putem găsiți în serie puncte. De asemenea, în acest punct se poate înregistra un paralelism cu dreptunghiul auriu, unde punctul asimptotic este înregistrat în schimb la intersecția diagonalelor succesiunii dreptunghiurilor.
În celelalte poligoane
În raport cu alte poligoane , triunghiul auriu poate fi semnalizat în:
| Decagon | Pentagon | Personal |
În decagon triunghiul auriu apare ca o pană de tort egală cu o zecime din aria sa, acest lucru este posibil deoarece vârful triunghiului este exact 36 °, adică o zecime exactă a unghiului rotund . În plus, acest lucru ne permite să îi cunoaștem exact apotema , care coincide cu înălțimea triunghiului, egală cu:
În pentagonul regulat există un triunghi auriu ale cărui laturi oblice corespund diagonalelor și baza laterală; restul figurii este completat de alte două triunghiuri, de asemenea, isoscel și de proporții aurii, dar inversate în părți, numite gnomoni aurii tocmai pentru că sunt figuri de finalizare ale pentagonului.
În pentagramă , adică o stea cu 5 colțuri, în schimb triunghiul auriu se găsește în cele care reprezintă punctele stelei. De asemenea, în acest caz totul depinde de legăturile triunghiului cu pentagonul, pentagrama de fapt poate fi obținută prin extinderea laturilor pentagonului regulat care formează unghiuri externe de 72 ° [3] , aceeași lățime cu unghiurile de la baza triunghiului auriu.
Notă
- ^ Demonstrația existenței incomensurabilității este totuși atribuită istoric demonstrației acelorași dintre latura pătratului și diagonala acestuia
- ^ De obicei vorbim despre „spirala Fibonacci” limitată la cazul dreptunghiului auriu , spiralele obținute, de fapt, în ambele cazuri, sunt diferite, ia în considerare prima este rezultatul arcurilor de 90 ° (sau sferturi de cerc ) acest lucru în loc de arcuri de 108 °, rezultatul prin urmare, în măsura în care ochiul este similar și poate chiar nedistinguibil, nu poate fi identic.
- ^ 108 ° este amplitudinea unghiului pentagonului reglabil care poate fi obținut cu formula cunoscută 180 - (360 / n)
Alte proiecte
-
Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe triunghiul de aur
linkuri externe
- ( EN ) Triunghiul de aur pe MathWorld
- Giorgio Pietrocola Animație privind reciprocitatea triunghiurilor aurii
