Interacțiunea spin-orbită

În fizică , în special în mecanica cuantică , interacțiunea spin-orbită , numită și cuplare spin-orbită , este fenomenul conform căruia spinul unei particule este afectat de mișcarea particulei în sine. Cea mai răspândită observare a acestui fenomen se referă la rotirea electronului unui atom , care este afectată de câmpul magnetic generat de propria sa mișcare orbitală în jurul nucleului atomic : această interacțiune se explică prin compoziția momentelor unghiulare în mecanica cuantică.

Fenomenul poate fi explicat folosind mecanica clasică prin justificarea momentului magnetic atomic cu rotația electronilor în jurul nucleului și presupunând că momentul magnetic de spin este generat de o rotație a electronului în jurul axei sale ^[1] .

Luând în considerare termenul lui Darwin și alte efecte relativiste, interacțiunea spin-orbită contribuie la explicarea structurii fine a nivelurilor de energie atomică, adică la îndepărtarea degenerării acestor niveluri de energie înrezonanța paramagnetică electronică : acest efect este detectat de dublarea liniilor spectrale în analiza spectroscopică . Cu toate acestea, numai teoria câmpului cuantic poate calcula corect valoarea raportului giromagnetic pentru electron, aproximativ egală cu 2.

Energia momentului magnetic

Același subiect în detaliu: Moment magnetic .

Energia momentului magnetic într-un câmp magnetic este dată de

H_{magn}=-\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B} ,

{\ displaystyle H_ {magn} = - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B},}

{\ displaystyle H_ {magn} = - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B},}

unde μ este momentul magnetic al particulei și B câmpul magnetic.

Un electron care se mișcă într-un câmp electric este afectat, în sistemul de referință integrant cu acesta, al unui câmp magnetic dat de

\mathbf {B} =-{\mathbf {v} \times \mathbf {E}  \over c^{2}},

{\ displaystyle \ mathbf {B} = - {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \ over c ^ {2}},}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = - {\ mathbf {v} \ times \ mathbf {E} \ over c ^ {2}},}

unde v este viteza electronului și E câmpul electric prin care trece. Deoarece acesta din urmă este un câmp radial, putem rescrie

\mathbf {E} =\left|{E \over r}\right|\mathbf {r}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = \ left | {E \ over r} \ right | \ mathbf {r}}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = \ left | {E \ over r} \ right | \ mathbf {r}}

Fiind momentul electronului

\mathbf {p} =m_{e}\mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m_ {e} \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = m_ {e} \ mathbf {v}}

înlocuind-o pe cea anterioară și schimbând ordinea produsului, veți obține:

\mathbf {B} ={\mathbf {r} \times \mathbf {p}  \over m_{e}c^{2}}\left|{E \over r}\right|.

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \ over m_ {e} c ^ {2}} \ left | {E \ over r} \ right |.}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {p} \ over m_ {e} c ^ {2}} \ left | {E \ over r} \ right |.}

Fiind, atunci,

\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } V

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} V}

{\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} V}

în aproximarea câmpului central putem scrie:

\left|E\right|=\left|{\partial V \over \partial r}\right|={1 \over e}{\partial U(r) \over \partial r},

{\ displaystyle \ left | E \ right | = \ left | {\ partial V \ over \ partial r} \ right | = {1 \ over e} {\ partial U (r) \ over \ partial r},}

{\ displaystyle \ left | E \ right | = \ left | {\ partial V \ over \ partial r} \ right | = {1 \ over e} {\ partial U (r) \ over \ partial r},}

unde este $U=Ve$ ${\ displaystyle U = Ve}$ ${\ displaystyle U = Ve}$ este energia potențială a electronului din acel câmp.
Știind care este impulsul unghiular

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

{\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}

îl obții în cele din urmă

\mathbf {B} ={1 \over m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}\mathbf {L} .

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {1 \ over m_ {e} ec ^ {2}} {1 \ over r} {\ partial U (r) \ over \ partial r} \ mathbf {L}.}

{\ displaystyle \ mathbf {B} = {1 \ over m_ {e} ec ^ {2}} {1 \ over r} {\ partial U (r) \ over \ partial r} \ mathbf {L}.}

Rețineți că B este un număr pozitiv înmulțit cu L , adică câmpul magnetic este paralel cu impulsul unghiular orbital.

Moment magnetic

Momentul magnetic al electronului este

\mathbf {\mu } =-{\frac {g_{s}\mu _{B}\mathbf {S} }{\hbar }},

{\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = - {\ frac {g_ {s} \ mu _ {B} \ mathbf {S}} {\ hbar}},}

{\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = - {\ frac {g_ {s} \ mu _ {B} \ mathbf {S}} {\ hbar}},}

unde este $\mathbf {S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$ ${\ mathbf {S}}$ este rotirea, $\mu _{B}$ ${\ displaystyle \ mu _ {B}}$ $\ mu _ {B}$ Magnetul lui Bohr e $g_{s}\approx 2$ ${\ displaystyle g_ {s} \ approx 2}$ ${\ displaystyle g_ {s} \ approx 2}$ constanta g . Din definiția lui $\mathbf {\mu }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mu}}$ $\ mathbf {\ mu}$ se pare că momentul magnetic este antiparalel în raport cu rotirea.

Energia interacțiunii este atunci

H_{magn}=-\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B}

{\ displaystyle H_ {magn} = - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B}}

{\ displaystyle H_ {magn} = - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B}}

Înlocuind în expresia anterioară:

-\mathbf {\mu } \cdot \mathbf {B} ={2\mu _{B} \over \hbar m_{e}ec^{2}}{1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}(\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} )

{\ displaystyle - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B} = {2 \ mu _ {B} \ over \ hbar m_ {e} ec ^ {2}} {1 \ over r} {\ partial U (r) \ over \ partial r} (\ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S})}

{\ displaystyle - \ mathbf {\ mu} \ cdot \ mathbf {B} = {2 \ mu _ {B} \ over \ hbar m_ {e} ec ^ {2}} {1 \ over r} {\ partial U (r) \ over \ partial r} (\ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S})}

Schimbarea nivelurilor de energie

Datorită aproximărilor anterioare, este posibil să se evalueze schimbarea nivelurilor de energie; în special găsim o bază de stări proprii care diagonalizează atât H ₀ , hamiltonienul netulburat, cât și ΔH . Pentru a găsi această bază este necesar să se definească operatorul momentului unghiular total

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}

care înmulțit de la sine dă:

J^{2}=L^{2}+S^{2}+2\mathbf {L} \cdot \mathbf {S}

{\ displaystyle J ^ {2} = L ^ {2} + S ^ {2} +2 \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S}}

{\ displaystyle J ^ {2} = L ^ {2} + S ^ {2} +2 \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S}}

deoarece L și S fac naveta și, prin urmare

\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} ={1 \over 2}(\mathbf {J} ^{2}-\mathbf {L} ^{2}-\mathbf {S} ^{2})

{\ displaystyle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} = {1 \ over 2} (\ mathbf {J} ^ {2} - \ mathbf {L} ^ {2} - \ mathbf {S} ^ { 2})}

{\ displaystyle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} = {1 \ over 2} (\ mathbf {J} ^ {2} - \ mathbf {L} ^ {2} - \ mathbf {S} ^ { 2})}

se arată că cei cinci operatori H ₀ , J ², L ², S ² și J _{z fac} naveta între ei și cu ΔH și, prin urmare, au o bază comună de stări proprii în care sunt diagonale, care este baza căutată. Elementele acestei baze au cinci numere cuantice : a numarul cuantic principal n, numărul cuantic din totalul momentului unghiular j, numarul azimut cuantic l, numărul cuantic de spin s și cuantic magnetic număr j _z, componenta unghiulare orbitale impuls de -a lungul axei z .

Pentru a evalua nivelurile de energie pentru funcțiile de undă asemănătoare cu hidrogenul, se observă că

\left\langle {1 \over r^{3}}\right\rangle ={\frac {2}{a^{3}n^{3}l(l+1)(2l+1)}}

{\ displaystyle \ left \ langle {1 \ over r ^ {3}} \ right \ rangle = {\ frac {2} {a ^ {3} n ^ {3} l (l + 1) (2l + 1) }}}

{\ displaystyle \ left \ langle {1 \ over r ^ {3}} \ right \ rangle = {\ frac {2} {a ^ {3} n ^ {3} l (l + 1) (2l + 1) }}}

unde este

a={\frac {\hbar }{Z\alpha m_{e}c}}

{\ displaystyle a = {\ frac {\ hbar} {Z \ alpha m_ {e} c}}}

{\ displaystyle a = {\ frac {\ hbar} {Z \ alpha m_ {e} c}}}

este raza Bohr împărțită la sarcina nucleară, e

\left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={1 \over 2}(\langle \mathbf {J} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {L} ^{2}\rangle -\langle \mathbf {S} ^{2}\rangle )={\hbar ^{2} \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))

{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} \ right \ rangle = {1 \ over 2} (\ langle \ mathbf {J} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf { L} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf {S} ^ {2} \ rangle) = {\ hbar ^ {2} \ over 2} (j (j + 1) -l (l + 1) - s (s + 1))}

{\ displaystyle \ left \ langle \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {S} \ right \ rangle = {1 \ over 2} (\ langle \ mathbf {J} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf { L} ^ {2} \ rangle - \ langle \ mathbf {S} ^ {2} \ rangle) = {\ hbar ^ {2} \ over 2} (j (j + 1) -l (l + 1) - s (s + 1))}

În concluzie obținem

\Delta E={\beta  \over 2}(j(j+1)-l(l+1)-s(s+1))

{\ displaystyle \ Delta E = {\ beta \ over 2} (j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1))}

{\ displaystyle \ Delta E = {\ beta \ over 2} (j (j + 1) -l (l + 1) -s (s + 1))}

unde este

\beta ={-\mu _{B} \over m_{e}ec^{2}}\left\langle {1 \over r}{\partial U(r) \over \partial r}\right\rangle

{\ displaystyle \ beta = {- \ mu _ {B} \ over m_ {e} ec ^ {2}} \ left \ langle {1 \ over r} {\ partial U (r) \ over \ partial r} \ dreapta \ rangle}

{\ displaystyle \ beta = {- \ mu _ {B} \ over m_ {e} ec ^ {2}} \ left \ langle {1 \ over r} {\ partial U (r) \ over \ partial r} \ dreapta \ rangle}

Pentru atomul de hidrogen , rezultatul explicit este:

\beta (n,l)={\mu _{0} \over 4\pi }g_{s}\mu _{B}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}

{\ displaystyle \ beta (n, l) = {\ mu _ {0} \ over 4 \ pi} g_ {s} \ mu _ {B} ^ {2} {1 \ over n ^ {3} a_ {0 } ^ {3} l (l + 1/2) (l + 1)}}

{\ displaystyle \ beta (n, l) = {\ mu _ {0} \ over 4 \ pi} g_ {s} \ mu _ {B} ^ {2} {1 \ over n ^ {3} a_ {0 } ^ {3} l (l + 1/2) (l + 1)}}

Pentru un atom cu număr atomic Z și o singură ionizare:

\beta (n,l)=Z^{4}{\mu _{0} \over 4\pi }g_{s}\mu _{B}^{2}{1 \over n^{3}a_{0}^{3}l(l+1/2)(l+1)}

{\ displaystyle \ beta (n, l) = Z ^ {4} {\ mu _ {0} \ over 4 \ pi} g_ {s} \ mu _ {B} ^ {2} {1 \ over n ^ { 3} a_ {0} ^ {3} l (l + 1/2) (l + 1)}}

{\ displaystyle \ beta (n, l) = Z ^ {4} {\ mu _ {0} \ over 4 \ pi} g_ {s} \ mu _ {B} ^ {2} {1 \ over n ^ { 3} a_ {0} ^ {3} l (l + 1/2) (l + 1)}}

Cuplare spin-orbită

Același subiect în detaliu: Compoziția operatorilor de impuls unghiular .

Cuplarea spin-orbită descrie interacțiunea slabă dintre impulsul unghiular orbital total și rotirea totală a electronilor unui atom: în funcție de faptul dacă atomul considerat este ușor ( numărul atomic Z mai mic de 30) sau greu (mai mare de 30) cuplarea între diferite momente unghiulare din interiorul atomului se poate manifesta în două moduri diferite, respectiv prin cuplarea Russell-Saunders și cuplarea jj.

Cuplaj Russell-Saunders

Același subiect în detaliu: cuplarea Russell-Saunders .

Cuplarea Russell-Saunders este o schemă de cuplare spin-orbită care descrie interacțiunea dintre momentul unghiular orbital total și spinul total bazat pe modelul vector al atomului. Acesta prevede că cuplarea în cazul atomilor de lumină este eficientă numai atunci când momentele orbitale acționează în cooperare: momentele de spin s _i interacționează între ele formând un moment unghiular al spinului total S ; același lucru se întâmplă și pentru momentele unghiulare orbitale care se adaugă pentru a obține impulsul unghiular orbital L. Interacțiunea dintre L și S , numită și cuplare LS , este definită formal de momentul unghiular total J dat de:

\mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} =\sum _{i}\mathbf {l} _{i}+\sum _{i}\mathbf {s} _{i}

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S} = \ sum _ {i} \ mathbf {l} _ {i} + \ sum _ {i} \ mathbf {s} _ { }}}

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S} = \ sum _ {i} \ mathbf {l} _ {i} + \ sum _ {i} \ mathbf {s} _ { }}}

Această aproximare este valabilă atâta timp cât câmpul magnetic este slab; în caz contrar, cele două momente se decuplează dând naștere la separarea nivelurilor de energie: acest fenomen este cunoscut sub numele de efect Paschen-Back .

Cuplaj jj

Același subiect în detaliu: cuplarea jj .

Cuplarea jj este o schemă validă de cuplare spin-orbită atunci când se iau în considerare atomi grei: în astfel de atomi interacțiunea spin-orbită devine la fel de mare ca interacțiunea spin-spin sau între momentele unghiulare orbitale și fiecare moment unghiular orbital tinde să se cupleze cu fiecare dintre rotirile sale individuale, dând naștere unui impuls unghiular total dat de

\mathbf {J} =\sum _{i}\mathbf {j} _{i}=\sum _{i}(\mathbf {l} _{i}+\mathbf {s} _{i})

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ sum _ {i} \ mathbf {j} _ {i} = \ sum _ {i} (\ mathbf {l} _ {i} + \ mathbf {s} _ {i })}

{\ displaystyle \ mathbf {J} = \ sum _ {i} \ mathbf {j} _ {i} = \ sum _ {i} (\ mathbf {l} _ {i} + \ mathbf {s} _ {i })}

de aici și numele de cuplare jj .

Notă

^ Cu toate acestea, această explicație nu este satisfăcătoare nici în termeni clasici, deoarece pentru a justifica valoarea momentului magnetic de spin, electronul ar trebui să se rotească cu o viteză tangențială mai mare decât cea a luminii, contrazicând relativitatea specială .

Bibliografie

Albert Messiah, Mécanique quantique, volumul 1 , Dunod, 1966.
Paul Dirac, Principiile mecanicii cuantice , Bollati Boringhieri, 1971.
John von Neumann, Fundamente matematice ale mecanicii cuantice , Princeton University Press, 1955.
Stephen Gustafson, Israel M. Sigal, Conceptele matematice ale mecanicii cuantice , Springer, 2006.
Franz Schwabl, Mecanica cuantică , Springer, 2002.
Franco Strocchi, O introducere în structura matematică a mecanicii cuantice, un curs scurt pentru matematicieni , World Scientific Publishing, 2005.
Lev D. Landau; Evgenij M. Lifsits, Teoria nerelativistă a mecanicii cuantice , Roma, Editori uniti, ediția a 2-a martie 1994.
L. Pauling și EB Wilson Introducere în mecanica cuantică cu aplicații la chimie (McGrawHill, New York, 1935)
S. Dushman Elementele mecanicii cuantice (John Wiley & Sons, New York, 1938)
M. Planck, L. Silberstein și HT Clarke Originea și dezvoltarea teoriei cuantice (Clarendon Press, Oxford, 1922)
F. Reiche, H. Hatfield și L. Henry Teoria cuantică (EP Dutton & co., New York, 1922)
JF Frenkel Mechanics Wave: Advanced General Theory (Clarendon Press, Oxford, 1934)
NF Mott Elements of Wave Mechanics (Cambridge University Press, 1958)
Gian Carlo Ghirardi, O privire la cărțile lui Dumnezeu , Net, 1997.
V. Teoria spectrală Moretti și mecanica cuantică. Operatori în Hilbert Spaces (Springer-Verlag, 2010)
A. Amadori, L. Lussardi, Mecanica cuantică nerelativistă, edițiile Matematici.it, 2009, [1]