Polinoame Laguerre

În matematică , polinoamele Laguerre sunt polinoame speciale care constituie o succesiune de polinoame , care au numeroase aplicații; numele lor amintește de matematicianul francez Edmond Nicolas Laguerre (1834-1886). Ele pot fi definite cu o expresie a la Rodrigues

L_{n}(x):={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)\quad {\mbox{per}}\quad n=0,1,2,3,...

{\ displaystyle L_ {n} (x): = {\ frac {e ^ {x}} {n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (e ^ {-x} x ^ {n} \ right) \ quad {\ mbox {per}} \ quad n = 0,1,2,3, ...}

{\ displaystyle L_ {n} (x): = {\ frac {e ^ {x}} {n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (e ^ {-x} x ^ {n} \ right) \ quad {\ mbox {per}} \ quad n = 0,1,2,3, ...}

.

Sunt polinoame reciproc ortogonale în raport cu produsul interior exprimat prin

\langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }\,f(x)g(x)e^{-x}\,dx

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, f (x) g (x) e ^ {- x} \, dx}

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} \, f (x) g (x) e ^ {- x} \, dx}

.

Secvența polinoamelor Laguerre este o secvență Sheffer .

Polinoame de cele mai mici grade

Primele polinoame sunt:

\,L_{0}(x)=1

{\ displaystyle \, L_ {0} (x) = 1}

{\ displaystyle \, L_ {0} (x) = 1}

,

\,L_{1}(x)=-x+1

{\ displaystyle \, L_ {1} (x) = - x + 1}

{\ displaystyle \, L_ {1} (x) = - x + 1}

,

L_{2}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-2x+1

{\ displaystyle L_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} x ^ {2} -2x + 1}

{\ displaystyle L_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} x ^ {2} -2x + 1}

,

L_{3}(x)={\frac {1}{6}}\left(-x^{3}+9x^{2}-18x+6\right)

{\ displaystyle L_ {3} (x) = {\ frac {1} {6}} \ left (-x ^ {3} + 9x ^ {2} -18x + 6 \ right)}

{\ displaystyle L_ {3} (x) = {\ frac {1} {6}} \ left (-x ^ {3} + 9x ^ {2} -18x + 6 \ right)}

.

Ca garnitură

Aceste polinoame pot fi exprimate printr-o integrală de limită dependentă de $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$

L_{n}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {e^{-(xt)/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}}}\;dt

{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {e ^ {- (xt) / (1-t)}} {(1-t ) \, t ^ {n + 1}}} \; dt}

{\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint {\ frac {e ^ {- (xt) / (1-t)}} {(1-t ) \, t ^ {n + 1}}} \; dt}

relativ la un contur care se rotește în sens invers acelor de ceasornic în jurul originii.

Polinoame Laguerre generalizate

Egalitatea anterioară care exprimă ortogonalitatea este echivalentă cu afirmarea că dacă $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ este o variabilă aleatorie cu distribuție exponențială

f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{se}}\ x>0\\0&{\mbox{se}}\ x<0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} e ^ {- x} & {\ mbox {se}} \ x> 0 \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x < 0 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} e ^ {- x} & {\ mbox {se}} \ x> 0 \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x < 0 \ end {matrix}} \ right.}

asa de

E(L_{n}(X)L_{m}(X))=0\ ,\qquad n\neq m

{\ displaystyle E (L_ {n} (X) L_ {m} (X)) = 0 \, \ qquad n \ neq m}

{\ displaystyle E (L_ {n} (X) L_ {m} (X)) = 0 \, \ qquad n \ neq m}

.

Distribuția exponențială nu este singura distribuție gamma . O secvență polinomială ortogonală în raport cu distribuția gamma a cărei densitate de probabilitate este

f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha -1}e^{-x}/\Gamma (\alpha )&{\mbox{se}}\ x>0\\0&{\mbox{se}}\ x<0\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {\ alpha -1} e ^ {- x} / \ Gamma (\ alpha) & {\ mbox {se}} \ x> 0 \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x <0 \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle f (x) = \ left \ {{\ begin {matrix} x ^ {\ alpha -1} e ^ {- x} / \ Gamma (\ alpha) & {\ mbox {se}} \ x> 0 \\ 0 & {\ mbox {se}} \ x <0 \ end {matrix}} \ right.}

(vezi funcția gamma ) se obține din definiția polinoamelor generalizate ale lui Laguerre :

L_{n}^{(\alpha )}(x):={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x}x^{n+\alpha }

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x): = {x ^ {- \ alpha} e ^ {x} \ over n!} {d ^ {n} \ over dx ^ {n} } și ^ {- x} x ^ {n + \ alpha}}

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x): = {x ^ {- \ alpha} e ^ {x} \ over n!} {d ^ {n} \ over dx ^ {n} } și ^ {- x} x ^ {n + \ alpha}}

.

Aceste polinoame sunt uneori numite polinoame asociate Laguerre . Polinoamele Laguerre simple constituie cazul particular al polinoamelor generalizate referitoare la $\alpha =0$ ${\ displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$

L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x)

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(0)} (x) = L_ {n} (x)}

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(0)} (x) = L_ {n} (x)}

.

Polinomii Laguerre asociați constituie o secvență ortogonală pe interval $[0,\infty )$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$ $[0, \ infty)$ în ceea ce privește funcția de greutate $x^{\alpha }e^{-x}$ ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} e ^ {- x}}$ ${\ displaystyle x ^ {\ alpha} e ^ {- x}}$ :

\int _{0}^{\infty }dx\,e^{-x}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{nm}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dx \, e ^ {- x} x ^ {\ alpha} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {m} ^ {( \ alpha)} (x) = {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1)} {n!}} \ delta _ {nm}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} dx \, e ^ {- x} x ^ {\ alpha} L_ {n} ^ {(\ alpha)} (x) L_ {m} ^ {( \ alpha)} (x) = {\ frac {\ Gamma (n + \ alpha +1)} {n!}} \ delta _ {nm}}

.

Pentru valori întregi ale $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ se poate scrie expresia de definiție anterioară

L_{n}^{(m)}(x)=(-1)^{m}{d^{m} \over dx^{m}}L_{n+m}(x)

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} {d ^ {m} \ over dx ^ {m}} L_ {n + m} (x)}

{\ displaystyle L_ {n} ^ {(m)} (x) = (- 1) ^ {m} {d ^ {m} \ over dx ^ {m}} L_ {n + m} (x)}

.

Relația cu polinoamele hermite

Polinoamele Laguerre generalizate apar în tratamentul oscilatorului armonic cuantic , datorită relației lor cu polinoamele Hermite care pot fi exprimate prin egalități

H_{2n}(x)=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})

{\ displaystyle H_ {2n} (x) = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n} n! L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ {2})}

{\ displaystyle H_ {2n} (x) = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n} n! L_ {n} ^ {(- 1/2)} (x ^ {2})}

Și

H_{2n+1}(x)=(-1)^{n}2^{2n+1}n!L_{n}^{(1/2)}(x^{2})

{\ displaystyle H_ {2n + 1} (x) = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n + 1} n! L_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ {2})}

{\ displaystyle H_ {2n + 1} (x) = (- 1) ^ {n} 2 ^ {2n + 1} n! L_ {n} ^ {(1/2)} (x ^ {2})}

unde este $H_{n}(x)$ ${\ displaystyle H_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle H_ {n} (x)}$ denotă polinomul hermit de grad n.

Relația cu seria hipergeometrică

Polinoamele Laguerre generalizate pot fi definite ca un caz particular al unei funcții hipergeometrice confluente , cum ar fi

L_{n}^{a}(x)={n+a \choose n}M(-n,a+1,x)={\frac {(a+1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,a+1,x)

{\ displaystyle L_ {n} ^ {a} (x) = {n + a \ alege n} M (-n, a + 1, x) = {\ frac {(a + 1) _ {n}} { n!}} \, _ {1} F_ {1} (- n, a + 1, x)}

{\ displaystyle L_ {n} ^ {a} (x) = {n + a \ alege n} M (-n, a + 1, x) = {\ frac {(a + 1) _ {n}} { n!}} \, _ {1} F_ {1} (- n, a + 1, x)}

unde este $(a)_{n}$ ${\ displaystyle (a) _ {n}}$ ${\ displaystyle (a) _ {n}}$ denotă simbolul lui Pochhammer .

Bibliografie

( EN ) Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions , Mineola , Dover Publications, 1964, ISBN 0-486-61272-4 . (capitolul 22) .