Răspuns gratuit

În teoria sistemelor dinamice , răspunsul liber sau răspunsul de intrare nul al unui sistem dinamic , numit și „răspuns liber în stare”, deoarece afectează variabilele de stare ale sistemului, este răspunsul său atunci când intrarea este nulă, astfel încât comportamentul sistemului depinde doar de condițiile inițiale. În sistemele liniare, principiul suprapunerii afirmă în special că este posibil să se descompună rezultatul ca suma răspunsului liber plus răspunsul forțat.

Sisteme LTI

Luați în considerare un sistem dinamic liniar staționar :

\left\{{\begin{matrix}{\frac {d{\vec {x}}(t)}{dt}}=A{\vec {x}}(t)+B{\vec {u}}(t)\\{\vec {y}}(t)=C{\vec {x}}(t)+D{\vec {u}}(t)\end{matrix}}\right.\,

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = A {\ vec {x}} (t) + B {\ vec {u}} (t) \\ {\ vec {y}} (t) = C {\ vec {x}} (t) + D {\ vec {u}} (t) \ end {matrix}} \ dreapta. \,}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {d {\ vec {x}} (t)} {dt}} = A {\ vec {x}} (t) + B {\ vec {u}} (t) \\ {\ vec {y}} (t) = C {\ vec {x}} (t) + D {\ vec {u}} (t) \ end {matrix}} \ dreapta. \,}

in care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ sunt matrici constante caracteristice modelului matematic al sistemului studiat, ${\vec {x}}(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ reprezintă vectorul variabilelor de stare , ${\vec {u}}(t)\in \mathbb {R} ^{q}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ ${\ displaystyle {\ vec {u}} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {q}}$ vectorul intrărilor e ${\vec {y}}(t)\in \mathbb {R} ^{p}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} (t) \ in \ mathbb {R} ^ {p}}$ vectorul ieșirilor. Matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are dimensiune $n\times n$ ${\ displaystyle n \ times n}$ $n \ ori n$ , $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ are dimensiune $n\times q$ ${\ displaystyle n \ times q}$ ${\ displaystyle n \ times q}$ , $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ are dimensiune $p\times n$ ${\ displaystyle p \ times n}$ $p \ ori n$ Și $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ are dimensiune $p\times q$ ${\ displaystyle p \ times q}$ ${\ displaystyle p \ times q}$ .

Datorită principiului suprapunerii este posibil să descompunem răspunsul unui sistem liniar dinamic ca suma răspunsului liber ${\vec {y}}_{L}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} _ {L}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} _ {L}}$ plus răspunsul forțat ${\vec {y}}_{F}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} _ {F}}$ ${\ displaystyle {\ vec {y}} _ {F}}$ :

{\vec {y}}(t)={\vec {y}}_{L}(t)+{\vec {y}}_{F}(t)

{\ displaystyle {\ vec {y}} (t) = {\ vec {y}} _ {L} (t) + {\ vec {y}} _ {F} (t)}

{\ displaystyle {\ vec {y}} (t) = {\ vec {y}} _ {L} (t) + {\ vec {y}} _ {F} (t)}

În domeniul transformării Laplace :

L[{\vec {y}}(t)](s)=Y(s)=Y_{L}(s)+Y_{F}(s)=F(s){\vec {x}}(0)+G(s)U(s)

{\ displaystyle L [{\ vec {y}} (t)] (s) = Y (s) = Y_ {L} (s) + Y_ {F} (s) = F (s) {\ vec {x }} (0) + G (s) U (s)}

{\ displaystyle L [{\ vec {y}} (t)] (s) = Y (s) = Y_ {L} (s) + Y_ {F} (s) = F (s) {\ vec {x }} (0) + G (s) U (s)}

unde este $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ este transformarea lui $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ și matrici $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ Și $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ sunt date de:

F(s)=C(sI-A)^{-1}\qquad G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D

{\ displaystyle F (s) = C (sI-A) ^ {- 1} \ qquad G (s) = C (sI-A) ^ {- 1} B + D}

F (s) = C (sI - A) ^ {- 1} \ qquad G (s) = C (sI - A) ^ {- 1} B + D

Termenul $Y_{L}$ ${\ displaystyle Y_ {L}}$ $Y_L$ este liniar în raport cu ${\vec {x}}(0)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (0)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (0)}$ și reprezintă răspunsul sistemului atunci când intrarea este nulă: starea sistemului depinde deci liniar de starea inițială ${\vec {x}}(0)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (0)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (0)}$ . Termenul $Y_{F}$ ${\ displaystyle Y_ {F}}$ $Y_F$ este răspunsul sistemului atunci când starea inițială este nulă și, prin urmare, este doar o funcție liniară a intrării $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ denotă matricea de identitate e $(sI-A)^{-1}$ ${\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1}}$ indică inversul $(sI-A)$ ${\ displaystyle (sI-A)}$ ${\ displaystyle (sI-A)}$ .

Presupunând că matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este diagonalizabil cu valori proprii reale, răspunsul liber în stare este:

{\vec {x}}_{l}(t)=Pe^{\Lambda (t-t_{0})}P^{-1}{\vec {x}}(t_{0})

{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {l} (t) = Pe ^ {\ Lambda (t-t_ {0})} P ^ {- 1} {\ vec {x}} (t_ {0} )}}

{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {l} (t) = Pe ^ {\ Lambda (t-t_ {0})} P ^ {- 1} {\ vec {x}} (t_ {0} )}}

unde coloanele matricei $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ sunt vectorii proprii ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1}, {\ vec {v}} _ {2}, ..., {\ vec {v}} _ {n}}$ ${\ displaystyle {\ vec {v}} _ {1}, {\ vec {v}} _ {2}, ..., {\ vec {v}} _ {n}}$ din $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ relativ la valori proprii distincte $\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ..., \ lambda _ {n}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ lambda _ {2}, ..., \ lambda _ {n}}$ ; $P^{-1}$ ${\ displaystyle P ^ {- 1}}$ $P ^ {{- 1}}$ indică inversul $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $e^{\Lambda (t-t_{0})}$ ${\ displaystyle e ^ {\ Lambda (t-t_ {0})}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ Lambda (t-t_ {0})}}$ exponențiala matricei diagonale a valorilor proprii.

Loc $t_{0}=0$ ${\ displaystyle t_ {0} = 0}$ $t_ {0} = 0$ poti sa scrii:

{\vec {x}}_{l}(t)=\left({\begin{array}{cccc}v_{11}&v_{21}&\cdots &v_{n1}\\v_{12}&v_{22}&\cdots &v_{n2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\v_{1n}&v_{2n}&\cdots &v_{nn}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cccc}e^{\lambda _{1}t}&0&\cdots &0\\0&e^{\lambda _{2}t}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &e^{\lambda _{n}t}\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\alpha _{1}(0)\\\alpha _{2}(0)\\\vdots \\\alpha _{n}(0)\\\end{array}}\right)

{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {l} (t) = \ left ({\ begin {array} {cccc} v_ {11} & v_ {21} & \ cdots & v_ {n1} \\ v_ {12} & v_ {22} & \ cdots & v_ {n2} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ v_ {1n} & v_ {2n} & \ cdots & v_ {nn} \\ \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {cccc} e ^ {\ lambda _ {1} t} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & e ^ {\ lambda _ { 2} t} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & e ^ {\ lambda _ {n} t} \\\ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} \ alpha _ {1} (0) \\\ alpha _ {2} (0) \\\ vdots \\\ alpha _ {n} (0) \\\ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {l} (t) = \ left ({\ begin {array} {cccc} v_ {11} & v_ {21} & \ cdots & v_ {n1} \\ v_ {12} & v_ {22} & \ cdots & v_ {n2} \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ v_ {1n} & v_ {2n} & \ cdots & v_ {nn} \\ \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {cccc} e ^ {\ lambda _ {1} t} & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 & e ^ {\ lambda _ { 2} t} & \ cdots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ cdots & e ^ {\ lambda _ {n} t} \\\ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} \ alpha _ {1} (0) \\\ alpha _ {2} (0) \\\ vdots \\\ alpha _ {n} (0) \\\ end {array}} \ right)}

unde este $\alpha _{i}(0)$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} (0)}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} (0)}$ este produsul al doilea rând al matricei $P^{-1}$ ${\ displaystyle P ^ {- 1}}$ $P ^ {{- 1}}$ pentru starea inițială x (0). Dezvoltând produsele matrice veți obține:

{\vec {x}}_{l}(t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}(0)e^{\lambda _{i}t}{\vec {v}}_{i}

{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {l} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} (0) și ^ {\ lambda _ {i} t} {\ vec {v}} _ {i}}

{\ displaystyle {\ vec {x}} _ {l} (t) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ alpha _ {i} (0) și ^ {\ lambda _ {i} t} {\ vec {v}} _ {i}}

Functia $\alpha _{i}(0)e^{\lambda _{i}t}{\vec {v}}_{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} (0) și ^ {\ lambda _ {i} t} {\ vec {v}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} (0) și ^ {\ lambda _ {i} t} {\ vec {v}} _ {i}}$ este numit al i-lea mod aperiodic . Se spune că un mod este entuziasmat dacă apare în răspunsul liber în stare.

Răspunsul liber poate fi, prin urmare, exprimat ca suprapunere a mai multor moduri. În special, observăm că, în ipoteza că starea inițială ${\vec {x}}(0)$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (0)}$ ${\ displaystyle {\ vec {x}} (0)}$ coincide cu vectorul propriu $\alpha _{i}(0){\vec {v}}_{i}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} (0) {\ vec {v}} _ {i}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {i} (0) {\ vec {v}} _ {i}}$ atunci noi avem:

P^{-1}{\vec {x}}(0)=P^{-1}{\alpha }_{i}(0){\vec {v}}_{i}=\left({\begin{array}{c}0\\\vdots \\0\\{\alpha }_{i}(0)\\0\\\vdots \\0\\\end{array}}\right)

{\ displaystyle P ^ {- 1} {\ vec {x}} (0) = P ^ {- 1} {\ alpha} _ {i} (0) {\ vec {v}} _ {i} = \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\\ vdots \\ 0 \\ {\ alpha} _ {i} (0) \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\\ end {array}} \ dreapta)}

{\ displaystyle P ^ {- 1} {\ vec {x}} (0) = P ^ {- 1} {\ alpha} _ {i} (0) {\ vec {v}} _ {i} = \ left ({\ begin {array} {c} 0 \\\ vdots \\ 0 \\ {\ alpha} _ {i} (0) \\ 0 \\\ vdots \\ 0 \\\ end {array}} \ dreapta)}

și, prin urmare, numai modul i-a este excitat. Prin urmare, traiectoria este linia dreaptă identificată de vectorul propriu $v_{i}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ $tu}$

Elemente conexe

linkuri externe

Michele Basso, Luigi Chisci și Paola Falugi - Fundamentals of Automatica ( PDF ), pe dsi.unifi.it . Adus pe 29 august 2015 (arhivat dinoriginal la 23 septembrie 2015) .

Portal de inginerie : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de inginerie