Multiplicarea matrici

Spectacolele de desen cazul în care A este 4 × 2 și B este 2 x 3, și dorim să calculeze elementul (C) ₁₂ = (AB) ₁₂ din matricea produsului C = A x B, de dimensiuni 4 x 3 :

(C)_{12}=\sum _{r=1}^{2}a_{1r}b_{r2}=a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}

{\ Displaystyle (C) _ {12} = \ sum _ {r = 1} ^ {2} a_ {1r} B_ {r2} = a_ {11} B_ {12} + a_ {12} B_ {22}}

{\ Displaystyle (C) _ {12} = \ sum _ {r = 1} ^ {2} a_ {1r} B_ {r2} = a_ {11} B_ {12} + a_ {12} B_ {22}}

În matematică , mai precis în algebra liniară , multiplicarea matricelor este rândul de produs prin coloană între două matrici , posibil în anumite condiții, care dă naștere la o altă matrice. Dacă o matrice reprezintă o aplicație liniară , produsul dintre matrici este traducerea compoziției a două aplicații liniare. Deci, dacă doi 2 x 2 matrici reprezintă, de exemplu, două rotații în planul de unghiurile a și β, produsul lor este definit astfel încât să reprezinte o rotație a unghiului α + β.

Definiție

Este $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ un inel . O matrice este dată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ in marime $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ și o a doua matrice $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ in marime $n\times p$ ${\ Displaystyle n \ ori p}$ ${\ Displaystyle n \ ori p}$ la valori în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Lasa-i sa fie $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ elementele $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $b_{ij}$ ${\ displaystyle b_ {ij}}$ ${\ displaystyle b_ {ij}}$ elementele $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Produsul matrice $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ matricea $C=AB$ ${\ displaystyle C = AB}$ ${\ displaystyle C = AB}$ la valori în $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și în dimensiune $m\times p$ ${\ displaystyle m \ times p}$ ${\ Displaystyle m \ ori p}$ ale cărui elemente $c_{ij}$ ${\ displaystyle c_ {ij}}$ $c _ {{ij}}$ sunt date de: ^[1]

c_{ij}=\sum _{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots +a_{in}b_{nj}

{\ Displaystyle C_ {ij} = \ sum _ {r = 1} ^ {n} a_ {ir} B_ {rj} = a_ {i1} B_ {1j} + a_ {I2} B_ {2j} + \ cdots + a_ {în} B_ {nj}}

{\ Displaystyle C_ {ij} = \ sum _ {r = 1} ^ {n} a_ {ir} B_ {rj} = a_ {i1} B_ {1j} + a_ {I2} B_ {2j} + \ cdots + a_ {în} B_ {nj}}

pentru fiecare valoare rând $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ și coloană $j .$ ${\ J displaystyle.}$ ${\ J displaystyle.}$

Două matrici pot fi multiplicate între ele numai în cazul în care numărul de coloane ale primei este egal cu numărul de rânduri de - al doilea, iar produsul dintre două matrici nu este comutativ . ^[2]

O matrice poate fi multiplicată cu ea însăși numai dacă este pătrat . În acest caz, produsul $A\cdot A$ ${\ Displaystyle A \ cdot A}$ ${\ Displaystyle A \ cdot A}$ denotă cu $A^{2}$ ${\ displaystyle A ^ {2}}$ $A ^ {2}$ . Mai general, puterea $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ -lea unei matrice este:

A^{n}={\begin{cases}I,&{\text{se }}n=0,\\\underbrace {A\cdot A\cdots A} _{n},&{\text{se }}n>0,\end{cases}}

{\ Displaystyle A ^ {n} = {\ begin {cazuri} I, & {\ text {se}} n = 0, \\\ underbrace {A \ cdot A \ cdots A} _ {n}, & {\ textul {se}} n> 0 \ end {cazuri}}}

{\ Displaystyle A ^ {n} = {\ begin {cazuri} I, & {\ text {se}} n = 0, \\\ underbrace {A \ cdot A \ cdots A} _ {n}, & {\ textul {se}} n> 0 \ end {cazuri}}}

unde este $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este un număr natural și $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identității . Cu toate acestea, pentru exponenții mult mai mare decât ordinea matricei, este mai ușor să se calculeze puterile folosind teoria funcțiilor matricei , ceea ce permite , de asemenea , ne - a generaliza definiția puterii de a admite un complex exponent.

O altă definiție informală a matrice de multiplicare, concepute pentru a permite memorizarea mai rapidă și imediată, este „rând înmulțirea cu coloană“, de fapt, pentru a obține elementul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ -alea linie e $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ coloană a matricei -lea produs doar a pus un index pe rândul $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ a primei matrice, cealaltă pe coloana $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ al doilea și se multiplică elementele indicate, apoi derulați-un singur loc cu degetele și se multiplică, până când ajunge la capătul coloanei și rândul, se adaugă în final diferitele produse obținute.

Proprietate

Multiplicarea între matrici este , în general non- comutativă , adică $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $B. LA$ ${\ displaystyle BA}$ $BA$ ele sunt două matrici diferite.
Multiplicarea între matrici este distributivă în raport cu suma . Cu alte cuvinte:

A(B+C)=AB+AC

{\ Displaystyle A (B + C) = AB + AC}

{\ Displaystyle A (B + C) = AB + AC}

(A+B)C=AC+BC

{\ Displaystyle (A + B) C = AC + BC}

{\ Displaystyle (A + B) C = AC + BC}

Pentru fiecare urcare $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ este valabil:

k(AB)=(kA)B=A(kB)

{\ K displaystyle (AB) = (kA) B = A (kB)}

{\ K displaystyle (AB) = (kA) B = A (kB)}

Multiplicarea între matrici este asociativă:

A(BC)=(AB)C

{\ A displaystyle (BC) = (AB) C}

{\ A displaystyle (BC) = (AB) C}

Matrici având valori într - un inel (de exemplu, inelul de numere întregi , rationale , reals sau complecși ) cu adiție de operații și de produs formează un alt inel . După cum sa menționat mai sus, acest inel este , în general non-comutativă chiar dacă cel de pornire este.
Elementul neutru pentru operația de multiplicare între matrici este matricea identică $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ . În special, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este pătrat cu același număr de linii ca $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ :

AI=IA=A

{\ Displaystyle AI = IA = A}

{\ Displaystyle AI = IA = A}

Nulul matrice 0 cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ rânduri anulează orice altă matrice. În special, dacă $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este pătrat cu $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ linii, avem:

0A=A0=0

{\ Displaystyle 0A = A0 = 0}

{\ Displaystyle 0A = A0 = 0}

O matrice pătrată $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este inversabilă dacă există o altă matrice $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ astfel încât $AB=BA=I$ ${\ Displaystyle AB = BA = I}$ ${\ Displaystyle AB = BA = I}$ unde este $THE$ ${\ displaystyle I}$ $THE$ este matricea identitate cu același număr de rânduri ca $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . O matrice este inversabilă dacă și numai dacă determinantul este non-zero. Multe matrici nu sunt inversabilă; cu alte cuvinte, chiar dacă setul de valori de pornire este un câmp , matricele nu formează un câmp. De exemplu, matricea următoare nu este inversabilă:

{\begin{bmatrix}0&0\\1&1\\\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \\\ end {bmatrix}}}

Spus $A^{\mathrm {T} }$ ${\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ Displaystyle A ^ {\ mathrm {T}}}$ transpunerea de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , avem asta $(AB)^{\mathrm {T} }=B^{\mathrm {T} }A^{\mathrm {T} }$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {\ mathrm {T}} = B ^ {\ mathrm {T}} A ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {\ mathrm {T}} = B ^ {\ mathrm {T}} A ^ {\ mathrm {T}}}$ . Intr-adevar:

\left[({AB})^{\mathrm {T} }\right]_{ij}=\left({AB}\right)_{ji}=\sum _{k}\left({A}\right)_{jk}\left({B}\right)_{ki}=\sum _{k}\left({A}^{\mathrm {T} }\right)_{kj}\left({B}^{\mathrm {T} }\right)_{ik}=\sum _{k}\left({B}^{\mathrm {T} }\right)_{ik}\left({A}^{\mathrm {T} }\right)_{kj}=

{\ Displaystyle \ stânga [({AB}) ^ {\ mathrm {T}} \ right] _ {ij} = \ stânga ({AB} \ dreapta) _ {ji} = \ sum _ {k} \ stânga ( {A} \ dreapta) _ {jk} \ stânga ({B} \ dreapta) _ {ki} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {kj } \ stânga ({B} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {ik} = \ sum _ {k} \ stânga ({B} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {ik} \ stânga ({A} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {kj} =}

{\ Displaystyle \ stânga [({AB}) ^ {\ mathrm {T}} \ right] _ {ij} = \ stânga ({AB} \ dreapta) _ {ji} = \ sum _ {k} \ stânga ( {A} \ dreapta) _ {jk} \ stânga ({B} \ dreapta) _ {ki} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {kj } \ stânga ({B} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {ik} = \ sum _ {k} \ stânga ({B} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {ik} \ stânga ({A} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) _ {kj} =}

=\left[\left({B}^{\mathrm {T} }\right)\left({A}^{\mathrm {T} }\right)\right]_{ij}

{\ Displaystyle = \ stânga [\ stânga ({B} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) \ stânga ({A} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) \ right] _ {ij}}

{\ Displaystyle = \ stânga [\ stânga ({B} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) \ stânga ({A} ^ {\ mathrm {T}} \ dreapta) \ right] _ {ij}}

Spus $A^{-1}$ ${\ A displaystyle ^ {- 1}}$ $A ^ {- 1}$ inversul lui $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , da $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1}}$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {- 1} = B ^ {- 1} A ^ {- 1}}$ .
Spus $A^{*}$ ${\ Displaystyle A ^ {*}}$ $A ^ {*}$ conjugatul complex de $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , da $(AB)^{*}=A^{*}B^{*}$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {*} = A ^ {*} B ^ {*}}$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {*} = A ^ {*} B ^ {*}}$ . Intr-adevar:

\left[({AB})^{\star }\right]_{ij}=\left[\sum _{k}\left({A}\right)_{ik}\left({B}\right)_{kj}\right]^{\star }=\sum _{k}\left({A}\right)_{ik}^{\star }\left({B}\right)_{kj}^{\star }=\sum _{k}\left({A}^{\star }\right)_{ik}\left({B}^{\star }\right)_{kj}=\left({A}^{\star }{B}^{\star }\right)_{ij}

{\ Displaystyle \ stânga [({AB}) ^ {\ stea} \ right] _ {ij} = \ stânga [\ sum _ {k} \ stânga ({A} \ dreapta) _ {ik} \ stânga ({ B} \ dreapta) _ {kj} \ right] ^ {\ stea} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} \ dreapta) _ {ik} ^ {\ stea} \ stânga ({B} \ dreapta ) _ {kj} ^ {\ stea} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {ik} \ stânga ({B} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {kj} = \ stânga ({A} ^ {\ stea} {B} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {ij}}

{\ Displaystyle \ stânga [({AB}) ^ {\ stea} \ right] _ {ij} = \ stânga [\ sum _ {k} \ stânga ({A} \ dreapta) _ {ik} \ stânga ({ B} \ dreapta) _ {kj} \ right] ^ {\ stea} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} \ dreapta) _ {ik} ^ {\ stea} \ stânga ({B} \ dreapta ) _ {kj} ^ {\ stea} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {ik} \ stânga ({B} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {kj} = \ stânga ({A} ^ {\ stea} {B} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {ij}}

Spus $A^{\dagger }$ ${\ Displaystyle A ^ {\ dagger}}$ $A ^ {\ dagger}$ conjugatul complex transpune $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , da $(AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {\ dagger} = B ^ {\ dagger} A ^ {\ dagger}}$ ${\ Displaystyle (AB) ^ {\ dagger} = B ^ {\ dagger} A ^ {\ dagger}}$ . Intr-adevar:

\left[({AB})^{\dagger }\right]_{ij}=\left[\left({AB}\right)^{\star }\right]_{ji}=\sum _{k}\left({A}^{\star }\right)_{jk}\left({B}^{\star }\right)_{ki}=\sum _{k}\left(A^{\dagger }\right)_{kj}\left({B}^{\dagger }\right)_{ik}=\sum _{k}\left({B}^{\dagger }\right)_{ik}\left(A^{\dagger }\right)_{kj}=\left(B^{\dagger }A^{\dagger }\right)_{ij}

{\ Displaystyle \ stânga [({AB}) ^ {\ dagger} \ right] _ {ij} = \ stânga [\ stânga ({AB} \ dreapta) ^ {\ stea} \ right] _ {ji} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {jk} \ stânga ({B} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {ki} = \ sum _ {k} \ left (A ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {kj} \ stânga ({B} ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {ik} = \ sum _ {k} \ stânga ({B} ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {ik} \

din

stânga (A ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {kj} = \ stânga (B ^ {\ dagger} A ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {ij}}

{\ Displaystyle \ stânga [({AB}) ^ {\ dagger} \ right] _ {ij} = \ stânga [\ stânga ({AB} \ dreapta) ^ {\ stea} \ right] _ {ji} = \ sum _ {k} \ stânga ({A} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {jk} \ stânga ({B} ^ {\ stea} \ dreapta) _ {ki} = \ sum _ {k} \ left (A ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {kj} \ stânga ({B} ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {ik} = \ sum _ {k} \ stânga ({B} ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {ik} \ din stânga (A ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {kj} = \ stânga (B ^ {\ dagger} A ^ {\ dagger} \ dreapta) _ {ij}}

Urma produsului $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ este independentă de ordinea în care $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ se înmulțesc:

\mathrm {tr} ({AB})=\mathrm {tr} ({BA})

{\ Displaystyle \ mathrm {tr} ({AB}) = \ mathrm {tr} ({BA})}

{\ Displaystyle \ mathrm {tr} ({AB}) = \ mathrm {tr} ({BA})}

Intr-adevar:

\operatorname {tr} (AB)=\sum _{i=1}^{m}\left(AB\right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}B_{ji}A_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(BA\right)_{jj}=\operatorname {tr} (BA)

{\ Displaystyle \ operatorname {tr} (AB) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ stânga (AB \ dreapta) _ {ii} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ sum _ {j = 1} ^ {n} A_ {ij} B_ {ji} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ sum _ {i = 1} ^ {m} B_ {ji} A_ {ij } = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ stânga (BA \ dreapta) _ {jj} = \ operatorname {tr} (BA)}

\ Operatorname {tr} (AB) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {m} \ stânga (AB \ dreapta) _ {{ii}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {m } \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} A _ {{ij}} B _ {{ji}} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ sum _ {{i = 1}} ^ {m} B _ {{ji}} A _ {{ij}} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {n} \ stânga (BA \ dreapta) _ {{jj}} = \ operatorname {tr} (BA)

Produs al unei matrice pentru un vector

O matrice cu un singur rând, adică, una de dimensiuni $1\times n$ ${\ displaystyle 1 \ times n}$ $1 \ ori n$ , Este un vector linie . In mod similar, o matrice cu o singură coloană, adică, de dimensiuni $m\times 1$ ${\ displaystyle m \ times 1}$ ${\ displaystyle m \ times 1}$ este un vector coloană . În operația de înmulțire aceste două obiecte se comportă diferit.

Lasa-i sa fie $A=(a_{ij})$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$ o matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ Și $\mathbf {v} =\{v_{i}\}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ {v_ {i} \}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ {v_ {i} \}}$ un vector coloană $n\times 1$ ${\ displaystyle n \ times 1}$ $n \ ori 1$ . Produsul $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru vector $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf v$ este produsul matricelor:

A\mathbf {v} =\mathbf {c}

{\ Displaystyle A \ mathbf {v} = \ mathbf {c}}

{\ Displaystyle A \ mathbf {v} = \ mathbf {c}}

Componentele $\mathbf {c}$ ${\ displaystyle \ mathbf {c}}$ $\ mathbf c$ Sunt:

c_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}=a_{i1}v_{1}+a_{i2}v_{2}+\cdots +a_{in}v_{n}

{\ Displaystyle C_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} v_ {j} = a_ {i1} v_ {1} + a_ {I2} v_ {2} + \ cdots + a_ {în} v_ {n}}

{\ Displaystyle C_ {i} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {ij} v_ {j} = a_ {i1} v_ {1} + a_ {I2} v_ {2} + \ cdots + a_ {în} v_ {n}}

Algoritm

Un algoritm de multiplicare matrice de-vector este:

 / * Matricea de multiplicare x vector
RM = numărul de rânduri în matricea
CM = numărul de coloane din matrice (egal cu numărul de rânduri în vectorul)
M = matricea [RM] × [CM]
VI = vectorul inițial [CM]
VR = rezultând vectorul [CM]
vectorul rezultat va fi VR [RM] , cu același număr de rânduri în matrice. * /
    pentru (int i = 0; i <RM; i ++) {// I scana liniile cu index i
        VR [i] = 0; // inițializa i-lea coordonata vectorului la zero
        pentru (int j = 0; j <CM; j ++) {// și coloanele cu j
            VR [i] = VR [i] + M [i] [j] * VI [j];
        }
    }

Acest produs este utilizat pe scară largă în algebra liniară , deoarece descrie o aplicație liniară . De exemplu, produsul:

{\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\cos \alpha -y\sin \alpha \\x\sin \alpha +y\cos \alpha \\\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \ alpha & - \ păcat \ alpha \\\ păcat \ alpha & \ cos \ alpha \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x \ cos \ alpha -y \ păcatul \ alpha \\ x \ păcat \ alpha + y \ cos \ alpha \\\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} \ cos \ alpha & - \ păcat \ alpha \\\ păcat \ alpha & \ cos \ alpha \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x \ cos \ alpha -y \ păcatul \ alpha \\ x \ păcat \ alpha + y \ cos \ alpha \\\ end {bmatrix}}}

reprezintă un unghi de rotație $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ în planul cartezian .

În unele cazuri, poate fi util pentru a face produsul $vettoreriga\times Matrice$ ${\ Linevector displaystyle \ ori Matrix}$ ${\ linevector displaystyle \ ori Matrix}$ : Rezultatul este un alt vector rând.

Produsul unei matrice cu un scalar

Multiplicarea unei matrice $A=(a_{i,j})$ ${\ displaystyle A = (a_ {i, j})}$ ${\ displaystyle A = (a_ {i, j})}$ pentru o urcare $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , Adică, un element al inelului pe care întreprinderea $a_{i,j}$ ${\ displaystyle a_ {i, j}}$ $a_ {i, j}$ , Se obține prin înmulțirea fiecărui element $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ pentru alpinism:

rA=(ra_{i,j})\

{\ Displaystyle rA = (ra_ {i, j}) \}

{\ Displaystyle rA = (ra_ {i, j}) \}

În cazul în care inelul de pornire nu este comutativă , acest lucru este menționat ca multiplicarea stânga, și pot diferi de multiplicare dreapta:

Ar=(a_{i,j}r)\

{\ Displaystyle Ar = (a_ {i, j} r) \}

{\ Displaystyle Ar = (a_ {i, j} r) \}

Proprietate

În cazul în care inelul de pornire este comutativă (de exemplu , în cazul în care este inelul de numere întregi , raționale , reale sau complexe numere ) stânga și înmulțiri dreapta sunt echivalente , iar noi vorbim doar de înmulțirea unei matrice cu un scalar.
În cazul în care inelul de pornire este un câmp , de exemplu , că de numere raționale , reale sau complexe , spațiul de matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ cu operațiunile de adaos și de produs la scară ele formează un spațiu vectorial .
Dacă inelul de pornire este un inel comutativ, spațiul matrice $m\times n$ ${\ displaystyle m \ times n}$ $m \ ori n$ cu operațiunile de adaos și de produs la scară formeaza un modul de .

Dacă inelul de pornire nu este comutativ, de exemplu , dacă este quaternion inelul, cele două înmulțiri nu sunt echivalente. De exemplu:

i{\begin{bmatrix}i&0\\0&j\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&0\\0&k\\\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}-1&0\\0&-k\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}i&0\\0&j\\\end{bmatrix}}i

{\ Displaystyle i {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -1 0 \\ 0 & k \\\ end {bmatrix}} \ neq {\ begin {bmatrix} -1 0 \\ 0 & -k \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\\ end {bmatrix}} i }

{\ Displaystyle i {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} -1 0 \\ 0 & k \\\ end {bmatrix}} \ neq {\ begin {bmatrix} -1 0 \\ 0 & -k \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} i & 0 \\ 0 & j \\\ end {bmatrix}} i }

construcţii alternative

De-a lungul timpului, au fost definite alte tipuri de produse între matrici, mai puțin norocoși în ceea ce privește utilizarea produsului obișnuit-rând de coloane. În special, produsul Hadamard sau produsului punct poate fi numit, în care produsul $A=(a_{ij})_{ij}$ ${\ Displaystyle A = (a_ {ij}) _ {ij}}$ $A = (a _ {{ij}}) _ {{ij}}$ Și $B=(b_{ij})_{ij}$ ${\ Displaystyle B = (B_ {ij}) _ {ij}}$ ${\ Displaystyle B = (B_ {ij}) _ {ij}}$ este dat de $AB=(a_{ij}\cdot b_{ij})_{ij}$ ${\ Displaystyle AB = (a_ {ij} \ cdot B_ {ij}) _ {ij}}$ ${\ Displaystyle AB = (a_ {ij} \ cdot B_ {ij}) _ {ij}}$ . De exemplu:

{\begin{bmatrix}1&2\\3&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-3&0\\1&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-3&0\\3&-4\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -3 0 \\ 1 & 4 \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} -3 0 \\ 3 & -4 \ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} -3 0 \\ 1 & 4 \ end {bmatrix}} = {\ begin { bmatrix} -3 0 \\ 3 & -4 \ end {bmatrix}}}

O altă construcție este dată de produsul Kronecker , care își găsește aplicații în calcul tensorial , dat de:

AB={\begin{bmatrix}a_{11}B&a_{12}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&a_{m2}B&\cdots &a_{mn}B\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle AB = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B & a_ {12} B & \ cdots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & a_ {m2} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle AB = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B & a_ {12} B & \ cdots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & a_ {m2} B & \ cdots & a_ {mn} B \ end {bmatrix}}}

exprimat sub forma unei matrice de bloc , în care fiecare bloc $the j$ ${\ Displaystyle ij}$ ${\ Displaystyle ij}$ -lea este dată de matricea $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ înmulțit cu scalar $a_{ij}$ ${\ displaystyle a_ {ij}}$ $a_ {ij}$ .

Exemple

O matrice $2\times 3$ ${\ displaystyle 2 \ times 3}$ $2 \ ori 3$ înmulțit cu $3\times 3$ ${\ displaystyle 3 \ times 3}$ $3 \ ori 3$ dă o matrice $2\times 3$ ${\ displaystyle 2 \ times 3}$ $2 \ ori 3$ :

{\begin{bmatrix}1&1&2\\0&1&-3\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&1&1\\2&5&1\\0&-2&1\end{bmatrix}}=

{\ Displaystyle {\ begin ori {bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\\ end {bmatrix}} \ {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \ end {bmatrix}}} =

{\ Displaystyle {\ begin ori {bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -3 \\\ end {bmatrix}} \ {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0 & -2 & 1 \ end {bmatrix}}} =

Primul rând al matricei rezultat:

C_{11}=[(1\times 1)+(1\times 2)+(2\times 0)]=3

{\ Displaystyle C_ {11} = [(1 \ 1 ori) + (1 \ 2 ori) + (2 \ ori 0)] = 3}

{\ displaystyle C_ {11} = [(1 \ 1 ori) + (1 \ 2 ori) + (2 \ ori 0)] = 3}

C_{12}=[(1\times 1)+(1\times 5)+(2\times -2)]=2

{\ Displaystyle C_ {12} = [(1 \ 1 ori) + (1 \ 5 ori) + (2 \ ori -2)] = 2}

{\ displaystyle C_ {12} = [(1 \ 1 ori) + (1 \ 5 ori) + (2 \ ori -2)] = 2}

C_{13}=[(1\times 1)+(1\times 1)+(2\times 1)]=4

{\ Displaystyle C_ {13} = [(1 \ 1 ori) + (1 \ ori 1) + (2 \ ori 1)] = 4}

{\ displaystyle C_ {13} = [(1 \ 1 ori) + (1 \ ori 1) + (2 \ ori 1)] = 4}

rândul 2-lea al matricei rezultat:

C_{21}=[(0\times 1)+(1\times 2)+(-3\times 0)]=2

{\ Displaystyle C_ {21} = [(0 \ ori 1) + (1 \ 2 ori) + (- 3 \ ori 0)] = 2}

{\ displaystyle C_ {21} = [(0 \ ori 1) + (1 \ 2 ori) + (- 3 \ ori 0)] = 2}

C_{22}=[(0\times 1)+(1\times 5)+(-3\times -2)]=11

{\ Displaystyle C_ {22} = [(0 \ ori 1) + (1 \ 5 ori) + (- 3 \ ori -2)] = 11}

{\ displaystyle C_ {22} = [(0 \ ori 1) + (1 \ 5 ori) + (- 3 \ ori -2)] = 11}

C_{23}=[(0\times 1)+(1\times 1)+(-3\times 1)]=-2

{\ Displaystyle C_ {23} = [(0 \ ori 1) + (1 \ 1 ori) + (- 3 \ ori 1)] = - 2}

{\ displaystyle C_ {23} = [(0 \ ori 1) + (1 \ 1 ori) + (- 3 \ ori 1)] = - 2}

Rezultat (matrice

2\times 3

{\ displaystyle 2 \ times 3}

2 \ ori 3

):

{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{21}&C_{22}&C_{23}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&2&4\\2&11&-2\\\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} \\ C_ {21} & C_ {22} & C_ {23} \\\ end {bmatrix}} = {\ începe {bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 11 & -2 \\\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} C_ {11} & C_ {12} & C_ {13} \\ C_ {21} & C_ {22} & C_ {23} \\\ end {bmatrix}} = {\ începe {bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ 2 & 11 & -2 \\\ end {bmatrix}}}

Luați în considerare produsul:

{\begin{bmatrix}1&2&0\\3&-1&4\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1\\0\\-1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\times 1+2\times 0+0\times -1)\\(3\times 1+-1\times 0+4\times -1)\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\-1\\\end{bmatrix}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\\ end {bmatrix}} \ ori {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} (1 \ 1 + 2 ori \ ori 0 + 0 \ ori -1) \\ (3 \ ori 1 + -1 \ ori 0 + 4 \ ori -1) \\ \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ - 1 \\\ end {bmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 4 \\\ end {bmatrix}} \ ori {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \\\ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} (1 \ 1 + 2 ori \ ori 0 + 0 \ ori -1) \\ (3 \ ori 1 + -1 \ ori 0 + 4 \ ori -1) \\ \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ - 1 \\\ end {bmatrix}}}

Rezultatul acestei operații este un alt vector coloană, de tip

m\times 1

{\ displaystyle m \ times 1}

{\ displaystyle m \ times 1}

.

Notă

^ Hoffman și Kunze , p. 17 .
^ Hoffman și Kunze , p. 18 .

Bibliografie

Serge Lang, Algebra liniară , Torino, Bollati Boringhieri , 1992, ISBN 88-339-5035-2 .
(RO) , Kenneth Hoffman și Ray Kunze, Algebra liniara , 2nd ed, Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice -.. Hall, Inc, 1971, ISBN 0-13-536821-9 .
Marco Abate, Chiara de Fabritiis, geometrie analitică cu elemente de algebra liniara, Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 88-386-6289-4 .
Edoardo Sernesi, 1 Geometria, 2nd ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1989. ISBN 88-339-5447-1 .
(RO) Henry Cohn, Robert Kleinberg, Balazs Szegedy, și Chris Umans. Grupul-teoretic Algoritmi pentru Matrix Înmulțirea. arΧiv : math.GR/0511460 . Proceedings of the 46 -lea Simpozion Anual privind Fundamentele Informaticii, 23-25 octombrie 2005, Pittsburgh, PA, IEEE Computer Society, pp. 379-388.
(RO) Henry Cohn, Chris Umans. O abordare grup-teoretic pentru Fast Matrix Înmulțirea. arΧiv : math.GR/0307321 . Proceedings of the 44th anual IEEE Symposium on Fundamentele Informaticii, 11-14 octombrie 2003, Cambridge, MA, IEEE Computer Society, pp. 438-449.
(EN) Arămar, D., Winograd S., multiplicare matrice prin progresii aritmetice, J. Symbolic Comput. 9, p. 251-280, 1990.
(RO) Robinson, Sara, Spre un algoritm optim pentru Matrix Multiplicare, SIAM News 38 (9), noiembrie 2005. PDF
(RO) Strassen, Volker, gaussian Eliminarea nu este optimă, Numer. Matematica. 13, p. 354-356, 1969.
(RO) Vassilevska Williams, Virginia, multiplicându matricele mai repede decât Arămar-Winograd, Manuscris, mai 2012. PDF

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe matrice de multiplicare

linkuri externe

Programul paralel cu matrice se multiplica în MPI ^{[ link rupt ]} pe parallelknoppix.info
(RO) Eric W. Weisstein, Matrix Multiplicarea , în mathworld Wolfram Research.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Hoffman și Kunze , p. 17 .

[2] Hoffman și Kunze , p. 18 .

[1]

[2]

V · D · M Algebră liniară
Spațiu vectorial	Purtător · subspațiu ( Subspatiu generat ) · Aplicație liniară ( nucleu · Imagine ) · Bază · Dimensiune · Teorema dimensiunii · Formula Grassmann · Sistem liniar · Algoritm Gauss · Teorema Rouché-Capelli · Regula lui Cramer · Spațiu dual · Spațiul proiectiv · Spațiul afinat · Dimensiunea teorema pentru spațiile vectoriale
Matrici	Identitate · Nimic · Pătrat · Reversibil · Simetric · înclinat · Transpunere · Diagonală · Triunghi · Ca schimbare de bază · Ortogonală · Normală · Simplectică · Multiplicarea matricilor · Rang · Teorema Kronecker · Minor · Matricea cofactorilor · Determinant · Teorema Binet · Laplace teorema · Rădăcina pătrată a unei matrice
Diagonalizabilitate	Valori proprii și vectori proprii · Spectru · Caracteristică polinomială · Minim polinomial · Teorema Cayley-Hamilton · Bloc matricial · Formă canonică Jordan · Diagonalizabilitatea teoremei
Produs scalar	Forma biliniară · subspațiu ortogonală · spațiu euclidian · ortonormală de bază · Lagrange Algoritmul · Mark · teorema lui Sylvester · Gram-Schmidt · Forma sesquilineare · Hermitian Forma · Spectral teorema