Teorema Cheeger-Gromoll
Teorema Cheeger-Gromoll , sau Teorema sufletului (în italiană Teorema sufletului ), este o teoremă a geometriei riemanniene care conduce în mare măsură studiul varietăților geometrice complete de curbură secțională non-negativă în cazul varietăților compacte (închise și finit). Jeff Cheeger și Detlef Gromoll au dovedit teorema în 1972 generalizând un rezultat obținut în 1969 de însuși Gromoll și Wolfgang Meyer. Conjectura sufletească înrudită a fost formulată de Gromoll și Cheeger în 1972 și dovedită de Grigorij Jakovlevič Perel'man în 1994 într-un mod surprinzător și concis.
Teorema sufletului afirmă că
- Dacă (M, g) este un distribuitor Riemannian conectat și complet cu curbură secțională K ≥ 0, atunci există un submanifold S compact , total geodezic și convex, astfel încât M să fie difeomorf la limita normală a lui S.
Submanifoldul S este numit sufletul lui ( M , g ).
Sufletul S nu este în general identificat în mod unic prin ( M , g ), dar oricare două suflete sunt izometrice , așa cum a demonstrat Sharafutdinov în 1979 folosind retragerea lui Sharafutdinov.
Exemple
Fiecare soi compact are sufletul său. Cu toate acestea, adesea teorema este utilizată numai pentru varietăți necompacte.
Ca un exemplu simplu, luați M coincidând cu spațiul euclidian R n , atunci curbura sa secțională este 0 și orice punct al lui M poate fi folosit ca nucleu al lui M.
Acum considerați paraboloidul M = {( x , y , z ): z = x 2 + y 2 }, unde metrica g este distanța euclidiană obișnuită care este generată de imersiunea lui M într-un spațiu euclidian R 3 . Curbura secțională este pozitivă peste tot. Originea (0, 0, 0) este un suflet al lui M. Nu toate punctele x ale lui M sunt un suflet al lui M, deoarece putem avea bucle geodezice bazate pe x .
Să examinăm acum un cilindru infinit M = {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1}, din nou împreună cu metrica euclidiană indusă. Curbura secțională este zero peste tot. Fiecare cerc „orizontal” {( x , y , z ): x 2 + y 2 = 1} cu z fixat este o rețea de M.
Conjectura sufletului
Conjectura sufletului, formulată de Cheeger și Gromoll, afirmă că:
- Fie S complet, conectat și necompact cu curbura secțională K ≥ 0; să presupunem că există un punct în M în care curbura secțiunii (de-a lungul tuturor direcțiilor secțiunii) este strict pozitivă. Atunci sufletul lui M este un punct; sau, în termeni echivalenți, M este difeomorf la R n .
Perel'man a dovedit această ipoteză stabilind că, în cazul general K ≥ 0, retragerea Sharafutdinov P: M → S este o submersie, adică o funcție diferențiată între varietăți diferențiate al căror diferențial este surjectiv peste tot.
linkuri externe
- Jianguo Cao și Mei-Chi Shaw, o nouă dovadă a conjecturii sufletului Cheeger-Gromoll și a teoremei Takeuchi ( PDF ), pe www3.nd.edu . Adus la 22 ianuarie 2018 (arhivat din original la 20 februarie 2004) .
- Jeff Cheeger și Detlef Gromoll, Despre structura varietăților complete de curbură non-negativă , în Annals of Mathematics. A doua serie , vol. 96, 1972, pp. 413–443, DOI : 10.2307 / 1970819 , ISSN 0003-486X , MR 0309010 .
- Detlef Gromoll și Wolfgang Meyer, Despre multiple multiple deschise de curbură pozitivă , în Annals of Mathematics. A doua serie , vol. 90, 1969, pp. 75–90, DOI : 10.2307 / 1970682 , ISSN 0003-486X , MR 0247590 .
- Grigori Perelman , Dovada conjecturii sufletului lui Cheeger și Gromoll ( PDF ), în Journal of Differential Geometry , vol. 40, nr. 1, 1994, pp. 209–212, ISSN 0022-040X , MR 1285534 , Zbl 0818.53056 (arhivat din original la 23 iulie 2011) .
- VA Sharafutdinov, Convex setează într-o varietate de curbură non-negativă , în Mathematical Notes , vol. 26, n. 1, 1979, pp. 556–560, DOI : 10.1007 / BF01140282 .
