Trompeta lui Torricelli

Trompeta lui Torricelli este un solid obținut din revoluția din jurul axei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ a curbei ecuației $y={\frac {1}{x}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle y = {\ frac {1} {x}}}$ în interval $[1,+\infty )$ ${\ displaystyle [1, + \ infty)}$ $[1, + \ infty)$ . Acest solid are particularitatea de a avea un volum finit, dar o zonă infinită . Solidul se mai numește trompeta lui Gabriel , cu referire la arhanghelul Gabriel , îngerul care, conform tradiției, va sufla în corn pentru a anunța apocalipsa, asociind divinul (și deci infinitul) cu finitul.

Vizualizarea suprafeței trompetei lui Gabriel

Construcție matematică

Trompeta lui Torricelli este forma graficului funcțional $x\mapsto {\frac {1}{x}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle x \ mapsto {\ frac {1} {x}}}$ , în domeniu $x\geq 1$ ${\ displaystyle x \ geq 1}$ ${\ displaystyle x \ geq 1}$ (care exclude asimptota pentru x = 0), care este rotită în trei dimensiuni în raport cu axa x.

Descoperirea sa a avut loc prin metoda indivizibilului , înainte de invenția calculului matematic, care totuși poate fi acum aplicat pentru a determina aria $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și volum $V.$ ${\ displaystyle V}$ $V.$ a suprafeței pentru x = 1 și pentru x = a , unde a > 1.

V=\pi \int \limits _{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)

{\ displaystyle V = \ pi \ int \ limits _ {1} ^ {a} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} x = \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right)}

{\ displaystyle V = \ pi \ int \ limits _ {1} ^ {a} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) ^ {2} \ mathrm {d} x = \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right)}

A=2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits _{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \ln(a).

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int \ limits _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} {\ sqrt {1+ \ left (- {\ frac {1} {x ^ { 2}}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} x> 2 \ pi \ int \ limits _ {1} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}} = 2 \ pi \ ln (a).}

{\ displaystyle A = 2 \ pi \ int \ limits _ {1} ^ {a} {\ frac {1} {x}} {\ sqrt {1+ \ left (- {\ frac {1} {x ^ { 2}}} \ right) ^ {2}}} \ mathrm {d} x> 2 \ pi \ int \ limits _ {1} ^ {a} {\ frac {\ mathrm {d} x} {x}} = 2 \ pi \ ln (a).}

$la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ poate fi cât de mare doriți, dar ecuația arată clar că volumul dintre $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ Și $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ nu va fi niciodată mai mare decât $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ; cu toate acestea va tinde să fie mult mai aproape de valoarea $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ cu cât mai mult $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este mare (tinde spre infinit). Prin urmare, folosind calculul limitelor putem scrie:

\lim _{a\to \infty }V=\lim _{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim _{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} V = \ lim _ {a \ to \ infty} \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi \ cdot \ lim _ {a \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi.}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} V = \ lim _ {a \ to \ infty} \ pi \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi \ cdot \ lim _ {a \ to \ infty} \ left (1 - {\ frac {1} {a}} \ right) = \ pi.}

Relația de mai sus oferă o limită inferioară pentru suprafața $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ ori logaritmul natural al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ . În schimb, nu există o limită superioară pentru logaritmul natural al $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , pentru $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ care tinde spre infinit. Ceea ce, în acest caz, este echivalent cu a spune că trompeta are o suprafață infinită. În simboluri:

\lim _{a\to \infty }A\geq \lim _{a\to \infty }2\pi \ln(a)=\infty .

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} A \ geq \ lim _ {a \ to \ infty} 2 \ pi \ ln (a) = \ infty.}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} A \ geq \ lim _ {a \ to \ infty} 2 \ pi \ ln (a) = \ infty.}

Explicaţie

Explicația acestui paradox se referă la mărimea cantităților implicate în calcule. Dimensiunea lungimii este 1, zona 2 și volumul 3 (m, m ² , m ³ ). Când calculăm suprafața unui solid de rotație, presupunem că rezultatul este compus din benzi mici de mărime unidimensională - „inele” ale căror raze sunt egale cu înălțimea solidului la un punct dat. Când acestea sunt integrate (și apoi adăugate împreună), rezultatul este o mărime bidimensională: suprafața. În mod similar, pentru a măsura volumul acestui solid de rotație, toate inelele sunt adăugate la total (a cărui rază este, de fiecare dată, înălțimea solidului); rezultatul este o cantitate (volum) tridimensională.

Paradoxul apare prin faptul că lungimea „inelelor”, care se adaugă pentru a obține suprafața, are o dimensiune mai mică (1 vs 2) decât diferitele „discuri” care sunt folosite pentru a găsi volumul.

Datorită formulelor de integrare putem calcula aria și volumul solidului de rotație:

Area=\int _{1}^{\infty }2\pi y{\sqrt {1+y'^{2}}}dx\geq

{\ displaystyle Area = \ int _ {1} ^ {\ infty} 2 \ pi y {\ sqrt {1 + y '^ {2}}} dx \ geq}

{\ displaystyle Area = \ int _ {1} ^ {\ infty} 2 \ pi y {\ sqrt {1 + y '^ {2}}} dx \ geq}

\geq 2\pi \int _{1}^{\infty }ydx=

{\ displaystyle \ geq 2 \ pi \ int _ {1} ^ {\ infty} ydx =}

{\ displaystyle \ geq 2 \ pi \ int _ {1} ^ {\ infty} ydx =}

=2\pi \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=

{\ displaystyle = 2 \ pi \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x}} dx =}

{\ displaystyle = 2 \ pi \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x}} dx =}

=2\pi \cdot \lim _{z\to +\infty }\left[ln(x)\right]_{x=1}^{z}=2\pi \cdot (\lim _{z\to +\infty }\ln {z}-\ln {1})=\infty

{\ displaystyle = 2 \ pi \ cdot \ lim _ {z \ to + \ infty} \ left [ln (x) \ right] _ {x = 1} ^ {z} = 2 \ pi \ cdot (\ lim _ {z \ to + \ infty} \ ln {z} - \ ln {1}) = \ infty}

{\ displaystyle = 2 \ pi \ cdot \ lim _ {z \ to + \ infty} \ left [ln (x) \ right] _ {x = 1} ^ {z} = 2 \ pi \ cdot (\ lim _ {z \ to + \ infty} \ ln {z} - \ ln {1}) = \ infty}

.

Pentru volum folosim următoarea formulă:

Volume=\pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx\qquad

{\ displaystyle Volume = \ pi \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) \, dx \ qquad}

{\ displaystyle Volume = \ pi \ int _ {a} ^ {b} f ^ {2} (x) \, dx \ qquad}

=\pi \int _{1}^{+\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=

{\ displaystyle = \ pi \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} dx =}

{\ displaystyle = \ pi \ int _ {1} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} dx =}

=\pi \left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{+\infty }=

{\ displaystyle = \ pi \ left [- {\ frac {1} {x}} \ right] _ {1} ^ {+ \ infty} =}

{\ displaystyle = \ pi \ left [- {\ frac {1} {x}} \ right] _ {1} ^ {+ \ infty} =}

=\pi \cdot [0-(-1)]=\pi

{\ displaystyle = \ pi \ cdot [0 - (- 1)] = \ pi}

{\ displaystyle = \ pi \ cdot [0 - (- 1)] = \ pi}

.

În esență, acest lucru înseamnă că pe măsură ce X devine din ce în ce mai mare, dimensiunea numerică a discurilor bidimensionale adăugate este întotdeauna mai mică decât inelele unidimensionale, care scad prea repede pentru a crește volumul la o dimensiune mai mare decât Pi . Când este integrat (ca mai sus), ar trebui să fie evident că volumul converge rapid către Pi Greco.

Verso

Fenomenul invers al trompetei lui Gabriel nu este posibil. Nu poate exista un solid de rotație cu o suprafață finită și un volum infinit .

Teorema:

Este

f:[1,\infty )\to [0,\infty )

{\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to [0, \ infty)}

{\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to [0, \ infty)}

o funcție continuă și diferențiată.

Noi sunam

S.

{\ displaystyle S}

S.

solidul de rotație pentru graficul funcției

y=f(x)

{\ displaystyle y = f (x)}

y = f (x)

în raport cu axa

X

{\ displaystyle x}

X

.

Dacă suprafața

S.

{\ displaystyle S}

S.

s-a terminat, apoi s-a terminat și volumul.

Demonstrație:

Având în vedere că prin ipoteză suprafața

LA

{\ displaystyle A}

LA

s-a terminat, rețineți că limita superioară :

\lim _{t\to \infty }\sup _{x\geq t}f(x)^{2}~-~f(1)^{2}=\limsup _{t\to \infty }\int \limits _{1}^{t}(f(x)^{2})'\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ sup _ {x \ geq t} f (x) ^ {2} ~ - ~ f (1) ^ {2} = \ limsup _ {t \ to \ infty} \ int \ limits _ {1} ^ {t} (f (x) ^ {2}) '\ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ sup _ {x \ geq t} f (x) ^ {2} ~ - ~ f (1) ^ {2} = \ limsup _ {t \ to \ infty} \ int \ limits _ {1} ^ {t} (f (x) ^ {2}) '\ mathrm {d} x}

\leq \int \limits _{1}^{\infty }{\Big |}(f(x)^{2})'{\Big |}\mathrm {d} x=\int \limits _{1}^{\infty }2f(x){\Big |}f'(x){\Big |}\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ leq \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} {\ Big |} (f (x) ^ {2}) '{\ Big |} \ mathrm {d} x = \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} 2f (x) {\ Big |} f '(x) {\ Big |} \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ leq \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} {\ Big |} (f (x) ^ {2}) '{\ Big |} \ mathrm {d} x = \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} 2f (x) {\ Big |} f '(x) {\ Big |} \ mathrm {d} x}

\leq \int \limits _{1}^{\infty }2f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ leq \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} 2f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ leq \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} 2f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x}

={\frac {A}{\pi }}<\infty .

{\ displaystyle = {\ frac {A} {\ pi}} <\ infty.}

{\ displaystyle = {\ frac {A} {\ pi}} <\ infty.}

Prin urmare, există un

t_{0}

{\ displaystyle t_ {0}}

t_ {0}

astfel încât extremul superior

\sup\{f(x)\mid x\geq t_{0}\}

{\ displaystyle \ sup \ {f (x) \ mid x \ geq t_ {0} \}}

{\ displaystyle \ sup \ {f (x) \ mid x \ geq t_ {0} \}}

s-a terminat.

Prin urmare ,

M=\sup\{f(x)\mid x\geq 1\}

{\ displaystyle M = \ sup \ {f (x) \ mid x \ geq 1 \}}

{\ displaystyle M = \ sup \ {f (x) \ mid x \ geq 1 \}}

s-a terminat postarea asta

f

{\ displaystyle f}

f

este o funcție continuă , ceea ce implică faptul că

f

{\ displaystyle f}

f

este limitat în domeniul valorilor

[1,\infty )

{\ displaystyle [1, \ infty)}

{\ displaystyle [1, \ infty)}

.

În cele din urmă, volumul:

V=\int \limits _{1}^{\infty }f(x)\cdot \pi f(x)\mathrm {d} x\leq \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {M}{2}}\cdot 2\pi f(x)\mathrm {d} x\leq {\frac {M}{2}}\cdot \int \limits _{1}^{\infty }2\pi f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\mathrm {d} x

{\ displaystyle V = \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} f (x) \ cdot \ pi f (x) \ mathrm {d} x \ leq \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty } {\ frac {M} {2}} \ cdot 2 \ pi f (x) \ mathrm {d} x \ leq {\ frac {M} {2}} \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ { \ infty} 2 \ pi f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle V = \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty} f (x) \ cdot \ pi f (x) \ mathrm {d} x \ leq \ int \ limits _ {1} ^ {\ infty } {\ frac {M} {2}} \ cdot 2 \ pi f (x) \ mathrm {d} x \ leq {\ frac {M} {2}} \ cdot \ int \ limits _ {1} ^ { \ infty} 2 \ pi f (x) {\ sqrt {1 + f '(x) ^ {2}}} \ mathrm {d} x}

={\frac {M}{2}}\cdot A.

{\ displaystyle = {\ frac {M} {2}} \ cdot A.}

{\ displaystyle = {\ frac {M} {2}} \ cdot A.}

Prin urmare:

dacă zona

LA

{\ displaystyle A}

LA

este terminat, apoi și volumul

V.

{\ displaystyle V}

V.

trebuie terminat.

Bibliografie

Gabriel's Other Possessions , Melvin Royer, DOI : 10.1080 / 10511970.2010.517601
Gabriel's Wedding Cake , Julian F. Fleron, http://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf Arhivat 8 ianuarie 2016 la Internet Archive .
A Paradoxical Paint Pail , Mark Lynch, https://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/a-paradoxical-paint-pail
Supersolide: solide cu volum finit și suprafețe infinite , William P. Love, Model: Jstor

Elemente conexe

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe trompeta lui Torricelli

linkuri externe

Informații și diagrame despre cornul lui Gabriel
Trompeta lui Torricelli la PlanetMath
(EN) Eric W. Weisstein, Cornul lui Gabriel , în MathWorld Wolfram Research.
„Cornul lui Gabriel” de John Snyder, Proiectul Demonstrații Wolfram , 2007.
Cornul lui Gabriel: Înțelegerea unui solid cu volum finit și suprafață infinită de Jean S. Joseph.

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică