PI greacă

PI greacă
Simbol
Valoare
Fracție continuă	[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, ...] (secvența A001203 dell'OEIS)
Împreună	numere transcendente
Constantele corelate	Constantă din Gelfond , Constante zeta
Raportul dintre lungimea circumferinței unei roți și diametrul acesteia este π

Pi greacă este o constantă matematică , notată cu litera greacă $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ( Pi ), alegere ca inițială περιφέρεια (perifereia), circumferință în greacă.

În geometria plană $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este definit ca raportul dintre lungimea circumferinței și cea a diametrului său, sau chiar ca „ aria unui cerc de rază $1$ ${\ displaystyle 1}$ $1$ . Multe calcule de cărți moderne definesc $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ folosind funcții trigonometrice , de exemplu ca cel mai mic număr strict pozitiv deci $\sin(x)=0$ ${\ displaystyle \ sin (x) = 0}$ $\ sin (x) = 0$ sau cel mai mic număr împărțit la $2$ ${\ displaystyle 2}$ $2$ Anulare $\cos(x)$ ${\ displaystyle \ cos (x)}$ $\ cos (x)$ . Toate aceste definiții sunt echivalente.

The $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Este, de asemenea, cunoscut sub numele de Arhimede constant (nu trebuie confundat cu numărul Arhimede ) și număr constant Ludolph sau Ludolph. The $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Nu este o constantă fizică sau naturală , ci o constantă matematică definită într-un mod abstract, independent de măsurile fizice.

Aceasta este valoarea $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ trunchiat până la zecimala a 100-a cifră ^[1] ^[2] :

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

Proprietate

Același subiect în detaliu: definiția riguroasă a Pi grecesc în geometria euclidiană .

Deoarece π este un număr transcendental , pătratul cercului nu este posibil într-un număr finit de pași folosind rând și busolă .

The $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este un număr irațional , deci nu poate fi scris ca un coeficient de două numere întregi , așa cum a fost demonstrat în 1761 de Johann Heinrich Lambert . Este, de asemenea, un număr transcendental (care nu este un număr algebric ): acest fapt a fost dovedit de Ferdinand von Lindemann în 1882 . Aceasta înseamnă că există polinoame cu coeficienți raționali ai căror $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este rădăcină, deci este imposibil să se exprime $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ folosind un număr finit de numere întregi, fracții și rădăcinile lor.

Acest rezultat stabilește imposibilitatea de a pătrat cercul , și anume construcția cu rigla și busola unui pătrat din aceeași zonă a unui cerc dat.

Aplicații

Geometrie analitică

Circumferința unui cerc sau a unei sfere de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

C=2{\pi }r

{\ displaystyle C = 2 {\ pi} r}

C = 2 {\ pi} r

Aria unui cerc de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

A={\pi }{r^{2}}

{\ displaystyle A = {\ pi} {r ^ {2}}}

A = {\ pi} {r ^ {2}}

Zona unei elipse cu semiaxe $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ :

A={\pi }ab

{\ displaystyle A = {\ pi} ab}

A = {\ pi} ab

Volumul unei sfere de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

V={\frac {4}{3}}{\pi }{r^{3}}

{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} {\ pi} {r ^ {3}}}

V = {\ frac {4} {3}} {\ pi} {r ^ {3}}

Suprafața unei sfere de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

S=4{\pi }{r^{2}}

{\ displaystyle S = 4 {\ pi} {r ^ {2}}}

S = 4 {\ pi} {r ^ {2}}

Volumul unui cilindru de înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

V={\pi }{r^{2}}h

{\ displaystyle V = {\ pi} {r ^ {2}} h}

V = {\ pi} {r ^ {2}} h

Suprafața unui cilindru de înălțime $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ :

S=2{\pi }r\cdot (r+h)

{\ displaystyle S = 2 {\ pi} r \ cdot (r + h)}

S = 2 {\ pi} r \ cdot (r + h)

Colțuri : 180 de grade sunt echivalente cu $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ radiani .
Volumul unui con de înălțime h și raza r:

V={\pi }{r^{2}}{\frac {h}{3}}

{\ displaystyle V = {\ pi} {r ^ {2}} {\ frac {h} {3}}}

V = {\ pi} {r ^ {2}} {\ frac {h} {3}}

Analize

Formula Viète , 1593 :

2\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\cdot \ldots =\pi

{\ displaystyle 2 \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2}}} \ cdot {\ frac {2} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}} \ cdot {\ frac { 2} {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}}}} cdot \ ldots = \ pi}

2 \ cdot {\ frac {2} {{\ sqrt 2}}} \ cdot {\ frac {2} {{\ sqrt {2 + {\ sqrt 2}}}}} \ cdot {\ frac {2} { {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt 2}}}}}}} cdot \ ldots = \ pi

Formula de Leibniz :

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}}

{\ frac {1} {1}} - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {9}} - \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}

ceea ce arată că:

{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+{\frac {1}{13\cdot 15}}+{\frac {1}{17\cdot 19}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {9 \ cdot 11}} + {\ frac {1 } {13 \ cdot 15}} + {\ frac {1} {17 \ cdot 19}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {8}}}

{\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {9 \ cdot 11}} + {\ frac {1} {13 \ cdot 15}} + {\ frac {1} {17 \ cdot 19}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {8}}

Formula Nilakantha

{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 9}}+\dots =\pi -3

{\ displaystyle {\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} - {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 7}} - {\ frac {1} {4 \ cdot 5 \ cdot 9}} + \ dots = \ pi -3}

{\ frac {1} {1 \ cdot 2 \ cdot 3}} - {\ frac {1} {2 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {3 \ cdot 4 \ cdot 7}} - {\ frac {1} {4 \ cdot 5 \ cdot 9}} + \ dots = \ pi -3

O serie foarte elegantă, care oferă direct zecimale

\pi

{\ displaystyle \ pi}

\ pi

.

Formula Madhava (aproximativ 1400 )

\pi ={\sqrt {12}}\left(1-{\frac {1}{3\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+\cdots \right)

{\ displaystyle \ pi = {\ sqrt {12}} \ left (1 - {\ frac {1} {3 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {3 ^ {2} \ cdot 5}} - {\ frac {1} {3 ^ {3} \ cdot 7}} + \ cdots \ right)}

\ pi = {\ sqrt {12}} \ left (1 - {\ frac {1} {3 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {3 ^ {2} \ cdot 5}} - {\ frac {1} {3 ^ {3} \ cdot 7}} + \ cdots \ right)

Produs Wallis :

\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1)}} = {\ frac {2} {1} } \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}}

\ prod _ {{n = 1}} ^ {{\ infty}} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1)}} = {\ frac {2} {1 }} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots = {\ frac {\ pi} {2}}

Problema de la Basel , rezolvată de Euler :

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

{\ displaystyle \ zeta (2) = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2 }}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

\ zeta (2) = {\ frac {1} {1 ^ {2}}} + {\ frac {1} {2 ^ {2}}} + {\ frac {1} {3 ^ {2}}} + {\ frac {1} {4 ^ {2}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}

Formula utilizând funcția zeta Riemann :

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

{\ displaystyle \ zeta (4) = {\ frac {1} {1 ^ {4}}} + {\ frac {1} {2 ^ {4}}} + {\ frac {1} {3 ^ {4 }}} + {\ frac {1} {4 ^ {4}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}}}

\ zeta (4) = {\ frac {1} {1 ^ {4}}} + {\ frac {1} {2 ^ {4}}} + {\ frac {1} {3 ^ {4}}} + {\ frac {1} {4 ^ {4}}} + \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {4}} {90}}

Product Euler , în care produsul trece prin toate numerele prime:

{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{3^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{5^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{7^{2}}}\right)}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {1}{11^{2}}}\right)}}\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac { 1} {3 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac { 1} {\ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {11 ^ {2 }}} \ right)}} \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}}

{\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {2 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} { 3 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {5 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac {1} { \ left (1 - {\ frac {1} {7 ^ {2}}} \ right)}} {\ frac {1} {\ left (1 - {\ frac {1} {11 ^ {2}}} \ right)}} \ cdots = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6}}

Gauss Integral :

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx = {\ sqrt {\ pi}}}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{- x ^ {2}}} dx = {\ sqrt {\ pi}}

Integral Euler :

\int _{-\infty }^{+\infty }e^{\frac {-u^{2}}{2}}du={\sqrt {2\pi }}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {\ frac {-u ^ {2}} {2}} du = {\ sqrt {2 \ pi}}}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} e ^ {{{\ frac {-u ^ {2}} {2}}}} du = {\ sqrt {2 \ pi}}

Alte integrale definite :

\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{1+{x^{2}}}}\,dx=\pi

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ frac {1} {1+ {x ^ {2}}}} \, dx = \ pi}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {1} {1+ {x ^ {2}}}} \, dx = \ pi

\int _{0}^{+\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {{\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, dx} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6 }}}

\ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {{\ frac {x} {e ^ {x} -1}} \, dx} = {\ frac {\ pi ^ {2}} {6} }

\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}}

\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}dx={\frac {\pi r^{2}}{4}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} dx = {\ frac {\ pi r ^ {2}} {4}}}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {r} {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}} dx = {\ frac {\ pi r ^ {2}} {4}}}

Integrală Fresnel :

\int _{-\infty }^{+\infty }\cos(x^{2})\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }\sin(x^{2})\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (x ^ {2}) \, dx = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ sin (x ^ { 2}) \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}}}

\ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} \ cos (x ^ {2}) \, dx = \ int _ {{- \ infty}} ^ {{+ \ infty}} \ sin (x ^ {2}) \, dx = {\ sqrt {{\ frac {\ pi} {2}}}}

Gama de funcții :

\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({1 \ over 2} \ right) = {\ sqrt {\ pi}}}

\ Gamma \ left ({1 \ over 2} \ right) = {\ sqrt {\ pi}}

\Gamma \left({3 \over 2}\right)={\frac {1}{2}}!={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({3 \ over 2} \ right) = {\ frac {1} {2}}! = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}

{\ displaystyle \ Gamma \ left ({3 \ over 2} \ right) = {\ frac {1} {2}}! = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}

Aproximarea lui Stirling :

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

{\ displaystyle n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}}

n! \ sim {\ sqrt {2 \ pi n}} \ left ({\ frac {n} {e}} \ right) ^ {n}

Funcția Euler phi :

\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}

{\ displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ phi (k) \ sim 3n ^ {2} / \ pi ^ {2}}

\ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} \ phi (k) \ sim 3n ^ {2} / \ pi ^ {2}

Identitatea lui Euler , definită de Richard Feynman „cea mai remarcabilă formulă din matematică”:

e^{\pi i}+1=0\;

{\ displaystyle e ^ {\ pi i} + 1 = 0 \;}

și ^ {{\ pi i}} + 1 = 0 \;

Produs infinit al lui Euler cu numere prime impare:

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\times {\frac {5}{4}}\times {\frac {7}{8}}\times {\frac {11}{12}}\times {\frac {13}{12}}\times {\frac {17}{16}}\times {\frac {19}{20}}\times {\frac {23}{24}}\times {\frac {29}{28}}\times {\frac {31}{32}}\times \cdots \!

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {3} {4}} \ times {\ frac {5} {4}} \ times {\ frac {7} {8}} \ times {\ frac {11} {12}} \ times {\ frac {13} {12}} \ times {\ frac {17} {16}} \ times {\ frac {19} {20}} \ times { \ frac {23} {24}} \ times {\ frac {29} {28}} \ times {\ frac {31} {32}} \ times \ cdots \!}

{\ frac {\ pi} {4}} = {\ frac {3} {4}} \ times {\ frac {5} {4}} \ times {\ frac {7} {8}} \ times {\ frac {11} {12}} \ times {\ frac {13} {12}} \ times {\ frac {17} {16}} \ times {\ frac {19} {20}} \ times {\ frac { 23} {24}} \ times {\ frac {29} {28}} \ times {\ frac {31} {32}} \ times \ cdots \!

unde în numărător sunt toate numerele prime impare și în numitor multiplul a patru cel mai apropiat de numărător.

O formulă remarcabilă care demonstrează, ca produs al lui Euler , relația surprinzătoare dintre pi greci și primii. Cu toate acestea, convergența este foarte lentă și, prin urmare, nepotrivită pentru calcularea zecimalelor

\pi

{\ displaystyle \ pi}

\ pi

. ^[3]

Formula bazată pe seria armonică , cu „corectarea” semnelor ( Euler , 1748 )

\pi ={1}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots

{\ displaystyle \ pi = {1} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} - {\ frac {1} { 5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {9}} - {\ frac {1} {10}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {12}} - {\ frac {1} {13}} + \ cdots}

\ pi = {{1}} + {\ frac {{1}} {{2}}} + {\ frac {{1}} {{3}}} + {\ frac {{1}} {{4 }}} - {\ frac {{1}} {{5}}} + {\ frac {{1}} {{6}}} + {\ frac {{1}} {{7}}} + { \ frac {{1}} {{8}}} + {\ frac {{1}} {{9}}} - {\ frac {{1}} {{10}}} + {\ frac {{1 }} {{11}}} + {\ frac {{1}} {{12}}} - {\ frac {{1}} {{13}}} + \ cdots

unde semnele sunt determinate astfel: numărul

2

{\ displaystyle 2}

2

are un semn pozitiv; numerele prime ale formei

4m-1

{\ displaystyle 4m-1}

4m-1

au un semn pozitiv; numerele prime ale formei

4m+1

{\ displaystyle 4m + 1}

4m + 1

au semn negativ; pentru numerele compuse semnul este produsul semnelor factorilor unici. ^[4]

Chiar și această serie, deși este foarte remarcabilă și elegantă, are o convergență extrem de lentă. De fapt, este necesar să adăugați mai mult de 2 milioane de termeni pentru a obține două zecimale exacte. ^[5]

Formula derivată din cea a lui Taylor , întotdeauna a lui Euler :

\pi ={4}\times \left({1}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+4}}+{\frac {1}{n+6}}-\dots \right)

{\ displaystyle \ pi = {4} \ times \ left ({1} - {\ frac {1} {n}} + {\ frac {1} {n + 2}} - {\ frac {1} {n +4}} + {\ frac {1} {n + 6}} - \ dots \ right)}

\ pi = {{4}} \ times \ left ({{1}} - {\ frac {{1}} {{n}}} + {\ frac {{1}} {{n + 2}}} - {\ frac {{1}} {{n + 4}}} + {\ frac {{1}} {{n + 6}}} - \ dots \ right)

unde n = 3. Cu cât se adaugă mai multe fracții, cu atât rezultatul este mai precis.

Teorema reziduurilor :

\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i

{\ displaystyle \ oint {\ frac {dz} {z}} = 2 \ pi i}

\ oint {\ frac {dz} {z}} = 2 \ pi i

Fracțiunea continuă Ramanujan :

{\sqrt {\phi ^{2}+1}}=\phi +{\cfrac {e^{-2\pi /5}}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\,\cdots }}}}}}}}

{\ displaystyle {\ sqrt {\ phi ^ {2} +1}} = \ phi + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi / 5}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 2 \ pi }} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 4 \ pi}} {1 + {\ cfrac {e ^ {- 6 \ pi}} {1 + \, \ cdots}}}}}}}

{\ sqrt {\ phi ^ {2} +1}} = \ phi + {\ cfrac {e ^ {{- 2 \ pi / 5}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {{- 2 \ pi }}} {1 + {\ cfrac {e ^ {{- 4 \ pi}}} {1 + {\ cfrac {e ^ {{- 6 \ pi}}} {1 + \, \ cdots}}}} }}}}

unde este

\phi

${\ displaystyle \ phi}$ $\ phi$ Este raportul auriu (

1,618\dots

{\ displaystyle 1.618 \ dots}

1.618 \ puncte

).

Fracția continuă generalizată (sau fracția fractală) a lui Ramanujan

1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots +{1 \over 1+{1 \over 1+{2 \over 1+{3 \over 1+{4 \over 1+{5 \over 1+\cdots }}}}}}={\sqrt {\frac {{\rm {e}}\pi }{2}}}.

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {1 \ over 1+ {1 \ over 1+ {2 \ over 1+ {3 \ over 1+ {4 \ over 1+ {5 \ over 1+ \ cdots}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {{\ rm {e}} \ pi} {2}}}. }

{\ displaystyle 1 + {\ frac {1} {1 \ cdot 3}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + {\ frac {1} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot 9}} + \ cdots + {1 \ over 1+ {1 \ over 1+ {2 \ over 1+ {3 \ over 1+ {4 \ over 1+ {5 \ over 1+ \ cdots}}}}}} = {\ sqrt {\ frac {{\ rm {e}} \ pi} {2}}}. }

Formula care leagă funcția Euler-Mascheroni constantă și funcția gamma , deci pi greacă:

\pi =\left({{\frac {\Gamma (\gamma )}{\Gamma (2\gamma )\Gamma (1/2-\gamma )}}+{\frac {2\Gamma (1-2\gamma )}{\Gamma (1-\gamma )\Gamma (1/2-\gamma )}}}\right)^{2}\left({\frac {\Gamma (\gamma )\Gamma (1/2-\gamma /2)}{\Gamma (\gamma /2)}}\right)^{4}

{\ displaystyle \ pi = \ left ({{\ frac {\ Gamma (\ gamma)} {\ Gamma (2 \ gamma) \ Gamma (1 / 2- \ gamma)}} + {\ frac {2 \ Gamma ( 1-2 \ gamma)} {\ Gamma (1- \ gamma) \ Gamma (1 / 2- \ gamma)}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {\ Gamma (\ gamma) \ Gamma (1 / 2- \ gamma / 2)} {\ Gamma (\ gamma / 2)}} \ right) ^ {4}}

{\ displaystyle \ pi = \ left ({{\ frac {\ Gamma (\ gamma)} {\ Gamma (2 \ gamma) \ Gamma (1 / 2- \ gamma)}} + {\ frac {2 \ Gamma ( 1-2 \ gamma)} {\ Gamma (1- \ gamma) \ Gamma (1 / 2- \ gamma)}}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac {\ Gamma (\ gamma) \ Gamma (1 / 2- \ gamma / 2)} {\ Gamma (\ gamma / 2)}} \ right) ^ {4}}

Dat fiind un semicerc de rază $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cu centrul în originea planului cartezian, $\pi r$ ${\ displaystyle \ pi r}$ $\ pi r$ Este definit ca o lungime într-o formă cartesiană explicită pe întregul domeniu al funcției care descrie semicercul:

f\left(x\right):={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}

{\ displaystyle f \ left (x \ right): = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}}

f \ left (x \ right): = {\ sqrt {r ^ {2} -x ^ {2}}}

\pi ={\frac {1}{r}}\int _{-r}^{r}{\sqrt {\left({\frac {d}{dx}}f\left(x\right)\right)^{2}+1}}\,dx

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {1} {r}} \ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {\ left ({\ frac {d} {dx}} f \ left (x \ dreapta) \ dreapta) ^ {2} +1}} \, dx}

\ pi = {\ frac {1} {r}} \ int _ {{- r}} ^ {{r}} {\ sqrt {\ left ({\ frac {d} {dx}} f \ left (x \ right) \ right) ^ {2} +1}} \, dx

={\frac {1}{r}}{\int _{-r}^{r}{\sqrt {{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}+1}}\,dx}

{\ displaystyle = {\ frac {1} {r}} {\ int _ {- r} ^ {r} {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {r ^ {2} -x ^ { 2}}} + 1}} \, dx}}

= {\ frac {1} {r}} {\ int _ {{- r}} ^ {{r}} {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {r ^ {2} -x ^ {2}}} + 1}} \, dx}

=[{\arcsin \left(1\right)-\arcsin \left(-1\right)]}

{\ displaystyle = [{\ arcsin \ left (1 \ right) - \ arcsin \ left (-1 \ right)]}}

= [{\ arcsin \ left (1 \ right) - \ arcsin \ left (-1 \ right)]}

Teoria numerelor

Probabilitatea ca două numere întregi alese aleatoriu să fie relativ prime este: ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}}}$ (≈60,8%)
Numărul mediu de moduri în care puteți scrie un număr întreg pozitiv ca suma a două pătrate perfecte este: ${\frac {\pi }{4}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}}}$ .

Sisteme dinamice, teoria ergodică

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ sqrt {x_ {i}}} = {\ frac { 2} {\ pi}}}$ $\ lim _ {{n \ to \ infty}} {\ frac {1} {n}} \ sum _ {{i = 1}} ^ {{n}} {\ sqrt {x_ {i}}} = { \ frac {2} {\ pi}}$ pentru aproape toate reale $x_{0}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$ $x_0$ în $[0,1]$ ${\ displaystyle [0,1]}$ $[0, 1]$ unde $x_{i}$ ${\ displaystyle x_ {i}}$ $x_i$ sunt iterații ale hărții logistice pentru $r=4$ ${\ displaystyle r = 4}$ $r = 4$ .

Probabilitate și statistici

Funcția densității probabilității în distribuția normală univariată:

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2} \over 2\sigma ^{2}}}

{\ displaystyle f (x) = {1 \ over \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, e ^ {- {(x- \ mu) ^ {2} \ over 2 \ sigma ^ {2} }}}

f (x) = {1 \ over \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}} \, e ^ {{- {(x- \ mu) ^ {2} \ over 2 \ sigma ^ {2}}} }

Buffon a fost primul care a descoperit un echivalent statistic al calculului $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , Cunoscut sub numele de ac Buffon , dar nu l-a folosit pentru a estima numărul. ^[6]

Aerodinamica

Panta maximă ( a teoriei lui Glauert ) a porțiunii liniare a curbei $C_{L}/\alpha$ ${\ displaystyle C_ {L} / \ alpha}$ $C _ {{L}} / \ alfa$ (adică coeficientul de ridicare împărțit unghiul de incidență ) pentru orice profil aerodimensional subțire este $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

Fizică

Perioada micilor oscilații a pendulului :

T=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}

T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}

Ecuațiile câmpului Einstein ale relativității generale :

R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}

{\ displaystyle R_ {ik} - {g_ {ik} R \ over 2} + \ Lambda g_ {ik} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T_ {ik}}

R _ {{ik}} - {g _ {{ik}} R \ over 2} + \ Lambda g _ {{ik}} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {{ik }}

Forța Coulomb :

F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}

{\ displaystyle F = {\ frac {\ left | q_ {1} q_ {2} \ right |} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {2}}}}

F = {\ frac {\ left | q_ {1} q_ {2} \ right |} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r ^ {2}}}

Principiul incertitudinii :

\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}

{\ displaystyle \ Delta x \ Delta p \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}}

\ Delta x \ Delta p \ geq {\ frac {h} {4 \ pi}}

Prezenta lui $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ în aceste ultime două formule este însă o consecință a definiției adoptate pentru constantele fizice $\epsilon _{0}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$ $\ epsilon _ {0}$ Și $h$ ${\ displaystyle h}$ $h$ .

Fracții continuate

Ca orice număr irațional, π nu poate fi exprimat ca o fracție de două numere întregi, dar admite o reprezentare ca o fracție continuă ^[7]

\pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle \ pi = 3 + \ textstyle {\ frac {1} {7+ \ textstyle {\ frac {1} {15+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} { 292+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ textstyle {\ frac {1} {1+ \ ddots}}}}}}}}}}}} }}

\ pi = 3 + \ textstyle \ frac {1} {7+ \ textstyle \ frac {1} {15+ \ textstyle \ frac {1} {1+ \ textstyle \ frac {1} {292+ \ textstyle \ frac { 1} {1+ \ textstyle \ frac {1} {1+ \ textstyle \ frac {1} {1+ \ ddots}}}}}}

Trunchind fracția continuată în orice punct, obținem aproximările raționale ale lui π, dintre care prima este 3, 22/7, 333/106 și 355/113, cele mai cunoscute și utilizate aproximări istorice ale π. Fracția continuată a π nu este periodică (deoarece π nu este un număr pătratic irațional ) și nici nu are o structură evidentă, ^[7] , totuși, au descoperit diverse reprezentări matematice ca fracții continuate generalizate care urmează un model clar: ^[8]

\pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}.

{\ displaystyle \ pi = \ textstyle {\ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ frac {1 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ frac {3 ^ {2}} {2+ \ textstyle { \ frac {5 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ frac {7 ^ {2}} {2+ \ textstyle {\ frac {9 ^ {2}} {2+ \ ddots}}}}} }}}}}} = 3+ \ textstyle {\ frac {1 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ frac {3 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ frac {5 ^ {2} } {6+ \ textstyle {\ frac {7 ^ {2}} {6+ \ textstyle {\ frac {9 ^ {2}} {6+ \ ddots}}}}}}}}}} = \ textstyle { \ cfrac {4} {1+ \ textstyle {\ frac {1 ^ {2}} {3+ \ textstyle {\ frac {2 ^ {2}} {5+ \ textstyle {\ frac {3 ^ {2}} {7+ \ textstyle {\ frac {4 ^ {2}} {9+ \ ddots}}}}}}}}}}}

\ pi = \ textstyle \ cfrac {4} {1+ \ textstyle \ frac {1 ^ 2} {2+ \ textstyle \ frac {3 ^ 2} {2+ \ textstyle \ frac {5 ^ 2} {2+ \ textstyle \ frac {7 ^ 2} {2+ \ textstyle \ frac {9 ^ 2} {2+ \ ddots}}}}}} = 3 + \ textstyle \ frac {1 ^ 2} {6+ \ textstyle \ frac {3 ^ 2} {6+ \ textstyle \ frac {5 ^ 2} {6+ \ textstyle \ frac {7 ^ 2} {6+ \ textstyle \ frac {9 ^ 2} {6+ \ ddots}}}} } = \ textstyle \ cfrac {4} {1+ \ textstyle \ frac {1 ^ 2} {3+ \ textstyle \ frac {2 ^ 2} {5+ \ textstyle \ frac {3 ^ 2} {7+ \ textstyle \ frac {4 ^ 2} {9+ \ ddots}}}}}.

obținut prin fracția de formulă continuă Euler aplicat funcției $arctan(x)$ ${\ displaystyle arctan (x)}$ ${\ displaystyle arctan (x)}$ pentru $x=1$ ${\ displaystyle x = 1}$ $x = 1$ ;

2\pi ={6+{\frac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\frac {10^{2}}{12+{\frac {14^{2}}{12+{\frac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}.

{\ displaystyle 2 \ pi = {6 + {\ frac {2 ^ {2}} {12 + {\ cfrac {6 ^ {2}} {12 + {\ frac {10 ^ {2}} {12+ { \ frac {14 ^ {2}} {12 + {\ frac {18 ^ {2}} {12+ \ ddots}}}}}}}}}}}}

{\ displaystyle 2 \ pi = {6 + {\ frac {2 ^ {2}} {12 + {\ cfrac {6 ^ {2}} {12 + {\ frac {10 ^ {2}} {12+ { \ frac {14 ^ {2}} {12 + {\ frac {18 ^ {2}} {12+ \ ddots}}}}}}}}}}}}

Aproximări numerice

Prime 10 000 cifre zecimale din pi grecesc.

Datorită naturii sale transcendente, nu există expresii finite simple pe care să le reprezinte $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . În consecință, calculele numerice trebuie să utilizeze aproximări ale numărului. În multe cazuri, 3.14 este suficient, dar mulți ingineri folosesc adesea 3.1416 (cinci cifre semnificative) sau 3.14159 (6 cifre semnificative).

\pi \simeq 3{,}14159\ 26535\ 8979\dots

{\ displaystyle \ pi \ simeq 3 {,} 14159 \ 26535 \ 8979 \ dots}

\ pi \ simeq 3 {,} 14159 \ 26535 \ 8979 \ dots

Un scrib egiptean pe nume Ahmes este scriitorul celui mai vechi text cunoscut care conține cel mai apropiat $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Papirusul Rhind , datând din secolul al XVII-lea î.Hr. și descrie valoarea ca 256/81 sau 3.160.

Arhimede a conceput o metodă prin care oricum este posibil să se obțină aproximări bune $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ și l-a folosit pentru a arăta că este între 223/71 și 22/7 (media celor două valori este de aproximativ 3,1419).

Matematicianul chinez Liu Hui a calculat $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ca 3.141014 (incorect de la a patra zecimală) în 263 și a sugerat 3.14 ca o bună aproximare.

Matematicianul și astronomul chinez Zu Chongzhi a calculat în secolul al V-lea $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ca între 3.1415926 și 3.1415927 și a dat două aproximări ale $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ : 355/113 și 22/7.

Matematicianul și astronomul iranian Ghiyath al-Din Jamshid al-Kashi Mas'ud , 1350-1439, a calculat primele 9 cifre din baza 60 $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , care sunt echivalente în bază zecimală cu cele 16 cifre:

2\pi =6,2831853071795865

{\ displaystyle 2 \ pi = 6.2831853071795865}

2 \ pi = 6.2831853071795865

Matematicianul german Ludolph van Ceulen (circa 1600) a calculat primele 35 de zecimale. Era atât de mândru de realizările sale, încât a scris-o pe piatra de mormânt.

Matematicianul și iezuitul polonez Adam Adamandy Kochański a expus în tratatul său din 1685 o construcție geometrică care vă permite să calculați o valoare aproximativă a $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ corectează până la a patra zecimală.

Matematicianul sloven Jurij Vega în 1789 a calculat primele 140 de cifre zecimale $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ , Din care primele 137 au fost corecte și au deținut recordul mondial timp de 52 de ani până în 1841 , când William Rutherford a calculat 208 zecimale dintre care primele 152 au fost corecte. Vega a îmbunătățit formula propusă de John Machin în 1706 .

Alte aproximări posibile ale $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ :

\pi \approx {\frac {\sqrt {2}}{10}}+3=3{,}14142\dots

{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {\ sqrt {2}} {10}} + 3 = 3 {,} 14142 \ dots}

{\ displaystyle \ pi \ approx {\ frac {\ sqrt {2}} {10}} + 3 = 3 {,} 14142 \ dots}

{\sqrt[{2}]{\frac {227}{23}}}=3{,}14158\dots

{\ displaystyle {\ sqrt [{2}] {\ frac {227} {23}}} = 3 {,} 14158 \ dots}

{\ sqrt [{2}] {{\ frac {227} {23}}}} = 3 {,} 14158 \ dots

{\sqrt[{3}]{31}}=3{,}1413\dots

{\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {31}} = 3 {,} 1413 \ dots}

{\ sqrt [{3}] {31}} = 3 {,} 1413 \ dots

{\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3{,}14159\ 26525\dots

{\ displaystyle {\ sqrt [{4}] {\ frac {2143} {22}}} = 3 {,} 14159 \ 26525 \ dots}

{\ sqrt [{4}] {{\ frac {2143} {22}}}} = 3 {,} 14159 \ 26525 \ dots

{\sqrt[{5}]{306}}=3{,}14155\dots

{\ displaystyle {\ sqrt [{5}] {306}} = 3 {,} 14155 \ dots}

{\ sqrt [{5}] {306}} = 3 {,} 14155 \ dots

{\sqrt[{6}]{\frac {17305}{18}}}=3{,}1415924\dots

{\ displaystyle {\ sqrt [{6}] {\ frac {17305} {18}}} = 3 {,} 1415924 \ dots}

{\ sqrt [{6}] {{\ frac {17305} {18}}}} = 3 {,} 1415924 \ dots

Cu toate acestea, niciuna dintre formulele de mai sus nu poate oferi o metodă eficientă de aproximare $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ . Pentru calcule rapide, se poate utiliza o formulă precum cea a lui Machin:

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}}

{\ frac {\ pi} {4}} = 4 \ arctan {\ frac {1} {5}} - \ arctan {\ frac {1} {239}}

Odată cu extinderea seriei Taylor pentru funcție $\arctan(x)$ ${\ displaystyle \ arctan (x)}$ $\ arctan (x)$ . Această formulă este cel mai ușor verificată folosind coordonatele polare ale numerelor complexe , începând de la:

(5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244\,i.

{\ displaystyle (5 + i) ^ {4} \ cdot (-239 + i) = - 114244-114244 \, i.}

(5 + i) ^ {4} \ cdot (-239 + i) = - 114244-114244 \, i.

Formulele de acest fel sunt cunoscute sub numele de formule de tip Machin.

Extensii zecimale foarte lungi de $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ sunt de obicei calculate cu algoritmul Gauss-Legendre și cu algoritmul Borwein; în trecut a fost folosit și algoritmul Salamin-Brent, inventat în 1976 .

Lista primelor milioane de cifre ale $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ și de $1/\pi$ ${\ displaystyle 1 / \ pi}$ $1 / \ pi$ poate fi găsit în Proiectul Gutenberg (vezi linkul extern din partea de jos a paginii).

În decembrie 2002 , calculul a ajuns la 1 241 100 000 000 de cifre ( 1.2411 × 10 ¹² ), calculat în septembrie 2002 de Yasumasa Kanada pe un supercomputer Hitachi cu 64 de noduri cu un terabyte de memorie principală, capabil să efectueze 2 miliarde de operații pe secundă, aproape dublu față de computerul utilizat pentru înregistrarea anterioară (206 miliarde cifre) .

Au fost utilizate următoarele formule de tip Machin:

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac { 1} {239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}}

{\ frac {\ pi} {4}} = 12 \ arctan {\ frac {1} {49}} + 32 \ arctan {\ frac {1} {57}} - 5 \ arctan {\ frac {1} { 239}} + 12 \ arctan {\ frac {1} {110443}}

K. Takano ( 1982 ).

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac { 1} {682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}}

{\ frac {\ pi} {4}} = 44 \ arctan {\ frac {1} {57}} + 7 \ arctan {\ frac {1} {239}} - 12 \ arctan {\ frac {1} { 682}} + 24 \ arctan {\ frac {1} {12943}}

FCW Störmer ( 1896 ).

Astfel de aproximări precise nu sunt de fapt utilizate în niciun scop practic, altul decât pentru a testa performanța noilor supercalculatoare sau pentru analiza statistică a $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ .

În 1996 David H. Bailey, împreună cu Peter Borwein și Simon Plouffe, au descoperit o nouă formulă de calcul $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ca o serie infinită:

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)

{\ displaystyle \ pi = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - { \ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ right)}

\ pi = \ sum _ {{k = 0}} ^ {{\ infty}} {\ frac {1} {16 ^ {k}}} \ left ({\ frac {4} {8k + 1}} - {\ frac {2} {8k + 4}} - {\ frac {1} {8k + 5}} - {\ frac {1} {8k + 6}} \ right)

Această formulă vă permite să calculați cu ușurință $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ cifra binară sau hexazecimală a $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ fără a fi nevoie să calculați toate cifrele anterioare. Site -ul web Bailey conține implementarea în diferite limbaje de programare .

Câteva alte formule utilizate pentru calcularea estimărilor $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ Sunt:

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1\cdot 2}{3\cdot 5}}+{\frac {1\cdot 2\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 7}}+\cdots$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(2k + 1) !!}} = 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 5}} + {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3} {3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + \ cdots}$ ${\ frac {\ pi} {2}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {k!} {(2k + 1) !!}} = 1 + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 5}} + {\ frac {1 \ cdot 2 \ cdot 3} {3 \ cdot 5 \ cdot 7}} + \ cdots$

din Newton (

n!!

{\ displaystyle n !!}

n !!

Indică semifattoriale ).

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} = \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(2n) (2n)} {(2n-1) (2n + 1) }} = {\ frac {2} {1}} \ cdot {\ frac {2} {3}} \ cdot {\ frac {4} {3}} \ cdot {\ frac {4} {5}} \ cdot {\ frac {6} {5}} \ cdot {\ frac {6} {7}} \ cdot {\ frac {8} {7}} \ cdot {\ frac {8} {9}} \ cdots}$ ${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots$

nota come prodotto infinito di Wallis .

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$ ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$ ${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$

nota come formula di Viète .

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$ ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$ ${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{{4k}}}}$

da Ramanujan .

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$ ${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$ ${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{{3k+3/2}}}}$

da David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky .

${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}$ ${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}$ ${\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}$

da Eulero .

$\pi ={\frac {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4n^{2}-1}}\right)}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}}}={\frac {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{15}}\right)\left(1+{\frac {1}{35}}\right)\cdots }{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{35}}+\cdots }}$ $\pi ={\frac {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4n^{2}-1}}\right)}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}}}={\frac {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{15}}\right)\left(1+{\frac {1}{35}}\right)\cdots }{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{35}}+\cdots }}$ $\pi ={\frac {\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4n^{2}-1}}\right)}{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}}}={\frac {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{15}}\right)\left(1+{\frac {1}{35}}\right)\cdots }{\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{35}}+\cdots }}$

nota come Formula simmetrica

${\frac {\pi }{8}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\sqrt {2}}-1)^{2k+1}}{2k+1}}.$ ${\frac {\pi }{8}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\sqrt {2}}-1)^{2k+1}}{2k+1}}.$ ${\frac {\pi }{8}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}({\sqrt {2}}-1)^{2k+1}}{2k+1}}.$

{\frac {\pi }{12}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2-{\sqrt {3}})^{2k+1}}{2k+1}}.

{\frac {\pi }{12}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2-{\sqrt {3}})^{2k+1}}{2k+1}}.

{\frac {\pi }{12}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2-{\sqrt {3}})^{2k+1}}{2k+1}}.

daChebyshev

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}$ $\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{\frac {1}{2}}-k}}{2k+1}}$ $\pi =\sum _{{k=0}}^{\infty }{\frac {2(-1)^{k}\;3^{{{\frac {1}{2}}-k}}}{2k+1}}$
$\pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\zeta (n+1)$ $\pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\zeta (n+1)$ $\pi =\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {3^{{n}}-1}{4^{n}}}\zeta (n+1)$

Altre formule d'approssimazione sono contenute nella tabella sottostante: ^[9] ^[10]

$\pi ={\frac {1}{Z}}$ $\pi ={\frac {1}{Z}}$ $\pi ={\frac {1}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{{3n+1}}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$ $\pi ={\frac {4}{Z}}$ $\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{{2n+1}}{2}^{{10n+1}}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$ $\pi ={\frac {4}{Z}}$ $\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {32}{Z}}$ $\pi ={\frac {32}{Z}}$ $\pi ={\frac {32}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{{8n}}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {27}{4Z}}$ $\pi ={\frac {27}{4Z}}$ $\pi ={\frac {27}{4Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}$ $\pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}$ $\pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}$ $\pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}$ $\pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}$ $\pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}$ $\pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}$ $\pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}$ $\pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{{n}}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}$ $\pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}$ $\pi ={\frac {{\sqrt {3}}}{9Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{{2n+1}}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}$ $\pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}$ $\pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{{2n+1}}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}$ $\pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}$ $\pi ={\frac {{\sqrt {2}}}{4Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{{2n+1}}}}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}$ $\pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}$ $\pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{{2n+1}}}}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}$ $\pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}$ $\pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{{n+1}}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$ $\pi ={\frac {4}{Z}}$ $\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{{2n+1}}}}$
$\pi ={\frac {72}{Z}}$ $\pi ={\frac {72}{Z}}$ $\pi ={\frac {72}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{{4n}}18^{{2n}}}}$
$\pi ={\frac {3528}{Z}}$ $\pi ={\frac {3528}{Z}}$ $\pi ={\frac {3528}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}$ $Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}$ $Z=\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{{4n}}882^{{2n}}}}$

Storia

I popoli antichi spesso utilizzavano modi indiretti per esprimere approssimativamente il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio . I babilonesi usavano per $\pi$ $\pi$ $\pi$ il valore di ²⁵ ⁄ ₈ =3,125 (usato anche da Vitruvio ^[11] ): una tavoletta cuneiforme del XX secolo aC, infatti, osserva che il rapporto fra la circonferenza e il perimetro di un esagono iscritto è 3600/3456, cioè 25/24. Nel Papiro di Rhind , invece, si dice che un cerchio con diametro 9 unità è equivalente a un quadrato di lato 8. In questo modo gli Egizi assumevano il valore di ( ¹⁶ ⁄ ₉ )²=3,160.

Nell' Antico Testamento viene apparentemente affermato in modo non esplicito che $\pi$ $\pi$ $\pi$ = 3. Si trova infatti scritto:

«Egli fece il mare come una gran vasca di bronzo fuso, dieci cubiti da una sponda all'altra: era perfettamente circolare. La sua altezza era cinque cubiti e una linea di trenta cubiti misurava la sua circonferenza»

( Secondo libro delle Cronache , 4:2 )

Il testo, però spiega poco dopo che il bordo si apriva "come il calice di un giglio" (presentava cioè quello che un moderno ingegnere chiamerebbe un "anello di irrigidimento" del bordo superiore), perciò il diametro misurato al bordo era ovviamente maggiore di quello della circonferenza esterna della vasca cilindrica, rendendo inaccurati questi dati per desumere un valore di pi greco "biblico". ^[12]

Il primo ad approssimare scientificamente pi greco fu Archimede di Siracusa che nel III secolo aC utilizzò poligoni regolari inscritti e circoscritti a una circonferenza . Aumentando il numero di lati il rapporto tra il perimetro e l'area limita superiormente e inferiormente $\pi$ $\pi$ $\pi$ (vedi anche metodo di esaustione ).

Utilizzando poligoni di 96 lati lo scienziato siracusano scoprì che ²²³ ⁄ ₇₁ < π < ²² ⁄ ₇ . ^[13]

Nel medioevo in India Brahmagupta utilizza il valore ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ ^[14] mentre in Cina Zu Chongzhi utilizza ³⁵⁵ ⁄ ₁₁₃ valore che si discosta meno di 0,3 milionesimi dal valore corretto. ^[15]

Il metodo di Archimede verrà applicato fino all'epoca moderna. Nel 1610 Ludolph van Ceulen calcola le prime 35 cifre decimali di $\pi$ $\pi$ $\pi$ utilizzando poligoni con più di 2 miliardi di lati. Ceulen, fiero di questo risultato, lo farà scrivere sulla sua tomba.

Sempre nell' epoca moderna vengono trovate importanti espressioni infinite:

formula di Viète :

2{\frac {2}{\sqrt {2}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\ldots =\pi ;

2{\frac {2}{\sqrt {2}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\ldots =\pi ;

2{\frac {2}{\sqrt {2}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}\ldots =\pi ;

formula di Leibniz :

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}};

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}};

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}};

prodotto di Wallis :

\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}.

\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}.

\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}.

Nel XVIII secolo Eulero , risolvendo il problema di Basilea trovò un'altra elegante serie:

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Sempre al matematico svizzero è dovuta l' identità di Eulero , talvolta considerata la formula più bella di tutta la matematica,^[16] che collega $\pi$ $\pi$ $\pi$ ad altre importanti costanti matematiche tra cui il numero di Nepero $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ e l' unità immaginaria $i$ ${\displaystyle i}$ $i$ :

e^{i\pi }+1=0.

e^{i\pi }+1=0.

e^{i\pi }+1=0.

Queste formule, pur essendo di scarsa o nulla utilità nel calcolo della costante matematica, hanno un importante valore estetico e rivelano collegamenti inaspettati tra varie branche della matematica .

Eulero rese inoltre popolare il simbolo π, introdotto nel 1706 dal matematico inglese William Jones quando pubblicò A New Introduction to Mathematics , benché lo stesso simbolo fosse stato utilizzato in precedenza per indicare la circonferenza del cerchio. La notazione diventò di uso comune dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi $\pi$ $\pi$ $\pi$ è la prima lettera di περίμετρος (perimetros), che significa «misura attorno» in greco . Inoltre il simbolo $\pi$ $\pi$ $\pi$ venne usato all'inizio dallo stesso William Jones che nel 1706 lo usò in onore di Pitagora (l'iniziale di Pitagora nell'alfabeto greco è appunto Π, ma trattandosi di un numero si preferisce usare la minuscola). Tuttavia, ancora nel 1739 Eulero usava il simbolo $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ .

Restava ancora in sospeso la questione della natura di $\pi$ $\pi$ $\pi$ : Johann Heinrich Lambert dimostrò nel 1761 che si trattava di un numero irrazionale (si dimostrava che l' arcotangente di un qualsiasi numero razionale è irrazionale). Si veda anche dimostrazione della irrazionalità di π . Adrien-Marie Legendre dimostrò nel 1794 l'irrazionalità di ${\pi }^{2}$ ${\pi }^{2}$ ${\pi}^2$ . Bisognerà tuttavia aspettare fino al 1882 perché Ferdinand von Lindemann dimostri che $\pi$ $\pi$ $\pi$ è un numero trascendente , ossia non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.

Quest'ultimo fatto dimostrava inequivocabilmente che la quadratura del cerchio tramite riga e compasso è impossibile.

Nel 1897 il matematico dilettante J. Goodwin propose nello stato dell' Indiana un incredibile disegno di legge volto a rendere possibile la quadratura del cerchio tramite il cambiamento del valore di pi greco ^[17] . Il disegno prevedeva l'introduzione di una "nuova verità matematica" giacché "la regola ora in uso ... non funziona" ed "è opportuno che essa venga rifiutata come insufficiente e ingannevole per le applicazioni pratiche" . La stravagante proposta di legge fu approvata all'unanimità dai 67 membri della Commissione per l'educazione. La proposta di legge fu affondata solo dopo il parere negativo del matematico Clarence Waldo, presente casualmente in Senato .

Ecco una breve cronologia essenziale di π :

Nell'antichità

XX secolo aC : i Babilonesi usano ²⁵ ⁄ ₈ per $\pi$ $\pi$ $\pi$ (=3,125)
XVII secolo aC : gli Egizi ( Papiro di Rhind ) usano π = ( ¹⁶ ⁄ ₉ ) ² = 3,1605
XII secolo aC : i Cinesi usano 3 per $\pi$ $\pi$ $\pi$
434 aC : Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso
430 aC : Antifonte il sofista e Brisone di Eraclea esprimono il principio di esaustione
335 aC : Dinostrato usa la quadratrice per quadrare il cerchio
III secolo aC : Archimede , utilizzando l'esaustione e il metodo di compressione , calcola su poligoni di 96 lati che ²²³ ⁄ ₇₁ < π < ²² ⁄ ₇ ^[18] e trova inoltre l'approssimazione π = ²¹¹⁸⁷⁵ ⁄ ₆₇₄₄₁ = 3,14163…
I secolo aC : Vitruvio usa ²⁵ ⁄ ₈ ^[11]
II secolo dC : Tolomeo usa π = ³⁷⁷ ⁄ ₁₂₀ = 3,14166… ^[19]
III secolo dC : Chang Hong usa π = ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ , Wang Fau usa π = ¹⁴² ⁄ ₄₅ e Liu Hui usa π = ¹⁵⁷ ⁄ ₅₀

Nel Medioevo

V secolo (450 circa): Zu Chongzhi scopre che 3,1415926 < π < 3,1415927 e utilizza il valore ³⁵⁵ ⁄ ₁₁₃ = 3,1415929…
VI secolo (530 circa): Aryabhata , in India, utilizza il valore ⁶²⁸³² ⁄ ₂₀₀₀₀ =3,1416
VII secolo (650 circa): Brahmagupta , in India, utilizza il valore ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ ${\sqrt {10}}$ =3,1623
IX secolo : al Khwarizmi usa 3,1416
1220 : Leonardo Fibonacci usa il valore 3,141818
1430 : al Kashi calcola le prime 14 cifre di $\pi$ $\pi$ $\pi$

Nell'età moderna

1573 : Valenthus Otho calcola le prime 6 cifre di $\pi$ $\pi$ $\pi$
1593 : François Viète calcola 9 cifre di $\pi$ $\pi$ $\pi$ e Adriaan van Roomen 16 cifre
1596 : Ludolph van Ceulen calcola 20 cifre di $\pi$ $\pi$ $\pi$
1610 : van Ceulen, 35 cifre
1621 : Willebrord Snell perfeziona il metodo di Archimede
1654 : Christiaan Huygens dimostra la validità del perfezionamento di Snell
1655 : John Wallis trova un prodotto infinito razionale per $\pi$ $\pi$ $\pi$ ; William Brouncker lo converte in una frazione continua
1663 : Muramatsu Shigekiyo in Giappone trova 7 cifre decimali esatte
1665 : Isaac Newton scopre il calcolo infinitesimale e calcola il $\pi$ $\pi$ $\pi$ fino alla 16ª cifra decimale
1671 : James Gregory scopre le serie delle arcotangenti
1674 : Leibniz scopre la serie delle arcotangenti per $\pi$ $\pi$ $\pi$
1699 : Abraham Sharp , 72 cifre
1700 : Seki Kowa in Giappone calcola 10 cifre
1706 : John Machin , 100 cifre
1713 : La Corte Cinese pubblica il Su-li Ching-yun e presenta le prime 19 cifre decimali di $\pi$ $\pi$ $\pi$
1719 : Thomas Fantet de Lagny calcola 127 cifre, di cui 112 sono corrette
1723 : Takebe Kenko in Giappone calcola 41 cifre
1730 : Kamata in Giappone calcola 25 cifre
1734 : Adottato da Eulero , l'uso del simbolo $\pi$ $\pi$ $\pi$ si diffonde
1739 : Matsunaga , 50 cifre
1748 : Eulero pubblica l' Introductio in analysis infinitorium contenente il cosiddetto Teorema di Eulero e molte serie per $\pi$ $\pi$ $\pi$ e $\pi ^{2}$ $\pi ^{2}$ $\pi ^{2}$
1761 : Johann Heinrich Lambert prova che $\pi$ $\pi$ $\pi$ è un numero irrazionale
1775 : Eulero deriva una serie di arcotangenti rapidamente convergenti e ipotizza che $\pi$ $\pi$ $\pi$ possa essere trascendente

Nell'età contemporanea

1794 – Jurij Vega , 140 cifre, di cui 136 sono corrette
1794 – Adrien-Marie Legendre dimostra che $\pi ^{2}$ $\pi ^{2}$ $\pi ^{2}$ (e quindi $\pi$ $\pi$ $\pi$ ) è irrazionale e considera la possibilità che $\pi$ $\pi$ $\pi$ sia trascendente
1841 – William Rutherford calcola 208 cifre, di cui 152 sono corrette
1844 – Zacharias Dase calcola 200 cifre
1847 – Thomas Clausen , 248 cifre
1853 – Lehmann , 261 cifre
1853 – William Rutherford , 440 cifre
1855 – Richter, 500 cifre
1874 – William Shanks , 707 cifre, ma solo 527 sono corrette
1874 – Tseng Chi-hung calcola in Cina 100 cifre
1882 – Ferdinand von Lindemann dimostra che $\pi$ $\pi$ $\pi$ è trascendente.

1947 - DF Ferguson : 620 cifre decimali, utilizzando una calcolatrice da tavolo
gennaio 1947 - DF Ferguson : 710 cifre decimali (calcolatrice da tavolo)
settembre 1947 – DF Ferguson : 808 cifre decimali (calcolatrice da tavolo)
1949 – George Rietwiesner , John von Neumann e Nicholas Constantine Metropolis : 2037 cifre calcolate in 70 ore utilizzando l' ENIAC . Da questo momento in poi tutti i calcoli delle cifre di pi greco verranno effettuati utilizzando calcolatori elettronici.
1954 – La marina statunitense calcolò 3089 cifre in 13 minuti alla presentazione del NORC (il supercomputer commissionato alla IBM )
1958 – "Paris Data Processing Center": 10 000 cifre calcolate in un'ora e 40 minuti utilizzando un IBM 704
1961 – John Wrench e Daniel Shanks (nessuna parentela con William Shanks): 100 265 cifre in 8 ore e 43 minuti, con un IBM 7090
1966 – "Paris Data Processing Center": 250 000 cifre di pi greco con un IBM 7030 Stretch
1967 – "Paris Data Processing Center": 500 000 cifre con un computer CDC 6600
1973 – Jean Guilloud e M. Bouyer : 1 000 000 di cifre calcolate in 23 ore e 18 minuti con il computer CDC 7600
1976 – Eugene Salamin e Richard Brent svilupparono indipendentemente un algoritmo quadraticamente convergente per il calcolo del $\pi$ $\pi$ $\pi$ , algoritmo che poi risultò molto simile a quello per la valutazione degli integrali ellittici di Carl Friedrich Gauss
1982 – Yoshiaki Tamura e Yasumasa Kanada : 8 388 608 cifre in meno di 30 ore con l' algoritmo di Gauss-Brent-Salamin , con un Hitachi M-280H
1988 – Yasumasa Kanada : 201 326 000 cifre calcolate in 6 ore utilizzando un Hitachi S-820
maggio 1989 – i fratelli David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky : 480 000 000 di cifre
giugno 1989 – David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky : 535 339 270 di cifre
luglio 1989 – Yasumasa Kanada : 536 870 898 di cifre
agosto 1989 – David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky : 1 011 196 691 di cifre (oltre 1 miliardo), su un IBM 3090
19 novembre 1989 – Yasumasa Kanada e Yoskiaki Tamura: 1 073 740 799 di cifre (1,07 miliardi), HITAC S-3800/480
18 maggio 1994 – David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky : 4 044 000 000 di cifre (oltre 4 miliardi), utilizzando un computer domestico. Dettagli sconosciuti, record non verificato.
26 giugno 1994 – Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi: 3 221 220 000 di cifre (3,22 miliardi) ^[20]
11 ottobre 1995 – Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi: 6 442 450 000 di cifre (6,44 miliardi) ^[21]
1997 – Yasumasa Kanada e Yoshiaki Tamura: 51 539 607 552 di cifre (51,5 miliardi) calcolate in poco più di 29 ore utilizzando un computer Hitachi SR2201 ^[22]
5 aprile 1999 – Yasumasa Kanada e Daisuke Takahashi: 68 719 470 000 di cifre (68,72 miliardi) ^[23]
20 settembre 1999 - Yasumasa Kanada e Daisuke Takahaski: 206 158 430 000 di cifre (206,16 miliardi) ^[24]

2002 – Yasumasa Kanada : 1241,1 miliardi di cifre calcolate in 600 ore (25 giorni) con un Hitachi SR8000/MPP a 128 nodi ^[25] .
29 aprile 2009 – Daisuke Takahashi : 2 576 980 377 524 di cifre (2 576 miliardi) in 29,09 ore con un Supercomputer T2K Open a 640 nodi (velocità di ogni nodo: 147,2 GigaFLOPS ), all'Università di Tsukuba a Tsukuba , in Giappone . ^[26]
31 dicembre 2009 – Fabrice Bellard : 2 699 999 990 000 ^[27] di cifre (quasi 3000 miliardi) in 121 giorni di calcolo totali, utilizzando un computer domestico: CPU Intel Core i7 a 2,97 GHz , 6 GB di RAM e 7,5 TB di memoria fissa, utilizzando 5 hard disk Seagate Barracuda da 1,5 TB l'uno. Il calcolo è stato effettuato sfruttando l' algoritmo di Chudnovsky .
2 agosto 2010 – Shigeru Kondo: 5 000 000 000 000 ^[28] di cifre (5 000 miliardi) in 90 giorni di calcolo, utilizzando un computer domestico modificato, con 2 processori Intel Xeon X5680 a 3,33 GHz (12 core fisici, 24 con hyperthreading ), 12 banchi da 8 GB di RAM, per un totale di 96 GB RAM DDR3 a 1066 MHz; per ottenere il risultato ha sfruttato l'applicazione y-cruncher ^[29] , sviluppata da Alexander Yee, su un OS Microsoft Windows Server 2008 .

29 gennaio 2020 – Lo statunitense Timothy Mullican calcola 50 000 miliardi di cifre, impiegando 303 giorni per effettuare il calcolo tramite vari computer e server . ^[30]

Questioni in sospeso

La più pressante questione aperta su $\pi$ $\pi$ $\pi$ riguarda il fatto che sia o meno normale , cioè se la frequenza con cui è presente ogni sequenza di cifre sia la stessa che ci si aspetterebbe se le cifre fossero completamente casuali. Questo deve essere vero in ogni base, non solo in base 10. ^[31] Non sappiamo molto su questo; per esempio, non sappiamo nemmeno quali delle cifre 0, …, 9 ricorrano infinite volte nell'espansione decimale di $\pi$ $\pi$ $\pi$ , ^[32] benché sia chiaro che almeno due cifre devono ricorrere infinite volte, poiché in caso contrario $\pi$ $\pi$ $\pi$ sarebbe razionale, mentre non lo è.

Bailey e Crandall dimostrarono nel 2000 che l'esistenza della sopramenzionata formula Bailey-Borwein-Plouffe e formule simili implica che la normalità in base $2$ ${\displaystyle 2}$ $2$ di $\pi$ $\pi$ $\pi$ si deduce da una plausibile congettura della teoria del caos . ^[33]

Non si sa neanche se $\pi$ $\pi$ $\pi$ e il numero di Nepero $e$ ${\displaystyle e}$ $e$ siano algebricamente indipendenti , sebbene Yuri Valentinovich Nesterenko abbia dimostrato l'indipendenza algebrica di {π, e ^π , Γ (1/4)} nel 1996. ^[34]

La natura di Pi greco

Mentre, nella geometria euclidea , la somma degli angoli interni di un triangolo misurata in radianti è uguale a $\pi$ $\pi$ $\pi$ , nelle geometrie non-euclidee la stessa somma può essere maggiore ( geometria ellittica ) o minore ( geometria iperbolica ) e il rapporto fra una circonferenza e il suo diametro può non essere $\pi$ $\pi$ $\pi$ . Questo non cambia la definizione di $\pi$ $\pi$ $\pi$ , piuttosto cambia la costante che appare nelle formule (che diventa un numero diverso da $\pi$ $\pi$ $\pi$ ). Quindi, in particolare, $\pi$ $\pi$ $\pi$ non è legato alla forma dell'universo ; è una costante matematica, non fisica.

La legge dell'Indiana su Pi greco

Lo stesso argomento in dettaglio: Progetto di legge dell'Indiana sul pi greco .

Vignetta satirica del 1897, che ridicolizza il progetto di legge.

Nel 1897, negli Stati Uniti d'America , fu presentato all'Assemblea generale dello stato dell' Indiana un disegno di legge, ^[35] redatto dal matematico e fisico dilettante Edward (o Edwin) J. Goodwin, in cui l'autore si presentava come solutore dei problemi di trisezione dell'angolo , duplicazione del cubo e quadratura del cerchio (la cui impossibilità di soluzione era, all'epoca, già ampiamente dimostrata) e offriva alle scuole dello stato l'uso gratuito della sua "nuova verità matematica", da lui brevettata. Il testo non menzionava specificamente $\pi$ $\pi$ $\pi$ , ma dalle affermazioni in esso presenti potevano esserne dedotti diversi valori, tra loro contraddittori, tra cui quello di 3,2.

Il progetto superò varie fasi dell'iter legislativo, ma fu infine abbandonato quando venne presentato al Senato per la definitiva approvazione; il professor Clarence Abiathar Waldo, matematico e membro dell'Accademia delle scienze dell'Indiana, riportò in seguito ^[36] di essere stato casualmente presente al Senato il giorno in cui il progetto di legge doveva essere discusso, e di aver "opportunamente istruito" al riguardo i senatori prima della discussione.

Influenze culturali

Il 14 marzo si celebra il " giorno del pi greco ", in quanto, nella sua scrittura anglosassone (3/14), esso ricorda l'approssimazione più comune di $\pi$ $\pi$ $\pi$ . ^[37] : dal 2020 l'Unesco ha proclamato il 14 marzo come Giornata internazionale della matematica. ^[38] In effetti pi greco è uno dei numeri irrazionali più famosi anche al di fuori dell'ambiente matematico, oltre a essere uno dei protagonisti indiscussi del panorama matematico ^[39] . Un'altra data possibile per celebrare pi greco è il 22 luglio, in quanto 22/7 è una famosa frazione, nota fin dai tempi di Archimede , che approssima $\pi$ $\pi$ $\pi$ .

La popstar Kate Bush ha interamente dedicato al numero $\pi$ $\pi$ $\pi$ il secondo brano (intitolato per l'appunto $\pi$ $\pi$ $\pi$ ) del suo ottavo album Aerial , del 2005 , nel quale reciterebbe le sue prime 140 cifre. π 3,14 è inoltre il titolo del quinto album dei Rockets , del 1981 . Anche altri musicisti e artisti in genere hanno dedicato alcune loro opere alla costante.

π - Il teorema del delirio è il titolo di un thriller del 1998 diretto dal regista Darren Aronofsky .

Tecniche mnemoniche

È possibile utilizzare la seguente frase per ricordare le prime 19 cifre del numero pi greco, associando a ognuna delle parole il corrispondente numero di lettere che la compongono: "Ave, o Roma o Madre gagliarda di latine virtù che tanto luminoso splendore prodiga spargesti con la tua saggezza".

Note

^ ( EN ) Sequenza A000796 , su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , The OEIS Foundation.
^ http://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index314159.html
^ Un calcolo col programma Mathematica ha dato i seguenti risultati: 1 000 termini 3,1458…; 10 000 termini 3,1424…; 100 000 termini 3,1417…
^ Carl B. Boyer , Storia della matematica , Oscar saggi Mondadori, 2000, cap. 21.
^ Alcuni risultati ottenuti col programma Mathematica : 1 000 termini 3,0603…; 5 000 termini 3,1027…; 50 000 termini 3,1324…; 500 000 termini 3,1379…; 2 milioni di termini 3,1398…; 3 milioni di termini 3,1404…
^ Fu de Morgan che cento anni dopo con alcuni suoi studenti utilizzò stimò pi greco col metodo dell'ago: con 600 lanci ottenne 382 casi favorevoli, ricavando $\pi$ $\pi$ $\pi$ di 3,14. Il metodo ha però convergenza lenta: per trovare la terza cifra decimale occorrono decine di migliaia di lanci.
^ ^a ^b ( EN ) Sequenza A001203 , su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , The OEIS Foundation.
^ LJ Lange, An Elegant Continued Fraction for π , in The American Mathematical Monthly , vol. 106, n. 5, May 1999, pp. 456–458, DOI : 10.2307/2589152 , JSTOR 2589152 .
^ The world of Pi - Simon Plouffe / David Bailey
^ Collection of series for π
^ ^a ^b De Architectura X, 9, 1, in linea su LacusCurtius .
^ Questa spiegazione era nota anche al Talmud ed è riportata insieme a molte altre in [1] (p. 139). Cfr. anche: [2] oppure [3] . Altre spiegazioni sono meno attendibili perché i manoscritti più antichi della Bibbia ebraica risalgono circa al secolo X dopo Cristo.
^ Boyer 1991 p. 149
^ Boyer 1991 p. 256
^ Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan , BG Teubner, 1913, p. 50. 22+355&dq=intitle:Development+intitle:22China+and+Japan%22+355&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=84EbSrD1E4OYlQSwv4HlCQ&pgis=1
^ Definita la più bella formula della matematica da Richard Feynman ( Richard Feynman, Chapter 22: Algebra , in The Feynman Lectures on Physics : Volume I , giugno 1970, p. 10. ). Nel 1988, i lettori del Mathematical Intelligencer la votarono come "La più bella formula matematica di sempre" David Wells, Are these the most beautiful? , in Mathematical Intelligencer , vol. 12, n. 3, 1990, pp. 37–41, DOI : 10.1007/BF03024015 .
David Wells, Which is the most beautiful? , in Mathematical Intelligencer , vol. 10, n. 4, 1988, pp. 30–31, DOI : 10.1007/BF03023741 .
^ Il testo del disegno di legge è consultabile sul sito della Purdue University : The Indiana Pi Bill
^ Dimostrazione che ²² ⁄ ₇ è maggiore di π
^ La frazione ³⁷⁷ ⁄ ₁₂₀ approssima il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio di raggio 60, laddove il 60 coincide con la base dei numeri sessagesimali utilizzati da Tolomeo nell'Almagesto.
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Bibliografia

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Jean-Paul Delahaye , L'affascinante numero π , Ghisetti e Corvi Editori, Milano , 2003, ISBN 88-8013-905-3
David Blatner , Le gioie del π , Garzanti, Milano , 1999
Petr Beckmann , A History of π . St. Martin's Press; 1971.
Philip J. Davis , Il mondo dei grandi numeri . Zanichelli Bologna

Sulla legge dell'Indiana:

"Indiana's squared circle" di Arthur E. Hallerberg (Mathematics Magazine, vol. 50 (1977), pp. 136–140).
David Singmaster, "The legal values of pi" (Mathematical Intelligencer, vol. 7 (1985), pp. 69 – 72).

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

( EN ) Pi greco , su Enciclopedia Britannica , Encyclopædia Britannica, Inc.

Siti sulla storia di π

JJ O'Connor e EF Robertson: A history of Pi . Mac Tutor project , su www-history.mcs.st-andrews.ac.uk .
Alla ricerca del valore di Pi , su mathforum.org .
PlanetMath : Pi
Storia del calcolo di Pi di Alessandra Del Piccolo - Progetto Polymath , su www2.polito.it . URL consultato il 16 febbraio 2007 (archiviato dall' url originale il 7 gennaio 2007) .
( EN ) Richard Preston, The Mountains of Pi , su newyorker.com , New Yorker, 2 marzo 1992. URL consultato il 27 luglio 2009 .
Il pi greco? Non è soggetto a copyright dal Corriere della Sera

Siti con formule per calcolare π

Birth, growth and computation of pi (articolo molto dettagliato)
Pi Formulas su Wolfram Math World
Collection of Series for pi , su numbers.computation.free.fr .

Siti con le cifre di π

Il primo milione di cifre di pi greco , su nullrefer.com .
Statistiche sui primi 1200 miliardi di cifre di pi , su super-computing.org . URL consultato il 5 giugno 2004 (archiviato dall' url originale il 9 gennaio 2010) .
Un testo del Progetto Gutenberg contenente un milione di cifre di pi , su gutenberg.net .

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[1] ( EN ) Sequenza A000796 , su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , The OEIS Foundation.

[2] ttp://3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com/index314159.html

[3] Un calcolo col programma Mathematica ha dato i seguenti risultati: 1 000 termini 3,1458…; 10 000 termini 3,1424…; 100 000 termini 3,1417…

[4] Carl B. Boyer , Storia della matematica , Oscar saggi Mondadori, 2000, cap. 21.

[5] Alcuni risultati ottenuti col programma Mathematica : 1 000 termini 3,0603…; 5 000 termini 3,1027…; 50 000 termini 3,1324…; 500 000 termini 3,1379…; 2 milioni di termini 3,1398…; 3 milioni di termini 3,1404…

[6] Fu de Morgan che cento anni dopo con alcuni suoi studenti utilizzò stimò pi greco col metodo dell'ago: con 600 lanci ottenne 382 casi favorevoli, ricavando $\pi$ $\pi$ $\pi$ di 3,14. Il metodo ha però convergenza lenta: per trovare la terza cifra decimale occorrono decine di migliaia di lanci.

[ReferenceA-7] ( EN ) Sequenza A001203 , su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences , The OEIS Foundation.

[8] LJ Lange, An Elegant Continued Fraction for π , in The American Mathematical Monthly , vol. 106, n. 5, May 1999, pp. 456–458, DOI : 10.2307/2589152 , JSTOR 2589152 .

[9] The world of Pi - Simon Plouffe / David Bailey

[10] Collection of series for π

[autogenerato1-11] De Architectura X, 9, 1, in linea su LacusCurtius .

[12] Questa spiegazione era nota anche al Talmud ed è riportata insieme a molte altre in [1] (p. 139). Cfr. anche: [2] oppure [3] . Altre spiegazioni sono meno attendibili perché i manoscritti più antichi della Bibbia ebraica risalgono circa al secolo X dopo Cristo.

[13] Boyer 1991 p. 149

[14] Boyer 1991 p. 256

[pi_greco_cina-15] Yoshio Mikami, Development of Mathematics in China and Japan , BG Teubner, 1913, p. 50. 22+355&dq=intitle:Development+intitle:22China+and+Japan%22+355&lr=&as_brr=0&as_pt=ALLTYPES&ei=84EbSrD1E4OYlQSwv4HlCQ&pgis=1

[Identità_Eulero-16] Definita la più bella formula della matematica da Richard Feynman ( Richard Feynman, Chapter 22: Algebra , in The Feynman Lectures on Physics : Volume I , giugno 1970, p. 10. ). Nel 1988, i lettori del Mathematical Intelligencer la votarono come "La più bella formula matematica di sempre" David Wells, Are these the most beautiful? , in Mathematical Intelligencer , vol. 12, n. 3, 1990, pp. 37–41, DOI : 10.1007/BF03024015 .
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[17] Il testo del disegno di legge è consultabile sul sito della Purdue University : The Indiana Pi Bill

[18] Dimostrazione che ²² ⁄ ₇ è maggiore di π

[19] La frazione ³⁷⁷ ⁄ ₁₂₀ approssima il rapporto fra la circonferenza e il diametro di un cerchio di raggio 60, laddove il 60 coincide con la base dei numeri sessagesimali utilizzati da Tolomeo nell'Almagesto.

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[25] SR8000 , su hitachi.co.jp . URL consultato il 30 ottobre 2010 (archiviato dall' url originale il 20 maggio 2011) .

[26] Copia archiviata , su hpcs.is.tsukuba.ac.jp . URL consultato il 18 agosto 2009 (archiviato dall' url originale il 23 agosto 2009) .

[27] ttp://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf

[28] Pi - 5 Trillion Digits

[29] y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program

[30] ( EN ) Calculating Pi: My attempt at breaking the Pi World Record

[31] Eric W Weisstein , Normal Number , su mathworld.wolfram.com , MathWorld , 22 dicembre 2005. URL consultato il 10 novembre 2007 .

[32] Paul Preuss , Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key ,Lawrence Berkeley National Laboratory , 23 luglio 2001. URL consultato il 10 novembre 2007 .

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[34] Nesterenko, Yuri V , Modular Functions and Transcendence Problems , in Comptes rendus de l'Académie des sciences Série 1 , vol. 322, n. 10, 1996, pp. 909–914.

[35] ttp://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/indiana_pi_bill.htm

[36] What might have been , in Proceedings of the Indiana Academy of Science , p. 455-456.

[37] Corriere della Sera , 14 marzo 2010, http://www.corriere.it/scienze_e_tecnologie/10_marzo_14/pi-greco-compleanno_593a9a2c-2f90-11df-a29d-00144f02aabe.shtml Titolo mancante per url url ( aiuto ) . URL consultato il 2 luglio 2021 . ]

[38] ( EN ) International Day of Mathematics , su en.unesco.org . URL consultato il 2 luglio 2021 .

[39] Bruno de Finetti, Tre personaggi della matematica , Le Scienze, novembre 1971, pp. 86-101. URL consultato il 2 luglio 2021 .

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