Definiție strictă a lui Pi în geometria euclidiană

Intrare principală: Pi .

În geometria euclidiană constanta pi ( $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ ) este definit ca raportul dintre măsurarea lungimii circumferinței și măsurarea lungimii diametrului aceluiași cerc . Pentru ca această definiție să fie unică, este necesar să se demonstreze că este independentă de cercul ales. Din unele teoreme clasice ale lui Euclid și Arhimede rezultă că, în terminologia modernă, pi este o constantă și, în plus, pi este egal cu raportul dintre aria unui cerc și pătratul razei sale. ^[1]

În acest articol vom explica în detaliu raționamentul care ne permite să definim pi și să demonstrăm unicitatea acestuia; mai întâi va fi descrisă o procedură care se limitează la utilizarea axiomelor și cunoștințelor geometrice disponibile lui Euclid și Arhimede, apoi, într-o etapă ulterioară, va fi prezentată o derivare mai riguroasă bazată pe axioma modernă ( 1872 ) a lui Dedekind . Cu toate acestea, pentru a înțelege acest element, sunt necesare unele cunoștințe anterioare despre geometria euclidiană, cum ar fi, de exemplu, teorema pitagoreică , teorema Thales și criteriile de similaritate între triunghiuri .

Demonstrația lui Euclid-Arhimede

Axiome și teoreme necesare

Această demonstrație se bazează pe axiome și propozițiile conținute în Elementele lui Euclid , în prima carte Despre sferă și cilindru și în cartea Despre măsurarea cercului lui Arhimede . Punctul de plecare fundamental pentru demonstrațiile care vor fi expuse este axioma lui Eudoxus , corespunzătoare definiției 4 a cărții a cincea a Elementelor .

Axioma Eudoxus : Se spune că două cantități au o relație care poate, dacă este înmulțită, să se depășească una pe alta.

Prin urmare, axioma ne spune că dați două cantități $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ astfel încât $0<a<b$ ${\ displaystyle 0 <a <b}$ $0 <a <b$ , puteți găsi un $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ astfel încât $na>b$ ${\ displaystyle na> b}$ ${\ displaystyle na> b}$ .

Axioma lui Eudoxus ne permite apoi să dovedim teorema foarte importantă, cunoscută și sub numele de metoda epuizării , corespunzătoare Propoziției 1 din cartea X a Elementelor :

Teorema 1 (metoda de epuizare): Având în vedere două cantități, în cazul în care din una mai mare , se scade o cantitate mai mare de jumătate , iar din ceea ce rămâne o cantitate mai mare de jumătate ei, și repetarea în mod continuu această procedură, atunci o cantitate mai mică va rămâne decât dat unul mai mic.

De exemplu, cu referire la figură, având în vedere dimensiunile $AB>C$ ${\ displaystyle AB> C}$ ${\ displaystyle AB> C}$ , apoi scăzând din $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ măreția mai întâi $HB>{\frac {AB}{2}}$ ${\ displaystyle HB> {\ frac {AB} {2}}}$ ${\ displaystyle HB> {\ frac {AB} {2}}}$ și apoi dimensiunea $KH>{\frac {AH}{2}}$ ${\ displaystyle KH> {\ frac {AH} {2}}}$ ${\ displaystyle KH> {\ frac {AH} {2}}}$ , până la urmă rămâne $AK<C$ ${\ displaystyle AK <C}$ ${\ displaystyle AK <C}$ .

Teorema dovezii 1

Este $AB>C$ ${\ displaystyle AB> C}$ ${\ displaystyle AB> C}$ . Deci, prin axioma lui Eudoxus, unele multiple $D. ȘI$ ${\ displaystyle DE}$ ${\ displaystyle DE}$ din $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ este mai mare decât $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ . Divide $D. ȘI$ ${\ displaystyle DE}$ ${\ displaystyle DE}$ în părți egale $DF,FG,GE,\ldots =C$ ${\ displaystyle DF, FG, GE, \ ldots = C}$ ${\ displaystyle DF, FG, GE, \ ldots = C}$ . Din $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ scădea $BH>{\frac {AB}{2}}$ ${\ displaystyle BH> {\ frac {AB} {2}}}$ ${\ displaystyle BH> {\ frac {AB} {2}}}$ și din $LA H.$ ${\ displaystyle AH}$ $AH$ scădea $HK>{\frac {AH}{2}}$ ${\ displaystyle HK> {\ frac {AH} {2}}}$ ${\ displaystyle HK> {\ frac {AH} {2}}}$ și repetați această procedură până la secțiunile din $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ sunt egale ca număr cu cele ale $D. ȘI$ ${\ displaystyle DE}$ ${\ displaystyle DE}$ . Acum, de atunci $DE>AB$ ${\ displaystyle DE> AB}$ ${\ displaystyle DE> AB}$ din $D. ȘI$ ${\ displaystyle DE}$ ${\ displaystyle DE}$ se scade $EG<{\frac {DE}{2}}$ ${\ displaystyle EG <{\ frac {DE} {2}}}$ ${\ displaystyle EG <{\ frac {DE} {2}}}$ și din $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ se scade $BH>{\frac {AB}{2}}$ ${\ displaystyle BH> {\ frac {AB} {2}}}$ ${\ displaystyle BH> {\ frac {AB} {2}}}$ , asa de $GD>HA$ ${\ displaystyle GD> HA}$ ${\ displaystyle GD> HA}$ . Din aceasta rezultă că, scăzând din $G. D.$ ${\ displaystyle GD}$ ${\ displaystyle GD}$ scopul $G. F.$ ${\ displaystyle GF}$ ${\ displaystyle GF}$ și din $H. LA$ ${\ displaystyle HA}$ ${\ displaystyle HA}$ măreția $HK>{\frac {AH}{2}}$ ${\ displaystyle HK> {\ frac {AH} {2}}}$ ${\ displaystyle HK> {\ frac {AH} {2}}}$ , primesti $DF>AK$ ${\ displaystyle DF> AK}$ ${\ displaystyle DF> AK}$ . Dar $DF=C$ ${\ displaystyle DF = C}$ ${\ displaystyle DF = C}$ , asa de $C>AK$ ${\ displaystyle C> AK}$ ${\ displaystyle C> AK}$ . De cea mai mare dimensiune dată $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ de aceea rămâne $LA K.$ ${\ displaystyle AK}$ ${\ displaystyle AK}$ mai mic decât dimensiunea mai mică $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ Data.

La acest punct Euclid se poate utiliza metoda epuizării pentru a dovedi o propunere fundamentală (Proposition 2 a XII cartea elementelor) pe zonele cercurilor, dar pentru acest lucru este mai întâi necesar să se dovedească o altă propunere (Proposition 1 al XII carte a elementelor ) pe zonele poligoanelor inscripționate într-o circumferință; Propoziția 2 folosește de fapt Propunerea 1 , care corespunde următoarelor

Teorema 2 (Elemente, XII, 1) : Zonele a două poligoane similare inscripționate în două cercuri distincte stau împreună ca pătratele razelor lor respective.

Asta cu referire la figură, unde $BM=2R_{1}$ ${\ displaystyle BM = 2R_ {1}}$ ${\ displaystyle BM = 2R_ {1}}$ Și $GN=2R_{2}$ ${\ displaystyle GN = 2R_ {2}}$ ${\ displaystyle GN = 2R_ {2}}$ sunt diametrele celor două cercuri și $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ sunt respectiv zonele unor poligoane similare $LA B. C. D. ȘI$ ${\ displaystyle ABCDE}$ ${\ displaystyle ABCDE}$ Și $F. G. H. K. L$ ${\ displaystyle FGHKL}$ ${\ displaystyle FGHKL}$ , da ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$ .

Teorema dovezii 2

Lasa-i sa fie $B. M.$ ${\ displaystyle BM}$ ${\ displaystyle BM}$ Și $G. Nu.$ ${\ displaystyle GN}$ ${\ displaystyle GN}$ două diametre ale circumferințelor respective. De cand $LA B. C. D. ȘI$ ${\ displaystyle ABCDE}$ ${\ displaystyle ABCDE}$ este similar cu $F. G. H. K. L$ ${\ displaystyle FGHKL}$ ${\ displaystyle FGHKL}$ , apoi unghiul $B{\hat {A}}E$ ${\ displaystyle B {\ hat {A}} E}$ ${\ displaystyle B {\ hat {A}} E}$ Este egal cu $G{\hat {F}}L$ ${\ displaystyle G {\ hat {F}} L}$ ${\ displaystyle G {\ hat {F}} L}$ Și ${\frac {BA}{AE}}={\frac {GF}{FL}}.$ ${\ displaystyle {\ frac {BA} {AE}} = {\ frac {GF} {FL}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {BA} {AE}} = {\ frac {GF} {FL}}.}$ Atunci $B. LA ȘI$ ${\ displaystyle BAE}$ ${\ displaystyle BAE}$ Și $G. F. L$ ${\ displaystyle GFL}$ ${\ displaystyle GFL}$ sunt doi triunghiuri care au un unghi egal și proporțional cu laturile relative la acesta. Atunci cele două triunghiuri sunt similare, deci toate unghiurile lor sunt egale, prin urmare $A{\hat {E}}B=F{\hat {L}}G$ ${\ displaystyle A {\ hat {E}} B = F {\ hat {L}} G}$ ${\ displaystyle A {\ hat {E}} B = F {\ hat {L}} G}$ . Dar $A{\hat {E}}B=A{\hat {M}}B$ ${\ displaystyle A {\ hat {E}} B = A {\ hat {M}} B}$ ${\ displaystyle A {\ hat {E}} B = A {\ hat {M}} B}$ deoarece au același arc de circumferință ca o bază ^[2] . În mod similar $F{\hat {L}}G=F{\hat {N}}G.$ ${\ displaystyle F {\ hat {L}} G = F {\ hat {N}} G.}$ ${\ displaystyle F {\ hat {L}} G = F {\ hat {N}} G.}$ Prin urmare $A{\hat {M}}B=F{\hat {N}}G.$ ${\ displaystyle A {\ hat {M}} B = F {\ hat {N}} G.}$ ${\ displaystyle A {\ hat {M}} B = F {\ hat {N}} G.}$ Colțurile $B{\hat {A}}M$ ${\ displaystyle B {\ hat {A}} M}$ ${\ displaystyle B {\ hat {A}} M}$ Și $G{\hat {F}}N$ ${\ displaystyle G {\ hat {F}} N}$ ${\ displaystyle G {\ hat {F}} N}$ au dreptate, deoarece un unghi la centru și unul la circumferință, care au același arc de circumferință ca o bază, sunt unul dublu față de celălalt ^[3] . Apoi triunghiurile $LA B. M.$ ${\ displaystyle ABM}$ ${\ displaystyle ABM}$ Și $F. G. Nu.$ ${\ displaystyle FGN}$ ${\ displaystyle FGN}$ toate au unghiuri egale, deci sunt similare. Aceasta înseamnă că ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {BM}{GN}}={\frac {BA}{GF}}.$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} = {\ frac {BM} {GN}} = {\ frac {BA} {GF}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} = {\ frac {BM} {GN}} = {\ frac {BA} {GF}}.}$ Dar pentru ipoteza asemănării dintre cele două poligoane ${\frac {BA}{AE}}={\frac {GF}{FL}}\Rightarrow {\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {BA}{GF}}={\frac {AE}{FL}}.$ ${\ displaystyle {\ frac {BA} {AE}} = {\ frac {GF} {FL}} \ Rightarrow {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} = {\ frac {BA} { GF}} = {\ frac {AE} {FL}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {BA} {AE}} = {\ frac {GF} {FL}} \ Rightarrow {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} = {\ frac {BA} { GF}} = {\ frac {AE} {FL}}.}$ Se obține repetarea acestui raționament pentru toate părțile ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {BA}{GF}}={\frac {AE}{FL}}={\frac {ED}{LK}}=\ldots .$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} = {\ frac {BA} {GF}} = {\ frac {AE} {FL}} = {\ frac {ED} {LK }} = \ ldots.}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} = {\ frac {BA} {GF}} = {\ frac {AE} {FL}} = {\ frac {ED} {LK }} = \ ldots.}$ Prin urmare, laturile corespunzătoare ale celor două poligoane stau împreună ca razele circumferințelor lor respective. Din aceasta deducem imediat asta și pentru perimetre $P_{1}$ ${\ displaystyle P_ {1}}$ $P_1$ Și $P_{2}$ ${\ displaystyle P_ {2}}$ $P_ {2}$ se dovedește ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.$ ${\ displaystyle {\ frac {P_ {1}} {P_ {2}}} = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {P_ {1}} {P_ {2}}} = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}}.}$ Acum complotează înălțimile $SAU P.$ ${\ displaystyle OP}$ $OP$ Și ${SAU}^{'} Î$ ${\ displaystyle O'Q}$ ${\ displaystyle O'Q}$ triunghiuri $LA B. SAU$ ${\ displaystyle ABO}$ ${\ displaystyle ABO}$ Și $F. G. {SAU}^{'}$ ${\ displaystyle FGO '}$ ${\ displaystyle FGO '}$ , obțineți unghiurile $O{\hat {B}}P=O{\hat {B}}A=O'GF=O'GQ$ ${\ displaystyle O {\ hat {B}} P = O {\ hat {B}} A = O'GF = O'GQ}$ ${\ displaystyle O {\ hat {B}} P = O {\ hat {B}} A = O'GF = O'GQ}$ Și $B{\hat {P}}O=G{\hat {Q}}O'$ ${\ displaystyle B {\ hat {P}} O = G {\ hat {Q}} O '}$ ${\ displaystyle B {\ hat {P}} O = G {\ hat {Q}} O '}$ (drept prin construcție) și, în consecință $P{\hat {O}}B=Q{\hat {O}}'G.$ ${\ displaystyle P {\ hat {O}} B = Q {\ hat {O}} 'G.}$ ${\ displaystyle P {\ hat {O}} B = Q {\ hat {O}} 'G.}$ Apoi, de asemenea $B. P. SAU$ ${\ displaystyle BPO}$ ${\ displaystyle BPO}$ Și $G. Î {SAU}^{'}$ ${\ displaystyle GQO '}$ ${\ displaystyle GQO '}$ sunt triunghiuri similare și, prin urmare ${\frac {OP}{O'Q}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}.$ ${\ displaystyle {\ frac {OP} {O'Q}} = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {OP} {O'Q}} = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}}.}$ Apoi ariile celor două triunghiuri $LA B. SAU$ ${\ displaystyle ABO}$ ${\ displaystyle ABO}$ Și $F. G. {SAU}^{'}$ ${\ displaystyle FGO '}$ ${\ displaystyle FGO '}$ stați împreună ca ${\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$ . Repetarea raționamentului pentru toate celelalte părți și adunarea se obțin imediat pentru zone $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ dintre cele două poligoane ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$

Teorema 1 este fundamentală pentru a demonstra următoarele:

Teorema 3 (Elemente, XII, 2) : Zonele a două cercuri stau împreună ca pătratele razelor lor respective.

Lasa-i sa fie $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ zonele cercurilor $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ Și $ȘI F. G. H.$ ${\ displaystyle EFGH}$ ${\ displaystyle EFGH}$ , $B. D.$ ${\ displaystyle BD}$ $BD$ Și $F. H.$ ${\ displaystyle FH}$ $FH$ diametrele lor și $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ , $R_{2}$ ${\ displaystyle R_ {2}}$ $R_ {2}$ razele lor. Atunci vrei să demonstrezi asta ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}={\frac {BD^{2}}{FH^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {BD ^ {2}} {FH ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {BD ^ {2}} {FH ^ {2}}}}$ . Să presupunem că pătratele lui $B. D.$ ${\ displaystyle BD}$ $BD$ și $F. H.$ ${\ displaystyle FH}$ $FH$ nu stați împreună ca $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ , asa de ${\frac {BD^{2}}{FH^{2}}}={\frac {A_{1}}{S}}$ ${\ displaystyle {\ frac {BD ^ {2}} {FH ^ {2}}} = {\ frac {A_ {1}} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {BD ^ {2}} {FH ^ {2}}} = {\ frac {A_ {1}} {S}}}$ unde este $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este o zonă care poate fi mai mare sau mai mică decât $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ . Ne ocupăm separat de aceste două cazuri.

Fii primul $S<A_{2}$ ${\ displaystyle S <A_ {2}}$ ${\ displaystyle S <A_ {2}}$ . Pătratul este înregistrat $ȘI F. G. H.$ ${\ displaystyle EFGH}$ ${\ displaystyle EFGH}$ în cerc $ȘI F. G. H.$ ${\ displaystyle EFGH}$ ${\ displaystyle EFGH}$ . Se poate arăta că suprafața acestui pătrat este mai mare decât ${\frac {A_{2}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {2}} {2}}}$ . De fapt, dacă pentru puncte $ȘI, F., G., H.$ ${\ displaystyle E, F, G, H}$ ${\ displaystyle E, F, G, H}$ trasăm tangențele la cerc, apoi vedem imediat că pătratul $ȘI F. G. H.$ ${\ displaystyle EFGH}$ ${\ displaystyle EFGH}$ are o suprafață egală cu jumătate din pătratul circumscris cercului, iar cercul are o suprafață mai mică decât pătratul circumscris, deci aria pătratului $ȘI F. G. H.$ ${\ displaystyle EFGH}$ ${\ displaystyle EFGH}$ înscris este mai mare decât ${\frac {A_{2}}{2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {2}} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {2}} {2}}}$ .

Acum împărțiți arcurile de circumferință ${\stackrel {\frown }{EF}},\ {\stackrel {\frown }{FG}},\ {\stackrel {\frown }{GH}},\ {\stackrel {\frown }{HE}}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ frown} {EF}}, \ {\ stackrel {\ frown} {FG}}, \ {\ stackrel {\ frown} {GH}}, \ {\ stackrel {\ frown} { EL}}}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ frown} {EF}}, \ {\ stackrel {\ frown} {FG}}, \ {\ stackrel {\ frown} {GH}}, \ {\ stackrel {\ frown} { EL}}}$ , obținerea punctelor $K,\ L,\ M,\ N$ ${\ displaystyle K, \ L, \ M, \ N}$ ${\ displaystyle K, \ L, \ M, \ N}$ . Ei vin împreună $EK,\ KF,\ FL,\ LG,\ GM$ ${\ displaystyle EK, \ KF, \ FL, \ LG, \ GM}$ ${\ displaystyle EK, \ KF, \ FL, \ LG, \ GM}$ . Se poate arăta că aria triunghiului $ȘI K. F.$ ${\ displaystyle EKF}$ ${\ displaystyle EKF}$ este mai mare de jumătate din aria segmentului circular corespunzător. De fapt, trasând tangenta la cercul din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ și construirea dreptunghiului lateral $ȘI F.$ ${\ displaystyle EF}$ $EF$ vedem imediat că aria triunghiului $ȘI K. F.$ ${\ displaystyle EKF}$ ${\ displaystyle EKF}$ este jumătate din aria dreptunghiului construit; dar acest dreptunghi are o zonă mai mare decât segmentul circular corespunzător, deci aria triunghiului este mai mare decât jumătate din aria segmentului circular.

După aceea, bisectează arcurile ${\stackrel {\frown }{EF}},\ {\stackrel {\frown }{KF}},\ldots .$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ frown} {EF}}, \ {\ stackrel {\ frown} {KF}}, \ ldots.}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ frown} {EF}}, \ {\ stackrel {\ frown} {KF}}, \ ldots.}$ acest proces poate fi continuat iterativ în care, la fiecare iterație, un triunghi cu o suprafață mai mare de jumătate din aria segmentului circular este scăzut din fiecare segment circular. Definind cu $\varepsilon _{n}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {n}}$ aria totală a tuturor segmentelor circulare construite la a noua iterație, apoi prin Teorema 2 (adică metoda epuizării) va exista ${\bar {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ astfel încât $\varepsilon _{\bar {n}}<A_{2}-S$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ bar {n}} <A_ {2} -S}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ bar {n}} <A_ {2} -S}$ . să presupunem că $ȘI K. F. L G. M. H. Nu.$ ${\ displaystyle EKFLGMHN}$ ${\ displaystyle EKFLGMHN}$ este poligonul obținut la ${\bar {n}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {n}}}$ -a iterație; apoi construiește în cerc $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ poligonul similar $LA SAU B. P. C. Î D. R.$ ${\ displaystyle AOBPCQDR}$ ${\ displaystyle AOBPCQDR}$ . Apoi, conform teoremei 2: ${\frac {area\left(AOBPCQDR\right)}{area\left(EKFLGMHN\right)}}={\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}={\frac {A_{1}}{S}}$ ${\ displaystyle {\ frac {area \ left (AOBPCQDR \ right)} {area \ left (EKFLGMHN \ right)}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2} }} = {\ frac {A_ {1}} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {area \ left (AOBPCQDR \ right)} {area \ left (EKFLGMHN \ right)}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2} }} = {\ frac {A_ {1}} {S}}}$ . Dar $area\left(AOBPCQDR\right)<A_{1}$ ${\ displaystyle area \ left (AOBPCQDR \ right) <A_ {1}}$ ${\ displaystyle area \ left (AOBPCQDR \ right) <A_ {1}}$ , așa ar trebui să fie $area\left(EKFLGMHN\right)<S$ ${\ displaystyle area \ left (EKFLGMHN \ right) <S}$ ${\ displaystyle area \ left (EKFLGMHN \ right) <S}$ , totuși prin construcție se dovedește $area\left(EKFLGMHN\right)>S$ ${\ displaystyle area \ left (EKFLGMHN \ right)> S}$ ${\ displaystyle area \ left (EKFLGMHN \ right)> S}$ . Prin urmare $S<A_{2}$ ${\ displaystyle S <A_ {2}}$ ${\ displaystyle S <A_ {2}}$ nu poate fi adevărat. În mod similar, se arată că, dacă ${\frac {FH^{2}}{BD^{2}}}={\frac {R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}}}={\frac {A_{2}}{S}}$ ${\ displaystyle {\ frac {FH ^ {2}} {BD ^ {2}}} = {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {R_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {2}} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {FH ^ {2}} {BD ^ {2}}} = {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {R_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {2}} {S}}}$ , nu poate fi $S<A_{1}$ ${\ displaystyle S <A_ {1}}$ ${\ displaystyle S <A_ {1}}$ .

Să presupunem atunci $S>A_{2}$ ${\ displaystyle S> A_ {2}}$ ${\ displaystyle S> A_ {2}}$ . Având în vedere că prin ipoteză ${\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}={\frac {A_{1}}{S}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {1}} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {1}} {S}}}$ , va exista o anumită zonă $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ astfel încât $A_{1}A_{2}=ST$ ${\ displaystyle A_ {1} A_ {2} = ST}$ ${\ displaystyle A_ {1} A_ {2} = ST}$ , dar de atunci $S>A_{2}$ ${\ displaystyle S> A_ {2}}$ ${\ displaystyle S> A_ {2}}$ , atunci va fi $T<A_{1}$ ${\ displaystyle T <A_ {1}}$ ${\ displaystyle T <A_ {1}}$ . Prin urmare, se dovedește că ${\frac {R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}}}={\frac {A_{2}}{T}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {R_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {2}} {T}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {R_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {2}} {T}}}$ cu $T<A_{1}$ ${\ displaystyle T <A_ {1}}$ ${\ displaystyle T <A_ {1}}$ , dar acest lucru s-a arătat mai sus ca fiind imposibil, deci nu poate fi $S>A_{2}$ ${\ displaystyle S> A_ {2}}$ ${\ displaystyle S> A_ {2}}$ . În mod similar, se arată că, dacă ${\frac {FH^{2}}{BD^{2}}}={\frac {R_{2}^{2}}{R_{1}^{2}}}={\frac {A_{2}}{S}}$ ${\ displaystyle {\ frac {FH ^ {2}} {BD ^ {2}}} = {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {R_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {2}} {S}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {FH ^ {2}} {BD ^ {2}}} = {\ frac {R_ {2} ^ {2}} {R_ {1} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {2}} {S}}}$ , atunci nu se poate $S>A_{1}$ ${\ displaystyle S> A_ {1}}$ ${\ displaystyle S> A_ {1}}$ .

Deci, punând totul împreună, trebuie să rămână neapărat adevărat ${\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}={\frac {A_{1}}{A_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}} = {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}}}$ , adică zonele a două cercuri stau împreună ca pătratele razelor lor respective; Prin urmare, teorema 3 este demonstrată.

Pentru a trece acum la calculul circumferinței, este necesar mai întâi să premisăm o definiție și două axiome pe care Arhimede le enunță în prima carte Despre sferă și cilindru . Strict vorbind, axiomele lui Arhimede nu sunt o definiție a lungimii unei curbe, ci mai degrabă doar enunțarea unor proprietăți care, de fapt, lasă definiția reală a lungimii intuiției. Ulterior aceste noțiuni vor fi redefinite folosind axioma lui Dedekind.

Definiție (pe sferă și Cilindrul I, definiția 2): definiția concavă pe aceeași parte este aplicată o linie , astfel încât, în cazul în care oricare două puncte sunt luate pe ea, sau segmentele de legătură aceste puncte se află pe o singură parte a numai linie. linie dată, sau unele se află pe o parte numai în timp ce altele se află pe linia dată însăși, dar niciun segment nu se află pe cealaltă parte.

Trei curbe sunt prezentate în figură. Primele două satisfac definiția, de fapt toate segmentele care conectează oricare două puncte se află în întregime pe aceeași parte a curbei, astfel încât aceste curbe sunt concavă pe aceeași parte. În cea de-a treia curbă, pe de altă parte, unele segmente care leagă oricare două puncte nu se află în întregime pe aceeași parte a curbei, ceea ce nu este deci concav pe aceeași parte.

Arhimede afirmă apoi două axiome pe lungimea curbelor.

Axioma 1 a lui Arhimede pe lungimea curbelor : Dintre toate liniile care au aceleași extreme, linia dreaptă este cea mai scurtă.

Axioma 2 a lui Arhimede pe lungimea curbelor : Dintre celelalte linii dintr-un plan și care au aceleași capete, există două linii diferite ambele concav pe aceeași parte, dintre care una este în întregime cuprinsă între cealaltă linie și linia dreaptă cu același capăt, sau este parțial conținut de și parțial coincident cu cealaltă linie; linia conținută are lungimea L mai mică decât cealaltă.

Figura prezintă câteva exemple de curbe care satisfac condițiile axiomelor lui Arhimede pentru lungime $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ . În toate cazurile se dovedește $L\left(\Gamma \right)>L\left(\gamma \right)>L\left(r\right)$ ${\ displaystyle L \ left (\ Gamma \ right)> L \ left (\ gamma \ right)> L \ left (r \ right)}$ ${\ displaystyle L \ left (\ Gamma \ right)> L \ left (\ gamma \ right)> L \ left (r \ right)}$ .

Din axioma 1 a lui Arhimede pe lungimea curbelor, urmează imediat următoarele:

Teorema 4 : Perimetrul unui poligon înscris într-un cerc este mai mic decât lungimea circumferinței.

De fapt, fiecare parte a poligonului este, prin axioma 1, mai mică decât partea de circumferință tăiată de acesta.

Mai departe poate fi, de asemenea, demonstrat

Teorema 5 (Despre sfera și cilindrul I, propunerea 1) : Dacă un poligon este circumscris unei circumferințe, perimetrul poligonului este mai mare decât lungimea circumferinței.

Teorema dovezii 5

Orice două laturi adiacente cu vârf $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ sunt tangente la cercul din puncte $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și $Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ . Apoi prin axioma 2 a lui Arhimede pe lungimea curbelor $PA+AQ>L\left({\stackrel {\frown }{PQ}}\right).$ ${\ displaystyle PA + AQ> L \ left ({\ stackrel {\ frown} {PQ}} \ right).}$ ${\ displaystyle PA + AQ> L \ left ({\ stackrel {\ frown} {PQ}} \ right).}$ O inegalitate similară este valabilă pentru toate celelalte părți, prin urmare, prin adunarea, obținem că perimetrul poligonului este mai mare decât circumferința.

Există acum toate premisele pentru a dovedi o altă teoremă fundamentală, corespunzătoare propunerii 1 a cărții Despre măsurarea cercului lui Arhimede:

Teorema 6 (Despre măsura cercului, propunerea 1) : Zona $A_{C}$ ${\ displaystyle A_ {C}}$ ${\ displaystyle A_ {C}}$ a oricărui cerc este echivalent cu cel al unui triunghi dreptunghiular în care una dintre picioare este egală cu raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ a cercului și a celuilalt catet egal cu circumferința $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . Adică $A_{C}={\frac {CR}{2}}$ ${\ displaystyle A_ {C} = {\ frac {CR} {2}}}$ ${\ displaystyle A_ {C} = {\ frac {CR} {2}}}$

Este $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ cercul dat e $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ triunghiul descris în enunțul teoremei 6. Apoi, dacă aria cercului nu ar fi echivalentă cu cea a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ , ar trebui să fie mai mic sau mai mare.

Să presupunem mai întâi că este $A_{C}>K.$ ${\ displaystyle A_ {C}> K.}$ ${\ displaystyle A_ {C}> K.}$ Introduceți pătratul în circumferință $LA B. C. D.$ ${\ displaystyle ABCD}$ $ABCD$ , bisechino arcurile ${\stackrel {\frown }{AB}},\ {\stackrel {\frown }{BC}},\ {\stackrel {\frown }{CD}},\ {\stackrel {\frown }{DA}},$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ frown} {AB}}, \ {\ stackrel {\ frown} {BC}}, \ {\ stackrel {\ frown} {CD}}, \ {\ stackrel {\ frown} { DIN}},}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ frown} {AB}}, \ {\ stackrel {\ frown} {BC}}, \ {\ stackrel {\ frown} {CD}}, \ {\ stackrel {\ frown} { DIN}},}$ apoi împărțiți (dacă este necesar) jumătățile respective și așa mai departe până când laturile poligonului inscripționat, ale căror vârfuri coincid cu punctele de bisecție, determină segmente circulare suma a căror arii este mai mică de $A_{C}-K$ ${\ displaystyle A_ {C} -K}$ ${\ displaystyle A_ {C} -K}$ . Acest lucru este întotdeauna posibil datorită teoremei 1, așa cum s-a arătat deja în demonstrația teoremei 3. Aria poligonului înscris este deci mai mare decât cea a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Este $LA ȘI$ ${\ displaystyle AE}$ $AE$ o parte a acestui poligon și $SAU Nu.$ ${\ displaystyle ON}$ ${\ displaystyle ON}$ perpendicular pe acesta din centru $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ a cercului. Atunci $SAU Nu.$ ${\ displaystyle ON}$ ${\ displaystyle ON}$ este mai mică decât raza și, prin urmare, mai mică decât una dintre picioarele $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Perimetrul poligonului este, de asemenea, mai mic decât circumferința și, prin urmare, mai mic decât cealaltă parte a $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Prin urmare, aria poligonului trebuie să fie mai mică de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Am obținut astfel o contradicție (aria poligonului simultan mai mare și mai mică decât $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ), de aici ipoteza $A_{C}>K$ ${\ displaystyle A_ {C}> K}$ ${\ displaystyle A_ {C}> K}$ nu poate fi adevărat.

Așa să fie atunci $A_{C}<K.$ ${\ displaystyle A_ {C} <K.}$ ${\ displaystyle A_ {C} <K.}$ Un pătrat a fost circumscris cercului și două laturi adiacente cu vârf $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ sunt tangente la cercul din puncte $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ Și $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ . Arcul este bisectat ${\stackrel {\frown }{EH}}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ încruntat} {EH}}}$ ${\ displaystyle {\ stackrel {\ încruntat} {EH}}}$ și desenează tengente în punct $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ împărţire în două. Este $F. G.$ ${\ displaystyle FG}$ ${\ displaystyle FG}$ segmentul tangent ad $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Apoi colțul $T{\hat {A}}G$ ${\ displaystyle T {\ hat {A}} G}$ ${\ displaystyle T {\ hat {A}} G}$ este vertical; rezultă deci că $TG>GA$ ${\ displaystyle TG> GA}$ ${\ displaystyle TG> GA}$ Și $TG>GH$ ${\ displaystyle TG> GH}$ ${\ displaystyle TG> GH}$ . Dar de atunci $T. LA G.$ ${\ displaystyle TAG}$ ${\ displaystyle TAG}$ Și $LA H. G.$ ${\ displaystyle AHG}$ ${\ displaystyle AHG}$ sunt două triunghiuri cu aceeași înălțime și baze $TG>GH$ ${\ displaystyle TG> GH}$ ${\ displaystyle TG> GH}$ , apoi zona de $T. LA G.$ ${\ displaystyle TAG}$ ${\ displaystyle TAG}$ este mai mare decât aria de $LA H. G.$ ${\ displaystyle AHG}$ ${\ displaystyle AHG}$ . Din aceasta rezultă imediat că aria triunghiului $F. T. G.$ ${\ displaystyle FTG}$ ${\ displaystyle FTG}$ este mai mare de jumătate din aria poligonului $T. ȘI LA H.$ ${\ displaystyle TEAH}$ ${\ displaystyle TEAH}$ .

În mod similar, dacă arcul $LA H.$ ${\ displaystyle AH}$ $AH$ este împărțit și tangenta sa trasă la punctul de bisecție, din nou din zonă $G. LA H.$ ${\ displaystyle GAH}$ ${\ displaystyle GAH}$ se scade o zonă mai mare de jumătate. Continuând acest proces, prin urmare, prin Teorema 1, ajungem la un poligon circumscris astfel încât spațiul dintre acesta și circumferință să fie mai mic de $K-A_{C}$ ${\ displaystyle K-A_ {C}}$ ${\ displaystyle K-A_ {C}}$ , adică poligonul circumscris are o zonă mai mică decât $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Poligonul are o apotemă egală cu raza și, prin urmare, egală cu un catet de $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ; dar perimetrul său este mai mare decât circumferința cercului, deci mai mare decât celălalt catet din $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Atunci aria poligonului este mai mare decât $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ . Am obținut astfel o altă contradicție (aria poligonului circumscris simultan mai mare și mai mică decât $K.$ ${\ displaystyle K}$ $K.$ ), de aici ipoteza $A_{C}<K$ ${\ displaystyle A_ {C} <K}$ ${\ displaystyle A_ {C} <K}$ nu poate fi adevărat.

Pe scurt, a nu putea fi $A_{C}<K$ ${\ displaystyle A_ {C} <K}$ ${\ displaystyle A_ {C} <K}$ nici $A_{C}>K$ ${\ displaystyle A_ {C}> K}$ ${\ displaystyle A_ {C}> K}$ , neapărat se dovedește $A_{C}=K={\frac {CR}{2}}$ ${\ displaystyle A_ {C} = K = {\ frac {CR} {2}}}$ ${\ displaystyle A_ {C} = K = {\ frac {CR} {2}}}$ .

Definiția și unicitatea lui Pi

Toată teoria dezvoltată până acum ne permite să definim pi și să-i demonstrăm unicitatea.

Definiția lui Pi : Având un cerc de circumferință $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ și raza $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , este definit $\pi _{C}={\frac {C}{2R}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {C} = {\ frac {C} {2R}}}$ ${\ displaystyle \ pi _ {C} = {\ frac {C} {2R}}}$

Pentru moment a fost utilizat indicele „C” deoarece, a priori, nu se știe dacă valoarea lui pi depinde de cercul dat. Cu toate acestea, declarăm și demonstrăm imediat următoarele:

Teorema unicității Pi 7 : dați oricare două cercuri $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ Și $C_{2}$ ${\ displaystyle C_ {2}}$ $C_ {2}$ de raze $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ Și $R_{2}$ ${\ displaystyle R_ {2}}$ $R_ {2}$ , atunci se dovedește întotdeauna $2\pi _{1}={\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}=2\pi _{2}$ ${\ displaystyle 2 \ pi _ {1} = {\ frac {C_ {1}} {R_ {1}}} = {\ frac {C_ {2}} {R_ {2}}} = 2 \ pi _ { 2}}$ ${\ displaystyle 2 \ pi _ {1} = {\ frac {C_ {1}} {R_ {1}}} = {\ frac {C_ {2}} {R_ {2}}} = 2 \ pi _ { 2}}$ , adică $\pi _{1}=\pi _{2}=\pi$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} = \ pi _ {2} = \ pi}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} = \ pi _ {2} = \ pi}$ . Deci, pi este același pentru toate cercurile.

Într-adevăr, sunt $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ zonele celor două cercuri alese în mod arbitrar, apoi prin Teorema 3 rezultă ${\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {R_{1}^{2}}{R_{2}^{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {R_ {1} ^ {2}} {R_ {2} ^ {2}}}}$ , în timp ce pentru Teorema 6 $A_{1}={\frac {C_{1}R_{1}}{2}},\ A_{2}={\frac {C_{2}R_{2}}{2}}\Rightarrow {\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {C_{1}R_{1}}{C_{2}R_{2}}}$ ${\ displaystyle A_ {1} = {\ frac {C_ {1} R_ {1}} {2}}, \ A_ {2} = {\ frac {C_ {2} R_ {2}} {2}} \ Rightarrow {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {C_ {1} R_ {1}} {C_ {2} R_ {2}}}}$ ${\ displaystyle A_ {1} = {\ frac {C_ {1} R_ {1}} {2}}, \ A_ {2} = {\ frac {C_ {2} R_ {2}} {2}} \ Rightarrow {\ frac {A_ {1}} {A_ {2}}} = {\ frac {C_ {1} R_ {1}} {C_ {2} R_ {2}}}}$ . Urmează apoi că ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}\Rightarrow {\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {C_ {1}} {C_ {2}}} = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ Rightarrow {\ frac {C_ {1}} {R_ { 1}}} = {\ frac {C_ {2}} {R_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {C_ {1}} {C_ {2}}} = {\ frac {R_ {1}} {R_ {2}}} \ Rightarrow {\ frac {C_ {1}} {R_ { 1}}} = {\ frac {C_ {2}} {R_ {2}}}}$ .

Discuție modernă și redefinirea axiomelor

Axioma lui Dedekind

Pentru a ajunge la definiția $\pi$ ${\ displaystyle \ pi}$ $\ pi$ este necesar să se utilizeze axioma lui Eudoxus și axiomele lui Arhimede pe lungimea curbelor. Eudoxus nu este folosit de Euclid ca axiomă, ci doar ca definiție. În realitate este o adevărată axiomă care este de fapt folosită de Hilbert în axiomatizarea sa modernă a geometriei euclidiene , cu numele de Axioma lui Arhimede:

Axioma Arhimede-Hilbert : Let $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ orice punct de pe o linie între două puncte $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ a liniei drepte arbitrar alese. Obține puncte $A_{2},A_{3},A_{4},\ldots$ ${\ displaystyle A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}, \ ldots}$ ${\ displaystyle A_ {2}, A_ {3}, A_ {4}, \ ldots}$ astfel încât $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ zace între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ , $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ între $A_{1}$ ${\ displaystyle A_ {1}}$ $A_1$ Și $A_{3}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ , $A_{3}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ ${\ displaystyle A_ {3}}$ între $A_{2}$ ${\ displaystyle A_ {2}}$ $A_2$ Și $A_{4}$ ${\ displaystyle A_ {4}}$ $A_ {4}$ etc. De asemenea, sunt segmentele ${\overline {AA_{1}}},{\overline {A_{1}A_{2}}},{\overline {A_{2}A_{3}}},\ldots$ ${\ displaystyle {\ overline {AA_ {1}}}, {\ overline {A_ {1} A_ {2}}}, {\ overline {A_ {2} A_ {3}}}, \ ldots}$ ${\ displaystyle {\ overline {AA_ {1}}}, {\ overline {A_ {1} A_ {2}}}, {\ overline {A_ {2} A_ {3}}}, \ ldots}$ egale între ele. Apoi, în această serie de puncte, există întotdeauna un anumit punct $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ astfel încât $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ zace între $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ .

Axioma Arhimede-Hilbert este doar o formulare diferită a axiomei Eudoxus, de fapt, având în vedere un segment ${\overline {CD}}$ ${\ displaystyle {\ overline {CD}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {CD}}}$ oricare, definitorie ${\overline {CD}}={\overline {AA_{1}}}={\overline {A_{1}A_{2}}}={\overline {A_{2}A_{3}}}=\ldots {}$ ${\ displaystyle {\ overline {CD}} = {\ overline {AA_ {1}}} = {\ overline {A_ {1} A_ {2}}} = {\ overline {A_ {2} A_ {3}} } = \ ldots {}}$ ${\ displaystyle {\ overline {CD}} = {\ overline {AA_ {1}}} = {\ overline {A_ {1} A_ {2}}} = {\ overline {A_ {2} A_ {3}} } = \ ldots {}}$ , rezultă imediat că există $A_{n}$ ${\ displaystyle A_ {n}}$ $A_ {n}$ astfel încât ${\overline {AA_{n}}}=n\cdot {\overline {CD}}>{\overline {AB}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AA_ {n}}} = n \ cdot {\ overline {CD}}> {\ overline {AB}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {AA_ {n}}} = n \ cdot {\ overline {CD}}> {\ overline {AB}}}$ , sau axioma lui Eudoxus.

Axioma 2 a lui Arhimede pe lungimea curbelor concave de pe aceeași parte este mai problematică. De fapt, numai o proprietate a lungimii unei curbe este definită în ea, dar nu este dată o definiție precisă. Per definire la lunghezza di una curva è necessario introdurre un altro assioma fondamentale, l' assioma di Dedekind . Come si vedrà, questo assioma è di fatto implicito nella geometria euclidea e, come discuteremo, da esso si può dedurre sia l'assioma di Eudosso sia l'assioma 2 di Archimede sulle curve. Enunciamo ^[4] subito l'assioma di Dedekind, poi se ne discuteranno le conseguenze:

Assioma di Dedekind (1872) : Sia $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ un sottoinsieme di un campo ordinato di grandezze $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ . Se $\exists c\in F:a\in S\Rightarrow a\leq c$ $\exists c\in F:a\in S\Rightarrow a\leq c$ $\exists c\in F:a\in S\Rightarrow a\leq c$ allora $\exists B\in F$ $\exists B\in F$ $\exists B\in F$ tale che

$a\in S\Rightarrow a\leq B$ $a\in S\Rightarrow a\leq B$ $a\in S\Rightarrow a\leq B$ ;
$d\in F,d<B\Rightarrow \exists a\in S:d<a$ $d\in F,d<B\Rightarrow \exists a\in S:d<a$ $d\in F,d<B\Rightarrow \exists a\in S:d<a$ .

Analogamente, se $\exists c\in F:a\in S\Rightarrow a\geq c$ $\exists c\in F:a\in S\Rightarrow a\geq c$ $\exists c\in F:a\in S\Rightarrow a\geq c$ , allora $\exists b\in F$ $\exists b\in F$ $\exists b\in F$ tale che

$a\in S\Rightarrow a\geq b$ $a\in S\Rightarrow a\geq b$ $a\in S\Rightarrow a\geq b$ ;
$d\in F,d>b\Rightarrow \exists a\in S:d>a$ $d\in F,d>b\Rightarrow \exists a\in S:d>a$ $d\in F,d>b\Rightarrow \exists a\in S:d>a$ .

Definizione : Le grandezze $B$ ${\displaystyle B}$ $B$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ definite nell'assioma di Dedekind vengono chiamate rispettivamente estremo superiore ed estremo inferiore dell'insieme $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ e indicate come $B=\sup \left(S\right)$ $B=\sup \left(S\right)$ $B=\sup \left(S\right)$ e $b=\inf \left(S\right)$ $b=\inf \left(S\right)$ $b=\inf \left(S\right)$ .

Si può dimostrare che dall'assioma di Dedekind segue l'assioma di Eudosso.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che, date due grandezze $a$ ${\displaystyle a}$ $a$ e $b$ ${\displaystyle b}$ $b$ tali che $0<a<b$ ${\displaystyle 0<a<b}$ $0<a<b$ , sia $na\leq b$ $na\leq b$ $na\leq b$ per qualunque intero $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ . Allora l'insieme $S=\left\{na\right\}$ $S=\left\{na\right\}$ $S=\left\{na\right\}$ soddisfa le condizioni dell'assioma di Dedekind e quindi esiste $B=\sup \left(\left\{na\right\}\right)$ $B=\sup \left(\left\{na\right\}\right)$ $B=\sup \left(\left\{na\right\}\right)$ . Quindi $na\leq B$ $na\leq B$ $na\leq B$ per ogni $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ , e poiché $B-a<B$ ${\displaystyle Ba<B}$ $B-a<B$ , per l'assioma di Dedekind esiste $ma\in \left\{na\right\}$ $ma\in \left\{na\right\}$ $ma\in \left\{na\right\}$ tale che $B-a<ma$ ${\displaystyle Ba<ma}$ $B-a<ma$ ovvero $B<ma+a=\left(m+1\right)a$ $B<ma+a=\left(m+1\right)a$ $B<ma+a=\left(m+1\right)a$ . Ma anche $\left(m+1\right)a\in \left\{na\right\}$ $\left(m+1\right)a\in \left\{na\right\}$ $\left(m+1\right)a\in \left\{na\right\}$ quindi abbiamo trovato un elemento di $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ maggiore dell'estremo superiore $B$ ${\displaystyle B}$ $B$ di $S$ ${\displaystyle S}$ $S$ . Ma questa è una contraddizione, quindi $na\leq b$ $na\leq b$ $na\leq b$ non può essere vera per ogni $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ .

Abbiamo detto che l'assioma di Dedekind è di fatto implicito in tutta la geometria euclidea; esso infatti in generale esprime il concetto di continuità. Per capire questo si considerino le cosiddette sezioni di Dedekind :

Definizione : Dato un campo ordinato di grandezze $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ , una sezione di Dedekind è una partizione $\left(F_{1},F_{2}\right)$ $\left(F_{1},F_{2}\right)$ $\left(F_{1},F_{2}\right)$ di $F$ ${\displaystyle F}$ $F$ (ovvero $F=F_{1}\cup F_{2}$ $F=F_{1}\cup F_{2}$ $F=F_{1}\cup F_{2}$ e $F_{1}\cap F_{2}=\oslash$ $F_{1}\cap F_{2}=\oslash$ $F_{1}\cap F_{2}=\oslash$ ) tale che $\forall x\in F_{1},\ \forall y\in F_{2}\Rightarrow x<y$ $\forall x\in F_{1},\ \forall y\in F_{2}\Rightarrow x<y$ $\forall x\in F_{1},\ \forall y\in F_{2}\Rightarrow x<y$ e che $\forall \varepsilon >0,\ \exists x\in F_{1},\ \exists y\in F_{2}$ $\forall \varepsilon >0,\ \exists x\in F_{1},\ \exists y\in F_{2}$ $\forall \varepsilon >0,\ \exists x\in F_{1},\ \exists y\in F_{2}$ tali che $y-x<\varepsilon$ $yx<\varepsilon$ $y-x<\varepsilon$ (classi indefinitamente ravvicinate).

Utilizzando l'assioma di Dedekind si può dimostrare che $\sup \left(F_{1}\right)=\inf \left(F_{2}\right)=k$ $\sup \left(F_{1}\right)=\inf \left(F_{2}\right)=k$ $\sup \left(F_{1}\right)=\inf \left(F_{2}\right)=k$ . La grandezza $k$ ${\displaystyle k}$ $k$ viene chiamata elemento di separazione delle due classi $F_{1}$ $F_{1}$ $F_{1}$ e $F_{2}$ $F_{2}$ $F_{2}$ .

Dimostrazione

Per l'assioma di Dedekind $\sup \left(F_{1}\right)$ $\sup \left(F_{1}\right)$ $\sup \left(F_{1}\right)$ e $\inf \left(F_{2}\right)$ $\inf \left(F_{2}\right)$ $\inf \left(F_{2}\right)$ esistono, quindi si deve dimostrare che essi coincidono. Supponiamo che sia $\inf \left(F_{2}\right)<\sup \left(F_{1}\right)$ $\inf \left(F_{2}\right)<\sup \left(F_{1}\right)$ $\inf \left(F_{2}\right)<\sup \left(F_{1}\right)$ ; allora per l'assioma di Dedekind esiste ${\bar {y}}\in F_{2}$ ${\bar {y}}\in F_{2}$ ${\bar {y}}\in F_{2}$ tale che ${\bar {y}}<\sup \left(F_{1}\right)$ ${\bar {y}}<\sup \left(F_{1}\right)$ ${\bar {y}}<\sup \left(F_{1}\right)$ , ma quest'ultima relazione, sempre per l'assioma di Dedekind, implica ${\bar {y}}\in F_{1}$ ${\bar {y}}\in F_{1}$ ${\bar {y}}\in F_{1}$ , contrariamente all'ipotesi che i due insiemi $F_{1}$ $F_{1}$ $F_{1}$ e $F_{2}$ $F_{2}$ $F_{2}$ siano disgiunti. Supponiamo allora che sia $\sup \left(F_{1}\right)<\inf \left(F_{2}\right)$ $\sup \left(F_{1}\right)<\inf \left(F_{2}\right)$ $\sup \left(F_{1}\right)<\inf \left(F_{2}\right)$ ; allora risulta $\forall x\in F_{1},\ \forall y\in F_{2}\Rightarrow x\leq \sup \left(F_{1}\right)<\inf \left(F_{2}\right)\leq y$ $\forall x\in F_{1},\ \forall y\in F_{2}\Rightarrow x\leq \sup \left(F_{1}\right)<\inf \left(F_{2}\right)\leq y$ $\forall x\in F_{1},\ \forall y\in F_{2}\Rightarrow x\leq \sup \left(F_{1}\right)<\inf \left(F_{2}\right)\leq y$ ovvero $y-x>\inf \left(F_{2}\right)-\sup \left(F_{1}\right)$ $yx>\inf \left(F_{2}\right)-\sup \left(F_{1}\right)$ $y-x>\inf \left(F_{2}\right)-\sup \left(F_{1}\right)$ , contrariamente all'ipotesi che $\forall \varepsilon >0,\ \exists x\in F_{1},\ \exists y\in F_{2}$ $\forall \varepsilon >0,\ \exists x\in F_{1},\ \exists y\in F_{2}$ $\forall \varepsilon >0,\ \exists x\in F_{1},\ \exists y\in F_{2}$ tali che $y-x<\varepsilon$ $yx<\varepsilon$ $y-x<\varepsilon$ . Necessariamente quindi risulta $\sup \left(F_{1}\right)=\inf \left(F_{2}\right)$ $\sup \left(F_{1}\right)=\inf \left(F_{2}\right)$ $\sup \left(F_{1}\right)=\inf \left(F_{2}\right)$ .

Abbiamo allora trovato in questo modo l'originaria formulazione dell'assioma di Dedekind, che riportiamo direttamente con le parole del matematico tedesco ^[5] :

«Io trovo l'essenza della continuità nel seguente principio: se tutti i punti della linea retta si distinguono in due classi tali che ogni punto della prima classe giaccia a sinistra di ogni punto della seconda classe, allora esiste uno e soltanto un punto che produce questa divisione di tutti i punti in due classi, questa sezione della linea retta in due parti. »

Che l'assioma di Dedekind esprima in astratto il concetto di continuità lo si può meglio comprendere da quanto segue. Nell'opera di Euclide ci sono due assiomi che vengono implicitamente utilizzati senza essere enunciati ^[6] :

Assioma di continuità circolare : se una circonferenza $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ ha un punto all'interno e uno all'esterno di un'altra circonferenza $\gamma '$ $\gamma '$ $\gamma '$ , allora le due circonferenze si intersecano in due punti.
Assioma di continuità elementare : se l'estremo di un segmento cade all'interno di una circonferenza e l'altro estremo all'esterno, allora il segmento interseca la circonferenza.

Ma in realtà non c'è bisogno di introdurre la continuità circolare ed elementare come assiomi, infatti, partendo dall'assioma di Dedekind, essi possono essere dimostrati come teoremi ^[7] . Come illustrato nel prossimo paragrafo anche l'assioma di Archimede sulla lunghezza delle curve concave dalla stessa parte può essere dimostrato da quello di Dedekind, così che esso ci permette di arrivare alla definizione e all'unicità del pi greco riducendo i due assiomi di Archimede (sulle curve) e di Eudosso ad uno solo. Quindi, anche se in Euclide e Archimede non si trovano formulazioni analoghe dell'assioma di Dedekind, e considerando anche il fatto che esso permette di derivare la continuità circolare ed elementare (implicite in tutta l'opera di Euclide e Archimede), l'assioma di Dedekind può essere considerato un assioma fondamentale della geometria euclidea.

Lunghezza di una curva

L'assioma 2 di Archimede sulla lunghezza delle curve concave da una stessa parte può essere dimostrato come teorema sfruttando l'assioma di Dedekind ^[8] . Tuttavia si deve prima dare una definizione rigorosa di lunghezza di una curva , definizione che Archimede non fornisce; anche questa definizione sarà fondata sull'assioma di Dedekind.

Definizione di lunghezza di una curva : Sia data una curva $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ di estremi $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ e $B$ ${\displaystyle B}$ $B$ e una successione di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ punti $P_{0},\ P_{1},\ P_{2},\ldots$ $P_{0},\ P_{1},\ P_{2},\ldots$ $P_{0},\ P_{1},\ P_{2},\ldots$ sulla curva stessa tali che $P_{0}=A$ $P_{0}=A$ $P_{0}=A$ e $P_{n}=B$ $P_{n}=B$ $P_{n}=B$ . Si indichi con $d\left(P_{i},P_{j}\right)$ $d\left(P_{i},P_{j}\right)$ $d\left(P_{i},P_{j}\right)$ la lunghezza del segmento che unisce due punti $P_{i}$ $P_{i}$ $P_{i}$ e $P_{j}$ $P_{j}$ $P_{j}$ . Allora si definisce la lunghezza $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ della curva $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ come

L\left(\gamma \right)=\sup \left(\left\{\sum \limits _{i=1}^{n}d\left(P_{i},P_{i-1}\right):\ n\in \mathbb {N} ,\ P_{i}\in \gamma \right\}\right)

L\left(\gamma \right)=\sup \left(\left\{\sum \limits _{i=1}^{n}d\left(P_{i},P_{i-1}\right):\ n\in \mathbb {N} ,\ P_{i}\in \gamma \right\}\right)

L\left(\gamma \right)=\sup \left(\left\{\sum \limits _{i=1}^{n}d\left(P_{i},P_{i-1}\right):\ n\in \mathbb {N} ,\ P_{i}\in \gamma \right\}\right)

Quindi $L\left(\gamma \right)$ $L\left(\gamma \right)$ $L\left(\gamma \right)$ è l'estremo superiore dell'insieme costituito da tutte le lunghezze di tutte le possibili poligonali che approssimano $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ pertanto, per l'assioma di Dedekind, $\forall \ell$ $\forall \ell$ $\forall \ell$ tali che $d\left(A,B\right)<\ell <L\left(\gamma \right)$ $d\left(A,B\right)<\ell <L\left(\gamma \right)$ $d\left(A,B\right)<\ell <L\left(\gamma \right)$ esiste una poligonale che approssima la lunghezza di $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ meglio di $\ell$ $\ell$ $\ell$ .

Con questa definizione di lunghezza l'assioma 2 di Archimede può essere dimostrato. Siano allora $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ e $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ due curve qualsiasi entrambe concave dalla stessa parte, con gli stessi estremi e tali che $\gamma$ $\gamma$ $\gamma$ sia contenuta in $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ . Si vuole dimostrare che $L\left(\Gamma \right)>L\left(\gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)>L\left(\gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)>L\left(\gamma \right)$ . Dimostriamo prima la tesi nel caso in cui la curva contenuta in $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ sia una qualunque poligonale costituita da $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ segmenti. La dimostrazione procede per induzione. Il caso $n=1$ ${\displaystyle n=1}$ $n=1$ è banalmente vero, perché la poligonale si riduce al segmento $A B$ ${\displaystyle AB}$ $AB$ . Assumendo allora che la tesi sia vera per una qualunque poligonale costituita da $\left(n-1\right)$ $\left(n-1\right)$ $\left(n-1\right)$ segmenti (ipotesi induttiva), dimostriamo che sarà vera anche per $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ .

Sia allora $AM_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B$ $AM_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B$ $AM_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B$ una poligonale di $n$ ${\displaystyle n}$ $n$ segmenti concava dalla stessa parte di $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ e interamente contenuta in essa. Sia $N_{1}$ $N_{1}$ $N_1$ il punto di intersezione tra $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ e il prolungamento di $AM_{1}$ $AM_{1}$ $AM_{1}$ . Applichiamo allora l'ipotesi induttiva alla poligonale $M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B$ $M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B$ $M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B$ che è interamente contenuta nella curva formata dall'unione del segmento $M_{1}N_{1}$ $M_{1}N_{1}$ $M_{1}N_{1}$ e l'arco ${\stackrel {\frown }{N_{1}B}}$ ${\stackrel {\frown }{N_{1}B}}$ ${\stackrel {\frown }{N_{1}B}}$ di $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ . Per l'ipotesi induttiva si ha allora:

$L\left(M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)<M_{1}N_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)$ $L\left(M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)<M_{1}N_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)$ $L\left(M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)<M_{1}N_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)$

da cui

$L\left(AM_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)=AM_{1}+L\left(M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)<AM_{1}+M_{1}N_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)=$ $L\left(AM_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)=AM_{1}+L\left(M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)<AM_{1}+M_{1}N_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)=$ $L\left(AM_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)=AM_{1}+L\left(M_{1}M_{2}\ldots M_{n-1}B\right)<AM_{1}+M_{1}N_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)=$
$=AN_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)<L\left({\stackrel {\frown }{AN_{1}}}\right)+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)=L\left({\stackrel {\frown }{AB}}\right)=L\left(\Gamma \right)$ $=AN_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)<L\left({\stackrel {\frown }{AN_{1}}}\right)+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)=L\left({\stackrel {\frown }{AB}}\right)=L\left(\Gamma \right)$ $=AN_{1}+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)<L\left({\stackrel {\frown }{AN_{1}}}\right)+L\left({\stackrel {\frown }{N_{1}B}}\right)=L\left({\stackrel {\frown }{AB}}\right)=L\left(\Gamma \right)$

Quindi tutte le poligonali concave dalla stessa parte e contenute in $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ hanno lunghezza minore di quella di $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ stessa. Di conseguenza anche l'estremo superiore di tutte queste poligonali, ovvero $L\left(\gamma \right)$ $L\left(\gamma \right)$ $L\left(\gamma \right)$ , deve essere minore di $L\left(\Gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)$ . Infatti, se fosse $L\left(\Gamma \right)<L\left(\gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)<L\left(\gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)<L\left(\gamma \right)$ , per l'assioma di Dedekind $L\left(\Gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)$ sarebbe una lunghezza appartenente all'insieme di tutte le lunghezze di tutte le poligonali che approssimano $\Gamma$ $\Gamma$ $\Gamma$ , ed esisterebbe una poligonale la cui lunghezza è maggiore di $L\left(\Gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)$ , ma questo, come abbiamo appena dimostrato, è impossibile. Quindi non può essere $L\left(\Gamma \right)<L\left(\gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)<L\left(\gamma \right)$ $L\left(\Gamma \right)<L\left(\gamma \right)$ .

Derivazione alternativa del Pi greco

Un altro possibile modo di derivare il pi greco si ricava dalla sola opera di Archimede. Questa derivazione può essere fondata direttamente sull'assioma di Dedekind, oppure sull'assioma 2 di Archimede sulla lunghezza delle curve concave dalla stessa parte. Ci sono tre teoremi che è preliminarmente necessario dimostrare per arrivare poi a provare, sempre con il metodo di esaustione, che il rapporto tra circonferenza e raggio è uguale per tutti i cerchi.

I primi due teoremi corrispondono alle Proposizioni 2 e 3 del primo libro Sulla sfera ed il cilindro di Archimede.

Teorema 8 (Sulla Sfera ed il Cilindro I, proposizione 2) : Date due diverse grandezze, è sempre possibile trovare due segmenti diversi tale che il rapporto tra il maggiore e il minore sia più piccolo del rapporto tra la grandezza maggiore e quella minore date.

Con riferimento alla figura diciamo che, date le grandezze $AB>D$ ${\displaystyle AB>D}$ $AB>D$ , è sempre possile trovare due segmenti $EG>GH$ ${\displaystyle EG>GH}$ $EG>GH$ tali che ${\frac {EG}{GH}}<{\frac {AB}{D}}$ ${\frac {EG}{GH}}<{\frac {AB}{D}}$ ${\frac {EG}{GH}}<{\frac {AB}{D}}$ .

Dimostrazione Teorema 8

Siano date le grandezze $AB>D$ ${\displaystyle AB>D}$ $AB>D$ e sia $G H$ ${\displaystyle GH}$ $GH$ un qualunque segmento. Si misuri lungo $B A$ ${\displaystyle BA}$ $BA$ un segmento $B C$ ${\displaystyle BC}$ $BC$ equivalente a $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ . Allora se $C A$ ${\displaystyle CA}$ $CA$ viene aggiunto a sé stesso un numero sufficiente di volte, per l'assioma di Eudosso, tale somma sarà maggiore di $D$ ${\displaystyle D}$ $D$ . Sia $A F$ ${\displaystyle AF}$ $AF$ tale somma e si prenda $E$ ${\displaystyle E}$ $E$ sul prolungamento di $G H$ ${\displaystyle GH}$ $GH$ tale che ${\frac {EH}{GH}}={\frac {AC}{AF}}$ ${\frac {EH}{GH}}={\frac {AC}{AF}}$ ${\frac {EH}{GH}}={\frac {AC}{AF}}$ . Ma dato che $AF>BC$ ${\displaystyle AF>BC}$ $AF>BC$ allora ${\frac {AC}{AF}}<{\frac {AC}{BC}}\Rightarrow {\frac {EH}{GH}}<{\frac {AC}{BC}}$ ${\frac {AC}{AF}}<{\frac {AC}{BC}}\Rightarrow {\frac {EH}{GH}}<{\frac {AC}{BC}}$ ${\frac {AC}{AF}}<{\frac {AC}{BC}}\Rightarrow {\frac {EH}{GH}}<{\frac {AC}{BC}}$ . Ma dato che $EH=EG-GH$ ${\displaystyle EH=EG-GH}$ $EH=EG-GH$ e che $AC=AB-BC$ ${\displaystyle AC=AB-BC}$ $AC=AB-BC$ , segue la disuguaglianza ${\frac {EG}{GH}}-1<{\frac {AB}{BC}}-1\Rightarrow {\frac {EG}{GH}}<{\frac {AB}{D}}$ ${\frac {EG}{GH}}-1<{\frac {AB}{BC}}-1\Rightarrow {\frac {EG}{GH}}<{\frac {AB}{D}}$ ${\frac {EG}{GH}}-1<{\frac {AB}{BC}}-1\Rightarrow {\frac {EG}{GH}}<{\frac {AB}{D}}$ , quindi $EG>GH$ ${\displaystyle EG>GH}$ $EG>GH$ sono proprio i due segmenti cercati. Il teorema è quindi dimostrato.

Il Teorema 8 è necessario per la dimostrazione del seguente:

Teorema 9 (Sulla Sfera ed il Cilindro I, proposizione 3) : Date due diverse grandezze e un cerchio, è sempre possibile iscrivere un poligono regolare nel cerchio e circoscriverne un altro con lo stesso numero di lati intorno al cerchio, in maniera tale che il rapporto tra il lato del poligono circoscritto e il lato di quello iscritto sia minore dal rapporto tra la grandezza maggiore e quella minore date.

Con riferimento alla figura diciamo che, date le grandezze $A>B$ ${\displaystyle A>B}$ $A>B$ , è sempre possibile trovare due poligoni regolari con lo stesso numero di lati, l'uno iscritto nel e l'altro circoscritto al cerchio, in modo tale che per i loro rispettivi lati $C N$ ${\displaystyle CN}$ $CN$ ed $S T$ ${\displaystyle ST}$ $ST$ valga la disuguaglianza ${\frac {ST}{CN}}<{\frac {A}{B}}$ ${\frac {ST}{CN}}<{\frac {A}{B}}$ ${\frac {ST}{CN}}<{\frac {A}{B}}$ .

Dimostrazione Teorema 9

Siano date le grandezze $A>B$ ${\displaystyle A>B}$ $A>B$ e il cerchio $D C G E$ ${\displaystyle DCGE}$ $DCGE$ . Il Teorema 8 garantisce che si possano trovare due segmenti $F>KL$ ${\displaystyle F>KL}$ $F>KL$ tali che ${\frac {F}{KL}}<{\frac {A}{B}}$ ${\frac {F}{KL}}<{\frac {A}{B}}$ ${\frac {F}{KL}}<{\frac {A}{B}}$ .

Si disegni la perpendicolare $L M$ ${\displaystyle LM}$ $LM$ a $K L$ ${\displaystyle KL}$ $KL$ di lunghezza tale che $KM=F$ ${\displaystyle KM=F}$ $KM=F$ . Nel cerchio siano $C E$ ${\displaystyle CE}$ $CE$ e $D G$ ${\displaystyle DG}$ $DG$ due diametri ad angolo retto. Allora, bisecando l'angolo $D{\hat {O}}C$ $D{\hat {O}}C$ $D{\hat {O}}C$ , bisecandone poi la metà e procedendo iterativamente, si arriva infine, per l'assioma di Eudosso, ad un angolo (ad esempio $N{\hat {O}}C$ $N{\hat {O}}C$ $N{\hat {O}}C$ ) minore del doppio dell'angolo $L{\hat {K}}M$ $L{\hat {K}}M$ $L{\hat {K}}M$ .

Il segmento $N C$ ${\displaystyle NC}$ $NC$ è per costruzione il lato del poligono regolare iscritto nel cerchio. Sia $O P$ ${\displaystyle OP}$ $OP$ il raggio che biseca l'angolo $N{\hat {O}}C$ $N{\hat {O}}C$ $N{\hat {O}}C$ (e che pertanto biseca $N C$ ${\displaystyle NC}$ $NC$ ad angolo retto in $H$ ${\displaystyle H}$ $H$ ), e si tracci la tangente al cerchio in $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ che interseca i prolungamenti di $O C$ ${\displaystyle OC}$ $OC$ e $O N$ ${\displaystyle ON}$ $ON$ , formando così il segmento $S T$ ${\displaystyle ST}$ $ST$ che per costruzione è il lato del poligono regolare circoscritto al cerchio.

Risulta ora $N{\hat {O}}C<2L{\hat {K}}M\Rightarrow H{\hat {O}}C<L{\hat {K}}M$ $N{\hat {O}}C<2L{\hat {K}}M\Rightarrow H{\hat {O}}C<L{\hat {K}}M$ $N{\hat {O}}C<2L{\hat {K}}M\Rightarrow H{\hat {O}}C<L{\hat {K}}M$ , e che gli angoli in $H$ ${\displaystyle H}$ $H$ ed $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ sono retti. Risulta allora ${\frac {KM}{KL}}>{\frac {OC}{OH}}={\frac {OP}{OH}}$ ${\frac {KM}{KL}}>{\frac {OC}{OH}}={\frac {OP}{OH}}$ ${\frac {KM}{KL}}>{\frac {OC}{OH}}={\frac {OP}{OH}}$ .

Inoltre, poiché $O C H$ ${\displaystyle OCH}$ $OCH$ e $O S P$ ${\displaystyle OSP}$ $OSP$ sono triangoli simili, risulta ${\frac {OH}{CH}}={\frac {OP}{SP}}\Rightarrow {\frac {OP}{OH}}={\frac {SP}{CH}}={\frac {ST}{CN}}$ ${\frac {OH}{CH}}={\frac {OP}{SP}}\Rightarrow {\frac {OP}{OH}}={\frac {SP}{CH}}={\frac {ST}{CN}}$ ${\frac {OH}{CH}}={\frac {OP}{SP}}\Rightarrow {\frac {OP}{OH}}={\frac {SP}{CH}}={\frac {ST}{CN}}$ .

Si ottiene così ${\frac {ST}{CN}}<{\frac {KM}{KL}}={\frac {F}{KL}}<{\frac {A}{B}}\Rightarrow {\frac {ST}{CN}}<{\frac {A}{B}}$ ${\frac {ST}{CN}}<{\frac {KM}{KL}}={\frac {F}{KL}}<{\frac {A}{B}}\Rightarrow {\frac {ST}{CN}}<{\frac {A}{B}}$ ${\frac {ST}{CN}}<{\frac {KM}{KL}}={\frac {F}{KL}}<{\frac {A}{B}}\Rightarrow {\frac {ST}{CN}}<{\frac {A}{B}}$ . Il teorema è così dimostrato.

Dal Teorema 9 segue il seguente corollario:

Corollario del Teorema 9 : Dato un cerchio e una grandezza $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ arbitraria, è sempre possibile trovare due poligoni regolari, uno circoscritto e l'altro iscritto nella circonferenza, tali che la differenza dei loro perimetri sia minore di $\varepsilon$ $\varepsilon$ $\varepsilon$ .

Dimostrazione del Corollario del Teorema 9

Si considerino due segmenti arbitrari $A$ ${\displaystyle A}$ $A$ e $B=A+\varepsilon ''$ $B=A+\varepsilon ''$ $B=A+\varepsilon ''$ . Allora per il Teorema 9 è possibile trovare due poligoni, uno circoscritto e uno iscritto nella circonferenza, tali che i loro rispettivi perimetri $P_{c}$ $P_{c}$ $P_c$ e $P_{i}$ $P_{i}$ $P_{i}$ soddisfino la disuguaglianza ${\frac {P_{c}}{P_{i}}}<{\frac {B}{A}}=1+{\frac {\varepsilon ''}{A}}$ ${\frac {P_{c}}{P_{i}}}<{\frac {B}{A}}=1+{\frac {\varepsilon ''}{A}}$ ${\frac {P_{c}}{P_{i}}}<{\frac {B}{A}}=1+{\frac {\varepsilon ''}{A}}$ . Ma dato che $\varepsilon ''$ $\varepsilon ''$ $\varepsilon''$ è una quantità arbitraria, di fatto anche la quantità $\varepsilon '={\frac {\varepsilon ''}{A}}$ $\varepsilon '={\frac {\varepsilon ''}{A}}$ $\varepsilon '={\frac {\varepsilon ''}{A}}$ è una quantità arbitraria. Quindi ${\frac {P_{c}}{P_{i}}}<1+\varepsilon '\Rightarrow P_{c}<P_{i}+\varepsilon 'P_{i}$ ${\frac {P_{c}}{P_{i}}}<1+\varepsilon '\Rightarrow P_{c}<P_{i}+\varepsilon 'P_{i}$ ${\frac {P_{c}}{P_{i}}}<1+\varepsilon '\Rightarrow P_{c}<P_{i}+\varepsilon 'P_{i}$ . Ma ancora, dato che $\varepsilon '$ $\varepsilon '$ $\varepsilon'$ è una quantità arbitraria, anche la quantità $\varepsilon =\varepsilon 'P_{i}$ $\varepsilon =\varepsilon 'P_{i}$ $\varepsilon =\varepsilon 'P_{i}$ è in pratica arbitraria. Segue quindi che $P_{c}-P_{i}<\varepsilon$ $P_{c}-P_{i}<\varepsilon$ $P_{c}-P_{i}<\varepsilon$ , come volevasi dimostrare.

Dal Corollario segue allora che la classe di tutti i poligoni regolari iscritti nella circonferenza e la classe di tutti i poligoni regolari circoscritti formano una sezione di Dedekind. Come è stato più sopra dimostrato, ogni sezione di Dedekind ha un solo elemento di separazione; possiamo allora dare la seguente definizione di lunghezza della circonferenza:

Definizione di lunghezza della circonferenza : Dato un cerchio qualsiasi, si definisce la lunghezza della circonferenza $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ come l'elemento di separazione (unico) della sezione di Dedekind costituita dalla classe $P_{i}$ $P_{i}$ $P_{i}$ dei perimetri di tutti i poligoni regolari iscritti nella circonferenza e la classe $P_{c}$ $P_{c}$ $P_{c}$ dei perimetri di tutti i poligoni regolari circoscritti. Pertanto $\forall p_{i}\in P_{i},\forall p_{c}\in P_{c}$ $\forall p_{i}\in P_{i},\forall p_{c}\in P_{c}$ $\forall p_{i}\in P_{i},\forall p_{c}\in P_{c}$ risulta sempre $p_{i}<C<p_{c}$ $p_{i}<C<p_{c}$ $p_{i}<C<p_{c}$ .

Resta da enunciare un ultimo teorema necessario a dimostrare l'unicità del pi greco:

Teorema 10 : I perimetri di due poligoni simili, entrambi iscritti oppure entrambi circoscritti a due distinte circonferenze, stanno tra loro come i rispettivi raggi.

Dimostrazione del Teorema 10

Nel caso di due poligoni iscritti in due distinte circonferenze si veda la dimostrazione del Teorema 2.

Si considerino quindi solo i poligoni circoscritti, come in figura.

Ricordando che gli angoli di intersezione tra i raggi e le tangenti alla circonferenza (e quindi i lati del poligono) nel punto di tangenza sono retti ^[9] , segue $O{\hat {L}}A=O{\hat {B}}A=90^{\circ }$ $O{\hat {L}}A=O{\hat {B}}A=90^{\circ }$ $O{\hat {L}}A=O{\hat {B}}A=90^{\circ }$ e $O'{\hat {L}}'A'=O'{\hat {B}}'A'=90^{\circ }$ $O'{\hat {L}}'A'=O'{\hat {B}}'A'=90^{\circ }$ $O'{\hat {L}}'A'=O'{\hat {B}}'A'=90^{\circ }$ . Inoltre $OB=OL=R_{1}$ $OB=OL=R_{1}$ $OB=OL=R_{1}$ e $O'B'=O'L'=R_{2}$ $O'B'=O'L'=R_{2}$ $O'B'=O'L'=R_{2}$ , ovvero $O B L$ ${\displaystyle OBL}$ $OBL$ e $O^{'} B^{'} L^{'}$ ${\displaystyle O'B'L'}$ $O'B'L'$ sono isosceli, quindi $O{\hat {B}}L=O{\hat {L}}B$ $O{\hat {B}}L=O{\hat {L}}B$ $O{\hat {B}}L=O{\hat {L}}B$ e $O'{\hat {B}}'L'=O'{\hat {L}}'B'$ $O'{\hat {B}}'L'=O'{\hat {L}}'B'$ $O'{\hat {B}}'L'=O'{\hat {L}}'B'$ . Di conseguenza $A{\hat {B}}L=90^{\circ }-O{\hat {B}}L=90^{\circ }-O{\hat {L}}B=A{\hat {L}}B$ $A{\hat {B}}L=90^{\circ }-O{\hat {B}}L=90^{\circ }-O{\hat {L}}B=A{\hat {L}}B$ $A{\hat {B}}L=90^{\circ }-O{\hat {B}}L=90^{\circ }-O{\hat {L}}B=A{\hat {L}}B$ , e analogamente $A'{\hat {B}}'L'=A'{\hat {L}}'B'$ $A'{\hat {B}}'L'=A'{\hat {L}}'B'$ $A'{\hat {B}}'L'=A'{\hat {L}}'B'$ . Ma per l'ipotesi di similitudine tra i poligoni $L{\hat {A}}B=L'{\hat {A}}'B'$ $L{\hat {A}}B=L'{\hat {A}}'B'$ $L{\hat {A}}B=L'{\hat {A}}'B'$ , quindi $A{\hat {B}}L=A'{\hat {B}}'L'=A{\hat {L}}B=A'{\hat {L}}'B'$ $A{\hat {B}}L=A'{\hat {B}}'L'=A{\hat {L}}B=A'{\hat {L}}'B'$ $A{\hat {B}}L=A'{\hat {B}}'L'=A{\hat {L}}B=A'{\hat {L}}'B'$ e $O{\hat {B}}L=O'{\hat {B}}'L'=O{\hat {L}}B=O'{\hat {L}}'B'$ $O{\hat {B}}L=O'{\hat {B}}'L'=O{\hat {L}}B=O'{\hat {L}}'B'$ $O{\hat {B}}L=O'{\hat {B}}'L'=O{\hat {L}}B=O'{\hat {L}}'B'$ .

Sono quindi simili tra loro i triangoli $A B L$ ${\displaystyle ABL}$ $ABL$ a $A^{'} B^{'} L^{'}$ ${\displaystyle A'B'L'}$ $A'B'L'$ e $O B L$ ${\displaystyle OBL}$ $OBL$ a $O^{'} B^{'} L^{'}$ ${\displaystyle O'B'L'}$ $O'B'L'$ . In modo analogo si dimostra che sono simili i triangoli $C D B$ ${\displaystyle CDB}$ $CDB$ a $C^{'} D^{'} B^{'}$ ${\displaystyle C'D'B'}$ $C'D'B'$ e $O B D$ ${\displaystyle OBD}$ $OBD$ a $O^{'} B^{'} D^{'}$ ${\displaystyle O'B'D'}$ $O'B'D'$ .

Si ottiene quindi ${\frac {AB}{BL}}={\frac {A'B'}{B'L'}}\Rightarrow {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BL}{B'L'}}$ ${\frac {AB}{BL}}={\frac {A'B'}{B'L'}}\Rightarrow {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BL}{B'L'}}$ ${\frac {AB}{BL}}={\frac {A'B'}{B'L'}}\Rightarrow {\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BL}{B'L'}}$ e ${\frac {BL}{R_{1}}}={\frac {B'L'}{R_{2}}}\Rightarrow {\frac {BL}{B'L'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {BL}{R_{1}}}={\frac {B'L'}{R_{2}}}\Rightarrow {\frac {BL}{B'L'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {BL}{R_{1}}}={\frac {B'L'}{R_{2}}}\Rightarrow {\frac {BL}{B'L'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ , ovvero ${\frac {AB}{A'B'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {AB}{A'B'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {AB}{A'B'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ; analogamente si ottiene ${\frac {BC}{B'C'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {BC}{B'C'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {BC}{B'C'}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ .

Ripetendo il procedimento per gli altri lati si ottiene ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BC}{B'C'}}={\frac {CD}{C'D'}}={\frac {DE}{D'E'}}=\ldots$ ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BC}{B'C'}}={\frac {CD}{C'D'}}={\frac {DE}{D'E'}}=\ldots$ ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {AB}{A'B'}}={\frac {BC}{B'C'}}={\frac {CD}{C'D'}}={\frac {DE}{D'E'}}=\ldots$ . Ma dato che i perimetri dei due poligoni sono $P_{1}=AB+BC+CD+DE+\ldots$ $P_{1}=AB+BC+CD+DE+\ldots$ $P_{1}=AB+BC+CD+DE+\ldots$ e $P_{2}=A'B'+B'C'+C'D'+D'E'+\ldots$ $P_{2}=A'B'+B'C'+C'D'+D'E'+\ldots$ $P_{2}=A'B'+B'C'+C'D'+D'E'+\ldots$ , allora necessariamente risulta ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ .

Si può ora ridimostrare il teorema di unicità del pi greco, ovvero che, dati due cerchi qualsiasi di raggi $R_{1}$ $R_{1}$ $R_{1}$ e $R_{2}$ $R_{2}$ $R_{2}$ e circonferenze $C_{1}$ $C_{1}$ $C_{1}$ e $C_{2}$ $C_{2}$ $C_{2}$ , risulti in ogni caso ${\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}$ .

Si ridordi la definizione di lunghezza della circonferenza $C$ ${\displaystyle C}$ $C$ basata sull'assioma di Dedekind e si indichino con le lettere $P$ ${\displaystyle P}$ $P$ e $p$ ${\displaystyle p}$ $p$ rispettivamente i perimetri dei poligoni circoscritti e iscritti nelle due circonferenze date. Supponiamo che sia ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}\neq {\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}\neq {\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}\neq {\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ . Allora risulterà ${\frac {C_{1}}{L}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{L}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{L}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}$ dove $L<C_{2}$ $L<C_{2}$ $L<C_{2}$ oppure $L>C_{2}$ $L>C_{2}$ $L>C_{2}$ .

Si consideri il caso $L<C_{2}$ $L<C_{2}$ $L<C_{2}$ . Per l'assioma di Dedekind allora si può trovare un poligono iscritto nella circonferenza $C_{2}$ $C_{2}$ $C_{2}$ tale che il suo perimetro soddisfi la disuguaglianza $L<p_{2}<C_{2}$ $L<p_{2}<C_{2}$ $L<p_{2}<C_{2}$ ; considerando poi il corrispondente poligono simile iscritto nella circonferenza $C_{1}$ $C_{1}$ $C_{1}$ , per il Teorema 10 risulta ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {C_{1}}{L}}$ ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {C_{1}}{L}}$ ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {C_{1}}{L}}$ ; ma ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}<{\frac {C_{1}}{p_{2}}}$ ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}<{\frac {C_{1}}{p_{2}}}$ ${\frac {p_{1}}{p_{2}}}<{\frac {C_{1}}{p_{2}}}$ , quindi ${\frac {C_{1}}{L}}<{\frac {C_{1}}{p_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{L}}<{\frac {C_{1}}{p_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{L}}<{\frac {C_{1}}{p_{2}}}$ , ovvero $p_{2}<L$ $p_{2}<L$ $p_{2}<L$ . Si ottiene così una contraddizione ( $p_{2}$ $p_{2}$ $p_{2}$ contemporaneamente maggiore e minore di $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ ), quindi non può essere $L<C_{2}$ $L<C_{2}$ $L<C_{2}$ come supposto. Analogamente si dimostra che se ${\frac {C_{2}}{S}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$ ${\frac {C_{2}}{S}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$ ${\frac {C_{2}}{S}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$ , allora non può essere $S<C_{1}$ $S<C_{1}$ $S<C_{1}$ .

Si consideri allora il caso $L>C_{2}$ $L>C_{2}$ $L>C_{2}$ . Per l'assioma di Dedekind allora si può trovare un poligono circoscritto alla circonferenza $C_{2}$ $C_{2}$ $C_{2}$ tale che il suo perimetro soddisfi la disuguaglianza $C_{2}<P_{2}<L$ $C_{2}<P_{2}<L$ $C_{2}<P_{2}<L$ ; considerando poi il corrispondente poligono simile circoscritto alla circonferenza $C_{1}$ $C_{1}$ $C_{1}$ , per il Teorema 10 risulta ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {C_{1}}{L}}$ ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {C_{1}}{L}}$ ${\frac {R_{1}}{R_{2}}}={\frac {P_{1}}{P_{2}}}={\frac {C_{1}}{L}}$ ; ma ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}>{\frac {C_{1}}{P_{2}}}$ ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}>{\frac {C_{1}}{P_{2}}}$ ${\frac {P_{1}}{P_{2}}}>{\frac {C_{1}}{P_{2}}}$ , quindi ${\frac {C_{1}}{L}}>{\frac {C_{1}}{P_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{L}}>{\frac {C_{1}}{P_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{L}}>{\frac {C_{1}}{P_{2}}}$ , ovvero $P_{2}>L$ $P_{2}>L$ $P_{2}>L$ . Si ottiene così una contraddizione ( $P_{2}$ $P_{2}$ $P_{2}$ contemporaneamente maggiore e minore di $L$ ${\displaystyle L}$ $L$ ), quindi non può essere $L>C_{2}$ $L>C_{2}$ $L>C_{2}$ come supposto. Analogamente si dimostra che se ${\frac {C_{2}}{S}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$ ${\frac {C_{2}}{S}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$ ${\frac {C_{2}}{S}}={\frac {R_{2}}{R_{1}}}$ , allora non può essere $S>C_{1}$ $S>C_{1}$ $S>C_{1}$ .

Quindi deve essere necessariamente $L=C_{2}$ $L=C_{2}$ $L=C_{2}$ ovvero ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}\Rightarrow {\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}\Rightarrow {\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}$ ${\frac {C_{1}}{C_{2}}}={\frac {R_{1}}{R_{2}}}\Rightarrow {\frac {C_{1}}{R_{1}}}={\frac {C_{2}}{R_{2}}}$ . Essendo $C_{1}$ $C_{1}$ $C_{1}$ e $C_{2}$ $C_{2}$ $C_{2}$ due circonferenze generiche, risulta dimostrato che il rapporto tra circonferenza e raggio è uguale per tutti i cerchi, ovvero il pi greco è unico.

Note

^ [1] Nel suo lavoro "La misura del cerchio" [Archimede] ha dimostrato che esiste un'unica costante $\pi$ $\pi$ $\pi$ tale che l'area A e la circonferenza C di un cerchio di raggio arbitrario R sono date da A= $\pi R^{2}$ $\pi R^{2}$ $\pi R^{2}$ e L=2 $\pi$ $\pi$ $\pi$ R , Pierre Eymard, Jean Pierre Lafon, The Number Pi, p. 1, da Google libri
^ Euclide, Elementi , libro III, proposizione 27
^ Euclide, Elementi , libro III, proposizione 20
^ L'assioma di Dedekind può essere enunciato in forme diverse. Qui si segue la formulazione data in Einar Hille, Analytic function theory , second edition, AMS Bookstore, 1987 - pagine 6-8
^ Richard Dedekind, Essays on the theory of numbers , Dover Publications, 1963 - capitolo 1, pagina 11
^ MJ Greenberg (vedi bibliografia), capitolo 3
^ MJ Greenberg (vedi bibliografia), capitolo 3 - L'autore fornisce solo un schema della dimostrazione di questi teoremi e non una dimostrazione completa in ogni dettaglio
^ In questo paragrafo si segue P. Eymard e JP Lafon (vedi bibliografia), capitoli 1 e 6
^ Euclide, Elementi , libro III, proposizione 16

Bibliografia

Frajese A., Maccioni M. (a cura di), Euclide, Gli elementi , Utet, Torino, prima edizione 1976, ristampa 1996
Archimede. Opere . UTET, Torino, 1974. (solo traduzione italiana, senza il testo greco)
David Hilbert, Grundlagen der Geometrie , 7ª edizione, 1930 (testo in inglese [2] )

Edizioni italiane:

Fondamenti della geometria , Feltrinelli, 1970
Fondamenti della geometria. Con i supplementi di Paul Bernays , Franco Angeli, 2009

Marvin Jay Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries - Development and history , third edition, WH Freeman and Company, 1993
Pierre Eymard, Jean Pierre Lafon, The Number Pi , AMS Bookstore, 2004

Portale Matematica : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica

[1] [1] Nel suo lavoro "La misura del cerchio" [Archimede] ha dimostrato che esiste un'unica costante $\pi$ $\pi$ $\pi$ tale che l'area A e la circonferenza C di un cerchio di raggio arbitrario R sono date da A= $\pi R^{2}$ $\pi R^{2}$ $\pi R^{2}$ e L=2 $\pi$ $\pi$ $\pi$ R , Pierre Eymard, Jean Pierre Lafon, The Number Pi, p. 1, da Google libri

[2] Euclide, Elementi , libro III, proposizione 27

[3] Euclide, Elementi , libro III, proposizione 20

[4] L'assioma di Dedekind può essere enunciato in forme diverse. Qui si segue la formulazione data in Einar Hille, Analytic function theory , second edition, AMS Bookstore, 1987 - pagine 6-8

[5] Richard Dedekind, Essays on the theory of numbers , Dover Publications, 1963 - capitolo 1, pagina 11

[6] MJ Greenberg (vedi bibliografia), capitolo 3

[7] MJ Greenberg (vedi bibliografia), capitolo 3 - L'autore fornisce solo un schema della dimostrazione di questi teoremi e non una dimostrazione completa in ogni dettaglio

[8] In questo paragrafo si segue P. Eymard e JP Lafon (vedi bibliografia), capitoli 1 e 6

[9] Euclide, Elementi , libro III, proposizione 16

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]