Radiant

Un unghi măsurat în radiani.

Radianul (în general indicat rad când este necesar), este unitatea de măsură a amplitudinii unghiurilor Sistemului Internațional de Unități . Această măsură reprezintă raportul dintre lungimea arcului circumferinței trasate de unghi și lungimea razei circumferinței respective; fiind raportul dintre două cantități omogene, este un număr pur .

Definiția radiant

Un arc al unui cerc de aceeași lungime cu raza aceluiași cerc corespunde unui unghi de 1 radian. Un cerc complet corespunde unui unghi de 2π radiani.

Unele unghiuri măsurate în radiani

Luați un cerc centrat la vârful unghiului. Lasa-i sa fie $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ lungimea arcului interceptată de unghiul de pe circumferință, $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ cea a razei circumferinței, $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ cea a circumferinței e $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ lățimea unghiului. Raportul $l/r$ ${\ displaystyle l / r}$ ${\ displaystyle l / r}$ nu depinde de lungimea razei, ci doar de lățimea unghiului. Această circumstanță ne permite să definim măsurarea unghiului în radiani ca:

$\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {l}{r}}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {l} {r}}}$ $\ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = \ frac {l} {r}$

$l=r\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }$ ${\ displaystyle l = r \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}$ $l = r \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}$

Din aceasta este clar că radianul este un număr pur, adică este adimensional, deoarece exprimă relația dintre două lungimi.

De fapt: [rad] = [L] / [L] = [1].

Definim ca radian amplitudinea unghiului care subtend un arc de circumferință care, atunci când este ajustat, are o lungime egală cu raza circumferinței în sine. Cu alte cuvinte, un radian este unghiul care apare la un arc de lungime egal cu raza circumferinței.

Fiind lungimea circumferinței $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ egal cu $2\pi r$ ${\ displaystyle 2 \ pi r}$ $2 \ pi r$ și pe distanța lungă $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , unghiul unui cerc este egal cu $2\pi$ ${\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ .

\alpha ={\frac {2\pi r}{r}}=2\pi .

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {2 \ pi r} {r}} = 2 \ pi.}

\ alpha = {\ frac {2 \ pi r} {r}} = 2 \ pi.

Amintindu-ne că măsurarea lungimii circumferinței este:

c=2\pi r,

{\ displaystyle c = 2 \ pi r,}

c = 2 \ pi r,

puteți scrie următoarea proporție:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{l}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi r}},

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {l}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi r}},}

{\ frac {\ alpha ^ {{(\ circ)}}} {l}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi r}},

$\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este o funcție a $L$ ${\ displaystyle l}$ $L$ :

\alpha ^{(\circ )}=f\left(l\right),

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} = f \ left (l \ right),}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} = f \ left (l \ right),

adică

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {360^{\circ }\cdot l}{2\pi r}},

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l) = {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot l} {2 \ pi r}},}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l) = {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot l} {2 \ pi r}},

de la care

\alpha ^{(\circ )}(l)={\frac {l}{r}}\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l) = {\ frac {l} {r}} \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l) = {\ frac {l} {r}} \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}

Prin urmare, prin pozare $l=r$ ${\ displaystyle l = r}$ $l = r$ , din ecuația anterioară obținem:

\alpha ^{(\circ )}(l=r)={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}29578^{\circ }\approx 57^{\circ }\ 17'\ 44{,}8''=1\;{\rm {{rad}.}}

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} (l = r) = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ approx 57 {,} 29578 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} \ 17 '\ 44 {,} 8' '= 1 \; {\ rm {{rad}.}}}

\ alpha ^ {{(\ circ)}} (l = r) = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ approx 57 {,} 29578 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} \ 17 '\ 44 {,} 8' '= 1 \; {\ rm {{rad}.}}

Acum exprimăm un unghi rotund în radiani:

360^{\circ }={\frac {2\pi }{2\pi }}\cdot 360^{\circ }=2\pi \cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=2\pi \;{\rm {{rad}.}}

{\ displaystyle 360 ​​^ {\ circ} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi}} \ cdot 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ} } {2 \ pi}} = 2 \ pi \; {\ rm {{rad}.}}}

360 ^ {\ circ} = {\ frac {2 \ pi} {2 \ pi}} \ cdot 360 ^ {\ circ} = 2 \ pi \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi }} = 2 \ pi \; {\ rm {{rad}.}}

Cu următoarea proporție, obținem formulele pentru a trece de la radiani la grade sexagesimale și invers:

{\frac {\alpha ^{(\circ )}}{\alpha ^{\mathrm {rad} }}}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}

{\ displaystyle {\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {\ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}}}

\ frac {\ alpha ^ {(\ circ)}} {\ alpha ^ {\ mathrm {rad}}} = \ frac {360 ^ \ circ} {2 \ pi}

\alpha ^{(\circ )}={\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\cdot \alpha ^{\mathrm {rad} }

{\ displaystyle \ alpha ^ {(\ circ)} = {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}}

\ alpha ^ {(\ circ)} = \ frac {360 ^ \ circ} {2 \ pi} \ cdot \ alpha ^ {\ mathrm {rad}}

\alpha ^{\mathrm {rad} }={\frac {2\pi }{360^{\circ }}}\cdot \alpha ^{(\circ )}.

{\ displaystyle \ alpha ^ {\ mathrm {rad}} = {\ frac {2 \ pi} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot \ alpha ^ {(\ circ)}.}

\ alpha ^ {{{\ mathrm {rad}}}} = {\ frac {2 \ pi} {360 ^ {\ circ}}} \ cdot \ alpha ^ {{(\ circ)}}.

Utilitatea alegerii radianului

Măsurarea radianului permite să aibă formule trigonometrice mult mai simple decât cele care s-ar obține prin adoptarea gradelor sexagesimale sau a altor unități de măsură ale unghiurilor.

Practic avantajele radiantului derivă din faptul că, cu această unitate, se obține expresia simplă

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

{\ displaystyle \ lim _ {x \ to 0} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1}

\ lim _ {{x \ to 0}} {\ frac {\ sin x} {x}} = 1

și de aici obținem multe alte identități elegante de calcul infinitesimal care au consecințe practice importante. Între acestea

{\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x}

{\ frac {d} {dx}} \ sin x = \ cos x

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots

{\ displaystyle \ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ dots}

\ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - \ dots

\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots

{\ displaystyle \ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ dots}

\ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - \ dots

.

Dacă ați măsura unghiurile în grade sau alte unități, formule precum cele de mai sus ar trebui să fie cântărite de constantele de conversie și de puterile lor.

Conversie grad-radian

Diagrama pentru conversia grad-radian

Un radian este egal cu $180/\pi$ ${\ displaystyle 180 / \ pi}$ $180 / \ pi$ grade. Prin urmare, pentru a converti radianii în grade este suficient să înmulțiți cu $180/\pi$ ${\ displaystyle 180 / \ pi}$ $180 / \ pi$ :