Fascicul de circumferințe

În matematică , în special geometria euclidiană , un pachet de cercuri este un set de cercuri infinite ale căror centre se află pe o linie (numită linia centrelor sau axa centrală ), sau chiar un set de cercuri infinite având același centru. Fasciculul este obținut folosind două circumferințe (numite cercuri de bază sau generatoare ) ale căror ecuații , parametrizate corespunzător, generează ecuația întregului fascicul, adică din cei doi generatori este posibil să se obțină ecuațiile tuturor celorlalte circumferințe ale fasciculului.

Ecuația fasciculului de cercuri

Un pachet de cercuri care au două puncte în comun. Ecuația fasciculului este

x^{2}+y^{2}+kx-(k+4)=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + kx- (k + 4) = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + kx- (k + 4) = 0}

.

Ecuația fasciculului de circumferințe se obține prin combinația liniară a două ecuații canonice ale circumferinței:

\lambda \left(x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\mu \left(x^{2}+y^{2}+a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)=0

{\ displaystyle \ lambda \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} \ right) + \ mu \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ lambda \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} \ right) + \ mu \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} \ right) = 0}

.

Fiecare circumferință a fasciculului este identificată de perechea de parametri reali $(\mu ,\lambda )$ ${\ displaystyle (\ mu, \ lambda)}$ ${\ displaystyle (\ mu, \ lambda)}$ ; ecuațiile de pornire se obțin prin anularea unuia dintre cei doi parametri și circumferințele asociate cu aceștia se numesc circumferințe de bază (sau generatoare ) ale fasciculului. Alegerea generatoarelor pentru un fascicul dat este totuși arbitrară și orice pereche de circumferințe (distincte) ale fasciculului poate fi folosită ca generator. Pe de altă parte, nu este posibil să se anuleze ambii parametri deoarece, în acest caz, ecuația s-ar transforma în identitate $0=0$ ${\ displaystyle 0 = 0}$ ${\ displaystyle 0 = 0}$ .

Dacă unul dintre parametri este setat, condiția de a nu se anula, este posibilă reducerea fasciculului la o ecuație cu un singur parametru; de exemplu, prin impunere $\mu \neq 0$ ${\ displaystyle \ mu \ neq 0}$ ${\ displaystyle \ mu \ neq 0}$ Și $k={\frac {\lambda }{\mu }}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {\ lambda} {\ mu}}}$ ${\ displaystyle k = {\ frac {\ lambda} {\ mu}}}$ avem:

k\left(x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\left(x^{2}+y^{2}+a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)=0

{\ displaystyle k \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} \ right) + \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} \ right) = 0}

{\ displaystyle k \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} \ right) + \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} \ right) = 0}

.

Fascicul astfel obținut nu este complet, totuși, deoarece îi lipsește circumferința obținută cu $\mu =0$ ${\ displaystyle \ mu = 0}$ ${\ displaystyle \ mu = 0}$ . Proprietățile descrise pot fi rezumate spunând că $(\mu ,\lambda )$ ${\ displaystyle (\ mu, \ lambda)}$ ${\ displaystyle (\ mu, \ lambda)}$ este un parametru proiectiv . Folosind limbajul geometriei proiective , atunci când scrieți ecuația fasciculului dependent de un singur parametru $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , celălalt generator corespunde valorii $k=\infty$ ${\ displaystyle k = \ infty}$ ${\ displaystyle k = \ infty}$ , adică corespunde punctului la infinit .

Reducerea ecuației și a cazurilor speciale

Deoarece coeficienții pătratici ai cercului sunt egali cu 1, este posibil să se reducă ecuația fasciculului la o combinație liniară a ecuațiilor unui cerc și o linie dreaptă (numită și cerc degenerat ):

\lambda _{1}\left(x^{2}+y^{2}+a_{1}x+b_{1}y+c_{1}\right)+\mu _{1}\left(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}\right)=0

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} \ right) + \ mu _ {1} \ left (a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} \ right) = 0}

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} + a_ {1} x + b_ {1} y + c_ {1} \ right) + \ mu _ {1} \ left (a_ {2} x + b_ {2} y + c_ {2} \ right) = 0}

.

Această reducere este întotdeauna posibilă dacă relația nu este validă ${\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} = {\ frac {b_ {1}} {b_ {2}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {1}} {a_ {2}}} = {\ frac {b_ {1}} {b_ {2}}}}$ ; în acest din urmă caz, fasciculul este compus din cercuri concentrice și poate fi rescris ca fiind dependent de un singur parametru:

x^{2}+y^{2}+ax+by+k=0

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + cu + k = 0}

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + ax + cu + k = 0}

.

De asemenea, reducerea nu este posibilă în cazul în care $\lambda +\mu =0$ ${\ displaystyle \ lambda + \ mu = 0}$ ${\ displaystyle \ lambda + \ mu = 0}$ (sau echivalent $k=-1$ ${\ displaystyle k = -1}$ ${\ displaystyle k = -1}$ ); în acest caz, fasciculul original degenerează într-o linie dreaptă.

Axa centrală, axa rădăcinii și punctele de bază

În cazul unui fascicul de cercuri neconcentrice, centrele tuturor cercurilor fasciculului se află pe aceeași linie numită axă centrală .

Punctele comune tuturor circumferințelor fasciculului (chiar și celor degenerate) se numesc punctele de bază ale fasciculului. Un pachet de cercuri poate avea două, unul sau niciun punct de bază. Coordonatele punctelor de bază se găsesc prin sistematizarea ecuațiilor celor două cercuri generatoare (sau a oricăror două circumferințe distincte ale fasciculului).

Axa radicală este linia dreaptă a cărei ecuație este obținută prin scăderea elementului cu membrul celor două ecuații ale cercurilor generatoare (sau ale oricăror două circumferințe distincte ale fasciculului). Axa rădăcinii este întotdeauna perpendiculară pe axa centrală și trece prin punctele de bază, dacă acestea sunt prezente. În cazul cercurilor concentrice axa radicală nu există. Exprimând fasciculul ca o combinație liniară a unei linii drepte și a unui cerc, linia generatoare se dovedește a fi axa radicală a fasciculului, în timp ce axa centrală este linia perpendiculară pe linia generatoare și care trece prin centrul cercului generator . ^[1] ^[2]

Clasificarea fasciculelor de circumferințe

Pachetele de cercuri pot fi clasificate folosind centre și puncte de bază. Există patru tipuri de grinzi:

Cercuri concentrice: toate circumferințele fasciculului au același centru, nu există axe radiculare sau puncte de bază.
Circumferințe externe: toate circumferințele fasciculului au centre distincte, dar situate pe aceeași linie (axă centrală), nu există puncte de bază.
Circumferințe tangente: toate circumferințele fasciculului au centre distincte, dar situate pe aceeași linie (axă centrală) și sunt tangente una cu cealaltă (intern sau extern) în același punct (singur punct de bază al fasciculului) și la aceeași linie (axa radicală).
Cercuri secante: toate circumferințele fasciculului au centre distincte, dar situate pe aceeași linie (axa centrală) și sunt secante în două puncte comune (cele două puncte de bază ale fasciculului), axa radicală este linia secantă , adică cea trecând prin astfel de două puncte.

Pentru a clasifica un fascicul este, prin urmare, suficient să se studieze poziția reciprocă a oricăror două circumferințe distincte ale fasciculului, de exemplu poziția reciprocă a generatoarelor.

Notă

^ Enrica Casazza, Dionisio Gallarati, Geometry with elements of numerical computation , ECIG, 1993, ISBN 88-7545-578-3 .
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Curs albastru de bază de matematică (volumul 3) , Zanichelli, 2005, ISBN 88-08-07735-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă cu matematica

[1] Enrica Casazza, Dionisio Gallarati, Geometry with elements of numerical computation , ECIG, 1993, ISBN 88-7545-578-3 .

[2] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Curs albastru de bază de matematică (volumul 3) , Zanichelli, 2005, ISBN 88-08-07735-7 .

[1]

[2]