Set de definiții

În matematică , setul de definiții este setul maxim în care este definită o expresie dată. Mai exact: date două seturi $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ Și $Da$ ${\ displaystyle Y}$ $Da$ și o regulă de asociere $x\mapsto f(x)$ ${\ displaystyle x \ mapsto f (x)}$ $x \ mapsto f (x)$ care dictează modul de atribuire a unei valori date $x\in X$ ${\ displaystyle x \ în X}$ $x \ în X$ o valoare $f(x)\in Y$ ${\ displaystyle f (x) \ în Y}$ ${\ displaystyle f (x) \ în Y}$ , ne putem pune problema determinării setului (sau câmpului ) definiției (sau existenței ) unei astfel de reguli de asociere, adică setul maxim $A\subseteq X$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ ${\ displaystyle A \ subseteq X}$ unde expresia $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ Are vreun sens. În acest caz, putem defini o funcție $f\colon A\to Y,x\mapsto f(x).$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to Y, x \ mapsto f (x).}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to Y, x \ mapsto f (x).}$ În cazul funcțiilor cu o singură variabilă reală, problema constă în determinarea subsetului maxim $A\subseteq \mathbb {R}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle A \ subseteq \ mathbb {R}}$ pe care este posibilă definirea unei funcții $f\colon A\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {R}}$ pe care o respecti $x\mapsto f(x)$ ${\ displaystyle x \ mapsto f (x)}$ $x \ mapsto f (x)$ , adică ansamblul tuturor numerelor reale $x\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R}}$ pentru care expresia $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ este bine definit. Cu alte cuvinte, este definită o funcție $x\mapsto f(x)$ ${\ displaystyle x \ mapsto f (x)}$ $x \ mapsto f (x)$ al cărui domeniu $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ este cuprins în $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ R$ , vom avea neapărat $B\subseteq A$ ${\ displaystyle B \ subseteq A}$ $B \ subseteq A$ . ^[1]

Reguli

Regulile ^[2] pentru determinarea câmpului de existență al unei funcții reale cu o variabilă reală sunt diferite, în funcție de natura funcției:

dacă funcția este fracțională algebrică rațională , adică dacă are un numitor în care apare variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ , atunci numitorul trebuie setat diferit de;
dacă funcția este unîntreg algebric irațional , adică dacă variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ apare sub semnul rădăcină și rădăcina are un index egal, atunci radicandul trebuie setat mai mare sau egal cu;
dacă funcția este transcendentă de tip logaritmic , adică dacă variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ apare în argumentul logaritmului, atunci acest argument trebuie setat mai mare decât;
dacă funcția este o tangentă , atunci argumentul tangentei trebuie setat altul decât ${\frac {\pi }{2}}+k\pi$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} + k \ pi}$ ;
dacă funcția este o cotangentă , atunci argumentul cotangentei trebuie setat diferit de $k\pi$ ${\ displaystyle k \ pi}$ ${\ displaystyle k \ pi}$ ;
dacă funcția este un arcsine sau arccosine , atunci argumentul acestei funcții trebuie să fie între $\left[-1,1\right]$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ ${\ displaystyle \ left [-1,1 \ right]}$ .

Exemple

Expresia $f(x)=\log {\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}$ ${\ displaystyle f (x) = \ log {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5}}}$ $f (x) = \ log \ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5}$ nu are sens dacă una dintre următoarele condiții este adevărată:

{\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}\leqslant 0

{\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5}} \ leqslant 0}

\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5} \ leqslant0

deoarece logaritmul nu există pentru argumentele negative ^[3]

x+2<0

{\ displaystyle x + 2 <0}

x + 2 <0

deoarece nu există o rădăcină pătrată pentru radicanți negativi ^[4]

x-5=0

{\ displaystyle x-5 = 0}

x-5 = 0

deoarece o fracțiune nu există pentru numitorii care se anulează reciproc,

deci subsetul real maxim pe care se poate defini o funcție variabilă reală $f\colon A\to \mathbb {R}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f \ colon A \ to \ mathbb {R}}$ cu această asociere este dat de setul de soluții de sistem :

{\begin{cases}{\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}>0\\x+2\geqslant 0\\x-5\neq 0\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5}}> 0 \\ x + 2 \ geqslant 0 \\ x-5 \ neq 0 \ end {cases} }}

\ begin {cases} \ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5}> 0 \\ x + 2 \ geqslant 0 \\ x-5 \ neq 0 \ end {cases}

.

Prin urmare, înseamnă că pentru fiecare

D\subseteq A=(5,+\infty )

{\ displaystyle D \ subseteq A = (5, + \ infty)}

{\ displaystyle D \ subseteq A = (5, + \ infty)}

puteți defini o funcție

{\begin{array}{ccc}f\colon D&\to &\mathbb {R} \\x&\mapsto &\log {\frac {\sqrt {x+2}}{x-5}}.\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} f \ colon D & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & \ log {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5 }}. \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} f \ colon D & \ to & \ mathbb {R} \\ x & \ mapsto & \ log {\ frac {\ sqrt {x + 2}} {x-5 }}. \ end {array}}}

Functia $f(x)=e^{\frac {1}{x}}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {\ frac {1} {x}}}$ ${\ displaystyle f (x) = e ^ {\ frac {1} {x}}}$ este o funcție exponențială ; din moment ce variabila $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ apare ca numitorul exponentului , ansamblul definiției acestei funcții este dat de toate valorile reale ale $x\neq 0$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ ${\ displaystyle x \ neq 0}$ .

Notă

^ Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.15
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.U4
^ Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.391
^ Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics, multimedia blue (Algebra, Geometry, Probability) - Vol. 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.781

Bibliografie

Massimo Bergamini, Anna Tryphon, Graziella Barozzi, Curs de bază de matematică Volumul-5 Albastru, Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 .
Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 4 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0432-7 .

Elemente conexe

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Ilaria Fragni, Lineamenti.Math Blu-Volumul 5 , Ghisetti și Corvi, 2012, ISBN 978-88-538-0433-4 . p.15

[2] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Blue Basic Course of Mathematics-Volumul 5 , Zanichelli, 2009, ISBN 978-88-08-03933-0 . p.U4

[3] Nella Dodero, Paolo Baroncini, Roberto Manfredi, Curs nou în geometrie analitică și complemente de algebră , Ghisetti și Corvi, 1995, ISBN 88-80-13173-7 . p.391

[4] Massimo Bergamini, Anna Trifone, Graziella Barozzi, Mathematics, multimedia blue (Algebra, Geometry, Probability) - Vol. 2 , Zanichelli, 2010, ISBN 978-88-08-31344-7 . p.781

[1]

[2]

[3]

[4]