Curentul de probabilitate

În mecanica cuantică , densitatea curentului de probabilitate sau pur și simplu curentul de probabilitate (uneori numit flux de probabilitate ), este o mărime matematică care descrie fluxul de probabilitate în termeni de probabilitate pe unitate de zonă și unitate de timp. Mai exact, dacă descriem densitatea probabilității ca un fluid eterogen , atunci curentul de probabilitate este debitul acestui fluid. Acest lucru este analog curenților de masă din dinamica fluidelor și curenților electrici din electromagnetism . Este un vector real , ca densitatea curentului electric . Conceptul de curent de probabilitate este un formalism util în mecanica cuantică.

Definiție (3-curent non-relativist)

Rotire liberă 0 particulă

În mecanica cuantică nerelativistă, curentul de probabilitate j al funcției de undă $\Psi$ ${\ displaystyle \ Psi}$ $\ Psi$ într-o dimensiune este definită ca ^[1]

j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right),

{\ displaystyle j = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial x}} - \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial x}} \ right),}

{\ displaystyle j = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi} {\ partial x}} - \ Psi {\ frac {\ partial \ Psi ^ {*}} {\ partial x}} \ right),}

unde este $\Psi ^{*}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ Psi ^ {*}}$ indică conjugatul complex al funcției de undă , proporțional cu un Wronskian $W(\Psi ,\Psi ^{*})$ ${\ displaystyle W (\ Psi, \ Psi ^ {*})}$ ${\ displaystyle W (\ Psi, \ Psi ^ {*})}$ .

În trei dimensiuni, se generalizează la

\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\,,

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ nabla} \ Psi ^ { *} \ dreapta) \ ,,}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ nabla} \ Psi ^ { *} \ dreapta) \ ,,}

unde ħ este constanta de Planck redusă, m este masa particulei, Ψ este funcția de undă și ∇ denotă operatorul de gradient .

Acest lucru poate fi simplificat cu operatorul de impulsuri ,

\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}

{\ displaystyle \ mathbf {\ hat {p}} = -i \ hbar \ nabla}

a obtine

\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p} } \ Psi ^ {*} \ right) \,.}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p} } \ Psi ^ {*} \ right) \,.}

Aceste definiții se află în baza poziției (adică pentru o funcție de undă în spațiul de poziție), dar este posibilă și definiția în spațiul impulsului.

Rotiți 0 particulă într-un câmp electromagnetic

Definiția de mai sus ar trebui modificată pentru un sistem într-un câmp electromagnetic extern. În unitățile SI , o particulă încărcată de masă m și sarcină electrică q cuprinde un termen datorat interacțiunii cu câmpul electromagnetic;

\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!}

unde A = A ( r , t) este potențialul magnetic (sau „câmpul A ”). Termenul q A are dimensiunile unui impuls.

În unități gaussiene:

\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]\,\!

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} {c}} \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} {c}} \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] \, \!}

unde c este viteza luminii .

S- particulă de spin într-un câmp electromagnetic

Dacă particula are centrifugare , are un moment magnetic corespunzător, deci trebuie adăugat un termen suplimentar care încorporează interacțiunea centrifugării cu câmpul electromagnetic. În unități SI: ^[2]

\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] + {\ frac {\ mu _ {S}} {s}} \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} \ mathbf {S} \ Psi) \, \!}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2q \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] + {\ frac {\ mu _ {S}} {s}} \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} \ mathbf {S} \ Psi) \, \!}

unde S este vectorul de rotire al particulei cu momentul magnetic corespunzător de rotire μ _S și numărul cuantic de rotire s . În unități gaussiene:

\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s}}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )\,\!

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} {c}} \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] + {\ frac {\ mu _ { S} c} {s}} \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} \ mathbf {S} \ Psi) \, \!}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = {\ frac {1} {2m}} \ left [\ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi - \ Psi \ mathbf {\ hat {p}} \ Psi ^ {*} \ right) -2 {\ frac {q} {c}} \ mathbf {A} | \ Psi | ^ {2} \ right] + {\ frac {\ mu _ { S} c} {s}} \ nabla \ times (\ Psi ^ {*} \ mathbf {S} \ Psi) \, \!}

Legătură cu mecanica clasică

Funcția de undă poate fi scrisă și sub forma cu exponențială complexă: ^[3]

\Psi =Re^{iS/\hbar }

{\ displaystyle \ Psi = Re ^ {iS / \ hbar}}

{\ displaystyle \ Psi = Re ^ {iS / \ hbar}}

unde R și S sunt funcții reale ale lui r și t .

Scrisă astfel, densitatea probabilității este

\rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}

{\ displaystyle \ rho = \ Psi ^ {*} \ Psi = R ^ {2}}

{\ displaystyle \ rho = \ Psi ^ {*} \ Psi = R ^ {2}}

și curentul de probabilitate:

{\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)-Re^{iS/\hbar }(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S)\right]\end{aligned}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {j} & = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf { \ nabla} \ Psi ^ {*} \ right) \\ [5pt] & = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {iS / \ hbar} -Re ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {- iS / \ hbar} \ right) \\ [5pt] & = {\ frac {\ hbar} {2mi} } \ left [Re ^ {- iS / \ hbar} (e ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R + {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) -Re ^ {iS / \ hbar} (e ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R - {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) \ right] \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {j} & = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (\ Psi ^ {*} \ mathbf {\ nabla} \ Psi - \ Psi \ mathbf { \ nabla} \ Psi ^ {*} \ right) \\ [5pt] & = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left (Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {iS / \ hbar} -Re ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} Re ^ {- iS / \ hbar} \ right) \\ [5pt] & = {\ frac {\ hbar} {2mi} } \ left [Re ^ {- iS / \ hbar} (e ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R + {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) -Re ^ {iS / \ hbar} (e ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} R - {\ frac {i} {\ hbar}} Re ^ {- iS / \ hbar} \ mathbf {\ nabla} S) \ right] \ end {align}}}

Exponențialele și termenii cu R ∇ R se anulează:

={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right]

{\ displaystyle = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S + {\ frac {i} {\ hbar}} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S \ right]}

{\ displaystyle = {\ frac {\ hbar} {2mi}} \ left [{\ frac {i} {\ hbar}} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S + {\ frac {i} {\ hbar}} R ^ {2} \ mathbf {\ nabla} S \ right]}

În cele din urmă, prin combinarea și ștergerea constantelor și înlocuirea lui R ² cu ρ,

\mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho {\ frac {\ mathbf {\ nabla} S} {m}}}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho {\ frac {\ mathbf {\ nabla} S} {m}}}

Dacă luăm formula obișnuită pentru curent:

\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,

{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v},}

{\ displaystyle \ mathbf {j} = \ rho \ mathbf {v},}

unde v este viteza particulei (de asemenea viteza de grup a undei), putem asocia viteza la ∇ S / m , ceea ce echivalează cu echivalarea lui ∇ S cu impulsul clasic p = m v . Această interpretare este de acord cu teoria Hamilton-Jacobi , în care

\mathbf {p} =\nabla S

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ nabla S}

{\ displaystyle \ mathbf {p} = \ nabla S}

unde S este principala funcție Hamilton .

Motivație

Ecuația de continuitate în mecanica cuantică

Definiția curentului de probabilitate și ecuația Schrödinger pot fi folosite pentru a obține ecuația de continuitate , care are exact aceeași formă ca și cele pentru dinamica fluidelor și electromagnetismul: ^[4]

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} = 0}

unde densitatea probabilității $\rho \,$ ${\ displaystyle \ rho \,}$ ${\ displaystyle \ rho \,}$ este definit ca

\rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)\,

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | \ Psi | ^ {2} = \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \,}

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | \ Psi | ^ {2} = \ Psi ^ {*} (\ mathbf {r}, t) \ Psi (\ mathbf {r}, t) \,}

.

Dacă integrăm ambele părți ale ecuației de continuitate față de volum, astfel încât

\int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0

{\ displaystyle \ int _ {V} \ left ({\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} \ right) \ mathrm {d} V + \ int _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} \ right) \ mathrm {d} V = 0}

{\ displaystyle \ int _ {V} \ left ({\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} \ right) \ mathrm {d} V + \ int _ {V} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {j} \ right) \ mathrm {d} V = 0}

atunci teorema divergenței implică faptul că ecuația continuității este echivalentă cu ecuația integrală

{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+\iint _{\scriptstyle S}\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} | \ Psi | ^ {2} \ mathrm {d} V + \ iint _ {\ scriptstyle S} \ mathbf {j} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ int _ {V} | \ Psi | ^ {2} \ mathrm {d} V + \ iint _ {\ scriptstyle S} \ mathbf {j} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}

unde V este orice volum și S este marginea lui V. Aceasta este legea conservării probabilității în mecanica cuantică.

În special, dacă Ψ este o funcție de undă care descrie o singură particulă, integralul din primul termen al ecuației anterioare, fără derivată de timp, este probabilitatea de a obține o valoare în V atunci când se măsoară poziția particulei. Al doilea termen este, prin urmare, rata la care probabilitatea curge la volumul V. Luată împreună, ecuația afirmă că derivata în timp a probabilității particulei măsurate în V este egală cu rata la care curge probabilitatea în V.

Transmiterea și reflectarea prin potențiale

În regiunile în care există o treaptă potențială sau o barieră , curentul de probabilitate este corelat cu coeficienții de transmisie și reflexie, respectiv T și R ; ele măsoară măsura în care particulele reflectă bariera sau sunt transmise peste. Ambele satisfac:

T+R=1\,,

{\ displaystyle T + R = 1 \ ,,}

{\ displaystyle T + R = 1 \ ,,}

unde T și R pot fi definite prin:

T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,

{\ displaystyle T = {\ frac {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {transm}} |} {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} |}} \ ,, \ quad R = {\ frac {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {rif}} |} {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} |}} \ ,,}

{\ displaystyle T = {\ frac {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {transm}} |} {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} |}} \ ,, \ quad R = {\ frac {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {rif}} |} {| \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} |}} \ ,,}

unde j _inc , j _ref și j _transm sunt respectiv curenții de probabilitate incidentă, reflectată și transmisă, iar barele verticale indică modulul vectorilor. Relația dintre T și R poate fi obținută din conservarea probabilității:

\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }+\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.

{\ displaystyle \ mathbf {j} _ {\ mathrm {transm}} + \ mathbf {j} _ {\ mathrm {rif}} = \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \,.}

{\ displaystyle \ mathbf {j} _ {\ mathrm {transm}} + \ mathbf {j} _ {\ mathrm {rif}} = \ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \,.}

În termeni de vector normal n la barieră, aceștia sunt echivalenți:

T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trasm} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {rif} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,

{\ displaystyle T = \ left | {\ frac {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {transm}} \ cdot \ mathbf {n}} {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \ cdot \ mathbf {n}}} \ right | \ ,, \ qquad R = \ left | {\ frac {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {rif}} \ cdot \ mathbf {n}} {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \ cdot \ mathbf {n}}} \ right | \ ,,}

{\ displaystyle T = \ left | {\ frac {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {transm}} \ cdot \ mathbf {n}} {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \ cdot \ mathbf {n}}} \ right | \ ,, \ qquad R = \ left | {\ frac {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {rif}} \ cdot \ mathbf {n}} {\ mathbf {j} _ {\ mathrm {inc}} \ cdot \ mathbf {n}}} \ right | \ ,,}

unde sunt necesare valori absolute pentru a împiedica T și R să fie negative.

Exemple

Val plat

Pentru o undă plană care se propagă în spațiu:

\Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \, Ae ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ omega t)}}

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \, Ae ^ {i (\ mathbf {k} \ cdot {\ mathbf {r}} - \ omega t)}}

densitatea probabilității este constantă pe tot parcursul:

\rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | A | ^ {2} \ rightarrow {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = 0}

{\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r}, t) = | A | ^ {2} \ rightarrow {\ frac {\ partial | \ Psi | ^ {2}} {\ partial t}} = 0}

(adică undele plane au fost staționare ), dar curentul de probabilitate este diferit de zero - pătratul amplitudinii undei absolute de ori viteza particulei;

\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k}  \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v}

{\ displaystyle \ mathbf {j} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) = \ left | A \ right | ^ {2} {\ hbar \ mathbf {k} \ over m} = \ rho {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} = \ rho \ mathbf {v}}

{\ displaystyle \ mathbf {j} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) = \ left | A \ right | ^ {2} {\ hbar \ mathbf {k} \ over m} = \ rho {\ frac {\ mathbf {p}} {m}} = \ rho \ mathbf {v}}

ceea ce arată că particula poate fi în mișcare chiar dacă densitatea probabilității spațiale nu are o dependență explicită de timp.

Particulă într-o cutie

Pentru o particulă dintr-o cutie , într-o dimensiune spațială și lungime L , limitată la regiune

0<x<L\,\!

{\ displaystyle 0 <x <L \, \!}

{\ displaystyle 0 <x <L \, \!}

Stările proprii ale energiei sunt

\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)

{\ displaystyle \ Psi _ {n} = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi} {L}} x \ right)}

{\ displaystyle \ Psi _ {n} = {\ sqrt {\ frac {2} {L}}} \ sin \ left ({\ frac {n \ pi} {L}} x \ right)}

și nul în altă parte. Curenții de probabilitate asociați sunt

j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0

{\ displaystyle j_ {n} = {\ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ Psi _ {n} ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n}} {\ partial x }} - \ Psi _ {n} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n} ^ {*}} {\ partial x}} \ right) = 0}

{\ displaystyle j_ {n} = {\ frac {i \ hbar} {2m}} \ left (\ Psi _ {n} ^ {*} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n}} {\ partial x }} - \ Psi _ {n} {\ frac {\ partial \ Psi _ {n} ^ {*}} {\ partial x}} \ right) = 0}

de cand

\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}

{\ displaystyle \ Psi _ {n} = \ Psi _ {n} ^ {*}}

{\ displaystyle \ Psi _ {n} = \ Psi _ {n} ^ {*}}

Notă

^ Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (SUA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8
^ Mecanica cuantică, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (SUA), 2006, ISBN 978-0-07-145533-6
^ Mekanică analitică , LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
^ Mecanica cuantică, E. Abers, Ed. Pearson, Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0

Bibliografie

Fizica cuantică a atomilor, moleculelor, solidelor, nucleelor și particulelor (ediția a doua), R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0

Portal cuantic : Accesați intrările Wikipedia care se ocupă de cuantică

[1] Quantum Field Theory, D. McMahon, Mc Graw Hill (SUA), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8

[2] Mecanica cuantică, E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (SUA), 2006, ISBN 978-0-07-145533-6

[3] ^ Mekanică analitică , LN Hand, JD Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0

[4] Mecanica cuantică, E. Abers, Ed. Pearson, Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN 978-0-13-146100-0

[1]

[2]

[3]

[4]