Formula lui Chézy

În domeniul ingineriei hidraulice , formula Chézy , sau formula lui Chézy-Tadini ^{[ fără sursă ],} inginerul francez dezvoltat Antoine de Chézy , este o formulă empirică utilizată pentru a calcula viteza unui fluid la suprafața liberă în condiții de mișcare uniformă ^[1] și în principal turbulentă ^[2] , domeniul de aplicare a fost apoi extins pentru a include curenții presurizați .

fundal

Ipotezele formulei pot fi urmărite înapoi la Albert Brahms , un topograf al unui principat german , care a scris că, spre deosebire de o sferă plasată pe un plan înclinat, apa care curge într-un canal înclinat nu se mișcă cu o mișcare uniform accelerată , ci mai degrabă de mișcare uniformă, deoarece accelerația este contrabalansată de frecare ; el a mai afirmat că vitezele sunt proporționale cu rădăcina pătrată a pantei fundului și a scris că: ^[3]

( EN ) "Valorile frecării la pante egale ale suprafeței apei sunt una față de cealaltă, în cazul apelor curgătoare deschise, deoarece zonele umezite de apă sunt la cantitățile care curg peste ele."	( IT ) "Valorile de frecare pentru aceleași pante ale suprafeței apei sunt, în cazul curenților cu curgere liberă, modul în care zonele umede de apă sunt comparate cu cantitățile care curg pe ele."
( Albert Brahms , citat de Clemens Herschel în 115 experimente cu privire la capacitatea de încărcare a conductelor metalice mari, nituite, cu o viteză de curgere de până la șase picioare pe secundă ^[4] )

Cu toate acestea, Brahms nu a furnizat nicio formulă. ^[3]

Portretul lui Antoine de Chézy de Louis Jean Desprez în 1772–76

În 1769, inginerul Jean-Rodolphe Perronet și asistentul său Antoine de Chézy , la acea vreme inspector general al podurilor și drumurilor, fuseseră numiți să raporteze proiectul unui canal lângă râul Yvette , pentru a furniza apă Parisului ; ^[3] începând din acel an, Chézy a colectat date experimentale pe canalul de pământ Courpalet și pe râul Sena ^[1] , pe care le-a trimis împreună cu concluziile sale Perronet într-un document francez datat din 1775 cu titlul Teză despre viteza de curgere într-un canal dat . ^[5]

În raportul intitulat Formule pour Find la Vitesse de l'Eau Conduit dan une Rigole donnée ^[6] ^[7] , din 1776, el a raportat formula: ^[5]

v=\chi \cdot {\sqrt {A/P\cdot i_{f}\;}}

{\ displaystyle v = \ chi \ cdot {\ sqrt {A / P \ cdot i_ {f} \;}}}

{\ displaystyle v = \ chi \ cdot {\ sqrt {A / P \ cdot i_ {f} \;}}}

unde este $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ este un factor de rezistență la curgere, $i_{f}$ ${\ displaystyle i_ {f}}$ ${\ displaystyle i_ {f}}$ este panta de jos, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ Și $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ sunt respectiv zona umedă și perimetrul umed al secțiunii transversale.

Chézy a furnizat, de asemenea, valoarea coeficientului $\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ calculat pentru canalul Courpalet, egal cu 31 m ^1/2 / s, și pentru râul Sena, egal cu 44 m ^1/2 / s. ^[8] ^[5]

Perronet nu a acordat o importanță muncii făcute de Chézy, care nu a căutat niciodată vizibilitate; abia în 1797 Louis-François Letourneur , membru al Directorului francez, l-a numit pe Chézy director al École des Ponts et Chaussées (acum École des Ponts ParisTech ); în 1804, după moartea lui Chézy ^[9] , Gaspard de Prony și Pierre-Charles Lesage , au recunoscut meritul contribuțiilor sale științifice. ^[10]

Formula

Formula este următoarea:

v=\chi \cdot {\sqrt {R_{h}\cdot J}}

{\ displaystyle v = \ chi \ cdot {\ sqrt {R_ {h} \ cdot J}}}

{\ displaystyle v = \ chi \ cdot {\ sqrt {R_ {h} \ cdot J}}}

unde este:

$v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ este viteza medie în secțiunea transversală hidraulică în m / s;
$\chi$ ${\ displaystyle \ chi}$ $\care$ este coeficientul Chézy în m ^1/2 / s;
$R_{h}=A/P$ ${\ displaystyle R_ {h} = A / P}$ ${\ displaystyle R_ {h} = A / P}$ este raza hidraulică a secțiunii transversale în metri, egală cu raportul dintre zona umedă și perimetrul umed din secțiunea transversală;
$J$ ${\ displaystyle J}$ $J$ este căderea piezometrică, adimensională .

În forma propusă inițial ^[5] , este valabilă doar pentru mișcare uniformă , fiind $J=i_{f}$ ${\ displaystyle J = i_ {f}}$ ${\ displaystyle J = i_ {f}}$ , unde este $i_{f}$ ${\ displaystyle i_ {f}}$ ${\ displaystyle i_ {f}}$ este panta albiei.

În cazul curenților cu curgere liberă, acesta este utilizat și sub următoarea formă: ^[11]

Q=\chi \cdot A\cdot {\sqrt {R_{h}\cdot J}}

{\ displaystyle Q = \ who \ cdot A \ cdot {\ sqrt {R_ {h} \ cdot J}}}

{\ displaystyle Q = \ who \ cdot A \ cdot {\ sqrt {R_ {h} \ cdot J}}}

unde este:

$Î$ ${\ displaystyle Q}$ $Î$ este debitul în m ³ / s;
$LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ este zona umezită a secțiunii transversale în m ² .

Derivarea matematică

Formula lui Chézy poate fi derivată matematic din două ipoteze: ^[12]

forta $F_{r}$ ${\ displaystyle F_ {r}}$ ${\ displaystyle F_ {r}}$ rezistent la curgerea lichidului, acționând asupra unei zone $A_{f}$ ${\ displaystyle A_ {f}}$ ${\ displaystyle A_ {f}}$ în partea de jos a albiei, este direct proporțională cu viteza $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ flux pătrat, adică ${\frac {F_{r}}{A_{f}}}=C\cdot v^{2}$ ${\ displaystyle {\ frac {F_ {r}} {A_ {f}}} = C \ cdot v ^ {2}}$ ${\ displaystyle {\ frac {F_ {r}} {A_ {f}}} = C \ cdot v ^ {2}}$ , fiind $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ o constantă de proporționalitate și care exprimă zona în funcție de perimetrul umed al secțiunii transversale a râului și de lungimea întinderii luate în considerare ( $A_{f}=P\cdot L$ ${\ displaystyle A_ {f} = P \ cdot L}$ ${\ displaystyle A_ {f} = P \ cdot L}$ ) aveți $F_{r}=C\cdot P\cdot L\cdot v^{2}$ ${\ displaystyle F_ {r} = C \ cdot P \ cdot L \ cdot v ^ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {r} = C \ cdot P \ cdot L \ cdot v ^ {2}}$ ;
în mișcare uniformă, componenta efectivă a forței de greutate care provoacă mișcarea, adică componenta paralelă cu patul $F_{g,p}$ ${\ displaystyle F_ {g, p}}$ ${\ displaystyle F_ {g, p}}$ , este egal cu forța care rezistă mișcării în sine $F_{r}$ ${\ displaystyle F_ {r}}$ ${\ displaystyle F_ {r}}$ ; de aceea știind că $F_{g,p}=\gamma _{w}\cdot A\cdot L\cdot \sin(\theta )\approx \gamma _{w}\cdot A\cdot L\cdot \tan(\theta )=\gamma _{w}\cdot A\cdot L\cdot i_{f}$ ${\ displaystyle F_ {g, p} = \ gamma _ {w} \ cdot A \ cdot L \ cdot \ sin (\ theta) \ approx \ gamma _ {w} \ cdot A \ cdot L \ cdot \ tan (\ theta) = \ gamma _ {w} \ cdot A \ cdot L \ cdot i_ {f}}$ ${\ displaystyle F_ {g, p} = \ gamma _ {w} \ cdot A \ cdot L \ cdot \ sin (\ theta) \ approx \ gamma _ {w} \ cdot A \ cdot L \ cdot \ tan (\ theta) = \ gamma _ {w} \ cdot A \ cdot L \ cdot i_ {f}}$ ^[13] , fiind $\gamma _{w}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {w}}$ ${\ displaystyle \ gamma _ {w}}$ greutatea specifică a lichidului, $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ secțiunea transversală umedă e $i_{f}$ ${\ displaystyle i_ {f}}$ ${\ displaystyle i_ {f}}$ panta fundului albiei, rezultă că $v^{2}={\frac {\gamma _{w}}{C}}\cdot {\frac {A}{P}}\cdot i_{f}$ ${\ displaystyle v ^ {2} = {\ frac {\ gamma _ {w}} {C}} \ cdot {\ frac {A} {P}} \ cdot i_ {f}}$ ${\ displaystyle v ^ {2} = {\ frac {\ gamma _ {w}} {C}} \ cdot {\ frac {A} {P}} \ cdot i_ {f}}$ . Plasarea cantităților constante egale cu coeficientul $\chi ^{2}={\frac {\gamma _{w}}{C}}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} = {\ frac {\ gamma _ {w}} {C}}}$ ${\ displaystyle \ chi ^ {2} = {\ frac {\ gamma _ {w}} {C}}}$ și înlocuirea cu definiția razei hidraulice $R_{h}={\frac {A}{P}}$ ${\ displaystyle R_ {h} = {\ frac {A} {P}}}$ ${\ displaystyle R_ {h} = {\ frac {A} {P}}}$ , în cele din urmă avem: $v=\chi \cdot {\sqrt {R_{h}\cdot i_{f}}}$ ${\ displaystyle v = \ chi \ cdot {\ sqrt {R_ {h} \ cdot i_ {f}}}}$ ${\ displaystyle v = \ chi \ cdot {\ sqrt {R_ {h} \ cdot i_ {f}}}}$ .

Extindere la curenți sub presiune

Deși formula lui Chezy își are originea în anii 1700, extinderea sa la curenții sub presiune este mai recentă. ^{[ neclar ]}

Ținând cont de asta $R_{h}$ ${\ displaystyle R_ {h}}$ ${\ displaystyle R_ {h}}$ este raza hidraulică, dată de raport

R_{h}={\frac {A}{P}}

{\ displaystyle R_ {h} = {\ frac {A} {P}}}

{\ displaystyle R_ {h} = {\ frac {A} {P}}}

unde A reprezintă aria secțiunii conductei și P reprezintă limita sau perimetrul conductei.

$R_{h}=D/4$ ${\ displaystyle R_ {h} = D / 4}$ ${\ displaystyle R_ {h} = D / 4}$ (pentru un canal cu secțiune circulară)

și considerat J ca scăderea sarcinilor totale, formula Chézy, chiar dacă este aceeași în scris, este valabilă pentru curenții sub presiune. ^{[ neclar ]}

V=\chi {\sqrt {R_{h}\cdot J}}

{\ displaystyle V = \ chi {\ sqrt {R_ {h} \ cdot J}}}

{\ displaystyle V = \ chi {\ sqrt {R_ {h} \ cdot J}}}

Cu toate acestea, este adesea folosit pentru a calcula căderea de sarcini, sub forma:

J={\frac {V^{2}}{\chi ^{2}\ R_{h}}}

{\ displaystyle J = {\ frac {V ^ {2}} {\ chi ^ {2} \ R_ {h}}}}

{\ displaystyle J = {\ frac {V ^ {2}} {\ chi ^ {2} \ R_ {h}}}}

Coeficientul Chézy

Ecuația Chézy, dacă este comparată cu ecuația Darcy-Weisbach , permite obținerea coeficientului Chézy în funcție de indicele de rezistență $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , obținând: ^[14]

\chi ={\sqrt {\frac {8g}{\lambda }}}

{\ displaystyle \ chi = {\ sqrt {\ frac {8g} {\ lambda}}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ sqrt {\ frac {8g} {\ lambda}}}}

Cu toate acestea, având în vedere impracticabilitatea calculului $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , pentru determinarea coeficientului Chézy, diverși autori au furnizat expresii empirice, așa-numitele „practice”, valabile doar în cazul mișcării pur turbulente având în vedere absența dependenței de numărul Reynolds ; ^[2] principalele formule exprimate în SI sunt raportate mai jos.

Formula simplificată a lui Kutter

Propus inițial de E. Ganguillet și WR Kutter în 1869 într-o formă mai complexă, obținută din elaborări bazate pe măsurători ale debitului în diferite tipuri de canale, inclusiv cele efectuate de Bazin publicate în 1865 ^[15] și cele efectuate pe râurile europene și Mississippi ^[16] , a fost ulterior simplificat la următoarea formă: ^[14]

\chi ={\frac {100}{1+{\frac {m}{\sqrt {R_{h}}}}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {100} {1 + {\ frac {m} {\ sqrt {R_ {h}}}}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {100} {1 + {\ frac {m} {\ sqrt {R_ {h}}}}}}

in care $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ este indicele de rugozitate, are dimensiunile rădăcinii pătrate a unei lungimi și este variabil între 0,12 m ^1/2 pentru țevile noi de oțel și 0,45 m ^1/2 pentru țevile din fontă cu incrustări puternice. ^[14]

Formula lui Bazin

Propus de H. Bazin în 1897, pe baza datelor obținute de pe canale experimentale mici, în a doua formulare este echivalent cu formula lui Kutter, dar considerată mai puțin satisfăcătoare decât cea din urmă ^[17] și are următoarea formă: ^[14]

\chi ={\frac {87}{1+{\frac {\gamma }{\sqrt {R_{h}}}}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {87} {1 + {\ frac {\ gamma} {\ sqrt {R_ {h}}}}}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {87} {1 + {\ frac {\ gamma} {\ sqrt {R_ {h}}}}}}

in care $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este indicele de rugozitate, are dimensiunile rădăcinii pătrate a unei lungimi, din care Bazin oferă câteva valori tabelate. ^[17]

Prin echivalarea expresiei lui Kutter cu cea a lui Bazin este posibil să se obțină relația dintre cei doi coeficienți $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ Și $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ :

\gamma =0,87\cdot m-0,13\cdot {\sqrt {R_{h}}}

{\ displaystyle \ gamma = 0,87 \ cdot m-0,13 \ cdot {\ sqrt {R_ {h}}}}

{\ displaystyle \ gamma = 0,87 \ cdot m-0,13 \ cdot {\ sqrt {R_ {h}}}}

.

Formula Gauckler-Strickler

Același subiect în detaliu: formula Gauckler-Strickler .

În 1868, Philippe Gaspard Gauckler a propus următoarea formulă pentru coeficientul Chézy:

\chi =k_{s}\cdot R_{h}^{1/6}

{\ displaystyle \ chi = k_ {s} \ cdot R_ {h} ^ {1/6}}

{\ displaystyle \ chi = k_ {s} \ cdot R_ {h} ^ {1/6}}

in care $k_{s}$ ${\ displaystyle k_ {s}}$ ${\ displaystyle k_ {s}}$ se numește „coeficient Gauckler-Strickler”, are dimensiunile [m ^1/3 / s], este o măsură invers proporțională cu rugozitatea peretelui și poate fi găsită în tabele, fiind variabilă între aproximativ 140 m ^1/3 / s pentru țevi noi de oțel la 65 m ^1/3 / s pentru țevi din fontă cu incrustări puternice. ^[18]

Strickler a prezentat în 1923, independent de Gauckler, aceeași formulă propusă ^[19] , precum și o scară de valori pentru indicele de rugozitate ^[18] .

Fiind o relație monomială , este ușor de utilizat pentru aplicații analitice.

Formula lui Manning

Propus inițial în 1889 de Robert Manning , pe baza a șapte formule diferite bazate pe măsurătorile lui Bazin ^[15] și 170 de observații de calibrare, a fost ulterior modificat sub următoarea formă: ^[20]

v={\frac {1}{n}}\cdot R_{h}^{2/3}\cdot {\sqrt {J}}

{\ displaystyle v = {\ frac {1} {n}} \ cdot R_ {h} ^ {2/3} \ cdot {\ sqrt {J}}}

{\ displaystyle v = {\ frac {1} {n}} \ cdot R_ {h} ^ {2/3} \ cdot {\ sqrt {J}}}

in care $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este coeficientul de rugozitate, numit „Număr de manevrare”, are dimensiunile [s / m ^1/3 ] și măsoară rugozitatea suprafeței într-un mod direct proporțional .

Comparativ cu formula Chézy, dă expresia coeficientului Chézy în funcție de numărul Manning: ^[21]

\chi ={\frac {1}{n}}\cdot R_{h}^{1/6}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {1} {n}} \ cdot R_ {h} ^ {1/6}}

{\ displaystyle \ chi = {\ frac {1} {n}} \ cdot R_ {h} ^ {1/6}}

Pentru alegerea coeficientului Manning, a fost furnizată o metodologie de calcul pe baza caracteristicilor albiei ^[22] , precum și a valorilor tabulate ^[23] .

Comparând această expresie cu cea a lui Gauckler-Strickler, se determină că numărul Manning este egal cu reciprocitatea coeficientului Gauckler-Strickler:

n={\frac {1}{k_{s}}}

{\ displaystyle n = {\ frac {1} {k_ {s}}}}

{\ displaystyle n = {\ frac {1} {k_ {s}}}}

Notă

^ ^a ^b Chow (1959) , p. 93 .
^ ^a ^b Çengel și colab. (2007) , p. 278 .
^ ^a ^b ^c Clemens (1897) , p. 73 .
^ bazat pe textul original Anfangs-Gründe der Deich - und Wasser-Baukunst , Brahms (1754)
^ ^a ^b ^c ^d Khoury (2004) .
^ (EN) Nikolaos D. Katopodes, Free-Surface Flow :: Shallow Water Dynamics , Butterworth-Heinemann, 30 august 2018, p. 462, ISBN 978-0-12-815488-5 . Adus pe 27 aprilie 2021 .
^ care tradus în italiană este „Formula pentru a găsi viteza uniformă pe care o va avea apa într-un șanț sau canal a cărui pantă este cunoscută”
^ valorile coeficienților raportați au fost convertiți în unitatea de măsură a sistemului internațional , pornind de la sistemul de măsurare folosit anterior în Franța, prezent în documentul original.
^ care a avut loc în 1798
^ Clemens (1897) , pp. 117-119 .
^ obținut prin înmulțirea ambelor părți cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , amintindu-mi asta $Q=v\cdot A$ ${\ displaystyle Q = v \ cdot A}$ ${\ displaystyle Q = v \ cdot A}$
^ Chow (1959) , pp. 93-94 .
^ pentru valorile de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ mici, deoarece par a fi în variabilitatea versanților râurilor, putem confunda sinusul cu tangenta ( $\sin(\theta )\approx \tan(\theta )$ ${\ displaystyle \ sin (\ theta) \ approx \ tan (\ theta)}$ ${\ displaystyle \ sin (\ theta) \ approx \ tan (\ theta)}$ ); de exemplu, pentru o pantă $\theta =20^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta = 20 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ theta = 20 ^ {\ circ}}$ , egal cu o pantă $i_{f}=\tan(20^{\circ })=0,3640$ ${\ displaystyle i_ {f} = \ tan (20 ^ {\ circ}) = 0.3640}$ ${\ displaystyle i_ {f} = \ tan (20 ^ {\ circ}) = 0.3640}$ , greșeala pe care o faceți este $tan(20^{\circ })-sin(20^{\circ })=0,022$ ${\ displaystyle tan (20 ^ {\ circ}) - sin (20 ^ {\ circ}) = 0,022}$ ${\ displaystyle tan (20 ^ {\ circ}) - sin (20 ^ {\ circ}) = 0,022}$
^ ^a ^b ^c ^d Çengel și colab. (2007) , p. 279 .
^ ^a ^b ( FR ) Henry Darcy și Henry Émile Bazin, Recherches hydrauliques enterprises , Imprimerie Nationale, 1865,OCLC 38698151 .
^ Chow (1959) , p. 94 .
^ ^a ^b Chow (1959) , p. 95 .
^ ^a ^b Çengel și colab. (2007) , p. 280 .
^ Chow (1959) , p. 99 .
^ Chow (1959) , pp. 98-99 .
^ Chow (1959) , p. 100 .
^ Cowan (1956) , pp. 473-475 .
^ Chow (1959) , pp. 110-113 .

Bibliografie

Gianfranco Becciu, Fundamentele construcțiilor hidraulice , științele tehnice UTET, 2010, ISBN 978-88-598-0522-9 ,OCLC 875255671 . Adus la 13 iunie 2021 .
( DE ) Albert Brahms, Anfangs-Gründe der Deich - und Wasser-Baukunst , Schuster, 1754, ISBN 3-7963-0273-4 ,OCLC 612058507 . Găzduit la http://www.manuscriptorium.com/apps/index.php?direct=record&pid=AIPDIG-STK___B142SYSTEMNU0SMC7B5-cs .
Yunus A. Çengel și John M. Cimbala, Mecanica fluidelor , editat de Giuseppe Cozzo și Cinzia Santoro, McGraw-Hill, 2007, ISBN 978-88-386-6384-0 ,OCLC 799749775 .
Duilio Citrini și Giorgio Noseda, Hidraulică , ediția a II-a, Milano, Editura Ambrosiana, 1987, ISBN 8808081044 .
( EN ) Ven Te Chow, Open-channel Hydraulics , New York, McGraw-Hill, 1959, ISBN 978-0-07-085906-7 .
( EN ) Herschel Clemens, 115 experimente privind capacitatea de încărcare a unor conducte metalice mari, nituite, cu o viteză de curgere de până la 6 picioare pe secundă , New York, John Wiley & Sons, 1897.
( EN ) Woody L. Cowan, Estimarea coeficienților de rugozitate hidraulică , în Ingineria Agricolă , vol. 37, n. 7, iulie 1956.
( EN ) Fadi Khoury, History of the Chézy Formula , pe chezy.sdsu.edu , iunie 2004. Accesat la 23 martie 2021 .

Elemente conexe

Portalul de fizică

Portal de inginerie

[Ch93-1] Chow (1959) , p. 93 .

[:0-2] Çengel și colab. (2007) , p. 278 .

[C73-3] Clemens (1897) , p. 73 .

[B-4] zat pe textul original Anfangs-Gründe der Deich - und Wasser-Baukunst , Brahms (1754)

[K-5] Khoury (2004) .

[6] (EN) Nikolaos D. Katopodes, Free-Surface Flow :: Shallow Water Dynamics , Butterworth-Heinemann, 30 august 2018, p. 462, ISBN 978-0-12-815488-5 . Adus pe 27 aprilie 2021 .

[7] re tradus în italiană este „Formula pentru a găsi viteza uniformă pe care o va avea apa într-un șanț sau canal a cărui pantă este cunoscută”

[8] valorile coeficienților raportați au fost convertiți în unitatea de măsură a sistemului internațional , pornind de la sistemul de măsurare folosit anterior în Franța, prezent în documentul original.

[9] ^ care a avut loc în 1798

[10] Clemens (1897) , pp. 117-119 .

[11] ținut prin înmulțirea ambelor părți cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ , amintindu-mi asta $Q=v\cdot A$ ${\ displaystyle Q = v \ cdot A}$ ${\ displaystyle Q = v \ cdot A}$

[12] Chow (1959) , pp. 93-94 .

[13] tru valorile de $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ mici, deoarece par a fi în variabilitatea versanților râurilor, putem confunda sinusul cu tangenta ( $\sin(\theta )\approx \tan(\theta )$ ${\ displaystyle \ sin (\ theta) \ approx \ tan (\ theta)}$ ${\ displaystyle \ sin (\ theta) \ approx \ tan (\ theta)}$ ); de exemplu, pentru o pantă $\theta =20^{\circ }$ ${\ displaystyle \ theta = 20 ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ theta = 20 ^ {\ circ}}$ , egal cu o pantă $i_{f}=\tan(20^{\circ })=0,3640$ ${\ displaystyle i_ {f} = \ tan (20 ^ {\ circ}) = 0.3640}$ ${\ displaystyle i_ {f} = \ tan (20 ^ {\ circ}) = 0.3640}$ , greșeala pe care o faceți este $tan(20^{\circ })-sin(20^{\circ })=0,022$ ${\ displaystyle tan (20 ^ {\ circ}) - sin (20 ^ {\ circ}) = 0,022}$ ${\ displaystyle tan (20 ^ {\ circ}) - sin (20 ^ {\ circ}) = 0,022}$

[Ce279-14] Çengel și colab. (2007) , p. 279 .

[:1-15] ( FR ) Henry Darcy și Henry Émile Bazin, Recherches hydrauliques enterprises , Imprimerie Nationale, 1865,OCLC 38698151 .

[Ch94-16] Chow (1959) , p. 94 .

[Ch95-17] Chow (1959) , p. 95 .

[:2-18] Çengel și colab. (2007) , p. 280 .

[19] Chow (1959) , p. 99 .

[20] Chow (1959) , pp. 98-99 .

[21] Chow (1959) , p. 100 .

[22] Cowan (1956) , pp. 473-475 .

[23] Chow (1959) , pp. 110-113 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]