Invarianța la scară

Un proces Wiener este invariant la scară.

În fizică și matematică , invarianța la scară este o caracteristică a obiectelor sau o lege fizico-matematică care nu își schimbă forma dacă se scalează lungimile (sau în mod egal energiile) unui factor comun. Termenul tehnic pentru această transformare este dilatare și dilatarea poate fi, de asemenea, considerată ca un subset de transformări conformale .

În matematică, invarianța la scară se referă adesea la invarianța unei singure funcții sau curbe . Un concept strâns legat este auto-similitudinea, în care funcția sau curba în cauză este invariantă față de un subset discret al dilatațiilor. Este, de asemenea, posibil ca distribuțiile de probabilitate ale unui proces aleatoriu să admită acest tip de invarianță a scării sau de asemănare de sine (vezi de exemplu mișcarea browniană ).
În teoria clasică a câmpului , invarianța la scară se aplică în mod obișnuit la invarianța întregii teorii sub dilatații. Acest tip de teorii descriu procese fizice care nu au o scară caracteristică de lungime.
În teoria câmpului cuantic, invarianța la scară are o interpretare în termeni de caracteristici ale particulelor elementare . Într-o teorie invariantă la scară, intensitatea interacțiunii dintre particule nu depinde de energia particulelor implicate în reacție.
În mecanica statistică , invarianța la scară este o caracteristică a tranzițiilor de fază . Cheia observației este că în vecinătatea unei tranziții de fază sau a unui punct critic , fluctuațiile apar la toate scările de lungime și, prin urmare, se pot căuta teorii de scară invariante în mod explicit pentru a descrie fenomenul. Acest tip de teorii sunt studiate de teoria statistică a câmpului și formal sunt foarte asemănătoare cu teoriile invariante la scară ale teoriilor câmpului cuantic.
Universalitatea este observația că sistemele microscopice foarte diferite pot avea aceleași caracteristici globale ca și sistemele cu tranziții de fază. Prin urmare, analiza caracteristicilor la scară a sistemelor care sunt chiar foarte diferite între ele poate fi descrisă printr-o singură teorie (numită exact universal ).
În general, toate cantitățile adimensionale (sau scalare) sunt invariante sub scară. Conceptul analog în statistici sunt momentele standardizate, care sunt invariante statistice pentru scara unei variabile, în timp ce momentele nestandardizate nu sunt.

Invarianța la scară a curbelor și auto-similitudinea

În matematică se pot lua în considerare proprietățile de scalare ale funcțiilor sau curbelor $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ sub o expansiune a variabilei $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ . Adică, interesul se concentrează pe forma de $f(\lambda x)$ ${\ displaystyle f (\ lambda x)}$ ${\ displaystyle f (\ lambda x)}$ pentru un factor de scară arbitrar $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , care poate fi considerată lungimea sau valoarea expansiunii. Cererea pentru $f(x)$ ${\ displaystyle f (x)}$ $f (x)$ a fi invariant sub toate expansiunile posibile $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ este adesea scris ca:

f(\lambda x)=\lambda ^{\Delta }f(x)

{\ displaystyle f (\ lambda x) = \ lambda ^ {\ Delta} f (x)}

{\ displaystyle f (\ lambda x) = \ lambda ^ {\ Delta} f (x)}

pentru o alegere a exponentului $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ .

Exemple de funcții invariante la scară sunt monomiile $f(x)=x^{n}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {n}}$ ${\ displaystyle f (x) = x ^ {n}}$ , pentru care se are clar $\Delta =n$ ${\ displaystyle \ Delta = n}$ ${\ displaystyle \ Delta = n}$ :

f(\lambda x)=(\lambda x)^{n}=\lambda ^{n}f(x).

{\ displaystyle f (\ lambda x) = (\ lambda x) ^ {n} = \ lambda ^ {n} f (x).}

{\ displaystyle f (\ lambda x) = (\ lambda x) ^ {n} = \ lambda ^ {n} f (x).}

Un exemplu de curbă invariantă la scară este spirala logaritmică, un tip de curbă care apare adesea în natură. În coordonatele polare ( r , θ) spirala poate fi scrisă ca:

\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a).

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a).}

{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a).}

Având în vedere rotațiile curbei, invarianța se manifestă prin redimensionarea unghiului, $\theta (\lambda r)$ ${\ displaystyle \ theta (\ lambda r)}$ ${\ displaystyle \ theta (\ lambda r)}$ , transformarea lasă evident curba identică cu ea însăși.

Geometrie proiectivă

Ideea unei invarianțe la scară a monomiilor este generalizată într-un număr mai mare de dimensiuni la ideea de polinoame omogene și mai general la funcții omogene. Funcțiile omogene sunt baza naturală a spațiilor proiective, iar polinoamele omogene sunt studiate ca varietăți proiective în geometria proiectivă. Geometria proiectivă este un domeniu deosebit de fertil al matematicii; în forma sa cea mai abstractă, geometria schemei, are mai multe conexiuni cu teoria șirurilor .

Curba Koch este asemănătoare .

Fractale

Fractalele sunt adesea denumite obiecte invariante la scară, deși ar fi mai corect să spunem că sunt mai degrabă asemănătoare cu sine. O fractală este de obicei egală cu ea însăși numai pentru un set discret de valori ale lui λ și, de asemenea, translațiile și rotațiile trebuie aplicate într-un mod discret pentru a obține același fractal înapoi. De exemplu, curba Koch se scala cu Δ = 1, dar scalarea este valabilă numai pentru valorile λ = 1 / 3n cu n întreg. Mai mult, curba Koch se redescalează nu numai în ceea ce privește originea, ci, într-un sens, „peste tot”: o copie în miniatură a întregului fractal poate fi găsită oriunde pe curbă.

Unele fractale pot avea secvențe diferite de valori ale invarianței scării, care sunt studiate cu analize multifractale.

Invarianța scalei în procesele stochastice

De sine $P(f)$ ${\ displaystyle P (f)}$ ${\ displaystyle P (f)}$ este valoarea de așteptare a puterii la frecvență $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ , apoi zgomotul se transformă în:

P(f)=\lambda ^{-\Delta }P(\lambda f)

{\ displaystyle P (f) = \ lambda ^ {- \ Delta} P (\ lambda f)}

{\ displaystyle P (f) = \ lambda ^ {- \ Delta} P (\ lambda f)}

cu $\Delta =0$ ${\ displaystyle \ Delta = 0}$ $\ Delta = 0$ pentru zgomotul alb , $\Delta =-1$ ${\ displaystyle \ Delta = -1}$ ${\ displaystyle \ Delta = -1}$ pentru zgomot roz , e $\Delta =-2$ ${\ displaystyle \ Delta = -2}$ ${\ displaystyle \ Delta = -2}$ pentru zgomotul brownian (și mai general pentru mișcarea browniană ).

Mai precis, scalarea în sisteme stochastice se referă la probabilitatea de a alege o anumită configurație dintre setul tuturor configurațiilor posibile aleatorii. Această probabilitate este dată de distribuția probabilității . Exemple de distribuții invariabile de scară sunt distribuția Pareto și distribuția Zipf .

Cosmologie

În cosmologie , spectrul de putere al distribuției spațiale a radiației cosmice de fond este aproape de a fi o distribuție invariantă a scării. Deși în matematică acest lucru înseamnă că spectrul prezintă o lege a puterii , în cosmologie termenul „invariant la scară” indică faptul că amplitudinea, P ( k ), a fluctuațiilor primordiale în funcție de numărul de undă , k , este aproximativ constantă, adică , un spectru plat. Acest tip de spectru este în concordanță cu modelele de inflație.

Invarianța la scară în teoriile câmpului cuantic

Dependența la scară a unei teorii de câmp (QFT) se caracterizează prin modul în care constantele sale de cuplare depind de energia la care are loc un proces dat. Această dependență energetică este descrisă de grupul de renormalizare și este codificată în funcția beta a teoriei.

Pentru a avea o teorie QFT invariantă la scară, constantele sale de cuplare trebuie să fie independente de scara energetică și acest lucru este indicat prin anularea funcției beta a teoriei. Aceste teorii sunt cunoscute ca puncte fixe ale fluxului de grup de renormalizare corespunzător.

Electrodinamica cuantică

Un exemplu simplu de teoria câmpului cuantic invariant la scară este câmpul electromagnetic liber cuantificat fără particule încărcate. Această teorie, ca și omologul său clasic, este invariantă la scară, pur și simplu, deoarece nu conține nicio constantă de cuplare (nici cu particulele încărcate absente, nici cu fotonii înșiși, deoarece nu interacționează direct între ei).

Cu toate acestea, în natură, câmpul electromagnetic este cuplat cu particule încărcate, cum ar fi electroni sau pozitroni . Teoria cuantică care descrie atât câmpurile fermionilor electronici cât și electromagnetici este cunoscută sub numele de electrodinamică cuantică (QED) și nu este o teorie invariantă la scară. Analizând funcția beta a QED, se deduce că sarcina electrică (care este parametrul de cuplare al teoriei) crește pe măsură ce energia crește. Astfel, în timp ce câmpul electromagnetic cuantificat fără particule încărcate este invariant la scară, QED nu este invariant la scară.

Teorii ale câmpului scalar fără masă

Câmpurile cuantice libere și fără masă nu au parametri de cuplare. Prin urmare, în mod similar cu ceea ce se întâmplă în teoria clasică, aceste câmpuri sunt invarianți la scară. În limbajul grupului de renormalizare, această teorie este cunoscută ca punct fix gaussian .

Mai mult, chiar dacă teoria clasică φ ⁴ (care, prin urmare, admite interacțiunile de sine ale câmpului cu sine) este invariantă la scară în $D=4$ ${\ displaystyle D = 4}$ ${\ displaystyle D = 4}$ , versiunea cuantificată nu este invariantă la scară. Acest lucru poate fi înțeles examinând funcția beta pentru parametrul de cuplare g.

Deși teoria cuantică φ ⁴ nu este invariantă la scară, există și alte teorii scalare cuantificate în afară de cea a punctului fix Gaussian care sunt, de exemplu, punctul fix Wilson-Fisher .

Teoria câmpului conform

Teoriile cuantice invariante la scară sunt aproape întotdeauna invariante sub acțiunea întregului grup conformal, iar studiul acestor teorii este cunoscut sub numele de teoria câmpului conformal (CFT). Unii operatori din CFT au dimensiuni la scară bine definite, analog cu puterea $\Delta$ ${\ displaystyle \ Delta}$ $\ Delta$ din cazurile anterioare. Cu toate acestea, dimensiunile de scară ale operatorilor într-o teorie CFT diferă de obicei de cele clasice datorită contribuțiilor cuantice cunoscute sub numele de dimensiuni de scară anormale.

Tranziții de fază

În mecanica statistică, atunci când un sistem suferă o tranziție de fază, fluctuațiile sale sunt descrise printr-o teorie invariantă a câmpului statistic la scară (sau CFT, teoria câmpului conformal ). Pentru un sistem de echilibru (adică independent de timp), o teorie CFT D-dimensională corespunde formal unei teorii statistice în D dimensiuni spațiale. În acest context, dimensiunile scării sunt denumite de obicei exponenți critici. Se pot calcula acești exponenți în principiu în teoria corespunzătoare a câmpului conform corespunzător.

Modelul Ising

Un exemplu care combină multe dintre ideile despre invarianța scării este tranziția de fază a modelului Ising , care descrie într-un mod simplificat comportamentul critic al unei substanțe feromagnetice . Este un model de mecanică statistică care are, de asemenea, o descriere în termenii unei teorii de câmp conforme. Sistemul constă dintr-o serie de situri de rețea, care formează o rețea periodică D-dimensională. Fiecare sit reticular este asociat cu un moment magnetic sau rotire , iar această variabilă de rotire poate lua fie valoarea +1, fie -1 (aceste stări sunt, de asemenea, apelate în sus și în jos, respectiv).

Punctul cheie este că modelul Ising are o interacțiune între primii vecini de spin-spin, ceea ce face ca o pereche de două rotiri consecutive aliniate cu aceeași valoare să fie favorabilă din punct de vedere energetic. Pe de altă parte, oscilațiile termice introduc de obicei aleatoritatea în alinierea și valoarea rotirilor. La o anumită temperatură critică, $T_{c}$ ${\ displaystyle T_ {c}}$ $T_ {c}$ , coexistența simultană a acestor două fenomene produce o tranziție de fază. Sub această temperatură are loc magnetizarea spontană , adică sistemul tinde spre alinierea simultană a tuturor rotirilor într-o singură valoare. Aceasta înseamnă mai jos $T_{c}$ ${\ displaystyle T_ {c}}$ $T_ {c}$ interacțiunea spin-spin va începe să domine și va exista o anumită aliniere între rotirile consecutive în ambele direcții.

Un exemplu al tipului de mărimi fizice pe care ar dori să le calculăm la temperatura critică este corelația dintre rotiri separate de o distanță r. Aceasta este tendința generică:

G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},

{\ displaystyle G (r) \ propto {\ frac {1} {r ^ {D-2 + \ eta}}},}

{\ displaystyle G (r) \ propto {\ frac {1} {r ^ {D-2 + \ eta}}},}

Valoarea exactă a parametrului $\eta$ ${\ displaystyle \ eta}$ $\vârstă$ depinde de mulți factori și este un exemplu de indice critic.

Evoluția lui Schramm - Loewner

Dimensiunile anormale din unele teorii bidimensionale ale câmpului conformal pot fi legate de dimensiunea fractală tipică a unei căi aleatorii , în care etapele aleatoare sunt definite de evoluția lui Schramm-Loewner (SLE). Teoriile CFT pot descrie fizica tranzițiilor de fază și, astfel, exponenții critici ai tranzițiilor de fază pot fi legați de dimensiunile fractale. Exemple sunt modelul critic bidimensional Ising și modelul mai general bidimensional Potts . Legarea altor teorii conformale bidimensionale cu LES este un domeniu activ de cercetare.

Bibliografie

Jean Zinn-Justin, Teoria cuantică a câmpului și fenomenele critice , Oxford University Press (2002). Discuție amplă despre invarianța scării în teoria cuantică a câmpului și statistică, cu aplicații pentru renormalizare și fenomene critice.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere despre invarianța la scară

Portalul de fizică

Portalul de matematică