Legea puterii

O lege a puterii ( legea puterii) este orice relație de tipul:

\ f(x)=ax^{k}+o(x^{k}),\ x\to 0,

{\ displaystyle \ f (x) = ax ^ {k} + o (x ^ {k}), \ x \ to 0,}

{\ displaystyle \ f (x) = ax ^ {k} + o (x ^ {k}), \ x \ to 0,}

unde a și k sunt constante și $o(x^{k})$ ${\ displaystyle o (x ^ {k})}$ $sau (x ^ {k})$ este o funcție asimptotic mică a $x^{k}$ ${\ displaystyle x ^ {k}}$ $x ^ k$ . k se numește de obicei exponent de scală .

Legile puterii se repetă în distribuțiile de probabilitate ale multor fenomene fizice (de exemplu, magnitudinea cutremurelor, diametrul craterelor planetelor, dimensiunea fragmentelor de obiecte care se rup sub impact, intensitatea exploziilor solare), socială ( numărul de decese în războaie, populația orașelor, numărul de link-uri către site-uri web, numărul de citate) și economice (distribuția bogăției, vânzarea de cărți și CD-uri etc.); la fel cum se întâmplă în alte tipuri de relații, cum ar fi cea dintre rata metabolică a unei specii și masa corporală a acesteia (așa-numita lege a lui Kleiber ), sau cea dintre forța de greutate și distanța dintre mase.

În cazul distribuțiilor de probabilitate, o distribuție care respectă o lege a puterii se numește distribuție a legii puterii, distribuție fără scară ( invarianța scării de distribuție) sau distribuția Pareto - numită după economistul Vilfredo Pareto , care a identificat-o mai întâi în distribuție a venitului - sau în cele din urmă legea Zipf - de către lingvistul George Kingsley Zipf care l-a identificat prin studierea frecvenței de utilizare a cuvintelor în texte. ^[1]

Particularitatea acestui tip de distribuție rezidă tocmai în absența unei scări caracteristice a fenomenelor. Astfel, de exemplu, a spune că distribuția veniturilor reflectă legea puterii sau că distribuția veniturilor este un Pareto, înseamnă că, dacă la fiecare patru persoane cu un venit anual de zece mii de euro, există unul cu un venit egal cu douăzeci de mii, atunci va exista o persoană care câștigă 2 trilioane de euro pentru fiecare patru cu un venit egal cu 1 trilion.

Distribuții de putere-lege

Histograma unui eșantion extras dintr-o distribuție de putere-lege cu exponentul 3.

O distribuție legea puterii sau distribuția legii puterii sau distribuția Pareto, în forma sa cea mai generală, are forma:

\ p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }

{\ displaystyle \ p (x) \ propto L (x) x ^ {- \ alpha}}

{\ displaystyle \ p (x) \ propto L (x) x ^ {- \ alpha}}

unde este $\ \propto$ ${\ displaystyle \ \ propto}$ ${\ displaystyle \ \ propto}$ indică proporțional, adică egal cu mai puțin decât un factor multiplicativ, α (> 1) se numește exponentul legii puterii și L (x) este o funcție de „variație lentă”, adică orice funcție astfel încât

\ \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {L(t\,x)}{L(x)}}=1

{\ displaystyle \ \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {\ frac {L (t \, x)} {L (x)}} = 1}

{\ displaystyle \ \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} {\ frac {L (t \, x)} {L (x)}} = 1}

cu t constantă. Această proprietate a lui L (x) rezultă direct din condiția ca p (x) să fie invariant asimptotic pe scară.

Când L (x) este o constantă, distribuția devine:

\ p(x)=Cx^{-\alpha }

{\ displaystyle \ p (x) = Cx ^ {- \ alpha}}

{\ displaystyle \ p (x) = Cx ^ {- \ alpha}}

Mai mult, deoarece pentru orice valoare pozitivă a lui α distribuția divergă pe măsură ce x se apropie de zero, este normal să se impună o valoare minimă $x_{\min }$ ${\ displaystyle x _ {\ min}}$ ${\ displaystyle x _ {\ min}}$ . Având în vedere exponentul, când x este o variabilă continuă, constanta de normalizare C este dată de:

\ C=1/\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{-\alpha }\,\mathrm {d} x

{\ displaystyle \ C = 1 / \ int _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty} x ^ {- \ alpha} \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle \ C = 1 / \ int _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty} x ^ {- \ alpha} \, \ mathrm {d} x}

de la care:

p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }

{\ displaystyle p (x) = {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}}} \ left ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ right) ^ {- \ alpha}}

{\ displaystyle p (x) = {\ frac {\ alpha -1} {x _ {\ min}}} \ left ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ right) ^ {- \ alpha}}

.

Momente de distribuție

Valoarea așteptată a distribuției legii energiei electrice este:

\langle x\rangle =\int _{x_{\min }}^{\infty }xp(x)\mathrm {d} x={\frac {C}{2-\alpha }}\left[x^{2-\alpha }\right]_{x_{\min }}^{\infty }

{\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty} xp (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {C} {2- \ alpha}} \ left [x ^ {2- \ alpha} \ right] _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty}}

{\ displaystyle \ langle x \ rangle = \ int _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty} xp (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {C} {2- \ alpha}} \ left [x ^ {2- \ alpha} \ right] _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty}}

care este finit numai dacă α> 2.

Mai general, momentul de ordine m este dat de:

\langle x^{m}\rangle =\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}

{\ displaystyle \ langle x ^ {m} \ rangle = \ int _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty} x ^ {m} p (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha -1-m}} x _ {\ min} ^ {m}}

{\ displaystyle \ langle x ^ {m} \ rangle = \ int _ {x _ {\ min}} ^ {\ infty} x ^ {m} p (x) \, \ mathrm {d} x = {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha -1-m}} x _ {\ min} ^ {m}}

și este finit numai dacă m < α -1.

Histograma unui eșantion extras dintr-o distribuție de putere-lege cu exponentul 3 în scară logaritmică dublă (log-log plot) - În coada distribuției este posibil să se observe fluctuațiile fracționale datorate constanței intervalului de clasă în construcție a histogramei.

Reprezentați grafic distribuțiile legii puterii

De obicei, distribuțiile legii puterii sunt reprezentate pe un grafic log-log , adică un grafic în care ambele variabile de pe axe sunt măsurate în logaritmi . De fapt, transformarea în logaritmi:

\ \log p(x)=\log C-\alpha \log x

{\ displaystyle \ \ log p (x) = \ log C- \ alpha \ log x}

{\ displaystyle \ \ log p (x) = \ log C- \ alpha \ log x}

iar relația devine liniară. ^[2]

Mai mult, pentru a evita fluctuațiile fracționale în coada distribuției datorită constanței intervalului de clasă din histogramă , se utilizează un interval de clasă logaritmică sau, mai frecvent, este reprezentată funcția de probabilitate cumulativă complementară, adică:

P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X)\mathrm {d} X={\frac {\alpha -1}{x_{\min }^{-\alpha +1}}}\int _{x}^{\infty }X^{-\alpha }\mathrm {d} X=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{(-\alpha +1)}

{\ displaystyle P (x) = \ Pr (X> x) = C \ int _ {x} ^ {\ infty} p (X) \ mathrm {d} X = {\ frac {\ alpha -1} {x_ {\ min} ^ {- \ alpha +1}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} X ^ {- \ alpha} \ mathrm {d} X = \ left ({\ frac {x} {x_ {\ min}}} \ right) ^ {(- \ alpha +1)}}

{\ displaystyle P (x) = \ Pr (X> x) = C \ int _ {x} ^ {\ infty} p (X) \ mathrm {d} X = {\ frac {\ alpha -1} {x_ {\ min} ^ {- \ alpha +1}}} \ int _ {x} ^ {\ infty} X ^ {- \ alpha} \ mathrm {d} X = \ left ({\ frac {x} {x_ {\ min}}} \ right) ^ {(- \ alpha +1)}}

care urmează și o lege a puterii cu un exponent mai mic. ^[3]

Diagrama log-log a distribuției cumulative a unui eșantion extras dintr-o distribuție de putere-lege cu exponentul 3.

Procente de distribuție

Mediana distribuției este dată de:

\ \int _{x_{1/2}}^{\infty }p(x)\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}

{\ displaystyle \ \ int _ {x_ {1/2}} ^ {\ infty} p (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}}}

{\ displaystyle \ \ int _ {x_ {1/2}} ^ {\ infty} p (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}}}

de la care:

\ x_{1/2}=2^{\frac {1}{\alpha -1}}x_{\min }

{\ displaystyle \ x_ {1/2} = 2 ^ {\ frac {1} {\ alpha -1}} x _ {\ min}}

{\ displaystyle \ x_ {1/2} = 2 ^ {\ frac {1} {\ alpha -1}} x _ {\ min}}

Percentila K este:

\ \int _{x_{k/100}}^{\infty }p(x)\mathrm {d} x={\frac {100-k}{100}}

{\ displaystyle \ \ int _ {x_ {k / 100}} ^ {\ infty} p (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {100-k} {100}}}

{\ displaystyle \ \ int _ {x_ {k / 100}} ^ {\ infty} p (x) \ mathrm {d} x = {\ frac {100-k} {100}}}

adică:

\ x_{k/100}=\left({\frac {100}{100-k}}\right)^{\frac {1}{\alpha -1}}x_{\min }

{\ displaystyle \ x_ {k / 100} = \ left ({\ frac {100} {100-k}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha -1}} x _ {\ min}}

{\ displaystyle \ x_ {k / 100} = \ left ({\ frac {100} {100-k}} \ right) ^ {\ frac {1} {\ alpha -1}} x _ {\ min}}

Regula 80/20

Dacă luăm în considerare distribuția bogăției, fracțiunea populației a cărei avere depășește o anumită valoare x este pur și simplu:

\ P(x)=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{1-\alpha }

{\ displaystyle \ P (x) = \ left ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ right) ^ {1- \ alpha}}

{\ displaystyle \ P (x) = \ left ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ right) ^ {1- \ alpha}}

Procentul din averea totală în mâinile acestor oameni va fi:

\ W(x)={\frac {\int _{x}^{\infty }x'p(x')\mathrm {d} x'}{\int _{x_{\min }}^{\infty }x'p(x')\mathrm {d} x'}}=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{2-\alpha }

{\ displaystyle \ W (x) = {\ frac {\ int _ {x} ^ {\ infty} x'p (x ') \ mathrm {d} x'} {\ int _ {x _ {\ min} } ^ {\ infty} x'p (x ') \ mathrm {d} x'}} = \ left ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ right) ^ {2- \ alpha }}

{\ displaystyle \ W (x) = {\ frac {\ int _ {x} ^ {\ infty} x'p (x ') \ mathrm {d} x'} {\ int _ {x _ {\ min} } ^ {\ infty} x'p (x ') \ mathrm {d} x'}} = \ left ({\ frac {x} {x _ {\ min}}} \ right) ^ {2- \ alpha }}

din care rezultă:

\ W=P^{\frac {\alpha -2}{\alpha -1}}

{\ displaystyle \ W = P ^ {\ frac {\ alpha -2} {\ alpha -1}}}

{\ displaystyle \ W = P ^ {\ frac {\ alpha -2} {\ alpha -1}}}

Deoarece exponentul în cazul distribuției bogăției este de aproximativ 2,15, avem:

\ W=0.2^{\frac {2,15-2}{2,15-1}}\approx 0,8

{\ displaystyle \ W = 0.2 ^ {\ frac {2,15-2} {2,15-1}} \ approx 0,8}

{\ displaystyle \ W = 0.2 ^ {\ frac {2,15-2} {2,15-1}} \ approx 0,8}

Ceea ce este cunoscut sub numele de legea 80/20 (sau principiul Pareto ), conform căruia 20% din populație deține 80% din bogăția lumii.

Trebuie remarcat faptul că, conform aceleiași distribuții, rezultă că, de exemplu, 50% din bogăția mondială este deținută doar de mai puțin de 1% din populație și așa mai departe.

Invarianța la scară și legea puterii

O distribuție de probabilitate este invariantă la scară dacă:

\ p(bx)=f(b)\ p(x)

{\ displaystyle \ p (bx) = f (b) \ p (x)}

{\ displaystyle \ p (bx) = f (b) \ p (x)}

adică, dacă, schimbând scala sau unitatea de măsură a variabilei x cu un factor b , distribuția probabilității rămâne neschimbată, cu excepția unei constante multiplicative f (b) .

Invarianța la scară este o condiție necesară și suficientă pentru ca o distribuție să fie putere-lege .

De fapt, o distribuție este invariantă la scară dacă este o distribuție legea puterii . Dat

\ p(x)=Cx^{-\alpha }

{\ displaystyle \ p (x) = Cx ^ {- \ alpha}}

{\ displaystyle \ p (x) = Cx ^ {- \ alpha}}

urmează de fapt:

\ p(bx)=C(bx)^{-\alpha }=b^{-\alpha }Cx^{-\alpha }=b^{-\alpha }p(x).

{\ displaystyle \ p (bx) = C (bx) ^ {- \ alpha} = b ^ {- \ alpha} Cx ^ {- \ alpha} = b ^ {- \ alpha} p (x).}

{\ displaystyle \ p (bx) = C (bx) ^ {- \ alpha} = b ^ {- \ alpha} Cx ^ {- \ alpha} = b ^ {- \ alpha} p (x).}

Mai mult, o distribuție este putere-lege dacă este invariantă la scară. De fapt, dacă o distribuție este fără scară , pentru x = 1 avem:

\ f(b)={\frac {p(b)}{p(1)}}

{\ displaystyle \ f (b) = {\ frac {p (b)} {p (1)}}}

{\ displaystyle \ f (b) = {\ frac {p (b)} {p (1)}}}

prin urmare:

\ p(bx)={\frac {p(b)}{p(1)}}p(x)

{\ displaystyle \ p (bx) = {\ frac {p (b)} {p (1)}} p (x)}

{\ displaystyle \ p (bx) = {\ frac {p (b)} {p (1)}} p (x)}

Diferențierea față de b obținem:

\ xp'(bx)={\frac {p'(b)}{p(1)}}p(x)

{\ displaystyle \ xp '(bx) = {\ frac {p' (b)} {p (1)}} p (x)}

{\ displaystyle \ xp '(bx) = {\ frac {p' (b)} {p (1)}} p (x)}

care, pentru b = 1 devine:

\ xp'(x)={\frac {p'(1)}{p(1)}}p(x)

{\ displaystyle \ xp '(x) = {\ frac {p' (1)} {p (1)}} p (x)}

{\ displaystyle \ xp '(x) = {\ frac {p' (1)} {p (1)}} p (x)}

care este o ecuație diferențială a cărei soluție este:

\ p(x)=p(1)\ x^{p(1)/p'(1)}

{\ displaystyle \ p (x) = p (1) \ x ^ {p (1) / p '(1)}}

{\ displaystyle \ p (x) = p (1) \ x ^ {p (1) / p '(1)}}

care este o distribuție legea puterii .

Scală invarianța și limita

Deși există multe fenomene care prezintă distribuții de invarianță la scară pentru anumite intervale, există cazuri rare în care acest lucru este adevărat de-a lungul întregului suport .

Astfel, de exemplu, deși legea Gutenberg-Richter este de obicei citată ca exemplu de distribuție a legii puterii, distribuția reală a magnitudinii cutremurelor, dată fiind limita constituită de energia totală închisă în scoarța terestră, încetează să mai fie scalabilă. când te apropii de ea.

Pentru a lua în considerare acest lucru, este adesea folosit pentru a introduce o limită exponențială în distribuția originală, adoptând următoarea formă:

p(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\lambda x}.

{\ displaystyle p (x) \ propto x ^ {- \ alpha} e ^ {- \ lambda x}.}

{\ displaystyle p (x) \ propto x ^ {- \ alpha} e ^ {- \ lambda x}.}

În această distribuție, rata expunerii exponențiale $\ e^{-\lambda x}$ ${\ displaystyle \ e ^ {- \ lambda x}}$ ${\ displaystyle \ e ^ {- \ lambda x}}$ în cele din urmă va tinde să prevaleze asupra invarianței scării pentru valori din ce în ce mai mari ale lui x .

Distribuții normale și de putere

Având în vedere o variabilă aleatorie logonormală , a cărei funcție de probabilitate este:

p(x)={\frac {1}{x}}\exp \left(-{\frac {\left(\ln x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)

{\ displaystyle p (x) = {\ frac {1} {x}} \ exp \ left (- {\ frac {\ left (\ ln x- \ mu \ right) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ dreapta)}

{\ displaystyle p (x) = {\ frac {1} {x}} \ exp \ left (- {\ frac {\ left (\ ln x- \ mu \ right) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ dreapta)}

luând logaritmul obținem:

\ln p(x)=-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(\ln x)^{2}+\left({\frac {\mu }{\sigma ^{2}}}-1\right)\ln x-{\frac {\mu ^{2}}{2\sigma ^{2}}}

{\ displaystyle \ ln p (x) = - {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}}} (\ ln x) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {2}}} - 1 \ right) \ ln x - {\ frac {\ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}

{\ displaystyle \ ln p (x) = - {\ frac {1} {2 \ sigma ^ {2}}} (\ ln x) ^ {2} + \ left ({\ frac {\ mu} {\ sigma ^ {2}}} - 1 \ right) \ ln x - {\ frac {\ mu ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}}}

Aceasta este o funcție pătratică a lui ln x , care are deci o curbură descendentă. Cu toate acestea, poate aproxima o linie prin mișcări mici, iar aproximarea este mai bună cu cât deviația standard este mai mare.

Având în vedere această formă, este de fapt foarte dificil în practică să se distingă o lege-putere cu o tăiere de un lognormal.

Notă

^ Mai des legea Zipf denotă versiunea discretă a distribuției.
^ Acest lucru ne permite să distingem cu ușurință o lege-putere, în care cozile nu au o limită exponențială, de distribuția exponențială și alte distribuții (normale , Poisson etc.) în care există o astfel de limită. Astfel, de exemplu, în cazul distribuției exponențiale, într-o reprezentare la scară logaritmică dublă, funcția densității ar fi:
$\ \log p=\log \lambda -\lambda e^{\log x}$ ${\ displaystyle \ \ log p = \ log \ lambda - \ lambda e ^ {\ log x}}$ ${\ displaystyle \ \ log p = \ log \ lambda - \ lambda e ^ {\ log x}}$
și reprezentând $\ \log x$ ${\ displaystyle \ \ log x}$ ${\ displaystyle \ \ log x}$ cu $\ \log p$ ${\ displaystyle \ \ log p}$ ${\ displaystyle \ \ log p}$ s-ar obține o curbă concavă.
^ O modalitate simplă de a obține distribuția cumulativă în practică este „abordarea rang-frecvență ( abordarea rang-frecvență), conform căreia valorile n sunt sortate în ordine crescătoare și realizează un grafic scatter în raport cu purtătorul $\left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]$ ${\ displaystyle \ left [1, {\ frac {n-1} {n}}, {\ frac {n-2} {n}}, \ dots, {\ frac {1} {n}} \ right] }$ ${\ displaystyle \ left [1, {\ frac {n-1} {n}}, {\ frac {n-2} {n}}, \ dots, {\ frac {1} {n}} \ right] }$ .