Geometria

Geometria
Titlul original	La Géométrie
La Géométrie
Autor	Descartes
Prima ed. original	1637
Tip	înţelept
Subgen	filosofic
Limba originală	limba franceza
Editați datele pe Wikidata · Manual

Geometria ( La Géométrie ) este o lucrare publicată de René Descartes în 1637 ca una dintre cele trei anexe la Discursul despre metodă . Celelalte două au fost La Dioptrique ( La dioptrique ) și Le Meteore ( Les Météores ). Descartes a clarificat în mod explicit că cele trei eseuri (anexe), la care Discursul a servit ca introducere, erau exemple de aplicare a metodei: „Și am crezut că mi-a fost ușor să aleg un subiect care, fără a fi supus multor controverse și fără să mă forțez să-mi declar principiile mai mult decât îmi doresc, nu aș lipsi să arăt foarte clar ce pot sau nu în științe. Nu pot spune dacă am reușit și nu vreau să împiedic judecata nimănui vorbind despre scrierile mele eu însumi; dar aș fi fericit dacă ar fi examinate și, pentru a avea mai multe ocazii, îi rog pe toți cei care au obiecții să avanseze să se străduiască să le trimită librarului meu ", AT VI 75.

Descriere

Lucrarea a discutat în special reprezentarea unui punct al unui plan prin intermediul unei perechi de numere reale și reprezentarea unei curbe prin intermediul unei ecuații . În acest fel, problemele geometrice pot fi traduse în probleme algebrice și rezolvate cu regulile algebrei. Într-adevăr, La Géométrie a avut o mare influență asupra dezvoltării sistemului de coordonate carteziene .

Adesea, „La Géométrie” este văzută doar ca o aplicație a algebrei la geometrie, dar scopul metodei sale era dublu: pe de o parte, eliberarea geometriei de la recurs la figuri, pentru a evita dependența de diferențele esențiale dintre figură și figură pentru obține rezultate generale mai largi; pe de altă parte, să dea sens operațiilor algebrice prin intermediul unei interpretări geometrice.

Eseul are o structură neunitară și nu foarte omogenă, dar conținutul său, în ansamblu, atât pentru soluțiile propuse, cât și pentru limbajul adoptat, este cu siguranță cel mai avansat și modern din prima jumătate a secolului al XVII-lea. Formalismul algebric folosit este foarte asemănător cu cel de astăzi; în special există utilizarea carteziană a primelor litere ale alfabetului pentru a indica parametrii și a ultimelor pentru a indica necunoscutele. Cu toate acestea, deși concepem parametrii și necunoscutele ca numere, Descartes le-a dat o interpretare în termeni de segmente.

La Géométrie este împărțit în trei cărți:

I. Probleme care pot fi construite numai cu cercuri și linii drepte

II. Despre natura liniilor curbe

III. Construirea unor probleme solide sau mai mult decât solide.

În cartea I, Descartes, după ce a pus bazele metodei de coordonate și a dat o interpretare a operațiilor algebrice în termeni de segmente, oferă instrucțiuni detaliate despre modul de rezolvare a ecuațiilor de gradul II geometric, oferind o interpretare în acest sens și pentru soluţie. El afirmă problema lui Pappus pe care nimeni din cele mai vechi timpuri nu reușise să o rezolve complet și începe soluția.

Cartea II este poate cea care conține cele mai importante și mai apropiate rezultate de concepția modernă a geometriei analitice . Descartes expune descoperirea că ecuațiile nedeterminate din două necunoscute corespund unor locuri geometrice . Distinge cu atenție „curbele geometrice“, care pot fi reprezentate prin ecuatii algebrice, cum ar fi conicitate, cyssoid și conchoid , din „curbe mecanice“, cum ar fi spirala si quadratrix care nu poate fi reprezentat cu acest tip de ecuații și pe care astăzi le numesc transcendente. Găsiți soluția la problema lui Pappus cu 4 linii scriind ecuația generală a unei conici care trece prin origine și specificând condițiile pe care trebuie să le îndeplinească coeficienții astfel încât conica să fie o linie dreaptă , o parabolă , o „ elipsă sau o„ hiperbolă ; el analizează, de asemenea, cel mai simplu caz al problemei Pappus cu 5 linii.

Printre cele mai importante rezultate obținute de Descartes și conținute în cartea a doua a lucrării, determinarea generală a curbei algebrice normale la orice plan într-unul din punctele sale generice și determinarea consecventă a tangentei merită o mențiune specială. Pentru a găsi normalul la o curbă algebrică la un punct dat P al unei curbe algebrice, Descartes spune să ia un punct variabil P 'pe curba însăși și să determine ecuația circumferinței având ca centru coordonata pe axa abscisei punctul și trecerea prin punctele P și P '. Acum, anulând discriminantul ecuației care determină intersecția circumferinței cu curba, găsim centrul circumferinței pentru care P 'coincide cu P. Odată ce centrul este găsit, normalul și tangenta la curbă sunt ușor de găsit în punctul considerat.

Cartea II s-ar putea încheia cu acest tratament care arată procedura generală a lui Descartes pentru construcția tuturor problemelor: intersecția unui cerc și a unei linii drepte pentru problemele plane, a unui cerc și a unei parabole pentru problemele care în limbajul său sunt numite solide, o circumferință și o curbă de grad mai mare și așa mai departe. Autorul, pe de altă parte, în omagiu orientării preponderent utilitare și tehnice a cunoștințelor sale, preferă să încheie cartea cu o discuție despre ovale, adică despre formele pe care corpurile transparente trebuie să le asume pentru a fi utile pentru îmbunătățirea vederii.

Cea de-a treia carte se referă la soluția ecuațiilor de grad mai mare decât a doua prin intersecții de curbe. Descartes, pornind de la presupunerea că este necesar să știm dacă ecuația este reductibilă sau nu, învață cum să treacă de la un grad superior la un nivel inferior al ecuației atunci când se cunoaște o rădăcină și că pot exista atâtea rădăcini pozitive cât există sunt variații ale semnului din primul membru și negative de câte ori semnele + și - se succed ( regula semnelor lui Descartes ). De asemenea, oferă câteva reguli privind eliminarea celui de-al doilea termen din ecuație sau reintroducerea unui termen lipsă. Acestea fiind spuse, el se confruntă cu probleme ale căror soluții depind de ecuații de gradul trei și nu numai; din acest motiv, el se bazează mai întâi pe soluția ecuațiilor de gradul III și imediat după pe cele de gradul IV, pe care le rezolvă prin reducerea gradului lor sau, altfel, prin aplicarea metodei coeficienților nedeterminați care îi permite să reducă ecuațiile de gradul IV la un produs al ecuațiilor de gradul II. Datorită unei generalizări pripite, Descartes a fost condus să creadă că a găsit în mod greșit soluția ecuațiilor peste a patra.

La Géométrie, deși dedicată în întregime interacțiunii dintre algebră și geometrie, este departe de geometria analitică utilizată astăzi. Descartes nu face o utilizare sistematică a coordonatelor ortogonale, dar folosește adesea coordonate oblice; în plus, nu folosește abscise negative și nu are nicio curbă trasă direct din ecuația sa.

Descartes nu a făcut mare lucru pentru a face lucrarea lizibilă contemporanilor săi, atât pentru structura aleasă, cât și pentru simbolurile și calculele utilizate; era atât de sigur de eficacitatea metodei sale încât a scris că nu s-a oprit să „explice în detaliu” toate întrebările, ci doar să lase posterității satisfacția „a le învăța pentru sine”. Apoi continuă scriind „Și sper că nepoții noștri îmi vor fi recunoscători nu numai pentru lucrurile pe care le-am explicat, ci și pentru cele pe care le-am omis de bună voie, pentru a le permite să aibă plăcerea de a le inventa” .

Aceasta este o obscuritate deliberată, deoarece este legată de abordări care se regăsesc în toate scrierile carteziene, inclusiv în Discurs ; cu toate acestea, acest lucru nu scade de la Descartes marele merit de a fi apropiat două științe, aritmetica (algebra) și geometria, pe care o tradiție veche și solidă, întemeiată pe Aristotel , le-a păstrat întotdeauna separate.