Măsura Iordaniei

În matematică , măsura Peano-Jordan este o extensie a noțiunii de dimensiune ( lungime , suprafață , volum ) a unor forme mai complexe, de exemplu, un triunghi , un disc sau un paralelipiped .

Se pare că un set care să fie măsurabil în conformitate cu Iordania trebuie să fie un „comportament bun” (de la un comportament bun ) într-un sens restrictiv. Din acest motiv, este mai frecvent să lucrați cu măsura Lebesgue , care este o extensie a măsurii Peano-Jordan într-o clasă mai largă de seturi. Din punct de vedere istoric, chiar dacă măsura Iordaniei s-a născut mai întâi spre sfârșitul secolului al XIX-lea, se preferă utilizarea celor mai precise decât cea din urmă.

Măsura Peano-Jordan este numită de autorii săi, matematicul francez Camille Jordan și matematicianul italian Giuseppe Peano . ^[1]

Măsura Iordaniei pentru „seturi simple”

Un set simplu este, prin definiție, o uniune de dreptunghiuri (posibil intersectate)

Mulțimea simplă împărțită într-o uniune de dreptunghiuri care nu se intersectează.

Să considerăm spațiul euclidian R ^n. Luați în considerare produsul unui set mic :

C=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})

{\ displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n})}

{\ displaystyle C = [a_ {1}, b_ {1}) \ times [a_ {2}, b_ {2}) \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n})}

care sunt închise în stânga și deschise în dreapta (lucrul cu intervale pe jumătate deschise este o alegere tehnică; așa cum vom vedea mai târziu, pot fi utilizate atât seturile deschise, cât și cele închise). Acest set se va numi dreptunghi N - dimensional, sau pur și simplu N - dreptunghi. Acesta definește întinderea Iordaniei acestui dreptunghi produsul lungimii următoarelor game:

m(C)=(b_{1}-a_{1})(b_{2}-a_{2})\cdots (b_{n}-a_{n}).

{\ displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}

{\ displaystyle m (C) = (b_ {1} -a_ {1}) (b_ {2} -a_ {2}) \ cdots (b_ {n} -a_ {n}).}

Luați în considerare acum așa-numitele seturi simple, uneori numite polirettangoli, care sunt o uniune a dreptunghiurilor,

S=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{k}

{\ displaystyle S = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {k}}

{\ displaystyle S = C_ {1} \ cup C_ {2} \ cup \ cdots \ cup C_ {k}}

pentru fiecare k ≥ 1.

Nu puteți defini măsura lui Jordan a lui S ca o simplă sumă a măsurătorilor dreptunghiurilor individuale, deoarece o astfel de reprezentare a lui S este departe de a fi unică și ar putea exista intersecții semnificative între dreptunghiuri. Din fericire, fiecare set S de acest tip poate fi rescris ca o uniune a unei alte familii de dreptunghiuri, dreptunghiuri care de această dată sunt separate reciproc și definește măsura Jordan m (S) suma acestor dreptunghiuri separate. Se poate arăta că această definiție a măsurii Jordan a lui S este independentă de reprezentarea lui S ca o uniune finită a dreptunghiurilor separate. În „rescriere” se folosește ipoteza că dreptunghiurile sunt formate din intervale semi-deschise.

Extindere la seturi mai complexe

Un set (reprezentat în figură de regiunea din interiorul curbei albastre) este măsurabil în funcție de Jordan dacă și numai dacă poate fi bine aproximat din interior spre exterior prin seturi simple (marginile lor sunt afișate, respectiv, în verde închis iar în roz închis).

Rețineți că un set care este produsul unor intervale închise,

[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}]

{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times [a_ {2}, b_ {2}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}]}

{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times [a_ {2}, b_ {2}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}]}

Nu este un set simplu, precum și chiar o minge . Prin urmare, deocamdată setul de seturi măsurabile conform Iordaniei este încă foarte limitat. Pasul cheie este deci de a defini un set limitat care poate fi măsurat în funcție de Jordan dacă este „bine aproximat” din seturi simple, exact la fel ca o funcție care este Riemann integrabilă dacă este bine aproximată prin funcții constante în bucăți.

În mod formal, pentru un set limitat B, definiți- i măsura interioară Iordania ca

m_{*}(B)=\sup _{S\subset B}m(S)

{\ displaystyle m _ {*} (B) = \ sup _ {S \ subset B} m (S)}

{\ displaystyle m _ {*} (B) = \ sup _ {S \ subset B} m (S)}

și întinderea sa exterioară ca

m^{*}(B)=\inf _{S\supset B}m(S)

{\ displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supset B} m (S)}

{\ displaystyle m ^ {*} (B) = \ inf _ {S \ supset B} m (S)}

unde extremele inferioare și superioare sunt luate pe seturile S simple. Mulțimea B este a doua Jordan măsurabilă dacă măsura interioară a lui B este egală cu măsura exterioară. Valoarea celor două măsurători, atunci, este pur și simplu numită „măsura B Jordan”.

Se pare că toate dreptunghiurile (deschise sau închise), sferele, simplexele etc ..., sunt măsurabile în conformitate cu Jordan. În plus, dacă luăm în considerare două funcții continue , setul de puncte ale graficelor celor două funcții este, de asemenea, măsurabil în funcție de Jordan, atâta timp cât un astfel de set este limitat și domeniul comun al celor două funcții este măsurabil în conformitate cu Jordan. Toate uniunile finite și intersecțiile seturilor măsurabile sunt, de asemenea, măsurabile în conformitate cu Iordania, deoarece diferența dintre două seturi măsurabile este oricare. Un set compact nu este neapărat măsurabil. De exemplu, „ setul de Smith-Volterra-Cantor nu este. Măsura sa internă încetează să mai existe, atunci când complementul său este dens ; cu toate acestea, măsura sa externă nu încetează să existe, deoarece nu poate fi mai mică decât (de fapt, este egală) cu măsura sa Lebesgue. În plus, un set deschis și nu este neapărat limitat măsurabil. De exemplu, complementul setului Cantor nu este. Un set limitat este măsurabil în funcție de Jordan dacă și numai dacă funcția sa de indicator este Riemann integrabilă . [1]

În mod echivalent, pentru un set limitat B , măsura internă a acestui set este măsura Lebesgue a „ B internă, iar măsura externă este măsura Lebesgue a închiderii . ^[2] Din aceasta rezultă că un set limitat este măsurabil în funcție de Iordania dacă și numai dacă granița are Lebesgue măsură ceva (Sau echivalent, dacă granița are Iordania nu măsoară nimic; echivalența este valabilă datorită compactității graniței).

Măsura Lebesgue

Această din urmă proprietate limitează foarte mult tipul de seturi care sunt măsurabile în Iordania. De exemplu, setul de numere raționale din domeniul conținutului [0,1] nu este măsurabil în conformitate cu Iordania, deoarece granița este [0,1], care nu a măsurat nimic. Intuitiv, setul de numere raționale este un set de „mici”, deoarece este numărabil și ar trebui să aibă „dimensiunea” zero. Acest lucru este adevărat numai dacă înlocuiți măsura lui Jordan cu măsura Lebesgue . Măsura Lebesgue a unui set este aceeași cu cea a Iordaniei atâta timp cât setul admite o măsură Iordania. În plus, măsura Lebesgue este definită pentru o clasă mai largă de mulțimi, ca set de numere raționale menționate mai sus și, în plus, pentru toate mulțimile care ar putea fi nelimitate sau fractale . Măsura Lebesgue, spre deosebire de cea a Iordaniei, este o măsură adevărată, în sensul că fiecare uniune numărabilă de seturi măsurabile Lebesgue este Lebesgue măsurabilă, deși nu merită același discurs pentru măsura Iordaniei.

Referințe

Emmanuel Di Benedetto, Real analysis, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 2002 ISBN 0-8176-4231-5 .
Richard Courant, Fritz John ,, Introducere în calcul și analiză Volumul II / 1: Capitolele 1-4 (Clasici în matematică), Berlin, Springer, 1999, ISBN 3-540-66569-2 .

^ G. Peano, „Aplicații geometrice ale calculului infinitesimal”, Fratelli Bocca, Torino, 1887.
^ Orrin Frink Jr. , Jordan Measure and Integration Riemann, în The Annals of Mathematics, 2, vol. 34, nr. 3, iulie 1933, pp. 518-526, ISSN 0003-486X ( WC · ACNP ), JSTOR 1968175 .

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Jordan Measure în MathWorld Wolfram Research.
Șablon: Springer

[1] G. Peano, „Aplicații geometrice ale calculului infinitesimal”, Fratelli Bocca, Torino, 1887.

[2] Orrin Frink Jr. , Jordan Measure and Integration Riemann, în The Annals of Mathematics, 2, vol. 34, nr. 3, iulie 1933, pp. 518-526, ISSN 0003-486X ( WC · ACNP ), JSTOR 1968175 .

[1]

[2]