Modelul IS-LM

Modelul IS-LM este o reprezentare sintetică a gândirii economice keynesiene , interpretată de sinteza neoclasică . Abrevierea înseamnă cuvintele în limba engleză Investment Saving - Liquidity Money sau Investment Savings - Liquidity Money. Acesta își propune să reprezinte împreună sectoarele reale (IS) și monetare (LM).

Descriere

Introducere

În 1936 , economistul englez John Maynard Keynes a publicat importanta Teorie generală a ocupării forței de muncă, a dobânzii și a banilor, care a rămas timp de cel puțin treizeci de ani cea mai importantă lucrare economică care se ocupă de probleme macroeconomice . În 1937, Sir John Richard Hicks a oficializat sistemul keynesian prin elaborarea unei scheme care ia în considerare în comun aspectele reale și monetare. El a elaborat două curbe pe care le-a numit IS-LL, care au suferit re-lucrări succesive după război , devenind curbele IS-LM ( economii de investiții , economii de investiții ; lichiditate-bani , lichiditate-bani ).

Vorbim de schema curbelor IS-LM sau de sinteza neoclasică-keynesiană, întrucât modelul IS-LM combină reprezentarea sectorului real (curba IS) cu cea a sectorului monetar (LM). Astăzi, modelul este completat de curbele AD-AS ( cerere agregată - ofertă agregată ).

Echilibrul macroeconomic general apare atunci când cele două piețe sunt simultan în echilibru, adică atunci când în sectorul real cererea agregată este egală cu oferta agregată și când în sectorul monetar cererea de bani este egală cu oferta de bani. Echilibrul este simultan prin faptul că cele două piețe au variabile comune și, prin urmare, sunt interdependente.

Statica comparativă a modelului IS-LM

Imaginați-vă că în sistemul nostru economic toate activitățile sunt împărțite în 2 categorii: cele care acumulează dobânzi numite „titluri de valoare” și cele care nu poartă nicio dobândă numite „bani”. Cererea de bani este suma de bani pe care familiile trebuie să o furnizeze pentru achiziții și pentru a face față evenimentelor neașteptate. Crește odată cu creșterea PIB-ului; de fapt, dacă PIB-ul crește, nevoia de bani a familiilor pentru a-și efectua tranzacțiile crește, în timp ce scade odată cu creșterea ratei dobânzii valorilor mobiliare, deoarece familiile vor considera mai convenabil să investească în valori mobiliare, mai degrabă decât banii proprii. Cererea de bani L este deci o funcție diferențiată în cele 2 variabile Y și r, Y fiind PIB și r rata dobânzii. Deoarece L (Y, r) crește în Y și scade în r, rezultă:

L_{Y}={\dfrac {\delta L(Y,r)}{\delta Y}}>0

{\ displaystyle L_ {Y} = {\ dfrac {\ delta L (Y, r)} {\ delta Y}}> 0}

{\ displaystyle L_ {Y} = {\ dfrac {\ delta L (Y, r)} {\ delta Y}}> 0}

Și

L_{r}={\dfrac {\delta L(Y,r)}{\delta r}}<0

{\ displaystyle L_ {r} = {\ dfrac {\ delta L (Y, r)} {\ delta r}} <0}

{\ displaystyle L_ {r} = {\ dfrac {\ delta L (Y, r)} {\ delta r}} <0}

Mai mult, deoarece agenții economici pot deține exact suma de bani oferită de banca centrală, atunci oferta de bani m trebuie să corespundă cererii de bani L, prin urmare:

L(Y,r)=m

{\ displaystyle L (Y, r) = m}

{\ displaystyle L (Y, r) = m}

Deoarece ipotezele teoremei funcției implicite sau ale lui Dini sunt satisfăcute, există o vecinătate a unei perechi $(Y_{*},r_{*})$ ${\ displaystyle (Y _ {*}, r _ {*})}$ ${\ displaystyle (Y _ {*}, r _ {*})}$ și o funcție $Y=f(r)$ ${\ displaystyle Y = f (r)}$ ${\ displaystyle Y = f (r)}$ soluție de $L(Y,r)=m$ ${\ displaystyle L (Y, r) = m}$ ${\ displaystyle L (Y, r) = m}$ și se dovedește:

{\dfrac {dY}{dr}}=-{\dfrac {L_{r}(Y,r)}{L_{Y}(Y,r)}}>0

{\ displaystyle {\ dfrac {dY} {dr}} = - {\ dfrac {L_ {r} (Y, r)} {L_ {Y} (Y, r)}}> 0}

{\ displaystyle {\ dfrac {dY} {dr}} = - {\ dfrac {L_ {r} (Y, r)} {L_ {Y} (Y, r)}}> 0}

deci, dacă rata dobânzii crește, PIB-ul trebuie să crească pentru ca cererea de bani să fie în continuare egală cu oferta de bani. Când rata dobânzii crește, L scade în r, dar crește în Y, deci dacă r crește, PIB-ul crește, de asemenea, și invers, echilibrul dintre cererea și oferta de bani este menținut.

Conform ipotezei keynesiene, investiția în titluri de uz casnic (economisirea S) nu depinde doar de rata dobânzii, ci și de nivelul venitului (PIB), prin urmare S = sY unde s este tendința marginală de a economisi cu 0 <s <1 . Valorile mobiliare casnice pot finanța fie investițiile companiilor I, fie cheltuielile publice ale statului G, prin urmare:

sY=I(r)+G

{\ displaystyle sY = I (r) + G}

{\ displaystyle sY = I (r) + G}

Funcția I scade în r, de fapt, cu cât rata dobânzii este mai mare, cu atât sunt mai mici împrumuturile de pe piața de capital. Deoarece ipotezele teoremei funcției implicite referitoare la funcția cu 2 variabile H (Y, r): = sY-I (r) sunt de asemenea satisfăcute în acest caz, rezultatul este:

{\dfrac {dY}{dr}}={\dfrac {\frac {dI}{dr}}{s}}<0

{\ displaystyle {\ dfrac {dY} {dr}} = {\ dfrac {\ frac {dI} {dr}} {s}} <0}

{\ displaystyle {\ dfrac {dY} {dr}} = {\ dfrac {\ frac {dI} {dr}} {s}} <0}

prin urmare, pentru ca economiile să continue să fie egale cu cheltuielile publice și cheltuielile cu investițiile, dacă r crește, Y trebuie să scadă și invers.

Acum considerat sistemul dat de cele 2 funcții implicite indicate mai sus unde Y și r sunt considerate variabile endogene și m, G exogene:

{\begin{array}{l}(1)\quad L(Y,r)=m\\(2)\quad H(Y,r)=sY-I(r)=G\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} (1) \ quad L (Y, r) = m \\ (2) \ quad H (Y, r) = sY-I (r) = G \ end { matrice}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} (1) \ quad L (Y, r) = m \\ (2) \ quad H (Y, r) = sY-I (r) = G \ end { matrice}}}

deoarece cele 2 funcții L și H sunt diferențiate și determinantul:

det(J)=\left\vert {\begin{array}{cr}{\dfrac {\delta H}{\delta Y}}&{\dfrac {\delta H}{\delta r}}\\{\dfrac {\delta L}{\delta Y}}&{\dfrac {\delta L}{\delta r}}\end{array}}\right\vert =\left\vert {\begin{array}{cr}s&-{\dfrac {dI}{dr}}\\L_{Y}(Y,r)&L_{r}(Y,r)\end{array}}\right\vert \neq 0

{\ displaystyle det (J) = \ left \ vert {\ begin {array} {cr} {\ dfrac {\ delta H} {\ delta Y}} și {\ dfrac {\ delta H} {\ delta r}} \\ {\ dfrac {\ delta L} {\ delta Y}} și {\ dfrac {\ delta L} {\ delta r}} \ end {array}} \ right \ vert = \ left \ vert {\ begin { array} {cr} s & - {\ dfrac {dI} {dr}} \\ L_ {Y} (Y, r) & L_ {r} (Y, r) \ end {array}} \ right \ vert \ nec 0}

{\ displaystyle det (J) = \ left \ vert {\ begin {array} {cr} {\ dfrac {\ delta H} {\ delta Y}} și {\ dfrac {\ delta H} {\ delta r}} \\ {\ dfrac {\ delta L} {\ delta Y}} și {\ dfrac {\ delta L} {\ delta r}} \ end {array}} \ right \ vert = \ left \ vert {\ begin { array} {cr} s & - {\ dfrac {dI} {dr}} \\ L_ {Y} (Y, r) & L_ {r} (Y, r) \ end {array}} \ right \ vert \ nec 0}

teorema locală a inversibilității funcțiilor poate fi aplicată atunci există 4 valori

Y_{*},r_{*},G_{*}=H(Y_{*},r_{*}),m_{*}=L(Y_{*},r_{*})

{\ displaystyle Y _ {*}, r _ {*}, G _ {*} = H (Y _ {*}, r _ {*}), m _ {*} = L (Y _ {*}, r _ {*})}

{\ displaystyle Y _ {*}, r _ {*}, G _ {*} = H (Y _ {*}, r _ {*}), m _ {*} = L (Y _ {*}, r _ {*})}

astfel încât:

\left({\begin{array}{cr}s&-{\dfrac {dI(r_{*})}{dr}}\\L_{Y}(Y_{*},r_{*})&L_{r}(Y_{*},r_{*})\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cr}dY\\dr\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cr}dG\\dm\end{array}}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cr} s & - {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} \\ L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*}) & L_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {cr} dY \\ dr \ end { array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cr} dG \\ dm \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cr} s & - {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} \\ L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*}) & L_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {cr} dY \\ dr \ end { array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cr} dG \\ dm \ end {array}} \ right)}

Calculând matricea inversă a lui J și rezolvând sistemul obținem:

{\begin{array}{l}(3)\quad dY={\dfrac {L_{r}(Y_{*},r_{*})}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+{\dfrac {dI(r_{*})}{dr}}L_{Y}(Y_{*},r_{*})}}dG+{\dfrac {\dfrac {dI(r_{*})}{dr}}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+{\dfrac {dI(r_{*})}{dr}}L_{Y}(Y_{*},r_{*})}}dm\\(4)\quad dr={\dfrac {-L_{Y}(Y_{*},r_{*})}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+{\dfrac {dI(r_{*})}{dr}}L_{Y}(Y_{*},r_{*})}}dG+{\dfrac {s}{sL_{r}(Y_{*},r_{*})+{\dfrac {dI(r_{*})}{dr}}L_{Y}(Y_{*},r_{*})}}dm\end{array}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} (3) \ quad dY = {\ dfrac {L_ {r} (Y _ {*}, r _ {*})} {sL_ {r} (Y _ { *}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})}} dG + {\ dfrac {\ dfrac {dI (r_ {*})} {dr}} {sL_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} { dr}} L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})}} dm \\ (4) \ quad dr = {\ dfrac {-L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})} {sL_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} L_ {Y} (Y _ {* }, r _ {*})}} dG + {\ dfrac {s} {sL_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})}} dm \ end {array}}}

{\ displaystyle {\ begin {array} {l} (3) \ quad dY = {\ dfrac {L_ {r} (Y _ {*}, r _ {*})} {sL_ {r} (Y _ { *}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})}} dG + {\ dfrac {\ dfrac {dI (r_ {*})} {dr}} {sL_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} { dr}} L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})}} dm \\ (4) \ quad dr = {\ dfrac {-L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})} {sL_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} L_ {Y} (Y _ {* }, r _ {*})}} dG + {\ dfrac {s} {sL_ {r} (Y _ {*}, r _ {*}) + {\ dfrac {dI (r _ {*})} {dr}} L_ {Y} (Y _ {*}, r _ {*})}} dm \ end {array}}}

Deoarece în ecuația 3) termenii care se înmulțesc dG și dm sunt toți pozitivi, în timp ce în ecuația 4) unul pozitiv și celălalt negativ există 8 posibilități de politică fiscală și monetară:

Dacă masa monetară a băncii centrale crește și cheltuielile publice cresc, PIB-ul crește cu siguranță, dar nu se poate spune nimic despre schimbarea ratei dobânzii.
Dacă oferta de bani crește și cheltuielile publice scad, rata dobânzii scade cu siguranță, dar nu se poate spune nimic despre modificarea PIB-ului.
Dacă atât cheltuielile publice cât și oferta de bani scad, PIB-ul va scădea cu siguranță, dar nu se poate spune nimic despre schimbarea ratei dobânzii.
Dacă oferta monetară scade și cheltuielile publice cresc, rata dobânzii crește, dar nu se poate spune nimic despre modificarea PIB-ului.
Dacă nu există nicio modificare a masei monetare și a cheltuielilor guvernamentale, atât PIB-ul, cât și rata dobânzii cresc.
Dacă nu există nicio modificare a ofertei de bani și cheltuielile publice scad, atât PIB-ul, cât și rata dobânzii scad.
Dacă nu există nicio modificare a cheltuielilor publice, dar masa monetară crește, PIB-ul crește, dar rata dobânzii scade.
Dacă nu există nicio modificare a cheltuielilor publice și oferta monetară scade, PIB-ul scade, dar rata dobânzii crește.

Dinamica modelului IS-LM în domeniul timpului

După evaluarea staticii comparative a modelului IS-LM, se recomandă, de asemenea, evaluarea dinamicii acestuia. În special, este posibil să se evalueze modul în care PIB Y și rata dobânzii r, care constituie variabilele noastre de stare, variază în funcție de timp, pornind de la o stare inițială prestabilită sub efectul unei intrări prestabilite în sistem constând din cheltuieli guvernamentale G și oferta de bani a Băncii Centrale m. Deoarece PIB crește atunci când cererea (cheltuielile guvernamentale plus investițiile) depășește economiile și rata dobânzii crește atunci când cererea de bani depășește oferta, avem:

{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} t}}=\varphi _{1}{\Big (}-sY(t)+G(t)+I{\big (}r(t){\big )}{\Big )}\quad {\mbox{con}}\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{1}}{\mathrm {d} t}}>0\quad \varphi _{1}(0)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {1} {\ Big (} -sY (t) + G (t) + I {\ big (} r (t) {\ big)} {\ Big)} \ quad {\ mbox {con}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {1}} {\ mathrm {d} t }}> 0 \ quad \ varphi _ {1} (0) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {1} {\ Big (} -sY (t) + G (t) + I {\ big (} r (t) {\ big)} {\ Big)} \ quad {\ mbox {con}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {1}} {\ mathrm {d} t }}> 0 \ quad \ varphi _ {1} (0) = 0}

{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=\varphi _{2}{\big (}L(Y(t),r(t))-m(t){\big )}\quad {\mbox{con}}\quad {\frac {\mathrm {d} \varphi _{2}}{\mathrm {d} t}}>0\quad \varphi _{2}(0)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2} {\ big (} L (Y (t), r (t)) - m ( t) {\ big)} \ quad {\ mbox {cu}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {2}} {\ mathrm {d} t}}> 0 \ quad \ varphi _ {2} (0) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2} {\ big (} L (Y (t), r (t)) - m ( t) {\ big)} \ quad {\ mbox {cu}} \ quad {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi _ {2}} {\ mathrm {d} t}}> 0 \ quad \ varphi _ {2} (0) = 0}

Rescriind sistemul în formă liniară avem

{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} t}}=\varphi _{1}{\big (}-sY(t)+G(t)-br(t){\big )}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {1} {\ big (} -sY (t) + G (t) -br (t) {\ mare)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {1} {\ big (} -sY (t) + G (t) -br (t) {\ mare)}}

{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=\varphi _{2}{\big (}kY(t)-\sigma r(t)-m(t){\big )}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2} {\ big (} kY (t) - \ sigma r (t) -m (t ) {\ big)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2} {\ big (} kY (t) - \ sigma r (t) -m (t ) {\ big)}}

Prin aplicarea definiției stării de echilibru a unui sistem dinamic, în cazul specific este egal cu cuplul $(Y_{*},r_{*})$ ${\ displaystyle (Y _ {*}, r _ {*})}$ ${\ displaystyle (Y _ {*}, r _ {*})}$ astfel încât :

{\frac {\mathrm {d} Y}{\mathrm {d} t}}=\varphi _{1}(-sY_{*}+G-br_{*})=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {1} (- sY _ {*} + G-br _ {*}) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {1} (- sY _ {*} + G-br _ {*}) = 0}

{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=\varphi _{2}(kY_{*}-\sigma r_{*}-m)=0

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2} (kY _ {*} - \ sigma r _ {*} - m) = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2} (kY _ {*} - \ sigma r _ {*} - m) = 0}

Fiind funcțiile $\varphi _{1}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$ $\ varphi _ {{1}}$ , $\varphi _{2}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$ $\ varphi _ {{2}}$ liniare și crescătoare în funcție de ipoteze, atunci funcțiile lor inverse respective există și avem:

-s\varphi _{1}(Y_{*})+\varphi _{1}(G)-b\varphi _{1}(r_{*})=0

{\ displaystyle -s \ varphi _ {1} (Y _ {*}) + \ varphi _ {1} (G) -b \ varphi _ {1} (r _ {*}) = 0}

{\ displaystyle -s \ varphi _ {1} (Y _ {*}) + \ varphi _ {1} (G) -b \ varphi _ {1} (r _ {*}) = 0}

k\varphi _{2}(Y_{*})-\sigma \varphi _{2}(r_{*})-\varphi _{2}(m)=0

{\ displaystyle k \ varphi _ {2} (Y _ {*}) - \ sigma \ varphi _ {2} (r _ {*}) - \ varphi _ {2} (m) = 0}

{\ displaystyle k \ varphi _ {2} (Y _ {*}) - \ sigma \ varphi _ {2} (r _ {*}) - \ varphi _ {2} (m) = 0}

prin urmare:

-sY_{*}+G-br_{*}=\varphi _{1}^{-1}(0)=0

{\ displaystyle -sY _ {*} + G-br _ {*} = \ varphi _ {1} ^ {- 1} (0) = 0}

{\ displaystyle -sY _ {*} + G-br _ {*} = \ varphi _ {1} ^ {- 1} (0) = 0}

kY_{*}-\sigma r_{*}-m=\varphi _{2}^{-1}(0)=0

{\ displaystyle kY _ {*} - \ sigma r _ {*} - m = \ varphi _ {2} ^ {- 1} (0) = 0}

{\ displaystyle kY _ {*} - \ sigma r _ {*} - m = \ varphi _ {2} ^ {- 1} (0) = 0}

Rezolvând sistemul obținem starea de echilibru:

Y_{*}={\frac {\sigma G+bm}{s\sigma +bk}}

{\ displaystyle Y _ {*} = {\ frac {\ sigma G + bm} {s \ sigma + bk}}}

{\ displaystyle Y _ {*} = {\ frac {\ sigma G + bm} {s \ sigma + bk}}}

r_{*}={\frac {kG-sm}{s\sigma +bk}}

{\ displaystyle r _ {*} = {\ frac {kG-sm} {s \ sigma + bk}}}

{\ displaystyle r _ {*} = {\ frac {kG-sm} {s \ sigma + bk}}}

Loc :

Y_{1}(t):=Y(t)-Y_{*}

{\ displaystyle Y_ {1} (t): = Y (t) -Y _ {*}}

{\ displaystyle Y_ {1} (t): = Y (t) -Y _ {*}}

Și

r_{1}(t):=r(t)-r_{*}

{\ displaystyle r_ {1} (t): = r (t) -r _ {*}}

{\ displaystyle r_ {1} (t): = r (t) -r _ {*}}

pentru liniaritatea celor 2 funcții avem:

{\frac {\mathrm {d} Y_{1}}{dt}}=\varphi _{1*}{\big (}-sY_{1}(t)+G(t)-br_{1}(t){\big )}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y_ {1}} {dt}} = \ varphi _ {1 *} {\ big (} -sY_ {1} (t) + G (t) -br_ { 1} (t) {\ big)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y_ {1}} {dt}} = \ varphi _ {1 *} {\ big (} -sY_ {1} (t) + G (t) -br_ { 1} (t) {\ big)}}

{\frac {\mathrm {d} r_{1}}{\mathrm {d} t}}=\varphi _{2*}{\big (}kY_{1}(t)-\sigma r_{1}(t)-m(t){\big )}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2 *} {\ big (} kY_ {1} (t) - \ sigma r_ {1} (t) -m (t) {\ big)}}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = \ varphi _ {2 *} {\ big (} kY_ {1} (t) - \ sigma r_ {1} (t) -m (t) {\ big)}}

Aplicarea formulei lui Taylor la funcții $\varphi _{1*}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1 *}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {1 *}}$ , $\varphi _{2*}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {2 *}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {2 *}}$ avem:

{\frac {\mathrm {d} Y_{1}}{dt}}=-sY_{1}(t)+G(t)-br_{1}(t)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y_ {1}} {dt}} = - sY_ {1} (t) + G (t) -br_ {1} (t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} Y_ {1}} {dt}} = - sY_ {1} (t) + G (t) -br_ {1} (t)}

{\frac {\mathrm {d} r_{1}}{\mathrm {d} t}}=kY_{1}(t)-\sigma r_{1}(t)-m(t)

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = kY_ {1} (t) - \ sigma r_ {1} (t) -m (t)}

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} r_ {1}} {\ mathrm {d} t}} = kY_ {1} (t) - \ sigma r_ {1} (t) -m (t)}

care poate fi scris sub forma:

\left({\begin{array}{c}{\frac {\mathrm {d} Y_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} r_{1}(t)}{\mathrm {d} t}}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-s&-b\\k&-\sigma \end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}Y_{1}(t)\\r_{1}(t)\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}G(t)\\-m(t)\end{array}}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ mathrm {d} Y_ {1} (t)} {\ mathrm {d} t}} \\ {\ frac {\ mathrm { d} r_ {1} (t)} {\ mathrm {d} t}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} -s & -b \\ k & - \ sigma \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (t) \\ r_ {1} (t) \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} G (t) \\ - m (t) \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} {\ frac {\ mathrm {d} Y_ {1} (t)} {\ mathrm {d} t}} \\ {\ frac {\ mathrm { d} r_ {1} (t)} {\ mathrm {d} t}} \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {cc} -s & -b \\ k & - \ sigma \ end {array}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (t) \\ r_ {1} (t) \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} G (t) \\ - m (t) \ end {array}} \ right)}

Calculul valorilor proprii și vectorilor proprii ai matricei:

A:=\left({\begin{array}{cc}-s&-b\\k&-\sigma \end{array}}\right)

{\ displaystyle A: = \ left ({\ begin {array} {cc} -s & -b \\ k & - \ sigma \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle A: = \ left ({\ begin {array} {cc} -s & -b \\ k & - \ sigma \ end {array}} \ right)}

și aplicând formula pentru calculul soluției sistemelor dinamice liniare în cazul valorilor proprii reale și distincte avem:

\left({\begin{array}{c}Y(t)\\r(t)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}Y_{*}\\r_{*}\end{array}}\right)+Pe^{\Lambda t}P^{-1}\left({\begin{array}{c}Y_{0}-Y_{*}\\r_{0}-r_{*}\end{array}}\right)+\int _{0}^{t}Pe^{\Lambda (t-\tau )}P^{-1}\left({\begin{array}{c}G(\tau )\\-m(\tau )\end{array}}\right)\mathrm {d} \tau

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + Pe ^ {\ Lambda t} P ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + \ int _ {0} ^ {t} Pe ^ {\ Lambda (t- \ tau)} P ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {c} G (\ tau) \\ - m (\ tau) \ end {array}} \ right) \ mathrm {d} \ tau}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + Pe ^ {\ Lambda t} P ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + \ int _ {0} ^ {t} Pe ^ {\ Lambda (t- \ tau)} P ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {c} G (\ tau) \\ - m (\ tau) \ end {array}} \ right) \ mathrm {d} \ tau}

cu $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ matrice $2\times 2$ ${\ displaystyle 2 \ times 2}$ $2 \ ori 2$ ale căror coloane sunt vectorii proprii ai lui A, $e^{\Lambda t}$ ${\ displaystyle e ^ {\ Lambda t}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ Lambda t}}$ matrice diagonală unde pe diagonala principală există exponențialele crescute la fiecare valoare proprie înmulțită cu $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ .

Aplicând formula pentru calculul soluției sistemelor dinamice liniare în cazul valorilor proprii conjugate complexe avem:

\left({\begin{array}{c}Y(t)\\r(t)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}Y_{*}\\r_{*}\end{array}}\right)+T^{-1}e^{\alpha t}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega t&\sin \omega t\\-\sin \omega t&\cos \omega t\end{array}}\right)T\left({\begin{array}{c}Y_{0}-Y_{*}\\r_{0}-r_{*}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}Y(t)\\r(t)\end{array}}\right)_{f}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + T ^ {- 1} e ^ {\ alpha t} \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos \ omega t & \ sin \ omega t \\ - \ sin \ omega t & \ cos \ omega t \ end {array}} \ right) T \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {* } \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array} } \ dreapta) _ {f}}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + T ^ {- 1} e ^ {\ alpha t} \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos \ omega t & \ sin \ omega t \\ - \ sin \ omega t & \ cos \ omega t \ end {array}} \ right) T \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {* } \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array} } \ dreapta) _ {f}}

cu

T=\left({\begin{array}{cc}\alpha &\omega \\-\omega &\alpha \end{array}}\right)

{\ displaystyle T = \ left ({\ begin {array} {cc} \ alpha & \ omega \\ - \ omega & \ alpha \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle T = \ left ({\ begin {array} {cc} \ alpha & \ omega \\ - \ omega & \ alpha \ end {array}} \ right)}

Și

$\left({\begin{array}{c}Y(t)\\r(t)\end{array}}\right)_{f}=\int _{0}^{t}T^{-1}e^{\alpha (t-\tau )}\left({\begin{array}{cc}\cos \omega (t-\tau )&\sin \omega (t-\tau )\\-\sin \omega (t-\tau )&\cos \omega (t-\tau )\end{array}}\right)T\left({\begin{array}{c}G(\tau )\\-m(\tau )\end{array}}\right)\mathrm {d} \tau$ ${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) _ {f} = \ int _ {0} ^ {t} T ^ {- 1} e ^ {\ alpha (t- \ tau)} \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos \ omega (t- \ tau) & \ sin \ omega (t- \ tau) \\ - \ sin \ omega (t- \ tau) & \ cos \ omega (t- \ tau) \ end {array}} \ right) T \ left ({\ begin {array} {c} G (\ tau ) \\ - m (\ tau) \ end {array}} \ right) \ mathrm {d} \ tau}$ ${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) _ {f} = \ int _ {0} ^ {t} T ^ {- 1} e ^ {\ alpha (t- \ tau)} \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos \ omega (t- \ tau) & \ sin \ omega (t- \ tau) \\ - \ sin \ omega (t- \ tau) & \ cos \ omega (t- \ tau) \ end {array}} \ right) T \ left ({\ begin {array} {c} G (\ tau ) \\ - m (\ tau) \ end {array}} \ right) \ mathrm {d} \ tau}$

cu $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ Și $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ parte reală și respectiv parte imaginară a valorilor proprii complexe conjugate.

Remarcăm această ființă $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ , $\sigma$ ${\ displaystyle \ sigma}$ $\ sigma$ cantități pozitive valorile proprii ale matricei $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ ambele sunt atât în cazul real cât și în cazul complex conjugat cu partea reală negativă, calculând astfel limita pentru $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ având tendința la infinitul stării sistemului (vector $2\times 1$ ${\ displaystyle 2 \ times 1}$ ${\ displaystyle 2 \ times 1}$ ale cărei componente sunt PIB-ul și rata dobânzii) se observă că PIB-ul și rata dobânzii converg întotdeauna spre starea de echilibru, prin urmare modelul IS LM este asimptotic stabil. Convergența către starea de echilibru poate avea loc fie în creștere, fie în scădere, fie în oscilație.

Dinamica modelului IS-LM în domeniul s

Transformarea ambelor părți ale sistemului de ecuații diferențiale și liniare în conformitate cu Laplace:

\left({\begin{array}{c}{\dfrac {dY_{1}(t)}{dt}}\\{\dfrac {dr_{1}(t)}{dt}}\end{array}}\right)=A\left({\begin{array}{c}Y_{1}(t)\\r_{1}(t)\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}G(t)\\-m(t)\end{array}}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} {\ dfrac {dY_ {1} (t)} {dt}} \\ {\ dfrac {dr_ {1} (t)} {dt}} \ end {array}} \ right) = A \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (t) \\ r_ {1} (t) \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} G (t) \\ - m (t) \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} {\ dfrac {dY_ {1} (t)} {dt}} \\ {\ dfrac {dr_ {1} (t)} {dt}} \ end {array}} \ right) = A \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (t) \\ r_ {1} (t) \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} G (t) \\ - m (t) \ end {array}} \ right)}

primesti:

s\left({\begin{array}{c}Y_{1}(s)\\r_{1}(s)\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}Y_{0}-Y_{*}\\r_{0}-r_{*}\end{array}}\right)=A\left({\begin{array}{c}Y_{1}(s)\\r_{1}(s)\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}G(s)\\-m(s)\end{array}}\right)

{\ displaystyle s \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) - \ left ({\ begin {array } {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) = A \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {matrice}} \ dreapta)}

{\ displaystyle s \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) - \ left ({\ begin {array } {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) = A \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) + \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {matrice}} \ dreapta)}

care este egal cu:

\left({\begin{array}{c}Y_{1}(s)\\r_{1}(s)\end{array}}\right)=(sI-A)^{-1}\left({\begin{array}{c}Y_{0}-Y_{*}\\r_{0}-r_{*}\end{array}}\right)+(sI-A)^{-1}\left({\begin{array}{c}G(s)\\-m(s)\end{array}}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) = (sI-A) ^ {- 1 } \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + (sI-A) ^ {-1} \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) = (sI-A) ^ {- 1 } \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + (sI-A) ^ {-1} \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {array}} \ right)}

În special, rezultă în cazul valorilor proprii reale și distincte ale matricei A $\lambda _{1}\quad \lambda _{2}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ quad \ lambda _ {2}}$ ${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ quad \ lambda _ {2}}$ :

(sI-A)^{-1}={\dfrac {R_{1}}{s-\lambda _{1}}}+{\dfrac {R_{2}}{s-\lambda _{2}}}

{\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1} = {\ dfrac {R_ {1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}}}

{\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1} = {\ dfrac {R_ {1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}}}

cu:

R_{1}=(sI-A)^{-1}(s-\lambda _{1})|_{s=\lambda _{1}}\quad R_{2}=(sI-A)^{-1}(s-\lambda _{2})|_{s=\lambda _{2}}

{\ displaystyle R_ {1} = (sI-A) ^ {- 1} (s- \ lambda _ {1}) | _ {s = \ lambda _ {1}} \ quad R_ {2} = (sI- A) ^ {- 1} (s- \ lambda _ {2}) | _ {s = \ lambda _ {2}}}

{\ displaystyle R_ {1} = (sI-A) ^ {- 1} (s- \ lambda _ {1}) | _ {s = \ lambda _ {1}} \ quad R_ {2} = (sI- A) ^ {- 1} (s- \ lambda _ {2}) | _ {s = \ lambda _ {2}}}

Deci se dovedește:

\left({\begin{array}{c}Y_{1}(s)\\r_{1}(s)\end{array}}\right)=\left({\dfrac {R_{1}}{s-\lambda _{1}}}+{\dfrac {R_{2}}{s-\lambda _{2}}}\right)\left({\begin{array}{c}Y_{0}-Y_{*}\\r_{0}-r_{*}\end{array}}\right)+\left({\dfrac {R_{1}}{s-\lambda _{1}}}+{\dfrac {R_{2}}{s-\lambda _{2}}}\right)\left({\begin{array}{c}G(s)\\-m(s)\end{array}}\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ dfrac {R_ { 1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ dfrac {R_ {1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m ( s) \ end {array}} \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {1} (s) \\ r_ {1} (s) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ dfrac {R_ { 1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + \ left ({\ dfrac {R_ {1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m ( s) \ end {array}} \ right)}

Prin antitransformare conform lui Laplace obținem:

\left({\begin{array}{c}Y(t)\\r(t)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}Y_{*}\\r_{*}\end{array}}\right)+(R_{1}e^{\lambda _{1}t}+R_{2}e^{\lambda _{2}t})\left({\begin{array}{c}Y_{0}-Y_{*}\\r_{0}-r_{*}\end{array}}\right)+{\mathfrak {L}}^{-1}\left(\left({\dfrac {R_{1}}{s-\lambda _{1}}}+{\dfrac {R_{2}}{s-\lambda _{2}}}\right)\left({\begin{array}{c}G(s)\\-m(s)\end{array}}\right)\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + (R_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} + R_ {2} e ^ {\ lambda _ {2} t }) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + {\ mathfrak { L}} ^ {-1} \ left (\ left ({\ dfrac {R_ {1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {array}} \ right) \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + (R_ {1} e ^ {\ lambda _ {1} t} + R_ {2} e ^ {\ lambda _ {2} t }) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + {\ mathfrak { L}} ^ {-1} \ left (\ left ({\ dfrac {R_ {1}} {s- \ lambda _ {1}}} + {\ dfrac {R_ {2}} {s- \ lambda _ {2}}} \ right) \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {array}} \ right) \ right)}

În cazul valorilor proprii ale matricei complexe conjugate A obținem:

(sI-A)^{-1}={\dfrac {R_{1a}+jR_{1b}}{s-\alpha -j\omega }}+{\dfrac {R_{1a}-jR_{1b}}{s-\alpha +j\omega }}

{\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1} = {\ dfrac {R_ {1a} + jR_ {1b}} {s- \ alpha -j \ omega}} + {\ dfrac {R_ {1a} -jR_ {1b}} {s- \ alpha + j \ omega}}}

{\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1} = {\ dfrac {R_ {1a} + jR_ {1b}} {s- \ alpha -j \ omega}} + {\ dfrac {R_ {1a} -jR_ {1b}} {s- \ alpha + j \ omega}}}

prin urmare:

(sI-A)^{-1}=2R_{1a}{\dfrac {s-\alpha }{(s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}-2R_{1b}{\dfrac {\omega }{(s-\alpha )^{2}+\omega ^{2}}}

{\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1} = 2R_ {1a} {\ dfrac {s- \ alpha} {(s- \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}} - 2R_ { 1b} {\ dfrac {\ omega} {(s- \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}

{\ displaystyle (sI-A) ^ {- 1} = 2R_ {1a} {\ dfrac {s- \ alpha} {(s- \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}} - 2R_ { 1b} {\ dfrac {\ omega} {(s- \ alpha) ^ {2} + \ omega ^ {2}}}}

cu:

R_{1}=R_{1a}+jR_{1b}=(sI-A)^{-1}(s-\alpha -j\omega )|_{s=\alpha +j\omega }

{\ displaystyle R_ {1} = R_ {1a} + jR_ {1b} = (sI-A) ^ {- 1} (s- \ alpha -j \ omega) | _ {s = \ alpha + j \ omega} }

{\ displaystyle R_ {1} = R_ {1a} + jR_ {1b} = (sI-A) ^ {- 1} (s- \ alpha -j \ omega) | _ {s = \ alpha + j \ omega} }

Prin antitransformare conform lui Laplace obținem:

\left({\begin{array}{c}Y(t)\\r(t)\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}Y_{*}\\r_{*}\end{array}}\right)+(2R_{1a}e^{\alpha t}\cos \omega t-2R_{1b}e^{\alpha t}\sin \omega t)\left({\begin{array}{c}Y_{0}-Y_{*}\\r_{0}-r_{*}\end{array}}\right)+{\mathfrak {L}}^{-1}\left((sI-A)^{-1}\left({\begin{array}{c}G(s)\\-m(s)\end{array}}\right)\right)

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + (2R_ {1a} e ^ {\ alpha t} \ cos \ omega t-2R_ {1b} e ^ {\ alpha t} \ sin \ omega t) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + {\ mathfrak {L}} ^ {- 1} \ left ((sI-A) ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {array }} \ right) \ right)}

{\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} Y (t) \\ r (t) \ end {array}} \ right) = \ left ({\ begin {array} {c} Y _ { *} \\ r _ {*} \ end {array}} \ right) + (2R_ {1a} e ^ {\ alpha t} \ cos \ omega t-2R_ {1b} e ^ {\ alpha t} \ sin \ omega t) \ left ({\ begin {array} {c} Y_ {0} -Y _ {*} \\ r_ {0} -r _ {*} \ end {array}} \ right) + {\ mathfrak {L}} ^ {- 1} \ left ((sI-A) ^ {- 1} \ left ({\ begin {array} {c} G (s) \\ - m (s) \ end {array }} \ right) \ right)}

Ecuațiile curbei LM

Curba LM indică toate combinațiile posibile de venituri reale și niveluri ale ratei dobânzii pentru care există egalitate între cerere și ofertă de bani în termeni reali. Rata dobânzii predominantă pe piață pentru activele financiare cu este indicată în cele ce urmează $\ i$ ${\ displaystyle \ i}$ $\ i$ , și venitul național cu $\ Y$ ${\ displaystyle \ Y}$ $\ Y$ .

Să presupunem că oferta de bani este exogenă și constantă $\ M_{s}=M_{0}$ ${\ displaystyle \ M_ {s} = M_ {0}}$ ${\ displaystyle \ M_ {s} = M_ {0}}$ ( s înseamnă aprovizionare - ofertă , în engleză , $\ M_{0}$ ${\ displaystyle \ M_ {0}}$ $\ M _ {{0}}$ indică o cantitate dată) și o cerere de bani dependentă de venit (luând în considerare o funcție liniară pentru simplitate $\ z+kY$ ${\ displaystyle \ z + kY}$ ${\ displaystyle \ z + kY}$ ), și invers corelat cu rata dobânzii, deci astfel încât:

\ M_{d}=kY+z-hi

{\ displaystyle \ M_ {d} = kY + z-hi}

{\ displaystyle \ M_ {d} = kY + z-hi}

Egalitatea dintre cerere și ofertă ( $\ M_{s}=M_{d}$ ${\ displaystyle \ M_ {s} = M_ {d}}$ ${\ displaystyle \ M_ {s} = M_ {d}}$ ) definește curba sau relația de echilibru pe piața monetară, LM:

\ i={\frac {1}{h}}(kY+z-M_{0})

{\ displaystyle \ i = {\ frac {1} {h}} (kY + z-M_ {0})}

{\ displaystyle \ i = {\ frac {1} {h}} (kY + z-M_ {0})}

Scrierea de mai sus este echivalentă cu:

\ Y={\frac {1}{k}}(M_{0}-z+hi)

{\ displaystyle \ Y = {\ frac {1} {k}} (M_ {0} -z + hi)}

{\ displaystyle \ Y = {\ frac {1} {k}} (M_ {0} -z + hi)}

În special, prima ecuație este reprezentată pe axele carteziene cu variabila Y pe axa absciselor și rata dobânzii i pe cea a ordonatelor. Curba are în general o pantă pozitivă.

Din expresiile de mai sus rezultă că o creștere (reducere) a cantității de aprovizionare cu bani $\ \Delta M_{0}$ ${\ displaystyle \ \ Delta M_ {0}}$ ${\ displaystyle \ \ Delta M_ {0}}$ va determina, ceteris paribus , o translație descendentă (în sus) a curbei LM, pentru o distanță egală cu $\ {\frac {1}{h}}\Delta M_{0}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {1} {h}} \ Delta M_ {0}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {1} {h}} \ Delta M_ {0}}$ , sau echivalent, o traducere spre dreapta (stânga) pentru o distanță egală cu $\ {\frac {1}{k}}\Delta M_{0}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {1} {k}} \ Delta M_ {0}}$ ${\ displaystyle \ {\ frac {1} {k}} \ Delta M_ {0}}$ .

Ecuațiile curbei IS

În mod similar, imaginând o schemă simplificată, fără cheltuieli publice, impozitare și sectorul extern, venitul național este pur și simplu egal cu suma consumului C și a investiției I :

\ Y=C+I

{\ displaystyle \ Y = C + I}

{\ displaystyle \ Y = C + I}

Să presupunem că consumul este o funcție liniară a venitului național, $\ C=C_{0}+cY$ ${\ displaystyle \ C = C_ {0} + cY}$ ${\ displaystyle \ C = C_ {0} + cY}$ , unde este $\ c$ ${\ displaystyle \ c}$ $\ c$ se numește înclinație marginală spre consum și are o valoare cuprinsă între 0 și 1; relația implică faptul că consumul agregat crește odată cu creșterea venitului național. Mai mult, să presupunem că investițiile sunt o funcție liniară descrescătoare a ratei dobânzii i , $\ I=I_{0}-bi$ ${\ displaystyle \ I = I_ {0} -bi}$ ${\ displaystyle \ I = I_ {0} -bi}$ , unde încă $\ b$ ${\ displaystyle \ b}$ $\ b$ are o valoare cuprinsă între 0 și 1; cu alte cuvinte, o creștere a ratei dobânzii , prin creșterea costului mediu al finanțării unei investiții, reduce cantitatea de investiții observată la nivel agregat în economie.

Înlocuind expresiile pentru consum și investiții agregate în expresia venitului național, ajungem la relația de echilibru pe piața bunurilor reale sau curba IS:

\ Y={\frac {C_{0}+I_{0}}{1-c}}-{\frac {b}{1-c}}i

{\ displaystyle \ Y = {\ frac {C_ {0} + I_ {0}} {1-c}} - {\ frac {b} {1-c}} i}

{\ displaystyle \ Y = {\ frac {C_ {0} + I_ {0}} {1-c}} - {\ frac {b} {1-c}} i}

Ecuația de mai sus poate fi făcută explicită pentru i , similar cu cea referitoare la curba LM:

\ i={\frac {C_{0}+I_{0}}{b}}-{\frac {1-c}{b}}Y

{\ displaystyle \ i = {\ frac {C_ {0} + I_ {0}} {b}} - {\ frac {1-c} {b}} Y}

{\ displaystyle \ i = {\ frac {C_ {0} + I_ {0}} {b}} - {\ frac {1-c} {b}} Y}

Această expresie poate fi extinsă și în cazul unei economii în care există o impozitare în valoare $\ T$ ${\ displaystyle \ T}$ $\ T$ , cheltuieli publice pentru achiziționarea de bunuri și servicii $\ G$ ${\ displaystyle \ G}$ $\ G$ , sectorul extern, reprezentat pe scurt de exporturile nete $\ {\bar {X}}=X-M$ ${\ displaystyle \ {\ bar {X}} = XM}$ $\ {\bar {X}}=X-M$ , dove $\ X$ $\ X$ $\ X$ denota le esportazioni, e $\ M$ $\ M$ $\ M$ le importazioni. Il reddito nazionale è in tal caso pari a:

\ Y=C+I+G-T+{\bar {X}}

\ Y=C+I+G-T+{\bar {X}}

\ Y=C+I+G-T+{\bar {X}}

Ad esempio, si può ipotizzare che la tassazione sia una funzione affine del reddito nazionale : $\ T=T_{0}+\tau Y$ $\ T=T_{0}+\tau Y$ $\ T=T_{0}+\tau Y$ , con $\ \tau$ $\ \tau$ $\ \tau$ compreso tra 0 e 1; l'introduzione della tassazione consente inoltre di distringuere tra reddito $\ Y$ $\ Y$ $\ Y$ e reddito disponibile , $\ Y_{d}=Y-T$ $\ Y_{d}=YT$ $\ Y_{d}=Y-T$ , da cui dipendono i consumi. Si potrebbe inoltre sviluppare una qualche forma funzionale per le esportazioni nette $\ {\bar {X}}$ $\ {\bar {X}}$ $\ {\bar {X}}$ , che ad esempio possono dipendere dal tasso di cambio , a sua volta dipendente dal differenziale tra il tasso di interesse nel mercato nazionale e quello medio prevalente sui mercati internazionali. Per sostituzione di tali relazioni nell'espressione per il reddito nazionale si otterrà ancora una curva IS; tralasciando per semplicità considerazioni relative alle esportazioni nette, di seguito trattate come una costante esogena, si ha:

\ I=I_{0}-bi

\ I=I_{0}-bi

\ I=I_{0}-bi

\ T=T_{0}+\tau Y

\ T=T_{0}+\tau Y

\ T=T_{0}+\tau Y

\ C=C_{0}+cY_{d}=C_{0}-cT_{0}+c(1-\tau )Y

\ C=C_{0}+cY_{d}=C_{0}-cT_{0}+c(1-\tau )Y

\ C=C_{0}+cY_{d}=C_{0}-cT_{0}+c(1-\tau )Y

Sostituendo, la curva IS è data da:

\ Y={\frac {C_{0}-(1-c)T_{0}+I_{0}+G+{\bar {X}}}{1-c(1-\tau )}}-{\frac {b}{1-c(1-\tau )}}i

\ Y={\frac {C_{0}-(1-c)T_{0}+I_{0}+G+{\bar {X}}}{1-c(1-\tau )}}-{\frac {b}{1-c(1-\tau )}}i

\ Y={\frac {C_{0}-(1-c)T_{0}+I_{0}+G+{\bar {X}}}{1-c(1-\tau )}}-{\frac {b}{1-c(1-\tau )}}i

Così come la curva LM, la curva IS è normalmente rappresentata con i valore del reddito nazionale Y sull'asse delle ascisse e quelli del tasso di interesse su quello delle ordinate. Le equazioni sopra indicano che una variazione della spesa autonoma per consumi $\ \Delta C_{0}$ $\ \Delta C_{0}$ $\ \Delta C_{0}$ o degli investimenti autonomi $\ \Delta I_{0}$ $\ \Delta I_{0}$ $\ \Delta I_{0}$ provocherà una traslazione verso destra-sinistra della curva IS per una distanza $\ {\frac {1}{1-c}}\Delta C_{0}$ $\ {\frac {1}{1-c}}\Delta C_{0}$ $\ {\frac {1}{1-c}}\Delta C_{0}$ o $\ {\frac {1}{1-c}}\Delta I_{0}$ $\ {\frac {1}{1-c}}\Delta I_{0}$ $\ {\frac {1}{1-c}}\Delta I_{0}$ nel caso del modello semplificato, con effetti analoghi nel caso del modello esteso. Con riferimento a quest'ultimo, è possibile osservare che un aumento (riduzione) della spesa pubblica per beni e servizi $\ \Delta G$ $\ \Delta G$ $\ \Delta G$ ha, ceteris paribus , l'effetto di traslare verso destra (sinistra) la curva IS per una distanza $\ {\frac {1}{(1-c)(1-\tau )}}\Delta G$ $\ {\frac {1}{(1-c)(1-\tau )}}\Delta G$ $\ {\frac {1}{(1-c)(1-\tau )}}\Delta G$ .

Equilibrio simultaneo nei mercati dei beni reali e delle attività finanziarie

Unendo infine le curve IS e LM si ottiene un'espressione per il tasso di interesse che realizza l'equilibrio simultaneo nel mercato dei beni reali e delle attività finanziarie, pari a:

\ i^{*}={\frac {kb+(1-c)h}{kb}}\left(k{\frac {C_{0}+I_{0}}{1-c}}-M_{0}+z\right)

\ i^{*}={\frac {kb+(1-c)h}{kb}}\left(k{\frac {C_{0}+I_{0}}{1-c}}-M_{0}+z\right)

\ i^{*}={\frac {kb+(1-c)h}{kb}}\left(k{\frac {C_{0}+I_{0}}{1-c}}-M_{0}+z\right)

Il reddito nazionale di equilibrio è inoltre dato da:

\ Y^{*}={\frac {b}{kb+h(1-c)}}\left(h{\frac {C_{0}+I_{0}}{b}}+M_{0}-z\right)

\ Y^{*}={\frac {b}{kb+h(1-c)}}\left(h{\frac {C_{0}+I_{0}}{b}}+M_{0}-z\right)

\ Y^{*}={\frac {b}{kb+h(1-c)}}\left(h{\frac {C_{0}+I_{0}}{b}}+M_{0}-z\right)

Nel caso del modello esteso, comprendente spesa pubblica, imposizione ed esportazioni nette, le espressioni sopra sono ovviamente più complicate, restando tuttavia invariata la logica del modello.

Analisi del comportamento dell'economia attraverso gli spostamenti delle curve IS-LM

Politica fiscale

La politica fiscale è messa in atto dallo stato facendo variare le Tasse (T) o le Spese statali (G). Questa politica influenza direttamente la curva IS in due differenti maniere:

Una diminuzione delle tasse o un aumento delle spese statali comporta graficamente uno spostamento della curva IS verso destra.

Un aumento delle tasse o una diminuzione delle spese statali comporta uno spostamento della curva IS verso sinistra.

Il "moltiplicatore keynesiano", dal nome del suo scopritore (o inventore, secondo l'opinione epistemologica che si ha della scienza economica) John Maynard Keynes (in realtà l'invenzione del moltiplicatore, secondo LL Pasinetti, è da attribuirsi al suo allievo prediletto Richard Kahn ; all'inizio, JM Keynes era alquanto titubante nell'utilizzare tale invenzione perché avrebbe stravolto il paradigma economico prevalente del periodo ^[1] ), è l'effetto per cui un incremento della domanda aggregata derivante appunto da un aumento delle componenti autonome, come spesa pubblica, consumo delle famiglie, investimenti...ecc. genera un aumento più che proporzionale nel reddito di equilibrio. In altre parole quello che Keynes afferma è che è possibile aumentare il reddito (e l'occupazione) incentivando la domanda aggregata AD. Il modo migliore per incentivare la domanda aggregata è quello di effettuare politiche di spesa pubblica G (infatti AD è composta, oltre che da C, I ed NX, anche da G; il modello è basato sull'economia chiusa, quindi NX non sarebbe comunque presente). Ancora oggi, tutte le politiche di sostegno pubblico alla domanda aggregata vengono definite "keynesiane", con riferimento a questa teoria.

Politica Monetaria

La politica monetaria è messa in atto dall'autorità monetaria facendo variare la quantità di moneta circolante ( $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ ) presente sul mercato. Questa politica influenza direttamente la curva LM in due differenti maniere:

Un aumento di $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ determina graficamente uno spostamento della curva LM verso destra.

Una diminuzione di $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ determina graficamente uno spostamento della curva LM verso sinistra.

Tuttavia il concetto di rappresentazione della curva LM come una retta obliqua è ormai superato. Essa, infatti, viene rappresentata nei manuali di macroeconomia più aggiornati (ad esempio la nuova edizione scritta da Blanchard nel 2015) come una retta orizzontale che indica il tasso di interesse stabilito dalle Banche Centrali.

Analisi degli effetti della politica economica nel modello IS-LM

Si esaminano di seguito gli effetti della politica economica nel contesto del modello IS-LM; è importante precisare che, a scopo semplificativo, l'analisi è basata sull'ipotesi di un'economia chiusa al commercio estero, o tale per cui gli effetti legati alle esportazioni/importazioni siano trascurabili.

Politica fiscale

La politica fiscale agisce tramite la spesa pubblica per l'acquisto di beni e servizi, $\ G$ $\ G$ $\ G$ nella notazione sopra, e tramite l'imposizione fiscale $\ T$ $\ T$ $\ T$ . Una variazione di una o entrambe le grandezze si rifletterà sui valori di equilibrio del reddito nazionale e del tasso di interesse prevalente sul mercato, simultaneamente determinati nel contesto del modello IS-LM; un'analisi di tali effetti sull'equilibrio è definita esercizio di statica comparata .

A seconda delle ipotesi sul valore dei parametri che figurano nelle equazioni del modello, la politica fiscale produce effetti assai diversi, illustrati di seguito e in figura.

Al fine di illustrare tale conclusione, si consideri il caso di una politica fiscale espansiva , in cui cioè si aumenta la spesa pubblica per beni e servizi $\ G$ $\ G$ $\ G$ . Ciò comporta, per quanto visto sopra, una traslazione verso destra della curva IS; l'effetto netto sull'equilibrio dipende dall'interazione con la curva LM.

Una prima possibilità (caso generale ) è che la curva LM abbia pendenza positiva; in tal caso l'aumento della spesa pubblica provoca un aumento del reddito nazionale (da $\ Y_{0}$ $\ Y_{0}$ $\ Y_{0}$ a $\ Y_{1}$ $\ Y_{1}$ $\ Y_{1}$ ) ma anche un aumento del tasso di interesse (da $\ i_{0}$ $\ i_{0}$ $\ i_{0}$ a $\ i_{1}$ $\ i_{1}$ $\ i_{1}$ ). Ciò provoca una parziale riduzione degli investimenti, il cui costo aumenta all'aumentare del tasso di interesse - si parla di spiazzamento (in inglese , crowding out ) degli investimenti; così che il reddito nazionale aumenta in misura minore rispetto a quanto avverrebbe in assenza di variazioni del tasso di interesse.

Questo primo caso è intermedio rispetto a due casi "estremi", associati ai punti di vista classico e Keynesiano , che si contrappongono nella teoria macroeconomica. Il punto di vista classico è che la domanda di moneta sia insensibile a variazioni del tasso di interesse: nella notazione sopra adottata, $\ h=0$ $\ h=0$ $\ h=0$ , così che la curva LM è verticale. In tal caso una politica fiscale espansiva che trasli verso destra la curva IS non ha alcun potere di alterare il livello del reddito nazionale; l'intero effetto della politica fiscale si scarica infatti sul tasso di interesse, con il completo spiazzamento degli investimenti da parte della spesa pubblica.

Il punto di vista Keynesiano è invece che la domanda di moneta sia infinitamente sensibile a variazioni del tasso di interesse, e che $\ h\rightarrow \infty$ $\ h\rightarrow \infty$ $\ h\rightarrow \infty$ , così che la curva LM è orizzontale. Questa ipotesi è anche detta della trappola della liquidità : poiché la domanda di moneta è molto sensibile a variazioni del tasso di interesse, il mercato delle attività finanziarie sopporterà una qualunque iniezione di moneta senza che il tasso di interesse si modifichi. In tal caso, una politica fiscale espansiva non avrebbe alcun effetto sul tasso di interesse, non dando dunque adito ad alcuno spiazzamento degli investimenti, e andando ad aumentare il livello del reddito nazionale.

Politica monetaria

L'analisi della politica monetaria nell'ambito del modello IS-LM è analoga al caso della politica fiscale; anche qui si distingue tra ipotesi generale , classica , e Keynesiana , illustrate di seguito e in figura.

Onde illustrare il funzionamento del modello, si consideri una politica monetaria espansiva , che aumenti l'offerta di moneta $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ $\ M_{0}$ . Nel caso generale , ciò provoca una traslazione verso destra della curva LM, che riduce il livello del tasso di interesse; ciò causa a sua volta un aumento degli investimenti, incrementando il reddito nazionale. Nel caso classico , l'effetto è ancora più pronunciato, poiché la curva LM è verticale; nel caso Keynesiano per contro, essendo la curva LM orizzontale, non si produce alcun effetto sul tasso di interesse né, di conseguenza, sul reddito nazionale.

Quali conclusioni per la politica economica?

Come illustrato sopra, gli effetti della politica economica possono essere assai differenti a seconda delle ipotesi sui valori dei parametri del modello IS-LM considerati. Le conclusioni esposte sopra hanno suggerito l'attribuzione di colorazioni "politiche" alle diverse scuole di pensiero: a causa della maggiore efficacia della politica fiscale sotto le ipotesi Keynesiane, la scuola Keynesiana è considerata fautrice di un rilevante intervento dello Stato nell'economia; per contro, la scuola classica è reputata più favorevole a una politica di laissez-faire . Inutile precisare che tali interpretazioni sono legate a notevoli semplificazioni dei pensieri Keynesiano e (neo-) classico, e che attribuire a questi una connotazione politica non è più sensato che attribuirla, ad esempio, alla meccanica Newtoniana oa quella quantistica nell'ambito della fisica . Il messaggio dell'analisi di statica comparata condotta, con strumenti euristici, sopra, è che lo studio degli effetti della politica economica non può prescindere da un' analisi empirica delle condizioni dell'economia, volta a determinare quale delle ipotesi considerate (generale, Keynesiana, classica) sia maggiormente fondata.

Popolarità del modello IS-LM

Il modello IS-LM è stato a lungo il modello di riferimento per valutare le conseguenze della politica economica. A partire dagli anni settanta , tuttavia, è stato oggetto di crescenti critiche da parte delle scuole di pensiero neoclassica e monetarista, a causa della difficoltà di trattare i problemi relativi all' inflazione , particolarmente feroce in quel decennio. La scuola monetarista inoltre, seguendo l'argomentazione dell' economista Robert Lucas , critica il modello per l'assenza di una trattazione esplicita delle aspettative concernenti la politica economica. L'approccio IS-LM presta inoltre il fianco alle critiche dei sostenitori della microfondazione della macroeconomia , ossia della posizione per cui i modelli macroeconomici dovrebbero essere basati su rigorose fondamenta microeconomiche che giustifichino le relazioni formulate a livello aggregato, piuttosto che muovere da premesse generali concernenti variabili aggregate come quelle presentate sopra.

Viceversa gli economisti post-keynesiani rifiutano il modello IS-LM di Hicks, in quanto lo ritengono un'interpretazione indebita del pensiero di Keynes, che tradisce i principi più innovativi della Teoria generale , riportandoli nell'ambito dell'equilibrio economico generale ( J. Robinson definiva sprezzantemente questo approccio “keynesismo bastardo”).

Allo stato attuale ( 2005 ) al modello IS-LM è riconosciuta una indubbia validità euristica, nonché validità come buona approssimazione in condizioni di inflazione moderata, quali ad esempio quelle degli ultimi anni. ^{[ senza fonte ]}

Note

^ Luigi Lodovico Pasinetti, Keynes and the Cambridge Keynesians: A 'Revolution in Economics' to be Accomplished , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-10772-3 .

Bibliografia

Alessandro Vaglio, Matematica per economisti ,Apogeo
Blanchard, O. (2000), Macroeconomics , Prentice-Hall, ISBN 0-13-013306-X , il testo di riferimento per l'insegnamento della macroeconomia , di livello universitario (in inglese ); in italiano 'Macroeconomia', ISBN 978-88-15-10690-2 , Il Mulino, 2006, a cura di F. Giavazzi e A. Amighini.
Casarosa, C. (1998), Manuale di Macroeconomia , Carocci, ISBN 88-430-1080-8 , un testo universitario italiano; propone una trattazione formale del modello IS-LM, con particolare attenzione ai problemi di microfondazione;
Mankiw, G. (2004), Macroeconomics , Worthpublishers, ISBN 0-7167-5237-9 , un testo di carattere introduttivo sulla macroeconomia , adatto ad un corso del primo anno di livello universitario (in inglese )

Voci correlate

Altri progetti

Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Modello IS-LM

Controllo di autorità	LCCN ( EN ) sh87002072

Portale Economia : accedi alle voci di Wikipedia che trattano di economia

[1] Luigi Lodovico Pasinetti, Keynes and the Cambridge Keynesians: A 'Revolution in Economics' to be Accomplished , Cambridge University Press, 2007, ISBN 978-0-521-10772-3 .

[1]