Omologie (geometrie)
Această intrare sau secțiune despre matematică nu citează sursele necesare sau cei prezenți sunt insuficienți . |
În geometria descriptivă, omologia este o transformare a planului obținută ca o compoziție a două proiecții centrale în spațiu. Cu alte cuvinte, este relația de corespondență originată de două proiecții ale unui etaj pe altul.
Două figuri plane sunt omoloage dacă există o omologie care se transformă una în cealaltă. De exemplu, secțiunile a două piramide sau, în general, a două conuri , având aceeași bază sunt prin definiție două figuri omoloage.
Proprietate
Fiind o compoziție a două proiecții, omologia transformă liniile drepte în drepte.
Pachetul de planuri care trece prin cele două centre de proiecție (dacă sunt distincte) intersectează planul dat într-un pachet de linii drepte , fiecare dintre ele fiind trimis în sine prin omologie. Centrul acestui pachet de linii drepte, intersecția planului cu linia dreaptă care trece prin cele două centre de proiecție, este un punct fix al omologiei numit centru .
Linia de intersecție a planului cu planul de proiecție se numește axă ; fiecare dintre punctele sale, fiind fixat de ambele proiecții, este, de asemenea, fixat de omologie.
Prin urmare, există omologii infinite care au un centru și o axă fixe. Imaginea unui alt punct, pe de altă parte, determină în mod unic omologia. O omologie este, de fapt, o dublă omografie pe planuri coincidente (suprapuse).
Construcție în avion
Construcția geometrică care permite transformarea unei figuri prin omologie se numește geneza spațială a omologiei .
Odată ce centrul U și axa u a omologiei sunt fixate, precum și imaginea A ' a unui punct A , este posibil să se determine imaginea B' a oricărui alt punct B cu proceduri geometrice. Pentru proprietățile omologiei, de fapt, linia prin A și B și linia prin A ' și B' se întâlnesc într-un punct al lui u , în timp ce punctele U , B și B ' sunt aliniate.
Imaginea B ' a unui punct B care nu aparține liniei drepte prin A și U poate fi obținută prin următoarea procedură:
- urmăriți linia r prin A și B ,
- determinăm intersecția B ” între liniile r și u ,
- urmăriți linia s pentru A ' și B' ' ,
- trasăm linia t pentru B și U ,
- B ' este determinat ca intersecția lui s și t .
Odată ce imaginile celor două puncte A și B care nu sunt aliniate cu U sunt cunoscute, este posibil să construim direct imaginea oricărui alt punct de pe plan.
Unele omologii particulare
Dacă cele două centre de proiecție coincid, omologia obținută este identitatea pe plan.
Dacă axa omologiei este o linie dreaptă necorespunzătoare , adică dacă planul de proiecție este paralel cu planul, omologia este un omotetic având centrul omologiei drept centru. Mai mult, dacă centrul de omologie este un punct necorespunzător , adică dacă linia dreaptă care trece prin cele două centre de proiecție este paralelă cu planul, omologia este o traducere .
