Parametrii orbitali

Elementele orbitale sau parametrii orbitali keplerieni sunt un set de parametri necesari pentru a determina în mod unic o orbită , având în vedere un sistem ideal format din două mase care urmează legile newtoniene ale mișcării și legea gravitației universale .

Având în vedere posibilitatea descrierii unei mișcări centrale în moduri diferite, în funcție de setul de variabile pe care cineva alege să le măsoare, există metode diferite pentru definirea unui set de parametri orbitali, fiecare dintre aceștia putând în orice caz să definească în mod unic aceeași orbită. Pe lângă cei șase parametri orbitali, celelalte modalități de a defini în mod unic o orbită kepleriană sunt:

Constantele vectorului de mișcare, adică impulsul unghiular orbital specific $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ $\ mathbf {h}$ , excentricitate vectorială $\mathbf {e}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ ${\ mathbf {e}}$ și energia orbitală specifică $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ ;
Cei doi vectori orbitali de stare : vectorul de poziție $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ și vectorul viteză $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ .

O orbită de tip Keplerian are deci șase grade de libertate , care pot fi descrise în trei moduri:

Parametrii orbitali keplerieni;
Constantele vectoriale ale mișcării;
Poziția în spațiul tridimensional și viteza în spațiul tridimensional la un moment dat;

Un al șaptelea parametru, timpul , poate fi obținut din trecerea de la adevărata anomalie la anomalia excentrică , pentru a utiliza apoi legea orară a mișcării medii prin problema Kepler.

Parametrii orbitali keplerieni

Setul tradițional de parametri orbitali este asociat cu numele lui Kepler , în onoarea celebrelor sale trei legi . Parametrii așteptați sunt:

Inclinație ( $the$ ${\ displaystyle i}$ $the$ );
Longitudinea nodului ascendent sau ascensiunea dreaptă a nodului ascendent ( $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ );
Subiect pericentru ( $\omega$ ${\ displaystyle \ omega}$ $\omega$ );
Excentricitate ( $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ );
Perioada orbitală ( $T.$ ${\ displaystyle T}$ $T.$ ) sau axa semi-majoră $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ ;
Anomalie adevărată ( $\theta$ ${\ displaystyle \ theta}$ $\ theta$ ), sau longitudine medie sau anomalie medie ( $M_{o}$ ${\ displaystyle M_ {o}}$ $M_ {o}$ ) în perioada luată în considerare.

Parametrii afișați identifică orbita după cum urmează:

Axa semi-majoră (sau perioada) identifică mărimea orbitei;
Excentricitatea determină forma orbitei;
Înclinarea și longitudinea (sau ascensiunea dreaptă) a nodului ascendent specifică planul orbital;
Argumentul pericentrului specifică orientarea orbitei în interiorul planului;
Adevărata anomalie specifică poziția obiectului pe orbită în funcție de timp.

Având în vedere imprecizia modelului newtonian al mișcării orbitale, care consideră corpurile cerești ca obiecte punctuale adevărate, elementele orbitale ale planetelor reale tind să se schimbe în timp.

Mai mult, pentru sateliții artificiali care ating atmosfera corpului în jurul căruia orbitează, este specificat uneori un al optulea parametru, și anume fricțiunea atmosferică .

Cei șase parametri și determinarea lor începând de la vectorii orbitali de stare

Observați vectorii de stare $\mathbf {r}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$ $\ mathbf {r}$ Și $\mathbf {v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ $\ mathbf {v}$ este posibil să treci cu ușurință la constantele de mișcare și la cei șase parametri orbitali, de fapt, în ipoteza mișcării centrale fără perturbații , cinci din cei șase parametri sunt conservați în timp (cu excepția adevăratei anomalii) și, în consecință, tratamentul orbita este mai simplă.

Înclinare

Cunoscut momentul unghiular orbital specific $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ $\ mathbf {h}$ , ca

\mathbf {h} ={\mathbf {r} \times \mathbf {v} }=h_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+h_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+h_{z}{\hat {\mathbf {k} }}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} = h_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + h_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + h_ {z} {\ hat {\ mathbf {k}}}}

{\ displaystyle \ mathbf {h} = {\ mathbf {r} \ times \ mathbf {v}} = h_ {x} {\ hat {\ mathbf {i}}} + h_ {y} {\ hat {\ mathbf {j}}} + h_ {z} {\ hat {\ mathbf {k}}}}

și modulul său, înclinația planului orbital cu privire la sistemul inerțial se menține

i=\arccos {h_{\mathrm {z} } \over \left|\mathbf {h} \right|}

{\ displaystyle i = \ arccos {h _ {\ mathrm {z}} \ over \ left | \ mathbf {h} \ right |}}

i = \ arccos {h _ {{\ mathrm {z}}} \ over \ left | {\ mathbf {h}} \ right |}

unde este $h_{\mathrm {z} }$ ${\ displaystyle h _ {\ mathrm {z}}}$ $h _ {{\ mathrm {z}}}$ este componenta $\mathbf {h}$ ${\ displaystyle \ mathbf {h}}$ $\ mathbf {h}$ lung $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ ;

Ascensiunea dreaptă și longitudinea nodului ascendent

L ' ascensiunea dreaptă a nodului ascendent (Ascensiunea dreaptă a nodului ascendent, RAAN) este unghiul măsurat în planul ecuatorial între direcția punctului Berbec și nodul ascendent ;

\Omega =\arccos {{N_{x}} \over {\mathbf {\left|N\right|} }}

{\ displaystyle \ Omega = \ arccos {{N_ {x}} \ over {\ mathbf {\ left | N \ right |}}}}

\ Omega = \ arccos {{N_ {x}} \ over {{\ mathbf {\ left | N \ right |}}}}

De sine $n_{y}<0$ ${\ displaystyle n_ {y} <0}$ $n_ {y} <0$ asa de $\Omega =2\pi -\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega = 2 \ pi - \ Omega}$ $\ Omega = 2 \ pi - \ Omega$

unde este $N_{x}$ ${\ displaystyle N_ {x}}$ $N_ {x}$ este componenta lungă $X$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ a vectorului axei nodale $\mathbf {N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {N}}$ ${\ mathbf {N}}$ ; rețineți că axa nodală, definită ca un vector dat de intersecția planului ecuatorial și planului orbital, nu are componente de-a lungul $z$ ${\ displaystyle z}$ $z$ în cadrul de referință inerțial.

Alternativ, longitudinea nodului ascendent poate fi utilizată: cei doi parametri conțin aceleași informații, dar referindu-se la două planuri diferite:

RAAN este măsurat pe planul ecuatorial al atractorului (este utilizat în principal pentru sateliții geocentrici);
Longitudinea nodului ascendent este măsurată pe planul eclipticii .

Argumentul pericentrului

Argumentul pericentrului , sau anomalia pericentrului (periaxis) este unghiul, măsurat pe planul orbital, între nodul ascendent și vectorul de excentricitate . Vectorul de excentricitate are ca direcție linia absidelor și direcția de ieșire din pericentru.

\omega =\arccos {{\mathbf {N} \cdot \mathbf {e} } \over {\mathbf {\left|N\right|} \mathbf {\left|e\right|} }}

{\ displaystyle \ omega = \ arccos {{\ mathbf {N} \ cdot \ mathbf {e}} \ over {\ mathbf {\ left | N \ right |} \ mathbf {\ left | e \ right |}}} }

\ omega = \ arccos {{{\ mathbf {N}} \ cdot {\ mathbf {e}}} \ over {{\ mathbf {\ left | N \ right |}} {\ mathbf {\ left | e \ right |}}}}

de sine

e_{z}<0

{\ displaystyle e_ {z} <0}

e_ {z} <0

asa de

\omega =2\pi -\omega

{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi - \ omega}

\ omega = 2 \ pi - \ omega

unde este

$\mathbf {N}$ ${\ displaystyle \ mathbf {N}}$ ${\ mathbf {N}}$ este vectorul axei nodale ;
$\mathbf {e}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ ${\ mathbf {e}}$ este vectorul de excentricitate , care este o constantă vectorială a mișcării.

Excentricitate

Excentricitatea este modulul vectorului de excentricitate $\mathbf {e}$ ${\ displaystyle \ mathbf {e}}$ ${\ mathbf {e}}$

e=\left|\mathbf {e} \right|

{\ displaystyle e = \ left | \ mathbf {e} \ right |}

e = \ left | {\ mathbf {e}} \ right |

sau se pot calcula cunoscute razele apocentrului și pericentrului (în cazul unei orbite eliptice)

e={{r_{a}-r_{p}} \over {r_{a}+r_{p}}}

{\ displaystyle e = {{r_ {a} -r_ {p}} \ over {r_ {a} + r_ {p}}}}

e = {{r_ {a} -r_ {p}} \ over {r_ {a} + r_ {p}}}

O expresie generală, valabilă pentru orice tip de conic, este o funcție a energiei specifice totale, a momentului unghiular orbital și a constantei planetare $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$

e={\sqrt {1+{{2\varepsilon h^{2}} \over {\mu ^{2}}}}}

{\ displaystyle e = {\ sqrt {1 + {{2 \ varepsilon h ^ {2}} \ over {\ mu ^ {2}}}}}}

e = {\ sqrt {1 + {{2 \ varepsilon h ^ {2}} \ over {\ mu ^ {2}}}}}

Axa semi-majoră

Axa semi-majoră poate fi calculată din energia orbitală specifică $\varepsilon$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ $\ varepsilon$ deoarece rezultă:

a=-{\mu  \over {2\varepsilon }}

{\ displaystyle a = - {\ mu \ over {2 \ varepsilon}}}

a = - {\ mu \ over {2 \ varepsilon}}

sau cum

a={\frac {r_{a}+r_{p}}{2}}

{\ displaystyle a = {\ frac {r_ {a} + r_ {p}} {2}}}

a = {\ frac {r_ {a} + r_ {p}} {2}}

Legătura dintre semiaxe și perioadă este dată de a treia lege a lui Kepler :

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}

{\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}

T = 2 \ pi {\ sqrt {{\ frac {a ^ {3}} {\ mu}}}}

unde este $\mu \$ ${\ displaystyle \ mu \}$ $\ mu \$ este constanta gravitationala planetara a atractorului.

Adevărată anomalie

Adevărata anomalie este singurul parametru orbital keplerian care schimbă valoarea în timpul mișcării; de fapt, descrie unghiul dintre pericentru și corpul orbitant, măsurat pe planul orbital.