Suprafața guvernată

Un exemplu de suprafață (dublu) nervurată: hiperboloidul cu un singur pas. Dacă apucăm spaghetele cu o mână (care sunt de fapt segmente drepte), acestea sunt aranjate aproximativ ca un hiperboloid.

În geometrie, se spune că o suprafață este aruncată dacă este obținută dintr-o uniune de linii drepte . Din punct de vedere euristic , ne putem gândi la o suprafață condusă ca fiind compusă din mai multe linii, a căror unire formează suprafața însăși (figura ar trebui să ofere o idee intuitivă despre aceasta). Cele mai comune și mai ușor de vizualizat exemple sunt planul , cilindrul și conul . Hiperboloidul cu un singur pas și paraboloidul hiperbolic sunt suprafețe dublu reglate.

Interesul pentru suprafețele stăpânite se datorează faptului că proprietatea (unei suprafețe) de a fi stăpânită este păstrată de hărți proiective . Tot din acest motiv, ei găsesc și aplicații în geometrie descriptivă și arhitectură .

Definiție

O suprafață $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ Se spune ghintuit dacă există o familie de drept $\{r_{\alpha }\}_{\alpha \in {\mathcal {A}}}$ ${\ displaystyle \ {r _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în {\ mathcal {A}}}}$ ${\ displaystyle \ {r _ {\ alpha} \} _ {\ alpha \ în {\ mathcal {A}}}}$ astfel încât $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ este uniunea liniilor familiei menționate: $S=\bigcup _{\alpha \in {\mathcal {A}}}r_{\alpha }$ ${\ displaystyle S = \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} r _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle S = \ bigcup _ {\ alpha \ in {\ mathcal {A}}} r _ {\ alpha}}$ . Echivalent, $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ se stabilește dacă pentru fiecare punct al $s\in S$ ${\ displaystyle s \ în S}$ $s \ în S$ trece o linie dreaptă $r_{s}$ ${\ displaystyle r_ {s}}$ $r_ {s}$ că totul este conținut în $S.$ ${\ displaystyle S}$ $S.$ ^[1] .

În mod similar, se spune că o suprafață este dublă guvernată dacă este unirea a două familii disjuncte de linii drepte.

Parametrizări

Având în vedere simplitatea lor, există parametrizări standard și universale ale suprafețelor reglate. Desigur, în general, acestea sunt valabile doar local. Adică, pentru fiecare punct al guvernării există un vecinătate în care poate fi parametrizat după cum urmează (în continuare $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ este un subset de numere reale $\mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ ):

S(t,u)=p(t)+q(t)\,u\quad t\in E,\,u\in \mathbb {R}

{\ displaystyle S (t, u) = p (t) + q (t) \, u \ quad t \ in E, \, u \ in \ mathbb {R}}

{\ displaystyle S (t, u) = p (t) + q (t) \, u \ quad t \ in E, \, u \ in \ mathbb {R}}

;

pentru $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ fix, $S(t,u)$ ${\ displaystyle S (t, u)}$ ${\ displaystyle S (t, u)}$ este o linie din parametru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , și, prin urmare, este dungat. Uneori această parametrizare este scrisă ca $S(t,u)={\bar {p}}(t)\,u+{\bar {q}}(t)\,(1-u)$ ${\ displaystyle S (t, u) = {\ bar {p}} (t) \, u + {\ bar {q}} (t) \, (1-u)}$ ${\ displaystyle S (t, u) = {\ bar {p}} (t) \, u + {\ bar {q}} (t) \, (1-u)}$ care, cu o definiție adecvată a ${\bar {p}}$ ${\ displaystyle {\ bar {p}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {p}}}$ Și ${\bar {q}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {q}}}$ este echivalent cu precedentul, dar evidențiază modul în care o suprafață reglată poate fi obținută prin unirea liniilor drepte care unesc două curbe care nu se intersectează.

De exemplu, din parametrizare:

p(t)=(\cos(t),\sin(t),0)

{\ displaystyle p (t) = (\ cos (t), \ sin (t), 0)}

{\ displaystyle p (t) = (\ cos (t), \ sin (t), 0)}

r(t)=(\cos(t/2)\cos(t),\cos(t/2)\sin(t),\sin(t/2))

{\ displaystyle r (t) = (\ cos (t / 2) \ cos (t), \ cos (t / 2) \ sin (t), \ sin (t / 2))}

{\ displaystyle r (t) = (\ cos (t / 2) \ cos (t), \ cos (t / 2) \ sin (t), \ sin (t / 2))}

se obține o suprafață dungată care conține banda Möbius .

Rezultate matematice privind suprafețele reglate

Fiecare suprafață dezvoltabilă (adică orice suprafață care poate fi rulată local pe un plan) este condusă.
Singurele suprafețe minime care trebuie guvernate sunt planul și helicoidul .
Hărțile proiective păstrează proprietatea unei suprafețe care trebuie condusă sau dublată.

Construcții și aplicații

Multe suprafețe reglate interesante pot fi obținute din mișcarea unei linii drepte, numită generatoare , de-a lungul a trei conice (posibil degenerate), numite directoare . Prin variația pozițiilor reciproce ale acestor linii, există diferite tipuri de linii, cum ar fi Conoide și helicoids

Aplicații în arhitectură

În acest carabină, grinda F este formată din planuri paralele.

Tokyo , Catedrala Sf. Maria
Kenzō Tange , 1964

La Spezia , Catedrala lui Hristos Regele
Adalberto Libera , 1956-1975

Cele mai frecvent utilizate linii în arhitectură sunt construite cu acest proces. Adică sunt generate de mișcarea unei linii generatoare $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ de-a lungul a trei linii drepte $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ . Două dintre care, $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ Și $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ , sunt de obicei atribuite ca margini ale riglei; al treilea regizor, $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , este determinat ca o linie de sprijin pentru un pachet de etaje $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Fiecare etaj al $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este identificată prin două linii coplanare: una este generatorul $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ iar cealaltă linie are direcția perpendiculară pe poziția planurilor identificate de cele două linii de direcție $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ , $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ .

În cazul în care acel pachet $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ este format din planuri paralele între ele (vezi figura din lateral), avem o linie dreaptă necorespunzătoare ca a treia directoare.

Trebuie avut în vedere faptul că liniile identificate de un patrulater înclinat au proprietatea de a fi generate în mod dublu, adică înseamnă că liniile acestei linii pot fi asumate ca generatoare și invers. Prin urmare, ele sunt dublu căptușite .

Alte tipuri de linii ușor de construit și interesante din punct de vedere volumetic pot fi cele care au drept conice două conice nedegenerate, cum ar fi, de exemplu, cea a conurilor, atât în suport adecvat, cât și necorespunzător (vezi galeria foto).

Galerie de imagini

Geometrie descriptivă, aplicarea conceptului de suprafețe reglate pentru a construi o bibliotecă.

Notă

^ Echivalența dintre cele două noțiuni are loc cu ușurință. De exemplu, dacă pentru fiecare punct al lui S trece o dreaptă conținută în S, suprafața va fi uniunea acestor linii. Dimpotrivă, dacă S este o uniune de linii drepte, cel puțin una trebuie să treacă prin fiecare dintre punctele sale și trebuie neapărat să fie conținută în S (altfel în uniune ar exista puncte externe lui S ).