Trisecția colțului

Trisecția unui unghi , adică construcția unui unghi de amplitudine o treime din orice unghi dat, împreună cu problema duplicării cubului și a cuadraturii cercului , este una dintre cele trei probleme clasice de geometrie greacă care, așa cum a demonstrat algebric Pierre-Laurent Wantzel în 1837 , nu poate fi rezolvată cu rigla și busola , adică cu construcții geometrice care folosesc doar linii drepte și cercuri .

Problema

Pentru formula De Moivre , rădăcinile ecuației

(1) $x^{3}\,=\,\cos \alpha +i\sin \alpha$ ${\ displaystyle x ^ {3} \, = \, \ cos \ alpha + i \ sin \ alpha}$ $x ^ {3} \, = \, \ cos \ alpha + i \ sin \ alpha$

Sunt

(2a) $x_{1}=\cos \left({\frac {\alpha }{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\alpha }{3}}\right)$ ${\ displaystyle x_ {1} = \ cos \ left ({\ frac {\ alpha} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ alpha} {3}} \ right)}$ $x_ {1} = \ cos \ left ({\ frac {\ alpha} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ alpha} {3}} \ right)$

(2b) $x_{2}=\cos \left({\frac {\alpha +2\pi }{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\alpha +2\pi }{3}}\right)$ ${\ displaystyle x_ {2} = \ cos \ left ({\ frac {\ alpha +2 \ pi} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ alpha +2 \ pi} { 3}} \ dreapta)}$ $x_ {2} = \ cos \ left ({\ frac {\ alpha +2 \ pi} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ alpha +2 \ pi} {3}} \ dreapta)$

(2c) $x_{3}=\cos \left({\frac {\alpha +4\pi }{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\alpha +4\pi }{3}}\right)$ ${\ displaystyle x_ {3} = \ cos \ left ({\ frac {\ alpha +4 \ pi} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ alpha +4 \ pi} { 3}} \ dreapta)}$ $x_ {3} = \ cos \ left ({\ frac {\ alpha +4 \ pi} {3}} \ right) + i \ sin \ left ({\ frac {\ alpha +4 \ pi} {3}} \ dreapta)$

care în planul Gauss - Argand corespund vârfurilor triunghiului echilateral înscris în circumferința razei unitare care își are centrul în originea axelor.

Prin urmare, ecuația (1) este afirmația analitică a trisecției unghiului α . Dacă ecuația (1) ar fi reductibilă atunci ar trebui să fie posibilă exprimarea rădăcinii sale ca o funcție rațională a cos α și sin α ; o funcție care nu ar fi modificată prin schimbarea lui α în α + 2π . Dimpotrivă, niciuna dintre cele trei rădăcini nu rămâne neschimbată atunci când, variind continuu, α trece la valoarea α + 2π , deoarece în acest caz x1 trece în x2 , x2 la rândul său trece în x3 și x3 în x1, adică există o permutare ciclică a rădăcinilor. Prin urmare, niciuna dintre ele nu poate fi reprezentată ca o funcție rațională a cos α și sen α ; dar dacă acest lucru este adevărat, rezultă că ecuația (1) este ireductibilă.

Există o diferență importantă între problema trisecției unui unghi și celelalte două probleme grecești clasice: nu puteți pătrate niciun cerc cu rigla și busola , nu puteți duplica niciun cub cu rigla și busola , dar există unele unghiuri particulare, cum ar fi cele de 90 °, 27 ° sau 45 °, deci trisecția este posibilă cu o riglă și busolă .

Construcție cu riglă și busolă

Cum a apărut problema reușirii trisecției unui colț cu riglă și busolă ? Să examinăm construcția cu rigla și busola pentru a împărți un unghi . Construcția este directă, așa cum se vede în figură: având în vedere unghiul CÂB, identificăm două lungimi egale $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ Și $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ pe laturile sale. Apoi construim paralelogramul $C. LA B. D.$ ${\ displaystyle CABD}$ ${\ displaystyle CABD}$ și desenează diagonala $LA D.$ ${\ displaystyle AD}$ $LA$ care bisectează unghiul CÂB .

Figura 1: bisecția unghiului

Prin urmare, metoda de împărțire a unghiului este foarte simplă. Vechii greci credeau că este la fel de simplu să poți împărți unghiurile în orice fel, așa că au căutat o metodă cu riglă și busolă care să permită împărțirea unui unghi în trei părți egale. În curând și-au dat seama că problema era mai dificilă: de fapt, problema poate fi rezolvată cu o linie și o busolă numai pentru anumite tipuri de unghiuri, dar în cazul general acest lucru nu este posibil. Să vedem acum două exemple de posibile trisecții cu rigla și busola .

Trisecția unui unghi drept și a unui unghi de mπ / 2 ^k

Trisecția, folosind doar rigla și busola, este posibilă în unele cazuri particulare, de exemplu pentru un unghi drept . De fapt, având un unghi drept (figura 2) trasăm un cerc Γ ₁ cu centrul în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ orice; taie raza cu $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ . Acum urmăriți cercul Γ ₂ cu centrul în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ ; va intersecta circumferința Γ ₁ in $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ .

Triunghiul $LA B. D.$ ${\ displaystyle ABD}$ ${\ displaystyle ABD}$ este echilateral ; intr-adevar $AB=AD=BD=r$ ${\ displaystyle AB = AD = BD = r}$ ${\ displaystyle AB = AD = BD = r}$ . De aici unghiul BÂD = π / 3 și, prin diferență, unghiul DÂC = π / 6. În consecință, este posibil să se trisecteze unghiul CÂB .

Figura 2: trisecția unui unghi drept

Pentru a trisecta un unghi de π / 4 este suficient, după trisecția unui unghi drept , să se bisecteze unghiul de π / 6 care se obține.

Figura 3: trisecția unui unghi de 45 °

Cu această tehnică este posibilă trisectarea (cu singura utilizare a riglei și busolei ) unghiurile a căror amplitudine este:

\varphi ={\frac {m\pi }{2^{k}}}\qquad k\in \mathbb {N} ,\,m\in \mathbb {Z} .

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {m \ pi} {2 ^ {k}}} \ qquad k \ in \ mathbb {N}, \, m \ in \ mathbb {Z}.}

{\ displaystyle \ varphi = {\ frac {m \ pi} {2 ^ {k}}} \ qquad k \ in \ mathbb {N}, \, m \ in \ mathbb {Z}.}

Trisecție cu utilizarea unei rigle gradate

Metoda lui Nicomedes

Nicomedes nu este într-adevăr o metodă de construcție, deoarece a folosit rigla pentru a raporta o lungime, adică a folosit în mod ideal o riglă gradată. Având în vedere orice unghi CÂB (vezi figura 4), este considerat o linie dreaptă $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , perpendicular pe $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , care se intersectează $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ în $D.$ ${\ displaystyle D}$ $D.$ Și $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ în $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ ; pentru $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ se trasează o linie dreaptă $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ paralel cu $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ si pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se trasează o linie dreaptă $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ paralel cu $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ ; liniile $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ și $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ se intersectează în $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ . Acum pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ se trasează o linie dreaptă $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ , care se intersectează $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ în $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ și $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ în $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ astfel încât:

HE=2AC

{\ displaystyle HE = 2AC}

{\ displaystyle HE = 2AC}

; apoi EÂD =

{1 \over 3}

{\ displaystyle {1 \ peste 3}}

{1 \ peste 3}

CÂD .

Figura 4: Metoda de trisecție a lui Nicomedes

CD $\perp$ ${\ displaystyle \ perp}$ $\ pentru P$ AB
FE // AD
FA // CD
$HE\cong 2AC$ ${\ displaystyle HE \ cong 2AC}$ ${\ displaystyle HE \ cong 2AC}$

EÂD

\cong {1 \over 3}

{\ displaystyle \ cong {1 \ peste 3}}

\ cong {1 \ peste 3}

CÂD

Spus $G.$ ${\ displaystyle G}$ $G.$ punctul de mijloc al $H. ȘI$ ${\ displaystyle HE}$ ${\ displaystyle HE}$ , avem:

(13)

HG\cong GE

{\ displaystyle HG \ cong GE}

{\ displaystyle HG \ cong GE}

pentru construcții

(14)

CG\cong HG\cong GE

{\ displaystyle CG \ cong HG \ cong GE}

{\ displaystyle CG \ cong HG \ cong GE}

deoarece triunghiul

C. H. ȘI

{\ displaystyle THAT}

{\ displaystyle THAT}

este dreptunghi .

Așa este și:

(15)

AC\cong HG\cong CG\cong GE.

{\ displaystyle AC \ cong HG \ cong CG \ cong GE.}

{\ displaystyle AC \ cong HG \ cong CG \ cong GE.}

Pe de altă parte

(16) EÂB

\cong

${\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ CÊG deoarece unghiurile interne alternante

(17) CÊG

\cong

${\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ EĈG pentru că triunghiul

C. G. ȘI

{\ displaystyle CGE}

{\ displaystyle CGE}

este isoscel .

Unghiul CĜH este unghiul exterior al triunghiului $C. G. ȘI$ ${\ displaystyle CGE}$ ${\ displaystyle CGE}$ prin urmare,

(18) CĜH

\cong

${\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ EĈG + CÊG

\cong

${\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ 2 CÊG

Dar deasemenea

(19) CĜH

\cong

${\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ CÂG pentru că triunghiul

C. LA G.

{\ displaystyle CAG}

{\ displaystyle CAG}

este isoscel .

Atunci

(20) CÂB

=

${\ displaystyle =}$ $=$ CÂG + GÂB

\cong

${\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ 2 CÊG + GÂB

\cong

${\ displaystyle \ cong}$ $\ cong$ 2 GÂB + GÂB

=

${\ displaystyle =}$ $=$ 3 GÂB

Sau

(21) GÂB

\cong {\frac {1}{3}}

${\ displaystyle \ cong {\ frac {1} {3}}}$ $\ cong {\ frac {1} {3}}$ CÂB QED

Metoda lui Arhimede

În soluția propusă de Arhimede, conducătorul este folosit pentru a raporta o lungime și, prin urmare, este considerat ca un conducător gradat. Să presupunem că vrem să triseasistem CÂB (vezi figura 5), tragem un cerc $\Gamma$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ $\Gamă$ , cu centrul în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ și raza $r$ ${\ displaystyle r}$ $r$ , care intersectează raza $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ în $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ iar raza $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ ; pentru $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ să trasăm o linie $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ care taie linia $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ în sens $ȘI$ ${\ displaystyle E}$ $ȘI$ iar circumferința la punct $F.$ ${\ displaystyle F}$ $F.$ astfel încât $ȘI F.$ ${\ displaystyle EF}$ $EF$ este congruent cu raza circumferinței. Pentru $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ trasăm linia dreaptă și paralel cu $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ , care intersectează circumferința la $X$ ${\ displaystyle X}$ $X$ . Unghiul XÂB este a treia parte a unghiului dat.

Figura 5: Metoda de trisecție a lui Arhimede

Hp: $EF\cong AF\cong AB\cong AC$ ${\ displaystyle EF \ cong AF \ cong AB \ cong AC}$ ${\ displaystyle EF \ cong AF \ cong AB \ cong AC}$

Th: XÂB $\cong \left({\frac {1}{3}}\right)$ ${\ displaystyle \ cong \ left ({\ frac {1} {3}} \ right)}$ $\ cong \ left ({\ frac {1} {3}} \ right)$ TAXI

Demonstrație

Observați că, prin construcție, cele două triunghiuri $ȘI F. LA$ ${\ displaystyle EFA}$ ${\ displaystyle EFA}$ Și $C. LA F.$ ${\ displaystyle CAF}$ ${\ displaystyle CAF}$ sunt isosceli. Mai ales partea $ȘI F.$ ${\ displaystyle EF}$ $EF$ este congruent lateral $LA F.$ ${\ displaystyle AF}$ $AF$ pentru că ea a luat linia $c$ ${\ displaystyle c}$ $c$ în așa fel încât distanța dintre punctul de intersecție a acelei linii cu linia $b$ ${\ displaystyle b}$ $b$ iar punctul de intersecție cu circumferința era egal cu raza; în timp ce lateralul $LA F.$ ${\ displaystyle AF}$ $AF$ este congruent lateral $LA C.$ ${\ displaystyle AC}$ $B.C$ deoarece ambele spițe ale aceleiași circumferințe.

Din aceasta rezultă că

(22) FÊA

\cong

{\ displaystyle \ cong}

\ cong

FÂE

(23) AĈF

\cong

{\ displaystyle \ cong}

\ cong

AFC

Mai mult, unghiul CÂB este unghiul extern al triunghiului $ȘI LA C.$ ${\ displaystyle EAC}$ ${\ displaystyle EAC}$ prin urmare

(24) CÂB

\cong

{\ displaystyle \ cong}

\ cong

FÊA + AĈF

La rândul său, AĈF este congruent cu unghiul $LA F. C.$ ${\ displaystyle AFC}$ ${\ displaystyle AFC}$ , care este colțul exterior al triunghiului $ȘI F. LA$ ${\ displaystyle EFA}$ ${\ displaystyle EFA}$ prin urmare

(25) AFC

\cong

{\ displaystyle \ cong}

\ cong

FÊA + FÂE

\cong

{\ displaystyle \ cong}

\ cong

2 FÊA

Combinând relațiile (24) și (25) obținem

(26) CÂB

\cong

{\ displaystyle \ cong}

\ cong

FÊA +2 FÊA = 3 FÊA

Sau

(27) FÊA

\cong {1 \over 3}

{\ displaystyle \ cong {1 \ peste 3}}

\ cong {1 \ peste 3}

TAXI

Pe de altă parte, EF // AX (tăiat de b transversală) și unghiurile FÊA și XÂB sunt unghiuri corespunzătoare și, prin urmare,

(28) FÊA

\cong

{\ displaystyle \ cong}

\ cong

XÂB

Comparând relațiile (27) și (28) pe care le obținem

(29) XÂB

\cong {1 \over 3}

{\ displaystyle \ cong {1 \ peste 3}}

\ cong {1 \ peste 3}

TAXI

cvd

Soluții cu utilizarea conicelor

De la moartea lui Apollonius în jurul anului 190 î.Hr., geometria clasică nu mai găsise niciun sprijin. Cu toate acestea, în timpul domniei lui Dioclețian (284-305), un om de știință animat de spiritul care îl posedase pe Euclid, Arhimede și Apollonius a trăit în Alexandria: Pappus din Alexandria (290-350 d.Hr.) care, în jurul anului 320 d.Hr., a compus o lucrare, în 8 cărți, intitulată Colecția matematică . Această lucrare este foarte importantă deoarece ne oferă o documentație istorică valoroasă referitoare la unele aspecte ale matematicii grecești care altfel ar fi rămas necunoscute. Colecția conține, de asemenea, dovezi alternative și leme suplimentare referitoare la teoremele lui Euclid, Arhimede, Apollonius și Ptolemeu. În cele din urmă, tratatul prezintă noi descoperiri și generalizări care nu pot fi găsite în nicio lucrare anterioară. Foarte importantă este Cartea III în care Pappus face o distincție clară între problemele „plate”, „solide” și „liniare”: prima poate fi construită doar cu cercuri și linii drepte, cea din urmă poate fi rezolvată prin utilizarea secțiunilor conice și Ultimul tip de problemă necesită alte curbe decât linii, cercuri și conice. În special, problema trisecției unghiului este prezentată ca o problemă de al doilea tip, adică ca o problemă solidă și Pappo însuși sugerează câteva metode de rezoluție folosind secțiuni conice. Colecția matematică a lui Pappo este ultimul tratat matematic cu adevărat semnificativ din antichitate, deoarece încercarea sa de a restabili o nouă vitalitate geometriei nu a fost încununată de succes. Lucrările matematice au continuat să fie scrise în greacă timp de încă un mileniu, dar autorii care au venit după Pappus nu au ajuns niciodată la nivelul său. Lucrările lor au aproape exclusiv forma de comentariu la tratatele anterioare.

Soluția lui Pappo

Pappus rezolvă problema trisecției folosind conice, dar făcând referire la o idee a lui Apollonius. Ideea de la care a plecat Pappo este următoarea: stabiliți o linie $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , doriți să determinați locul punctelor $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pentru care se ține următoarea relație: 2 x PÂB = PBA

Să ne uităm la următoarele cifre:

Se poate arăta că acest locus geometric este o hiperbolă cu excentricitate 2, un focus în B și axa segmentului ca directoare $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ (vezi figura din stânga). Luand in considerare $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ ca centru, desenăm un cerc care trece prin A și B; dacă construim o hiperbolă cu excentricitate 2, concentrați-vă în $B.$ ${\ displaystyle B}$ $B.$ și directrix axa lui $LA B.$ ${\ displaystyle AB}$ $AB$ , această hiperbolă intersectează cercul în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Segmentul $P. SAU$ ${\ displaystyle PO}$ ${\ displaystyle PO}$ triseca unghiul AÔB . Pentru a demonstra acest lucru, observăm că, din proprietățile hiperbolei descrise, 2 x PÂB = PBA . Dar un unghi în centru este dublu față de circumferința care insistă pe același arc, prin urmare:

2 x PÂB = PÔB (ambele insistă asupra arcului

P. B.

{\ displaystyle PB}

PB

)

Și

2 x PBA = PÔA (ambele insistă asupra arcului

P. LA

{\ displaystyle PA}

{\ displaystyle PA}

)

Unind cele două relații obținem 2 x PÔB = PÔA care este unghiul PÔB este a treia parte a unghiului BÔA .

cvd

Soluție cu utilizarea concoidei Nicomedes

Nicomedes a trăit în același timp cu Arhimede (în secolul al II-lea î.Hr.) și a produs celebra curbă concoidă (coajă în greacă)

Să fixăm un punct $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ (numit pol) și o linie dreaptă $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ îndepărtat $d$ ${\ displaystyle d}$ $d$ din $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ . Să luăm în considerare o a doua linie care trece prin $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ , care intersectează linia $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ în $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ . Pe această linie, de ambele părți cu privire la $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ desprindem două segmente $AP=AP'$ ${\ displaystyle AP = AP '}$ ${\ displaystyle AP = AP '}$ fiecare în lungime $k$ ${\ displaystyle k}$ $k$ . Locul punctelor $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ Și ${P.}^{'}$ ${\ displaystyle P '}$ $P '$ obținută prin rotirea liniei cu $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ se numește tocmai concoidul lui Nicomedes. Partea descrisă de cel mai îndepărtat punct publicitar $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ (acesta este $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ ) se numește ramura externă a concoidului; cealaltă parte ramură internă . Punând ideea $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ la originea unui sistem de axe cartesiană $X SAU y$ ${\ displaystyle xOy}$ ${\ displaystyle xOy}$ și luând linia m paralelă cu axa $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ , având astfel ecuație $x=a$ ${\ displaystyle x = a}$ $x = a$ , ecuația cartesiană a curbei este:

(x^{2}+y^{2})(x-d)^{2}=k^{2}x^{2}.

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (xd) ^ {2} = k ^ {2} x ^ {2}.}

{\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) (x-d) ^ {2} = k ^ {2} x ^ {2}.}

Dacă, pe de altă parte, sistemul de referință este un sistem polar, ecuația devine

\rho ={\frac {d}{\cos \theta }}+k.

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {d} {\ cos \ theta}} + k.}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {d} {\ cos \ theta}} + k.}

În schimb, ecuațiile parametrice sunt:

{\begin{cases}x=d+k\cos \theta \\y=d\tan \theta +k\sin \theta .\end{cases}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = d + k \ cos \ theta \\ y = d \ tan \ theta + k \ sin \ theta. \ end {cases}}}

{\ displaystyle {\ begin {cases} x = d + k \ cos \ theta \\ y = d \ tan \ theta + k \ sin \ theta. \ end {cases}}}

Trisecția colțului

Curba poate fi utilizată pentru a rezolva problema trisecției colțurilor. Fie ca AÔB să fie orice unghi; dintr-un punct arbitrar $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ de lateral $SAU B.$ ${\ displaystyle OB}$ $OB$ conducem perpendicularul $L D.$ ${\ displaystyle LD}$ ${\ displaystyle LD}$ în lateral $SAU LA$ ${\ displaystyle OA}$ ${\ displaystyle OA}$ și ia în considerare concoida liniei $L D.$ ${\ displaystyle LD}$ ${\ displaystyle LD}$ cu privire la stâlp $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ de constantă $k=2OL$ ${\ displaystyle k = 2OL}$ ${\ displaystyle k = 2OL}$ . Paralela cu $SAU LA$ ${\ displaystyle OA}$ ${\ displaystyle OA}$ , iesind din $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ intalneste ramura exterioara a concoidei in $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ . A te alatura $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ cu $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și dovedim asta

AÔC =

{1 \over 3}

{\ displaystyle {1 \ peste 3}}

{1 \ peste 3}

AÔB

Demonstrație

Noi sunam $Nu.$ ${\ displaystyle N}$ $Nu.$ punctul de intersecție al $SAU C.$ ${\ displaystyle OC}$ $OC$ cu $L D.$ ${\ displaystyle LD}$ ${\ displaystyle LD}$ și $M.$ ${\ displaystyle M}$ $M.$ punctul de mijloc al $C. Nu.$ ${\ displaystyle CN}$ ${\ displaystyle CN}$ . Prin definiția conchoidului, acesta va fi:

CN=k=2OL

{\ displaystyle CN = k = 2OL}

{\ displaystyle CN = k = 2OL}

prin urmare

CM=MN=OL={k \over 2}.

{\ displaystyle CM = MN = OL = {k \ peste 2}.}

{\ displaystyle CM = MN = OL = {k \ peste 2}.}

Pe de altă parte $Nu. L C.$ ${\ displaystyle NLC}$ ${\ displaystyle NLC}$ atunci este un unghi drept $L M.$ ${\ displaystyle LM}$ ${\ displaystyle LM}$ , ca mediană relativă la hipotenuză $C. Nu.$ ${\ displaystyle CN}$ ${\ displaystyle CN}$ a triunghiului dreptunghiular $C. L Nu.$ ${\ displaystyle CLN}$ ${\ displaystyle CLN}$ , este jumătate din hipotenuză însăși, adică

LM = NM = OL .

Rezultă că triunghiurile $L SAU M.$ ${\ displaystyle LOM}$ ${\ displaystyle LOM}$ , $L M. C.$ ${\ displaystyle LMC}$ ${\ displaystyle LMC}$ Și $L M. Nu.$ ${\ displaystyle LMN}$ ${\ displaystyle LMN}$ sunt isosceli și, prin urmare:

LÔM = NML = 2 LĈM

Dar LCM = COA deoarece alternați interioare și, prin urmare, LÔM = 2 CÔA sau, de asemenea

BÔA = LÔA = 3 CÔA .

cvd

Soluție cu utilizarea trisectorului lui Mac Laurin

Această curbă a fost studiată de Colin Maclaurin în 1742. La fel ca alte curbe oferă o soluție la problema trisecției. Numele de trisector în sine apare tocmai din faptul că poate fi folosit pentru trisectarea colțurilor. Trisectorul este o familie de curbe algebrice de ordinul 3, adică de curbe cubice, în special, acestea sunt cubice cu un nod; tangențele din acest punct sunt înclinate cu ± 60 ° față de axa curbei. Zona buclei este valabilă și distanța originii de la punctul în care curba taie axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ Și $3a$ ${\ displaystyle 3a}$ ${\ displaystyle 3a}$ . Ecuația sa carteziană este

y^{2}\left(a+x\right)=x^{2}\left(3a-x\right).

{\ displaystyle y ^ {2} \ left (a + x \ right) = x ^ {2} \ left (3a-x \ right).}

{\ displaystyle y ^ {2} \ left (a + x \ right) = x ^ {2} \ left (3a-x \ right).}

Ecuațiile parametrice sunt:

\left\{{\begin{matrix}x=a{\frac {t^{2}-3}{t^{2}+1}}&{\mbox{ }}\\y=a{\frac {t\left(t^{2}-3\right)}{t^{2}+1}}&{\mbox{ }}\end{matrix}}\right.

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = a {\ frac {t ^ {2} -3} {t ^ {2} +1}} & {\ mbox {}} \\ y = a {\ frac {t \ left (t ^ {2} -3 \ right)} {t ^ {2} +1}} și {\ mbox {}} \ end {matrix}} \ right.}

{\ displaystyle \ left \ {{\ begin {matrix} x = a {\ frac {t ^ {2} -3} {t ^ {2} +1}} & {\ mbox {}} \\ y = a {\ frac {t \ left (t ^ {2} -3 \ right)} {t ^ {2} +1}} și {\ mbox {}} \ end {matrix}} \ right.}

În timp ce ecuația polară este următoarea:

\rho ={\frac {2\alpha \sin \left(3\theta \right)}{\sin \left(2\theta \right)}}.

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {2 \ alpha \ sin \ left (3 \ theta \ right)} {\ sin \ left (2 \ theta \ right)}}.}

{\ displaystyle \ rho = {\ frac {2 \ alpha \ sin \ left (3 \ theta \ right)} {\ sin \ left (2 \ theta \ right)}}.}

Figura arată trisectorul MacLaurin cu un nod în origine și în cele două cazuri $a>0$ ${\ displaystyle a> 0}$ $a> 0$ (stânga) e $a<0$ ${\ displaystyle a <0}$ $a <0$ (La dreapta).

Să presupunem că avem un trisector cu un nod la origine care taie axa $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ în sens $(-3,0)$ ${\ displaystyle (-3.0)}$ ${\ displaystyle (-3.0)}$ , și așa să fie $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ oriunde pe bucla curbei. Unghiul format de puncte $[(-3,0),(-2,0),P]$ ${\ displaystyle [(-3.0), (- 2.0), P]}$ ${\ displaystyle [(-3.0), (- 2.0), P]}$ este triplul unghiului format de puncte $[(-2,0),(0,0),P]$ ${\ displaystyle [(-2.0), (0.0), P]}$ ${\ displaystyle [(-2.0), (0.0), P]}$ .

Soluție folosind melcul (sau melcul) lui Pascal

Blaise Pascal , a fost un minune matematic. Tatăl său avea, de asemenea, o înclinație notabilă pentru matematică; Melcul sau melcul lui Pascal își ia numele de la tatăl său Étienne Pascal , care l-a studiat. Această curbă era cunoscută de antici ca fiind concoida cercului, dar Etienne Pascal a făcut un studiu atât de amănunțit, încât și-a luat numele de atunci.

Să luăm în considerare curba locusului geometric al punctelor $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ astfel încât date două puncte $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ Și $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ în triunghi $LA SAU P.$ ${\ displaystyle AOP}$ ${\ displaystyle AOP}$ , unghiul în $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ este dublu decât în $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . Așezăm axele carteziene cu originea în $SAU$ ${\ displaystyle O}$ $SAU$ și lateral $SAU LA$ ${\ displaystyle OA}$ ${\ displaystyle OA}$ a triunghiului $SAU LA P.$ ${\ displaystyle OAP}$ ${\ displaystyle OAP}$ pe axa absciselor. Din centru tragem orice linie dreaptă înclinată de $2\alpha$ ${\ displaystyle 2 \ alpha}$ ${\ displaystyle 2 \ alpha}$ și din punct de vedere $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ o linie înclinată de $3\alpha$ ${\ displaystyle 3 \ alpha}$ ${\ displaystyle 3 \ alpha}$ , un punct comun acestor două linii este un punct $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ a locului geometric căutat.

Conducem bisectoarea unghiului AÔB și lăsăm $H.$ ${\ displaystyle H}$ $H.$ punctul de întâlnire al bisectoarei cu $LA P.$ ${\ displaystyle AP}$ ${\ displaystyle AP}$ , da

OPA = α = HÔP = AÔH

Și

OĤA = PÔA = 2α

De aici și cele două triunghiuri $SAU LA H.$ ${\ displaystyle OAH}$ ${\ displaystyle OAH}$ Și $P. LA SAU$ ${\ displaystyle PAO}$ $PAO$ sunt asemănătoare, prin urmare:

{\frac {OA}{AH}}={\frac {AP}{OA}}={\frac {PO}{HO}}

{\ displaystyle {\ frac {OA} {AH}} = {\ frac {AP} {OA}} = {\ frac {PO} {HO}}}

{\ frac {OA} {AH}} = {\ frac {AP} {OA}} = {\ frac {PO} {HO}}

de la care

AH={\frac {OA^{2}}{AP}}

{\ displaystyle AH = {\ frac {OA ^ {2}} {AP}}}

AH = {\ frac {OA ^ {2}} {AP}}

HP=OH={\frac {(AO)(PO)}{AP}}

{\ displaystyle HP = OH = {\ frac {(AO) (PO)} {AP}}}

HP = OH = {\ frac {(AO) (PO)} {AP}}

Prin urmare

AH+HP=AP={\frac {OA^{2}}{AP}}+{\frac {(AO)(PO)}{AP}},

{\ displaystyle AH + HP = AP = {\ frac {OA ^ {2}} {AP}} + {\ frac {(AO) (PO)} {AP}},}

{\ displaystyle AH + HP = AP = {\ frac {OA ^ {2}} {AP}} + {\ frac {(AO) (PO)} {AP}},}

pentru care

AP^{2}=OA^{2}+OA\cdot OP

{\ displaystyle AP ^ {2} = OA ^ {2} + OA \ cdot OP}

{\ displaystyle AP ^ {2} = OA ^ {2} + OA \ cdot OP}

Si deasemenea

AP^{2}=OA(OA+OP).

{\ displaystyle AP ^ {2} = OA (OA + OP).}

{\ displaystyle AP ^ {2} = OA (OA + OP).}

Referindu-ne la coordonatele pe care le avem:

\left(x-a\right)^{2}+y^{2}=a\left(a+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)

{\ displaystyle \ left (xa \ right) ^ {2} + y ^ {2} = a \ left (a + {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}

{\ displaystyle \ left (x-a \ right) ^ {2} + y ^ {2} = a \ left (a + {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ right)}

x^{2}+a^{2}-2ax+y^{2}=a^{2}+a{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

{\ displaystyle x ^ {2} + a ^ {2} -2ax + y ^ {2} = a ^ {2} + a {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}}

x ^ {2} + a ^ {2} -2ax + y ^ {2} = a ^ {2} + a {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}

\left(x^{2}+y^{2}-2ax\right)^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right),

{\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} -2ax \ right) ^ {2} = a ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right), }

{\ displaystyle \ left (x ^ {2} + y ^ {2} -2ax \ right) ^ {2} = a ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right), }

care este ecuația carteziană a melcului lui Pascal. Prin urmare, rezultă că PÂX = OPA .

Soluție folosind spirala Arhimede

Arhimede, la fel ca predecesorii săi, a fost atras de cele trei celebre probleme ale geometriei: celebra sa spirală a oferit soluția la două dintre aceste probleme. Spirala este definită ca locul plat al unui punct care, începând de la capătul unei raze sau jumătate de linie, se mișcă uniform de-a lungul acestei raze, în timp ce raza la rândul său se rotește uniform în jurul capătului său. Exprimată în coordonate polare, ecuația spirală este

r=a\theta .

{\ displaystyle r = a \ theta.}

{\ displaystyle r = a \ theta.}

Având în vedere o astfel de spirală, trisecția unui unghi se realizează cu ușurință. Unghiul este dispus astfel încât vârful și una dintre laturi să coincidă cu punctul de plecare al spiralei și cu poziția de plecare a razei rotative. Cealaltă parte a colțului va intersecta spirala într-un punct care localizează un segment lung pe această parte $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ (Vezi figura). Urmărim circumferința cu centrul la origine și raza egală cu $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ , această circumferință identifică un segment pe axa lui $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ . Împărțim acest segment în trei părți și desenăm arcuri de circumferință cu centrul la origine și raza egală cu $2R/3$ ${\ displaystyle 2R / 3}$ ${\ displaystyle 2R / 3}$ Și $R/3$ ${\ displaystyle R / 3}$ $R / 3$ , aceste arcuri intersectează spirala în două puncte care identifică cele două linii care trisecano unghiul de pornire. Cu această metodă fiecare colț poate fi împărțit în orice număr de părți egale.

Bibliografie

( EN ) Martin Gardner , How to Trisect an Angle , în Carnavalul matematic , 1992, pp. 255-265.

Alte proiecte

Wikimedia Commons conține imagini sau alte fișiere pe trisecția colțurilor

linkuri externe

(EN) Eric W. Weisstein, Trisecția unghiului în MathWorld Wolfram Research.
( EN ) Trisecția unghiului de către Arhimede din Siracuza
( EN ) Trisecția unghiului de la Centrul de Geometrie

Controlul autorității	LCCN ( EN ) sh85137916

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

Trisecția colțului

Problema

Construcție cu riglă și busolă

Trisecția unui unghi drept și a unui unghi de mπ / 2 k

Trisecție cu utilizarea unei rigle gradate

Metoda lui Nicomedes

Metoda lui Arhimede

Demonstrație

Soluții cu utilizarea conicelor

Soluția lui Pappo

Soluție cu utilizarea concoidei Nicomedes

Trisecția colțului

Demonstrație

Soluție cu utilizarea trisectorului lui Mac Laurin

Soluție folosind melcul (sau melcul) lui Pascal

Soluție folosind spirala Arhimede

Bibliografie

Alte proiecte

linkuri externe

Trisecția unui unghi drept și a unui unghi de mπ / 2 ^k