Ecuația căldurii

În analiza matematică , ecuația căldurii, numită ecuație de difuzie, este o ecuație diferențială parțială care își găsește diferite aplicații în științele : de exemplu , în fizica ea modelează temperatură tendința într - o regiune de spațiu-timp în condiții adecvate, și în chimia tendință a concentrației chimice a unei specii.

De Condițiile Dirichlet reprezintă situații în care temperatura la limita de domeniu are un cunoscut o tendință a priori, de exemplu , pentru că este menținut constant cu un termostat, la condițiile Neumann reprezintă situații în care fluxul de căldură pe limita domeniului este cunoscute a priori, în timp ce Robin (sau radiație) condițiile reprezintă situații în care se presupune a fi o legătură între fluxul de căldură de la marginea și valoarea temperaturii la margine.

Poziția bună a problemelor asociate cu ecuația căldurii rezultă de asemenea din analiza poziției bună a unei probleme parabolică , a cărei ecuație este un exemplu clasic.

Definiție

Este $u=u(x,t):{\bar {U}}\times [0,\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ Displaystyle u = u (x, t): {\ bar {U}} \ ori [0, \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle u = u (x, t): {\ bar {U}} \ ori [0, \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ o funcție , în care ${\bar {U}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {U}}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {U}}}$ este închiderea întregului $U$ ${\ displaystyle U}$ $U$ din $\mathbb {R} ^{n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . Ecuația căldurii are forma:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-a\nabla ^{2}u=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} - a \ nabla ^ {2} u = 0}

unde este ${\frac {\partial u}{\partial t}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ u parțial} {\ t parțial}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ u parțial} {\ t parțial}}}$ denotă derivata parțială a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în ceea ce privește timpul, $\nabla ^{2}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2}}$ $\ nabla ^ 2$ denotă Laplacianul în ceea ce privește variabila $x=(x_{1},\dots ,x_{n})\in U$ ${\ Displaystyle x = (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ U}$ ${\ Displaystyle x = (X_ {1}, \ dots, X_ {n}) \ U}$ Și $la$ ${\ displaystyle a}$ $la$ este o constantă pozitivă. Acesta poate fi explicat ca:

{\frac {\partial u}{\partial t}}-a\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\dots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}\right)=0

{\ Displaystyle {\ frac {\ u parțial} {\ t parțial}} - o \

din

stânga ({\ frac {\ parțial ^ {2} u} {\ parțial X_ {1} ^ {2}}} + \ puncte + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ parțial X_ {n} ^ {2}}} \ dreapta) = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {\ u parțial} {\ t parțial}} - o \ din stânga ({\ frac {\ parțial ^ {2} u} {\ parțial X_ {1} ^ {2}}} + \ puncte + {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ parțial X_ {n} ^ {2}}} \ dreapta) = 0}

Ecuația căldurii neomogen pentru $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ , De asemenea , cunoscut sub numele de reactie-difuzie , are forma: ^[1]

u_{t}-a\nabla ^{2}u=f(x,t)

{\ Displaystyle u_ {t} -a \ nabla ^ {2} u = f (x, t)}

{\ Displaystyle u_ {t} -a \ nabla ^ {2} u = f (x, t)}

unde este $f:U\times [0,\infty )\to \mathbb {R}$ ${\ F displaystyle: U \ ori [0, \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ ${\ F displaystyle: U \ ori [0, \ infty) \ a \ mathbb {R}}$ este o anumită funcție.

Separarea variabilelor într - o singură dimensiune

Mai jos este o problemă Cauchy-Dirichlet care modelează un caz fizic simplu. Să presupunem că avem o bară de unitate de lungime a cărei rază este neglijabilă în raport cu lungimea sa, astfel încât să facă problema o singură dimensiune. Setați constanta termenul de difuzie și unitar, și eliminarea condițiilor privind transportul și reacțiile interne, astfel încât să reducă ecuația la forma:

y_{t}-y_{xx}=0

{\ Displaystyle y_ {t} -y_ {xx} = 0}

{\ Displaystyle y_ {t} -y_ {xx} = 0}

cu $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la care vor fi impuse condiții adecvate de regularitate. Prin stabilirea valorilor la limită, în scopul de a menține cele două capete ale barei la o temperatură constantă, prin fixarea distribuției inițiale a temperaturii, problema este, prin urmare, bine definită:

{\begin{cases}y_{t}(x,t)-y_{xx}(x,t)=0\quad (x,t)\in [0,1]\times [0,+\infty ]\\y(x,0)=x\quad x\in [0,1]\\y(0,t)=y(1,t)=0\qquad t>0\end{cases}}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} y_ {t} (x, t) -y_ {xx} (x, t) = 0 \ quad (x, t) \ in [0,1] \ ori [0, + \ infty] \\ y (x, 0) = x \ quad x \ in [0,1] \\ y (0, t) = y (1, t) = 0 \ prototipurilor t> 0 \ end {cazuri} }}

{\ Displaystyle {\ begin {cazuri} y_ {t} (x, t) -y_ {xx} (x, t) = 0 \ quad (x, t) \ in [0,1] \ ori [0, + \ infty] \\ y (x, 0) = x \ quad x \ in [0,1] \\ y (0, t) = y (1, t) = 0 \ prototipurilor t> 0 \ end {cazuri} }}

Dorim să utilizeze metoda de separare variabile . Pentru a face acest lucru aveți nevoie pentru a scrie $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ ca un produs de două funcții, una dintre spațiu și un timp:

y(x,t)=X(x)T(t)\

{\ Displaystyle y (x, t) = X (x) T (t) \}

{\ Displaystyle y (x, t) = X (x) T (t) \}

și introdus în ecuația prevede:

{\frac {T'}{T}}={\frac {X''}{X}}\

{\ Displaystyle {\ frac {T '} {T}} = {\ frac {X' „} {X}} \}

{\ Displaystyle {\ frac {T '} {T}} = {\ frac {X' „} {X}} \}

fiind indicat cu „prim“ derivata obișnuită a celor două funcții în raport cu variabila lor definiție. Cei doi termeni de egalitate sunt funcții de două variabile diferite, prin urmare, singura cale pentru egalitate să existe pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și pentru fiecare $X$ ${\ displaystyle x}$ $X$ este că ambii termeni sunt egale cu o constantă, numită $\lambda$ ${\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ .

Două ecuații diferențiale ordinare pot fi generate pentru cele două funcții separate. Cel din variabila timp are forma:

T'(t)=\lambda T(t)\

{\ T displaystyle „(t) = \ lambda T (t) \}

{\ T displaystyle „(t) = \ lambda T (t) \}

și integrate oferă imediat:

T(t)=T(0)e^{\lambda t}\

{\ Displaystyle T (t) = T (0) și ^ {\ lambda t} \}

{\ Displaystyle T (t) = T (0) și ^ {\ lambda t} \}

în timp ce pentru funcția spațială avem problema la limitele:

\left\{{\begin{matrix}X''(x)-\lambda X(x)=0\\X(0)=X(1)=0\\\end{matrix}}\right.

{\ Displaystyle \

din

stânga \ {{\ begin {matrix} X '' (x) - \ lambda X (x) = 0 \\ X (0) = X (1) = 0 \\\ end {matrix}} \ dreapta.}

{\ Displaystyle \ din stânga \ {{\ begin {matrix} X '' (x) - \ lambda X (x) = 0 \\ X (0) = X (1) = 0 \\\ end {matrix}} \ dreapta.}

Pentru a evita soluțiile triviale trebuie să fie $\lambda <0$ ${\ displaystyle \ lambda <0}$ ${\ Displaystyle \ lambda <0}$ Și integrarea ecuației avem:

X(x)={\frac {X'(0)}{\sqrt {-\lambda }}}\sin({\sqrt {-\lambda }}x)+X(0)\cos({\sqrt {-\lambda }}x)

{\ Displaystyle X (x) = {\ frac {X „(0)} {\ sqrt {- lambda \}}} \ sin ({\ sqrt {- \ lambda}} x) + X (0) \ cos ( {\ sqrt {- \ lambda}} x)}

{\ Displaystyle X (x) = {\ frac {X „(0)} {\ sqrt {- lambda \}}} \ sin ({\ sqrt {- \ lambda}} x) + X (0) \ cos ( {\ sqrt {- \ lambda}} x)}

Condițiile la marginea furniza $X(0)=0$ ${\ Displaystyle X (0) = 0}$ ${\ Displaystyle X (0) = 0}$ , $X'(0)$ ${\ X displaystyle „(0)}$ ${\ X displaystyle „(0)}$ arbitrară e $\lambda =-n^{2}\pi ^{2}$ ${\ Displaystyle \ lambda = ^ N {2} \ pi ^ {2}}$ ${\ Displaystyle \ lambda = ^ N {2} \ pi ^ {2}}$ . Coroborând rezultatele obținute, este posibil să spunem că fiecare funcție de forma:

y_{n}(x,t)=c_{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}t}\sin(n\pi x)

{\ Displaystyle y_ {n} (x, t) = C_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

{\ Displaystyle y_ {n} (x, t) = C_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

este formal soluția ecuației de pornire. Cu toate acestea, nici una dintre funcțiile din acea clasă satisfac datele inițiale. Prin exploatarea liniaritatea ecuației, o nouă soluție este apoi construit, combinația liniară a tuturor $y_{n}$ ${\ displaystyle y_ {n}}$ $y_ {n}$ :

y(x,t)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }c_{n}e^{-n^{2}\pi ^{2}t}\sin(n\pi x)

{\ Y displaystyle (x, t) = \ sum \ limite _ {n = 1} ^ {\ infty} C_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

{\ y displaystyle (x, t) = \ sum \ limite _ {n = 1} ^ {\ infty} C_ {n} e ^ {- n ^ {2} \ pi ^ {2} t} \ sin (n \ pi x)}

Soluția găsită cu metoda de separare variabilă satisface datul inițial în sensul $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ . De fapt, dacă dezvoltăm datul inițial într-o serie Fourier și set I $c_{n}$ ${\ displaystyle c_ {n}}$ $c_ {n}$ a soluției egal cu coeficienții de expansiune Fourier a originii inițiale, obținem, datorită inegalității Bessel , că $y(x,t)\longrightarrow x$ ${\ Displaystyle y (x, t) \ longrightarrow x}$ ${\ displaystyle y (x, t) \ longrightarrow x}$ în ideea de $L^{2}$ ${\ displaystyle L ^ {2}}$ $L ^ {2}$ pentru t care tinde la zero.

În cele din urmă, pentru a demonstra că aceasta este singura soluție, putem continua cu metoda de energie. Înmulțim ecuația de $y$ ${\ displaystyle y}$ $y$ la stânga și la dreapta și integrează în părți pe domeniul spațial, obținând:

{\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{0}^{1}y^{2}(x,t)\operatorname {d} x=-\int _{0}^{1}\left[{\partial y \over \partial x}(x,t)\right]^{2}\operatorname {d} x\leq 0

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x = - \ int _ {0} ^ {1} \ stânga [{\ y parțial \ x peste \ parțial} (x, t) \ right] ^ {2} \ operatorname {d} x \ leq 0}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x = - \ int _ {0} ^ {1} \ stânga [{\ y parțial \ x peste \ parțial} (x, t) \ right] ^ {2} \ operatorname {d} x \ leq 0}

Prin urmare, cantitatea $\int _{0}^{1}y^{2}(x,t)\operatorname {d} x$ ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x}$ ${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} y ^ {2} (x, t) \ operatorname {d} x}$ , Care este identificabilă cu energia sistemului, este pozitiv și în scădere. În cazul în care au existat acum $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și $v$ ${\ displaystyle v}$ $v$ ambele soluții ale ecuației, apoi, prin linearitate, de asemenea, $w=u-v$ ${\ Displaystyle w = uv}$ ${\ Displaystyle w = u-v}$ ar fi o soluție, cu zero date limită și zero a datelor inițiale. Dar apoi pentru $w$ ${\ displaystyle w}$ $w$ energia inițială este zero și, din moment ce trebuie să fie pozitiv și în scădere, în fiecare clipă de timp, avem:

\int _{0}^{1}(u(x,t)-v(x,t))^{2}\operatorname {d} x=0

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} (u (x, t) -v (x, t)) ^ {2} \ operatorname {d} x = 0}

{\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} (u (x, t) -v (x, t)) ^ {2} \ operatorname {d} x = 0}

de la care $u=v$ ${\ Displaystyle u = v}$ ${\ Displaystyle u = v}$ pentru fiecare $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ Și, prin urmare, soluția este unică.

lungimea de difuzie

În cazul difuzie unidimensional cu condiția Dirichlet pe $u(0,0)$ ${\ Displaystyle u (0,0)}$ ${\ Displaystyle u (0,0)}$ soluția devine:

u\left(x,t\right)=u(0,0)\,\mathrm {erfc} \left({\begin{matrix}{\frac {x}{\sqrt {4Dt}}}\end{matrix}}\right)

{\ Displaystyle u \ stânga (x, t \ dreapta) = u (0,0) \, \ mathrm {ERFC} \ stânga ({\ begin {matrix} {\ frac {x} {\ sqrt {4DT}}} \ end {matrix}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle u \ stânga (x, t \ dreapta) = u (0,0) \, \ mathrm {ERFC} \ stânga ({\ begin {matrix} {\ frac {x} {\ sqrt {4DT}}} \ end {matrix}} \ dreapta)}

.

în cazul în care ERFC este funcția de eroare complementară . Măreția ${\sqrt {4Dt}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {4DT}}}$ ${\ Displaystyle {\ sqrt {4DT}}}$ aceasta se numește lungime de difuzie ^[2] și oferă o măsură a cât de departe concentrația se poate propaga în direcția x ca funcție de timp t.