Ecuația diferențială parțială hiperbolică

În analiza matematică , o ecuație de ordine parțială hiperbolică $n$ ${\ displaystyle n}$ $n$ este o ecuație diferențială parțială care are o problemă de valoare inițială bine pusă pentru prima $n-1$ ${\ displaystyle n-1}$ $n-1$ derivat . Mai precis, problema Cauchy poate fi rezolvată local pentru orice dată inițială plasată în mod arbitrar de-a lungul oricărei suprafețe necaracteristice .

Multe ecuații ale mecanicii sunt hiperbolice, iar acest lucru se reflectă în interesul pentru studiul unor astfel de ecuații. Soluțiile ecuațiilor hiperbolice sunt „similare” undelor și, de fapt, ecuația hiperbolică de bază este ecuația undelor , care într-o dimensiune este:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = 0}

Proprietatea acestei ecuații este că dacă $u(x,t)$ ${\ displaystyle u (x, t)}$ $u (x, t)$ și derivatul său pentru prima dată sunt date inițiale specificate în mod arbitrar de-a lungul liniei inițiale $t=0$ ${\ displaystyle t = 0}$ $t = 0$ , atunci există o soluție tot timpul.

Dacă se introduce o perturbație în datele inițiale ale ecuației diferențiale hiperbolice, atunci nu toate punctele din spațiu sunt afectate de perturbație împreună. Relativ la o coordonată de timp, de fapt, perturbațiile au o viteză de propagare finită și se deplasează de-a lungul uneia dintre caracteristicile ecuației. Aceasta distinge calitativ ecuațiile diferențiale parțiale hiperbolice de cele eliptice și parabolice . O perturbare a datelor inițiale sau a limitei unei ecuații eliptice sau parabolice este de fapt imediat afectată în toate punctele domeniului.

Deși definiția hiperbolicității este fundamental calitativă, există criterii precise care depind de tipul ecuației diferențiale luate în considerare. Există o teorie bine dezvoltată asupra operatorilor diferențiali liniari datorită lui Lars Gårding în contextul analizei microlocale . Ecuațiile diferențiale neliniare sunt hiperbolice dacă liniarizările lor sunt hiperbolice conform lui Gårding.

Definiție

O ecuație diferențială parțială este hiperbolică $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ dacă problema Cauchy nu poate fi rezolvată decât într-un cartier al $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ pentru fiecare dată inițială plasată pe o suprafață necaracteristică care trece prin $P.$ ${\ displaystyle P}$ $P.$ . ^[1] Aici datele inițiale constau din toate derivatele transversale de pe suprafață până la ordinea de sub cea a ecuației.

Exemple

Cu o schimbare liniară a variabilelor, fiecare ecuație a formei:

A{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+B{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}}+C{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\text{(termini di grado inferiore)}}=0

{\ displaystyle A {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + B {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x \ partial y}} + C {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ text {(termeni de grad inferior)}} = 0}

{\ displaystyle A {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} + B {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x \ partial y}} + C {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial y ^ {2}}} + {\ text {(termeni de grad inferior)}} = 0}

cu:

B^{2}-4AC>0

{\ displaystyle B ^ {2} -4AC> 0}

{\ displaystyle B ^ {2} -4AC> 0}

poate fi transformat în ecuația undei, în afară de termenii de grad inferior care nu sunt esențiali pentru studiul calitativ al ecuației. ^[2] Această definiție este analogă cu cea a unei hiperbole din plan.

Ecuația de undă unidimensională:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = 0}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial x ^ {2}}} - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = 0}

este un exemplu de ecuație hiperbolică. Chiar și exemple polidimensionale (cum ar fi cazul general $\nabla ^{2}u-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} u - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = 0}$ ${\ displaystyle \ nabla ^ {2} u - {\ frac {1} {v ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} u} {\ partial t ^ {2}}} = 0}$ ) se încadrează în categoria EDP hiperbolici.

Acest tip de ecuație de ordinul doi poate fi transformat într-un sistem hiperbolic de ecuații diferențiale de ordinul întâi. ^[3]

Sistem hiperbolic

Luați în considerare sistemul de $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ ecuații diferențiale de ordinul întâi pentru $s$ ${\ displaystyle s}$ $s$ funcții necunoscute:

{\vec {u}}=(u_{1},\ldots ,u_{s})\qquad {\vec {u}}={\vec {u}}({\vec {x}},t)\quad {\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{d}

{\ displaystyle {\ vec {u}} = (u_ {1}, \ ldots, u_ {s}) \ qquad {\ vec {u}} = {\ vec {u}} ({\ vec {x}} , t) \ quad {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}

{\ displaystyle {\ vec {u}} = (u_ {1}, \ ldots, u_ {s}) \ qquad {\ vec {u}} = {\ vec {u}} ({\ vec {x}} , t) \ quad {\ vec {x}} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}

dat de:

{\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\vec {f^{j}}}({\vec {u}})=0\qquad {\vec {f^{j}}}\in C^{1}(\mathbb {R} ^{s},\mathbb {R} ^{s})\quad j=1,\ldots ,d

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j} }} {\ vec {f ^ {j}}} ({\ vec {u}}) = 0 \ qquad {\ vec {f ^ {j}}} \ în C ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {s}, \ mathbb {R} ^ {s}) \ quad j = 1, \ ldots, d}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ vec {u}}} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j} }} {\ vec {f ^ {j}}} ({\ vec {u}}) = 0 \ qquad {\ vec {f ^ {j}}} \ în C ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {s}, \ mathbb {R} ^ {s}) \ quad j = 1, \ ldots, d}

unde este ${\vec {f^{j}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f ^ {j}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f ^ {j}}}}$ sunt funcții continue și odată diferențiate , nu neapărat liniare . Definind pentru fiecare ${\vec {f^{j}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f ^ {j}}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f ^ {j}}}}$ o matrice $s\times s$ ${\ displaystyle s \ times s}$ ${\ displaystyle s \ times s}$ matricea:

A^{j}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{1}^{j}}{\partial u_{s}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial f_{s}^{j}}{\partial u_{s}}}\end{pmatrix}}

{\ displaystyle A ^ {j}: = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ partial u_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ partial u_ {s}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ partial u_ { 1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ partial u_ {s}}} \ end {pmatrix}}}

{\ displaystyle A ^ {j}: = {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ partial u_ {1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {1} ^ {j}} {\ partial u_ {s}}} \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ partial u_ { 1}}} & \ cdots & {\ frac {\ partial f_ {s} ^ {j}} {\ partial u_ {s}}} \ end {pmatrix}}}

se spune că sistemul este hiperbolic dacă pentru fiecare $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{d}\in \mathbb {R}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {d} \ in \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {d} \ in \ mathbb {R}}$ matricea $A:=\alpha _{1}A^{1}+\cdots +\alpha _{d}A^{d}$ ${\ displaystyle A: = \ alpha _ {1} A ^ {1} + \ cdots + \ alpha _ {d} A ^ {d}}$ ${\ displaystyle A: = \ alpha _ {1} A ^ {1} + \ cdots + \ alpha _ {d} A ^ {d}}$ are doar valori proprii reale și este diagonalizabilă .

Dacă matricea $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ are valori proprii reale distincte, deci este diagonalizabilă. În acest caz, sistemul $(*)$ ${\ displaystyle (*)}$ ${\ displaystyle (*)}$ se numește hiperbolic în sens strict .

Sisteme hiperbolice și legi de conservare

Există o legătură între sistemele hiperbolice și legile de conservare . Luați în considerare un sistem hiperbolic al unui EDP pentru o funcție necunoscută $u=u({\vec {x}},t)$ ${\ displaystyle u = u ({\ vec {x}}, t)}$ ${\ displaystyle u = u ({\ vec {x}}, t)}$ . Apoi, sistemul hiperbolic anterior ia forma:

\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{f^{j}}(u)=0

{\ displaystyle \ quad {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} {f ^ {j}} (u) = 0}

{\ displaystyle \ quad {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} + \ sum _ {j = 1} ^ {d} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} {f ^ {j}} (u) = 0}

Functia $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ poate fi o anumită cantitate cu un flux dat ${\vec {f}}=(f^{1},\ldots ,f^{d})$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} = (f ^ {1}, \ ldots, f ^ {d})}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}} = (f ^ {1}, \ ldots, f ^ {d})}$ . Pentru a arăta că această cantitate este conservată, este necesar să se integreze pe un domeniu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$

\int _{\Omega }{\frac {\partial u}{\partial t}}d\Omega +\int _{\Omega }\nabla \cdot {\vec {f}}(u)d\Omega =0

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} d \ Omega + \ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot {\ vec {f}} (u) d \ Omega = 0}

{\ displaystyle \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ partial u} {\ partial t}} d \ Omega + \ int _ {\ Omega} \ nabla \ cdot {\ vec {f}} (u) d \ Omega = 0}

De sine $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ Și ${\vec {f}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}}}$ ${\ displaystyle {\ vec {f}}}$ sunt funcții suficient de netede, teorema divergenței poate fi utilizată pentru a schimba ordinea integrării și a derivatei parțiale în raport cu timpul pentru a obține o lege de conservare a cantității $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în forma generală:

{\frac {d}{dt}}\int _{\Omega }ud\Omega +\int _{\partial \Omega }{\vec {f}}(u)\cdot {\vec {n}}d\Gamma =0

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} ud \ Omega + \ int _ {\ partial \ Omega} {\ vec {f}} (u) \ cdot {\ vec {n }} d \ Gamma = 0}

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ int _ {\ Omega} ud \ Omega + \ int _ {\ partial \ Omega} {\ vec {f}} (u) \ cdot {\ vec {n }} d \ Gamma = 0}

ceea ce înseamnă rata temporală de schimbare a $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ în domeniu $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ este egal cu debitul net $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ peste marginea ei $\partial \Omega$ ${\ displaystyle \ partial \ Omega}$ $\ partial \ Omega$ . Deoarece aceasta este o echivalență, $tu$ ${\ displaystyle u}$ $tu$ se păstrează în $\Omega$ ${\ displaystyle \ Omega}$ $\Omega$ .

Notă

^ Rozhdestvenskii.
^ Evans 1998 , p. 400 .
^ Evans 1998 , p. 402 .

Bibliografie

( EN ) Lawrence C. Evans, Ecuații diferențiale parțiale ( PDF ), Studii postuniversitare în matematică, vol. 19, ediția a II-a, Providence, RI, American Mathematical Society, 2010 [1998] , ISBN 0-8218-0772-2 .
( EN ) AD Polyanin, Manual of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists , Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
( EN ) Rozhdestvenskii, BL, în Hazewinkel, Michiel, Enciclopedia matematicii , Springer, 2001 ISBN 978-1556080104

Elemente conexe

linkuri externe

( EN ) BL Rozhdestvenskii, Ecuația diferențială parțială hiperbolică , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Yu.I. Shokin, NN Yanenko, Ecuația diferențială parțială hiperbolică, metode numerice , în Enciclopedia Matematicii , Springer și European Mathematical Society, 2002.
( EN ) Ecuații hiperbolice liniare la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
( EN ) Ecuații hiperbolice neliniare la EqWorld: Lumea ecuațiilor matematice.
( EN ) convergența diferenței finite a ecuațiilor hiperbolice , pe facultate.washington.edu .

Portalul de matematică : accesați intrările Wikipedia care se ocupă de matematică

[1] Rozhdestvenskii.

[2] Evans 1998 , p. 400 .

[3] Evans 1998 , p. 402 .

[1]

[2]

[3]