Circuit RLC

Circuit Un RLC este un circuit electric care conține numai rezistențe , inductoare și condensatori . Prin extensie, un RLC este adesea menționată ca un circuit care conține numai elemente pasive. Numele de derivă de circuit din simbolurile cantităților fizice care caracterizează elementele pasive, respectiv rezistență electrică , inductanță și capacitate electrică .

Circuite RLC sunt liniare dinamice sisteme . Circuit Un RLC constituie un oscilator armonic pentru curentul electric și intră în rezonanță , urmând aceleași legi fizice ale circuitului LC. Diferența în raport cu acesta din urmă este prezența rezistor, care amortizează oscilațiile induse în circuit, dacă acestea nu sunt susținute de o sursă.

RLC în serie și în paralel

Cifrele de pe dreapta arată circuitele RLC în serie și în paralel.

RLC în serie

Circuit RLC în serie cu generator constant.

Luați în considerare circuitul RLC serie în figură, aplicând legea lui Kirchhoff de tensiuni obținem:

v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t)=e(t)

{\ Displaystyle v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = e (t)}

{\ Displaystyle v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t) = e (t)}

și, înlocuind relațiile constitutive ale elementelor:

Ri(t)+L\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(t)\,dt=e(t).

{\ Displaystyle Ri (t) + L \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} i (t) \ , dt = e (t).}

{\ Displaystyle Ri (t) + L \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {1} {C}} \ int _ {0} ^ {t} i (t) \ , dt = e (t).}

Striving seama de faptul că ca un generator de tensiune constantă $e(t)=e_{0}$ ${\ Displaystyle e (t) = e_ {0}}$ $e (t) = e_ {0}$ , Derivând o dată în ceea ce privește $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și împărțirea prin inductanța $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ , Putem rescrie ecuația în formă diferențială:

{\frac {R}{L}}\cdot {\frac {di(t)}{dt}}+{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}\cdot i(t)=0.

{\ Displaystyle {\ frac {R} {L}} \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} i (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot i (t) = 0.}

{\ Displaystyle {\ frac {R} {L}} \ cdot {\ frac {di (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} i (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot i (t) = 0.}

Prin urmare, prezența unui generator constant nu afectează ecuațiile: soluția ecuației diferențiale este aceeași ca și cea fără generator, ca și cum ar fi în evoluție liberă. Doi parametri sunt apoi definiți:

\alpha ={\frac {R}{2L}}

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {R} {2l}}}

\ Alpha = {\ frac {R} {2L}}

O amortizare constantă și:

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

\ Omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}}}

numita rezonanta pulsație.

RLC în paralel

Circuit RLC paralel cu generatorul constant.

Având în vedere circuitul RLC paralel în figură, cu generator de curent constant, aplicând legea lui Kirchhoff a curenților obținem:

i_{R}(t)+i_{C}(t)+i_{L}(t)=i(t)

{\ Displaystyle I_ {R} (t) + I_ {C} (t) + I_ {L} (t) = i (t)}

{\ Displaystyle I_ {R} (t) + I_ {C} (t) + I_ {L} (t) = i (t)}

Substituind relațiile constitutive ale elementelor:

{\frac {v(t)}{R}}+C\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {1}{L}}\int _{0}^{t}v(t)\,dt=i(t)

{\ Displaystyle {\ frac {v (t)} {R}} + C \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} v (t) \, dt = i (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {v (t)} {R}} + C \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {1} {L}} \ int _ {0} ^ {t} v (t) \, dt = i (t)}

Provenind o dată în ceea ce privește $t$ ${\ displaystyle t}$ $t$ și împărțirea de capacitatea $C.$ ${\ displaystyle C}$ $C.$ , Putem rescrie ecuația în formă diferențială:

{\frac {1}{RC}}\cdot {\frac {dv(t)}{dt}}+{\frac {d^{2}v(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}\cdot v(t)=0

{\ Displaystyle {\ frac {1} {RC}} \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} v (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot v (t) = 0}

{\ Displaystyle {\ frac {1} {RC}} \ cdot {\ frac {dv (t)} {dt}} + {\ frac {d ^ {2} v (t)} {dt ^ {2}} } + {\ frac {1} {LC}} \ cdot v (t) = 0}

Prezența unui generator de curent constant nu afectează ecuațiile: soluția ecuației diferențiale este aceeași ca și cea fără generator în sine, ca și cum ar fi în evoluție liberă. Cei doi parametri sunt definiți:

\alpha ={\frac {1}{2RC}}

{\ Displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {2RC}}}

\ Alpha = {\ frac {1} {2RC}}

O amortizare constantă (rețineți că este diferită de cea a circuitului de serie) și:

\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

\ Omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}}}

a declarat rezonanta pulsații , care coincide cu cea obținută pentru RLC serie.

Soluție a ecuației

Ambele ecuații care guvernează seria și circuitul RLC paralel sunt de forma:

{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+2\alpha \cdot {\frac {dx(t)}{dt}}+\omega _{0}^{2}\cdot x(t)=0

{\ Displaystyle {\ frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + 2 \ alpha \ cdot {\ frac {dx (t)} {dt}} + \ omega _ {0 } ^ {2} \ cdot x (t) = 0}

{\ Frac {d ^ {2} x (t)} {dt ^ {2}}} + 2 \ alpha \ cdot {\ frac {dx (t)} {dt}} + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} \ cdot x (t) = 0

unde este $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ este diferit de circuit serie la circuitul paralel, în timp ce $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ este aceeași pentru ambele circuite. Cele două circuite sunt duale. Substituind ecuația caracteristică a expresiei anterioare, obținem o ecuație în variabila s:

s^{2}+2\alpha s+\omega _{0}^{2}=0

{\ Displaystyle s ^ {2} +2 \ alfa s + \ omega _ {0} ^ {2} = 0}

s ^ {2} +2 \ alfa s + \ omega _ {{0}} ^ {{2}} = 0

Rădăcinile acestei ecuații sunt numite frecvențe naturale:

s_{1}=-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ _ omega {0} ^ {2}}}}

s_ {1} = - \ alpha + {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {{0}} ^ {{2}}}}

s_{2}=-\alpha -{\sqrt {\alpha ^{2}-\omega _{0}^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - \ alpha - {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ _ omega {0} ^ {2}}}}

s_ {2} = - \ alpha - {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ omega _ {{0}} ^ {{2}}}}

și soluția ecuației diferențiale este de forma combinațiilor de exponentials reale sau complexe, după caz:

damping strong

În acest caz, circuitul se spune că regimul aperiodic (puternic amortizată), fiind $\alpha >\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha> \ omega _ {0}}$ $\ Alpha> \ omega _ {{0}}$ (Amortizarii mai constantă decât pulsația rezonantă) și cele două rădăcini sunt reale și distincte, soluția ia forma:

x(t)=A_{1}\cdot e^{s_{1}t}+A_{2}\cdot e^{s_{2}t}

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cdot e ^ {s_ {1} t} + A_ {2} \ cdot e ^ {s_ {2} t}}

x (t) = A_ {1} \ cdot e ^ {{s_ {1} t}} + A_ {2} \ cdot e ^ {{s_ {2} t}}

unde este $A_{1},\,A_{2}$ ${\ A_ displaystyle {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ acestea sunt două constante care trebuie să fie rezolvate prin impunerea condițiilor inițiale. Soluția este o combinație a două exponentials reale cu constante de timp $\tau _{1}=-1/s_{1}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {1} = - 1 / s_ {1}}$ $\ Tau _ {1} = - 1 / s_ {1}$ Și $\tau _{2}=-1/s_{2}$ ${\ Displaystyle \ tau _ {2} = - 1 / s_ {2}}$ $\ Tau _ {2} = - 1 / s_ {2}$ . Din graficul soluției vom vedea că răspunsul $x(t)$ ${\ displaystyle x (t)}$ $x (t)$ ea nu oscilează, deoarece predominând termen exponențiale și, prin urmare, răspunsul este anulat rapid. Dupa cum $\alpha$ ${\ displaystyle \ alpha}$ $\ alfa$ răspunsul este dominat de prima exponențială. Prin impunerea de condițiile inițiale:

x(0)=A_{1}+A_{2}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1} + A_ {2}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1} + A_ {2}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2}}

constantele $A_{1},\,A_{2}$ ${\ A_ displaystyle {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ sunt obținute prin rezolvarea acestui sistem:

A_{1}={\frac {A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}-(A_{1}+A_{2})s_{2}}{s_{1}-s_{2}}}\,\,\,\,A_{2}={\frac {A_{1}s_{1}+A_{2}s_{2}-(A_{1}+A_{2})s_{1}}{s_{2}-s_{1}}}

{\ Displaystyle A_ {1} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {2}} {s_ {1 } -s_ {2}}} \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {1}} {s_ {2} -s_ {1}}}}

A_ {1} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2}) s_ {2}} {s_ {1} -s_ {2}}} \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {A_ {1} s_ {1} + A_ {2} s_ {2} - (A_ {1} + A_ {2} ) s_ {1}} {s_ {2} -s_ {1}}}

damping critice

În acest caz, circuitul se spune că amortizarea critică, fiind $\alpha =\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha = \ omega _ {0}}$ $\ Alpha = \ omega _ {{0}}$ (Constanta de amortizare este egal cu pulsația de rezonanță), iar cele două rădăcini sunt reale și coincidente $s_{1}=s_{2}=-\alpha =-\omega _{0}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = - \ alpha = - \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = - \ alpha = - \ omega _ {0}}$ , Soluția ia forma:

x(t)=(A_{1}\cdot t+A_{2})\cdot e^{-\alpha t}

{\ Displaystyle x (t) = (A_ {1} \ cdot t + A_ {2}) \ cdot e ^ {- \ alpha t}}

x (t) = (A_ {1} \ cdot t + A_ {2}) \ cdot e ^ {{- \ alpha t}}

unde este $A_{1},\,A_{2}$ ${\ A_ displaystyle {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ acestea trebuie să fie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. Soluția are o exponențială reală și graficul de răspuns are un maxim pentru $t=1/\alpha -A_{2}/A_{1}$ ${\ Displaystyle t = 1 / \ alpha -A_ {2} / A_ {1}}$ ${\ Displaystyle t = 1 / \ alpha -A_ {2} / A_ {1}}$ după care tinde la zero. Prin impunerea de condițiile inițiale:

x(0)=A_{2}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {2}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {2}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=A_{1}-\alpha A_{2}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} - \ alpha A_ {2}}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = A_ {1} - \ alpha A_ {2}}

constantele $A_{1},\,A_{2}$ ${\ A_ displaystyle {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ sunt obținute prin rezolvarea acestui sistem:

A_{1}=A_{1}-\alpha A_{2}+\alpha A_{2}\,\,\,\,A_{2}=x(0)

{\ A_ displaystyle {1} = A_ {1} - \ alpha A_ {2} + \ alpha A_ {2} \, \, \, \, A_ {2} = x (0)}

A_ {1} = A_ {1} - \ alpha A_ {2} + \ alpha A_ {2} \, \, \, \, A_ {2} = x (0)

damping slab

În acest caz, circuitul se spune că neamortizat (slab amortizată), fiind $\alpha <\omega _{0}$ ${\ Displaystyle \ alpha <\ omega _ {0}}$ $\ Alpha <\ omega _ {{0}}$ (Minorul constant al pulsației rezonante de amortizare), iar rădăcinile sunt complexe și conjugate:

s_{1}=-\alpha +j{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}\,\,\,s_{2}=-\alpha -j{\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} \, \, \, s_ {2} = - \ alpha -j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = - \ alpha + j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}} \, \, \, s_ {2} = - \ alpha -j {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

cu $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ unitate imaginară $(j^{2}=-1)$ ${\ Displaystyle (j ^ {2} = - 1)}$ ${\ Displaystyle (j ^ {2} = - 1)}$ . Definire:

\beta ={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\alpha ^{2}}}

{\ Displaystyle \ beta = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^ {2} - \ alpha ^ {2}}}}

\ Beta = {\ sqrt {\ omega _ {{0}} ^ {{2}} - \ alfa ^ {2}}}

soluția ia forma:

x(t)=\left[A_{1}\cos \beta t+A_{2}\sin \beta t\right]e^{-\alpha t}

{\ Displaystyle x (t) = \ stânga [A_ {1} \ cos \ beta t + A_ {2} \ păcatul \ beta t \ right] e ^ {- \ alpha t}}

x (t) = \ stânga [A_ {1} \ cos \ beta t + A_ {2} \ păcatul \ beta t \ dreapta] e ^ {{- \ alpha t}}

unde este $A_{1},\,A_{2}$ ${\ A_ displaystyle {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ acestea trebuie să fie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. Prin alegerea:

A={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}}}\,\,\,\phi =-\arctan {\frac {A_{2}}{A_{1}}}

{\ Displaystyle A = {\ sqrt {A_ {1} ^ {2} + A_ {2} ^ {2}}} \, \, \, \ phi = - \ arctan {\ frac {A_ {2}} { A_ {1}}}}

A = {\ sqrt {A _ {{1}} ^ {{2}} + A _ {{2}} ^ {{2}}}} \, \, \, \ phi = - \ arctan {\ frac {A_ {2}} {{A_ 1}}}

A_{1}=A\cos \phi \,\,\,\,A_{2}=-A\sin \phi

{\ A_ displaystyle {1} = A \ cos \ phi \, \, \, \, A_ {2} = - A \ păcat \ phi}

A_ {1} = A \ cos \ phi \, \, \, \, A_ {2} = - A \ păcat \ phi

soluția poate fi pusă în forma:

x(t)=Ae^{-\alpha t}\cos \ (\beta t+\phi )

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ alpha t} \ cos \ (\ beta t + \ phi)}

{\ Displaystyle x (t) = Ae ^ {- \ alpha t} \ cos \ (\ beta t + \ phi)}

Soluția este o combinație a două exponentials reale egale și oscilația răspunsului este modulată de valoarea acestor exponentials $\pm Ae^{-\alpha t}$ ${\ Displaystyle \ pm Ae ^ {- \ alpha t}}$ $\ Pm Ae ^ {{- \ alpha t}}$ cu constante de timp egale $\tau =1/\alpha$ ${\ Displaystyle \ tau = 1 / \ alpha}$ $\ Tau = 1 / \ alpha$ . Prin impunerea de condițiile inițiale:

x(0)=A_{1}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1}}

{\ Displaystyle x (0) = A_ {1}}

{\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A_{1}+A_{2}\beta

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = - \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}} = - \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta}

constantele $A_{1},\,A_{2}$ ${\ A_ displaystyle {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ sunt obținute prin rezolvarea acestui sistem:

A_{1}=x(0)\,\,\,\,A_{2}={\frac {-\alpha A_{1}+A_{2}\beta +\alpha A_{1}}{\beta }}

{\ A_ displaystyle {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {- \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta + \ alpha A_ {1} } {\ beta}}}

A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {- \ alpha A_ {1} + A_ {2} \ beta + \ alpha A_ {1}} {\ beta}}

Zero damping

În acest caz , circuitul este fără amortizare fiind $\alpha =0$ ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$ (Nulul constanta de amortizare), rădăcinile sunt imaginare pure: $s_{1}=s_{2}=\pm i\omega _{0}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = \ pm i \ omega _ {0}}$ ${\ Displaystyle s_ {1} = s_ {2} = \ pm i \ omega _ {0}}$ iar soluția ia forma:

x(t)=A_{1}\cos \omega _{0}t+A_{2}\sin \omega _{0}t=A\cos(\omega _{0}t+\phi )

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cos \ omega _ {0} t + A_ {2} \ păcatul \ omega _ {0} t = A \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi )}

{\ Displaystyle x (t) = A_ {1} \ cos \ omega _ {0} t + A_ {2} \ păcatul \ omega _ {0} t = A \ cos (\ omega _ {0} t + \ phi )}

unde este $A_{1},\,A_{2}$ ${\ A_ displaystyle {1}, \, A_ {2}}$ $A_ {1}, \, A_ {2}$ sau $LA$ ${\ displaystyle A}$ $LA$ acestea trebuie să fie determinate prin impunerea condițiilor inițiale. În circuitul de serie $\alpha =0$ ${\ Displaystyle \ alpha = 0}$ $\ alfa = 0$ inseamna $R=0$ ${\ Displaystyle R = 0}$ ${\ Displaystyle R = 0}$ cât și în cea paralelă $R=\infty$ ${\ Displaystyle R = \ infty}$ ${\ Displaystyle R = \ infty}$ , În ambele cazuri, soluția este o sinusoidă care nu se stinge. De asemenea, în acest caz, constantele sunt:

A_{1}=x(0)\,\,\,\,A_{2}={\frac {\mathrm {d} x(0)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle A_ {1} = x (0) \, \, \, \, A_ {2} = {\ frac {\ mathrm {d} x (0)} {\ mathrm {d} t}}}

Considerații

Circuit RLC în serie cu generator constant

În ceea ce privește soluțiile circuitului RLC în serie, soluția permite de a găsi valoarea în funcție de cazurile $i(t)$ ${\ displaystyle i (t)}$ $aceasta)$ . Odată ce această valoare a fost găsit, putem obține alte cantități:

v_{R}(t)=R\cdot i(t)

{\ Displaystyle v_ {R} (t) = R \ cdot i (t)}

v_ {R} (t) = R \ cdot i (t)

v_{L}(t)=L\cdot {\frac {\mathrm {d} i(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle v_ {L} (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle v_ {L} (t) = L \ cdot {\ frac {\ mathrm {d} i (t)} {\ mathrm {d} t}}}

v_{C}(t)=e-v_{R}(t)-v_{L}(t)

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = e-v_ {R} (t) -v_ {L} (t)}

{\ Displaystyle v_ {C} (t) = e-v_ {R} (t) -v_ {L} (t)}

cu $e=v_{R}(t)+v_{L}(t)+v_{C}(t)$ ${\ Displaystyle e = v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t)}$ ${\ Displaystyle e = v_ {R} (t) + v_ {L} (t) + v_ {C} (t)}$ constant. Rețineți că, în acest caz, pentru $t\to \infty$ ${\ displaystyle t \ to \ infty}$ $t \ to \ infty$ se dovedește $v_{R}(t)\to 0$ ${\ Displaystyle v_ {R} (t) \ la 0}$ ${\ Displaystyle v_ {R} (t) \ la 0}$ , $v_{L}(t)\to 0$ ${\ Displaystyle v_ {L} (t) \ la 0}$ ${\ Displaystyle v_ {L} (t) \ la 0}$ Și $v_{C}(t)=e$ ${\ Displaystyle v_ {C} (t) = e}$ ${\ Displaystyle v_ {C} (t) = e}$ adică se comportă inductor ca un scurt circuit și condensator ca un circuit deschis $v_{C}=e$ ${\ Displaystyle v_ {C} = e}$ ${\ Displaystyle v_ {C} = e}$ .

Circuit RLC paralel cu generatorul constant

În cazul circuitului RLC în paralel, soluția permite obținerea, în funcție de cazuri, $v(t)$ ${\ displaystyle v (t)}$ $v (t)$ . Odată ce această valoare a fost găsit, putem obține alte cantități:

i_{R}(t)={\frac {1}{R}}v(t)

{\ Displaystyle I_ {R} (t) = {\ frac {1} {R}} v (t)}

{\ Displaystyle I_ {R} (t) = {\ frac {1} {R}} v (t)}

i_{C}(t)=C{\frac {\mathrm {d} v(t)}{\mathrm {d} t}}

{\ Displaystyle I_ {C} (t) = C {\ frac {\ mathrm {d} v (t)} {\ mathrm {d} t}}}

{\ Displaystyle I_ {C} (t) = C {\ frac {\ mathrm {d} v (t)} {\ mathrm {d} t}}}

i_{L}(t)=i(t)-i_{R}(t)-i_{C}(t)

{\ Displaystyle I_ {L} (t) = i (t) -i_ {R} (t) -i_ {C} (t)}

{\ Displaystyle I_ {L} (t) = i (t) -i_ {R} (t) -i_ {C} (t)}

RLC în regim sinusoidal

Același subiect în detaliu: circuitul rezonant .

Circuitul RLC în serie și în paralel este simplificată în cazul în care se studiază în regim sinusoidal, pentru care metoda simbolică este utilizată.

RLC serie în regim sinusoidal

Noi luăm ca referință figura RLC în serie și, în conformitate cu metoda simbolică, vom înlocui elementele cu relațiile lor fazor respective:

\mathbf {Z} _{R}(j\omega )=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

\mathbf {Z} _{L}(j\omega )=j\omega L

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

\mathbf {Z} _{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

cu $j$ ${\ displaystyle j}$ $j$ unitate întotdeauna imaginar. Prin urmare , putem calcula impedanța circuitului:

\mathbf {Z} (j\omega )=R+j\omega L+{\frac {1}{j\omega C}}=R+j\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega) = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ stânga (\ omega L - {\ frac {1 } {\ omega C}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega) = R + j \ omega L + {\ frac {1} {j \ omega C}} = R + j \ stânga (\ omega L - {\ frac {1 } {\ omega C}} \ dreapta)}

în această formă avem rezistență $R.$ ${\ displaystyle R}$ $R.$ și o reactanță $X=\omega L-{\frac {1}{\omega C}}$ ${\ Displaystyle X = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}}}$ ${\ Displaystyle X = \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}}}$ . Vedem atunci că reactanța este anulat pentru:

\omega L-{\frac {1}{\omega C}}=0\,\,\Rightarrow \,\,\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} = 0 \, \, \ rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC} }}}

\ Omega L - {\ frac {1} {\ omega C}} = 0 \, \, \ rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}} }

pentru pulsație $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ numita rezonanta pulsație . Admiterea pentru această pulsație

\mathbf {Y} (j\omega _{0})={\frac {1}{R}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {R}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega _ {0}) = {\ frac {1} {R}}}

acesta are un modul care are un vârf și , prin urmare , are un modul maxim: prin urmare , avem fenomenul de rezonanță .

RLC paralel în regim sinusoidal

Noi luăm ca referință figura RLC în paralel și, în conformitate cu metoda simbolică, vom înlocui elementele cu relațiile lor respective, ținând cont de generatorul $i(t)\Rightarrow \mathbf {I} _{s}$ ${\ Displaystyle i (t) \ rightarrow \ mathbf {I} _ {s}}$ ${\ Displaystyle i (t) \ rightarrow \ mathbf {I} _ {s}}$ :

\mathbf {Z} _{R}(j\omega )=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {R} (j \ omega) = R}

\mathbf {Z} _{L}(j\omega )=j\omega L

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {L} (j \ omega) = j \ omega L}

\mathbf {Z} _{C}(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} _ {C} (j \ omega) = {\ frac {1} {j \ omega C}}}

Este convenabil , în acest caz , pentru a calcula admiterea :

\mathbf {Y} (j\omega )={\frac {1}{R}}+{\frac {1}{j\omega L}}+j\omega C={\frac {1}{R}}+j\left(\omega C-{\frac {1}{\omega L}}\right)

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega) = {\ frac {1} {R}} + {\ frac {1} {j \ omega L}} + j \ omega C = {\ frac {1} {R}} + j \ stânga (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ dreapta)}

{\ Displaystyle \ mathbf {Y} (j \ omega) = {\ frac {1} {R}} + {\ frac {1} {j \ omega L}} + j \ omega C = {\ frac {1} {R}} + j \ stânga (\ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} \ dreapta)}

în această formă , avem o conductanță $G={\frac {1}{R}}$ ${\ Displaystyle G = {\ frac {1} {R}}}$ $G = {\ frac {1} {R}}$ și o sensibilitate $B=\omega C-{\frac {1}{\omega L}}$ ${\ Displaystyle B = \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}}}$ $B = \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}}$ . Vedem atunci că susceptibilitatea dispare din cauza:

\omega C-{\frac {1}{\omega L}}=0\,\,\Rightarrow \,\,\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle \ omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} = 0 \, \, \ rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC} }}}

\ Omega C - {\ frac {1} {\ omega L}} = 0 \, \, \ rightarrow \, \, \ omega _ {0} = {\ frac {1} {{\ sqrt {LC}}} }

pentru frecvența $\omega _{0}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ $\ omega _ {0}$ a spus frecvența de rezonanță . Impedanța pentru această frecvență

\mathbf {Z} (j\omega _{0})=R

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega _ {0}) = R}

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} (j \ omega _ {0}) = R}

acesta are un modul care are un vârf și , prin urmare , are un modul maxim: prin urmare , avem fenomenul de rezonanță .

Exemplu de analiză a unui circuit RLC ca un sistem dinamic liniar staționar prin transformata Laplace

În cazul circuitului RLC prezentat în figură, vectorul de stare ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ acesta este format din curentul $x_{1}$ ${\ displaystyle x_ {1}}$ $x_1$ care trece prin inductor inductanță $L$ ${\ displaystyle L}$ $L$ și tensiune $x_{2}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ $x_2$ peste condensator condensator $C_{1}$ ${\ displaystyle C_ {1}}$ $C_ {1}$ , În cazul în care intrarea ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ este tensiunea generatorului , în timp ce vectorul ieșirilor ${\vec {y}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {y}} (t)}$ este dat, de exemplu, de curenții care trec prin rezistență rezistor $R_{1}$ ${\ displaystyle R_ {1}}$ $R_ {1}$ și rezistor de rezistență $R_{2}$ ${\ displaystyle R_ {2}}$ $R_ {2}$ . Aplicând ecuațiile constitutive ale bipolilor precum și ecuațiile topologice sau legile lui Kirchhoff avem:

{\begin{aligned}{\vec {u}}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} (x_{1}(t))}{\mathrm {d} t}}+R_{1}i_{2}(t)\\R_{1}i_{2}(t)&=R_{2}C_{1}{\frac {\mathrm {d} (x_{2}(t))}{\mathrm {d} t}}+x_{2}(t)\\i_{2}(t)&=x_{1}(t)-C_{1}{\frac {\mathrm {d} (x_{2}(t))}{\mathrm {d} t}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ vec {u}} (t) & L = {\ frac {\ mathrm {d} (X_ {1} (t))} {\ mathrm {d} t}} + R_ {1} I_ {2} (t) \\ R_ {1} I_ {2} (t) = & R_ {2} C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (X_ {2} ( t))} {\ mathrm {d} t}} + X_ {2} (t) \\ I_ {2} (t) = & X_ {1} (t) -C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (X_ {2} (t))} {\ mathrm {d} t}} \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ vec {u}} (t) & L = {\ frac {\ mathrm {d} (X_ {1} (t))} {\ mathrm {d} t}} + R_ {1} I_ {2} (t) \\ R_ {1} I_ {2} (t) = & R_ {2} C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (X_ {2} ( t))} {\ mathrm {d} t}} + X_ {2} (t) \\ I_ {2} (t) = & X_ {1} (t) -C_ {1} {\ frac {\ mathrm {d} (X_ {2} (t))} {\ mathrm {d} t}} \ end {aliniat}}}

Prin urmare, înlocuind ultima relație în cele anterioare și plasarea

{\vec {x}}(t)={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} X_ {1} (t) \\ X_ {2} (t) \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ vec {x}} (t) = {\ begin {pmatrix} X_ {1} (t) \\ X_ {2} (t) \ end {pmatrix}}}

Definire $\mathbf {A}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ $\ mathbf {A}$ , $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ , $\mathbf {C}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ Și $\mathbf {D}$ ${\ displaystyle \ mathbf {D}}$ $\ mathbf {D}$ ca matrici de dimensiuni adecvate , carepremultiply starea ${\vec {x}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {x}} (t)}$ și intrările ${\vec {u}}(t)$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ ${\ Displaystyle {\ vec {u}} (t)}$ , vom avea:

{\frac {\mathrm {d} {\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {A} {\vec {x}}(t)+\mathbf {B} {\vec {u}}(t)\qquad {\vec {y}}(t)=\mathbf {C} {\vec {x}}(t)+\mathbf {D} {\vec {u}}(t)

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t)}

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} {\ vec {x}} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {A} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {B} {\ vec {u}} (t) \ prototipurilor {\ vec {y}} (t) = \ mathbf {C} {\ vec {x}} (t) + \ mathbf {D} {\ vec {u}} (t)}

În cazul nostru, avem că:

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{\frac {{-R}_{1}R_{2}}{L(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {{-R}_{1}}{L(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{C_{1}(R_{1}+R_{2})}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {{R} _ {1} R_ {2}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {{R} _ {1}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {C_ {1} (R_ {1} + R_ { 2})}} & {\ frac {-1} {C_ {1} (R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {{R} _ {1} R_ {2}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {{R} _ {1}} {L (R_ {1} + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {C_ {1} (R_ {1} + R_ { 2})}} & {\ frac {-1} {C_ {1} (R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\vec {B}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{L}}\\0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ vec {B}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ vec {B}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}}}

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}{\frac {R_{2}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {1}{(R_{1}+R_{2})}}\\{\frac {R_{1}}{(R_{1}+R_{2})}}&{\frac {-1}{(R_{1}+R_{2})}}\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {R_ {2}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {1} {(R_ {1 } + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {-1} {(R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle \ mathbf {C} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {R_ {2}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {1} {(R_ {1 } + R_ {2})}} \\ {\ frac {R_ {1}} {(R_ {1} + R_ {2})}} & {\ frac {-1} {(R_ {1} + R_ {2})}} \ end {pmatrix}}}

{\vec {D}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}

{\ Displaystyle {\ vec {D}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

{\ Displaystyle {\ vec {D}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \ end {pmatrix}}}

De exemplu, să presupunem că doriți să determinați tendința de a doua stare variabilă pornind de la o anumită clipă $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ , Presupunând că valoarea inițială a acesteia a fost zero, iar tendința coincide intrare cu un impuls Dirac centrat în $t_{0}$ ${\ displaystyle t_ {0}}$ $t_ {0}$ . În domeniul Laplace, de intrare , prin urmare , are o valoare identică unitar, asa ca vom avea:

{\begin{aligned}{\vec {X}}(s)&=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\,U(s)\\&=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\vec {B}}\\&={\frac {1}{LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2}+(R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1}}}{\begin{pmatrix}sC_{1}R_{1}L+sC_{1}R_{2}L+L&-C_{1}R_{1}\\LR_{1}&LsC_{1}R_{1}+C_{1}R_{2}R_{1}+LsC_{1}R_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{L}}\\0\end{pmatrix}}\end{aligned}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ vec {X}} (ți) = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \, U (e) \\ & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \\ & = {\ frac {1} {LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2} + (R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1}}} {\ begin {pmatrix} sC_ {1} R_ { 1} L + sC_ {1} R_ {2} L + L & -C_ {1} R_ {1} \\ LR_ {1} & LsC_ {1} R_ {1} + C_ {1} R_ {2} R_ {1} + LsC_ {1} R_ \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {2} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ end {aliniat}}}

{\ Displaystyle {\ begin {aliniat} {\ vec {X}} (ți) = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \, U (e) \\ & = (s \ mathbf {I} - \ mathbf {A}) ^ {- 1} {\ vec {B}} \\ & = {\ frac {1} {LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2} + (R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1}}} {\ begin {pmatrix} sC_ {1} R_ { 1} L + sC_ {1} R_ {2} L + L & -C_ {1} R_ {1} \\ LR_ {1} & LsC_ {1} R_ {1} + C_ {1} R_ {2} R_ {1} + LsC_ {1} R_ \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} {2} {\ frac {1} {L}} \\ 0 \ end {pmatrix}} \ end {aliniat}}}

Prin urmare:

X_{2}(s)={\frac {R_{1}}{(LC_{1}(R_{1}+R_{2})s^{2})+((R_{1}R_{2}C_{1}+L)s+{1})}}

{\ X_ displaystyle {2} (s) = {\ frac {R_ {1}} {(LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2}) + ((R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1})}}}

{\ X_ displaystyle {2} (s) = {\ frac {R_ {1}} {(LC_ {1} (R_ {1} + R_ {2}) s ^ {2}) + ((R_ {1} R_ {2} C_ {1} + L) s + {1})}}}

Anti-transformarea pentru a trece la domeniul timp :

x_{2}(t)=R_{1}{\frac {e^{-s_{1}t}-e^{-s_{2}t}}{s_{2}-s_{1}}},\,t>t_{0}

{\ Displaystyle X_ {2} (t) = R_ {1} {\ frac {e ^ {- s_ {1} t} -e ^ {- s_ {2} t}} {s_ {2} -s_ {1 }}} \, t> T_ {0}}

{\ Displaystyle X_ {2} (t) = R_ {1} {\ frac {e ^ {- s_ {1} t} -e ^ {- s_ {2} t}} {s_ {2} -s_ {1 }}} \, t> T_ {0}}

Unde este:

s_{1}={\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}^{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}+C_{1}R_{1}R_{2}+L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} ^ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} + C_ {1} R_ {1} R_ {2} + L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1} LR_ {1}}}}

{\ Displaystyle s_ {1} = {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} ^ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} + C_ {1} R_ {1} R_ {2} + L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1} LR_ {1}}}}

s_{2}=-{\frac {{\sqrt {C_{1}^{2}R_{1}^{2}R_{2}-2C_{1}LR_{1}R_{2}-4C_{1}LR_{1}^{2}+L^{2}}}-C_{1}R_{1}R_{2}-L}{2C_{1}LR_{2}+2C_{1}LR_{1}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} - {1} C_ R_ {1} R_ {2} -L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1 } LR_ {1}}}}

{\ Displaystyle s_ {2} = - {\ frac {{\ sqrt {C_ {1} ^ {2} R_ {1} ^ {2} R_ {2} -2C_ {1} LR_ {1} R_ {2} -4C_ {1} LR_ {1} ^ {2} + L ^ {2}}} - {1} C_ R_ {1} R_ {2} -L} {2C_ {1} LR_ {2} + 2C_ {1 } LR_ {1}}}}

Ideal oscilator

Același subiect în detaliu: sistem dinamic .

Presupune $R=0$ ${\ Displaystyle R = 0}$ $R = 0$ : Acest mijloc neglijând pierderile de energie în circuit, adică imaginarea că cantitatea de energie furnizată inițial în circuitul nu risipi în timp. Acest lucru ne conduce pentru a scrie, trecând la domeniul Laplace :

H(s)={\frac {sC}{s^{2}LC+1}}

{\ Displaystyle H (s) = {\ frac {sC} {s ^ {2} LC + 1}}}

H (s) = {\ frac {sC} {s ^ {2} LC + 1}}

.

Este ușor de observat că funcția de transfer are o pereche de complex conjugat poli (pol al unei funcții complexe este punctul în care numitorul dispare), care dețin

p_{1}=j{\frac {1}{\sqrt {LC}}},\ p_{2}=-j{\frac {1}{\sqrt {LC}}}

{\ Displaystyle P_ {1} = j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ P_ {2} = - j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

{\ Displaystyle P_ {1} = j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ P_ {2} = - j {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}}}

Acest punct reprezintă rezonantă pulsația oscilator. Acest lucru înseamnă că la acel impuls și frecvența $f={\frac {\operatorname {Im} \{p\}}{2\pi }}$ ${\ F displaystyle = {\ frac {\ operatorname {Im} \ {p \}} {2 \ pi}}}$ ${\ F displaystyle = {\ frac {\ operatorname {Im} \ {p \}} {2 \ pi}}}$ circuitul este capabil de auto-hrănire: dacă generatorul este oprit, energia acumulată în condensator și în inductor continuă să circule în circuit, generând o oscilație aproape perfect sinusoidală caracterizată prin frecvența $f$ ${\ displaystyle f}$ $f$ .