Precesiunea Larmor

Schema precesiunii nucleului atomic

În mecanica cuantică și fizica atomică , precesiunea Larmor , numită după Joseph Larmor , este precesiunea momentelor magnetice ale electronilor sau nucleelor atomice dintr-un atom în jurul direcției unui câmp magnetic extern omogen.

Câmpul magnetic $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf {B}$ exercită un moment mecanic $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ dat de produsul vector :

\mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {\ mu} \ times \ mathbf {B} = \ gamma \ mathbf {L} \ times \ mathbf {B}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {\ mu} \ times \ mathbf {B} = \ gamma \ mathbf {L} \ times \ mathbf {B}}

unde este $\mathbf {\mu }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mu}}$ ${\ mathbf {\ mu}}$ este momentul dipol magnetic , $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf {L}}$ este impulsul unghiular e $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este raportul giromagnetic , care asigură constanta de proporționalitate între momentul unghiular și momentul magnetic.

Precesiunea Larmor oferă un model teoretic simplu care ne permite să explicăm diamagnetismul . Mai mult, are o utilizare tehnologică importantă în rezonanța magnetică nucleară : pentru nucleul de hidrogen, cel mai utilizat în acest scop, valoarea raportului giromagnetic $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este 42,5756 * 10 ^ 6 (rad / s) / T.

Frecvența Larmor

Vectorul momentului unghiular precede pe axa câmpului magnetic extern cu o frecvență unghiulară cunoscută sub numele de frecvența Larmor:

\omega =-\gamma B

{\ displaystyle \ omega = - \ gamma B}

{\ displaystyle \ omega = - \ gamma B}

Precesiunea

Câmpul magnetic exercită un moment mecanic , producând o mișcare giroscopică (ca un vârf rotativ). Frecvența precesiunii se numește frecvența Larmor și depinde de câmpul de inducție magnetică $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ și din momentul magnetic $\mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = \ gamma \ mathbf {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = \ gamma \ mathbf {L}}$ . Este echivalent cu:

\nu _{L}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}

{\ displaystyle \ nu _ {L} = - {\ frac {\ gamma B} {2 \ pi}}}

{\ displaystyle \ nu _ {L} = - {\ frac {\ gamma B} {2 \ pi}}}

Momentul mecanic $\mathbf {M}$ ${\ displaystyle \ mathbf {M}}$ $\ mathbf M$ la care este supus un moment magnetic $\mathbf {\mu }$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mu}}$ ${\ mathbf \ mu}$ într-un câmp de inducție magnetică omogen $\mathbf {B}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ $\ mathbf B$ este dat de:

\mathbf {M} =\mathbf {\mu } \times \mathbf {B} =\gamma \mathbf {L} \times \mathbf {B} =-\gamma \mathbf {B} \times \mathbf {L}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {\ mu} \ times \ mathbf {B} = \ gamma \ mathbf {L} \ times \ mathbf {B} = - \ gamma \ mathbf {B} \ times \ mathbf {L}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = \ mathbf {\ mu} \ times \ mathbf {B} = \ gamma \ mathbf {L} \ times \ mathbf {B} = - \ gamma \ mathbf {B} \ times \ mathbf {L}}

întrucât, în general, momentul magnetic poate fi scris ca produs al impulsului unghiular $\mathbf {L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$ ${\ mathbf L}$ pentru factorul giromagnetic $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ :

\mathbf {\mu } =\gamma \mathbf {L}

{\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = \ gamma \ mathbf {L}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ mu} = \ gamma \ mathbf {L}}

Conform celei de- a doua ecuații cardinale, momentul mecanic poate fi scris ca:

\mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}}}

presupunând că viteza polului este zero (atomul este staționar). Derivata unui vector cu modul constant, ca momentul unghiular în acest caz, este:

\mathbf {M} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {\omega } _{L}\times \mathbf {L}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = \ mathbf {\ omega} _ {L} \ times \ mathbf {L}}

{\ displaystyle \ mathbf {M} = {\ frac {d \ mathbf {L}} {dt}} = \ mathbf {\ omega} _ {L} \ times \ mathbf {L}}

Viteza unghiulară $\mathbf {\omega } _{L}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ omega} _ {L}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ omega} _ {L}}$ la care momentul magnetic precede în jurul direcției câmpului este:

\mathbf {\omega } _{L}=-\gamma \mathbf {B}

{\ displaystyle \ mathbf {\ omega} _ {L} = - \ gamma \ mathbf {B}}

{\ displaystyle \ mathbf {\ omega} _ {L} = - \ gamma \ mathbf {B}}

și frecvența Larmor respectivă:

\nu _{L}={\frac {\omega _{L}}{2\pi }}=-{\frac {\gamma B}{2\pi }}

{\ displaystyle \ nu _ {L} = {\ frac {\ omega _ {L}} {2 \ pi}} = - {\ frac {\ gamma B} {2 \ pi}}}

{\ displaystyle \ nu _ {L} = {\ frac {\ omega _ {L}} {2 \ pi}} = - {\ frac {\ gamma B} {2 \ pi}}}

Având în vedere o particulă încărcată $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ masa $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , avem:

\omega ={\frac {egB}{2m}}

{\ displaystyle \ omega = {\ frac {egB} {2m}}}

\ omega = {\ frac {egB} {2m}}

unde este $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este factorul g al obiectului considerat. În cazul unui nucleu, acesta ia în considerare efectele rotirii nucleonilor, a momentului unghiular orbital și a cuplării dintre ele.

Precesiunea lui Thomas

Același subiect în detaliu: precesiunea lui Thomas .

Un tratament cuprinzător al fenomenului trebuie să includă efectele precesiunii lui Thomas, după care ecuația de mai sus capătă un termen suplimentar:

\omega _{s}={\frac {geB}{2mc}}+(1-\gamma ){\frac {eB}{mc\gamma }}

{\ displaystyle \ omega _ {s} = {\ frac {geB} {2mc}} + (1- \ gamma) {\ frac {eB} {mc \ gamma}}}

\ omega _ {s} = {\ frac {geB} {2mc}} + (1- \ gamma) {\ frac {eB} {mc \ gamma}}

unde este $\gamma$ ${\ displaystyle \ gamma}$ $\gamă$ este factorul Lorentz . Pentru electron $g$ ${\ displaystyle g}$ $g$ este foarte aproape de 2 (2.002 ..) și plasarea $g=2$ ${\ displaystyle g = 2}$ $g = 2$ avem:

\omega _{s(g=2)}={\frac {eB}{mc\gamma }}

{\ displaystyle \ omega _ {s (g = 2)} = {\ frac {eB} {mc \ gamma}}}

\ omega _ {{s (g = 2)}} = {\ frac {eB} {mc \ gamma}}

Ecuația Bargmann-Michel-Telegdi

Precesiunea spinului unui electron într-un câmp magnetic omogen este descrisă de ecuația Bargmann-Michel-Telegdi, numită uneori ecuația BMT : ^[1]

{\frac {da^{\tau }}{ds}}={\frac {e}{m}}u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda }a_{\lambda }+2\mu (F^{\tau \lambda }-u^{\tau }u_{\sigma }F^{\sigma \lambda })a_{\lambda }

{\ displaystyle {\ frac {da ^ {\ tau}} {ds}} = {\ frac {e} {m}} u ^ {\ tau} u _ {\ sigma} F ^ {\ sigma \ lambda} a_ {\ lambda} +2 \ mu (F ^ {\ tau \ lambda} -u ^ {\ tau} u _ {\ sigma} F ^ {\ sigma \ lambda}) a _ {\ lambda}}

{\ frac {da ^ {{\ tau}}} {ds}} = {\ frac {e} {m}} u ^ {{\ tau}} u _ {{\ sigma}} F ^ {{\ sigma \ lambda}} a _ {{\ lambda}} + 2 \ mu (F ^ {{\ tau \ lambda}} - u ^ {{\ tau}} u _ {{\ sigma}} F ^ {{\ sigma \ lambda}}) la _ {{\ lambda}}

unde este $a^{\tau }$ ${\ displaystyle a ^ {\ tau}}$ $a ^ {{\ tau}}$ , $Și$ ${\ displaystyle e}$ $Și$ , $m$ ${\ displaystyle m}$ $m$ , Și $\mu$ ${\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ sunt respectiv cei patru -vector de polarizare, sarcină, masă și moment magnetic, în timp ce $u^{\tau }$ ${\ displaystyle u ^ {\ tau}}$ $u ^ {{\ tau}}$ este viteza de patru a electronului e $F^{\tau \sigma }$ ${\ displaystyle F ^ {\ tau \ sigma}}$ $F ^ {{\ tau \ sigma}}$ tensorul electromagnetic . În plus:

a^{\tau }a_{\tau }=-u^{\tau }u_{\tau }=-1\qquad u^{\tau }a_{\tau }=0

{\ displaystyle a ^ {\ tau} a _ {\ tau} = - u ^ {\ tau} u _ {\ tau} = - 1 \ qquad u ^ {\ tau} a _ {\ tau} = 0}

a ^ {{\ tau}} a _ {{\ tau}} = - u ^ {{\ tau}} u _ {{\ tau}} = - 1 \ qquad u ^ {{\ tau}} a _ { {\ tau}} = 0

Folosind ecuația mișcării :

m{\frac {du^{\tau }}{ds}}=eF^{\tau \sigma }u_{\sigma }

{\ displaystyle m {\ frac {du ^ {\ tau}} {ds}} = eF ^ {\ tau \ sigma} u _ {\ sigma}}

m {\ frac {du ^ {{\ tau}}} {ds}} = eF ^ {{\ tau \ sigma}} u _ {{\ sigma}}

puteți rescrie primul termen în partea dreaptă a ecuației BMT ca:

(-u^{\tau }w^{\lambda }+u^{\lambda }w^{\tau })a_{\lambda }

{\ displaystyle (-u ^ {\ tau} w ^ {\ lambda} + u ^ {\ lambda} w ^ {\ tau}) a _ {\ lambda}}

(-u ^ {{\ tau}} w ^ {{\ lambda}} + u ^ {{\ lambda}} w ^ {{\ tau}}) a _ {{\ lambda}}

unde este $w^{\tau }=du^{\tau }/ds$ ${\ displaystyle w ^ {\ tau} = du ^ {\ tau} / ds}$ $w ^ {{\ tau}} = du ^ {{\ tau}} / ds$ este cea cu patru accelerații . Acest termen descrie transportul Fermi-Walker și duce la precesiunea lui Thomas . Al doilea termen este în schimb asociat cu precesiunea lui Larmor.

Când un câmp electromagnetic este uniform în spațiu sau când forțe precum gradientul pot fi neglijate $\nabla ({\boldsymbol {\mu }}\cdot {\boldsymbol {B}})$ ${\ displaystyle \ nabla ({\ boldsymbol {\ mu}} \ cdot {\ boldsymbol {B}})}$ $\ nabla ({{\ boldsymbol \ mu}} \ cdot {{\ boldsymbol B}})$ , mișcarea de translație a particulei este descrisă de relația:

{du^{\alpha } \over dt}={e \over m}F^{\alpha \beta }u_{\beta }

{\ displaystyle {du ^ {\ alpha} \ over dt} = {e \ over m} F ^ {\ alpha \ beta} u _ {\ beta}}

{du ^ {\ alpha} \ over dt} = {e \ over m} F ^ {{\ alpha \ beta}} u _ {\ beta}

Ecuația Bargmann - Michel - Telegdi este apoi rescrisă sub forma: ^[2]

{\;\,dS^{\alpha } \over dt}={e \over m}{\bigg [}{g \over 2}F^{\alpha \beta }S_{\beta }+\left({g \over 2}-1\right)u^{\alpha }\left(S_{\lambda }F^{\lambda \mu }U_{\mu }\right){\bigg ]}

{\ displaystyle {\; \, dS ^ {\ alpha} \ over dt} = {e \ over m} {\ bigg [} {g \ over 2} F ^ {\ alpha \ beta} S _ {\ beta} + \ left ({g \ over 2} -1 \ right) u ^ {\ alpha} \ left (S _ {\ lambda} F ^ {\ lambda \ mu} U _ {\ mu} \ right) {\ bigg ]}}

{\; \, dS ^ {\ alpha} \ over dt} = {e \ over m} {\ bigg [} {g \ over 2} F ^ {{\ alpha \ beta}} S _ {\ beta} + \ left ({g \ over 2} -1 \ right) u ^ {\ alpha} \ left (S _ {\ lambda} F ^ {{\ lambda \ mu}} U _ {\ mu} \ right) {\ bigg]}

Notă

^ V. Bargmann, L. Michel și VL Telegdi, Precesiunea polarizării particulelor care se mișcă într-un câmp electromagnetic omogen , Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).
^ Jackson , pagina 563 .

Bibliografie

( EN ) Louis N. Hand și Janet D. Finch., Mecanică analitică , Cambridge, Anglia, Cambridge University Press, 1998, p. 192, ISBN 978-0-521-57572-0 .
( EN ) John D Jackson, Electrodynamics Classical , Ediția a III-a, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X .
( EN ) M. Conte, R. Jagannathan , SA Khan și M. Pusterla, Optica cu fascicul a particulei Dirac cu moment magnetic anormal , Particle Accelerators, 56, 99-126 (1996); (Preimprimare: IMSc / 96/03/07, INFN / AE-96/08)

Elemente conexe

linkuri externe

Pagina HyperPhysics a Universității de Stat din Georgia pe Larmor Frequency , la hyperphysics.phy-astr.gsu.edu .
Calculator de frecvență Larmor , la bio.groups.et.byu.net .

Portalul chimiei

Portalul Electromagnetismului

[1] V. Bargmann, L. Michel și VL Telegdi, Precesiunea polarizării particulelor care se mișcă într-un câmp electromagnetic omogen , Phys. Rev. Lett. 2, 435 (1959).

[def-2] Jackson , pagina 563 .

[1]

[2]